2025年下學(xué)期高三數(shù)學(xué)“創(chuàng)新人才”選拔終極測(cè)試試題（二）一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知集合(A={x|x^2-2x-3<0})，(B={x|2^x>1})，則(A\capB=)（）A.((0,3))B.((1,3))C.((-1,+\infty))D.((-1,3))復(fù)數(shù)(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限某人工智能模型的訓(xùn)練誤差(E(t))與訓(xùn)練時(shí)間(t)（單位：小時(shí)）的關(guān)系滿足(E(t)=\frac{100}{1+e^{t-5}})，則當(dāng)訓(xùn)練時(shí)間從4小時(shí)增加到6小時(shí)時(shí)，誤差的平均變化率為（）A.-25B.-15C.15D.252025年“東數(shù)西算”工程中，某數(shù)據(jù)中心的服務(wù)器散熱功率(P)（單位：kW）與環(huán)境溫度(T)（單位：℃）的關(guān)系近似滿足(P=T^3-12T+50).為使散熱功率最小，環(huán)境溫度應(yīng)控制在（）A.2℃B.3℃C.4℃D.5℃北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，某兩顆衛(wèi)星的軌道可近似視為圓，且兩軌道平面垂直.若衛(wèi)星A的軌道半徑為(R)，衛(wèi)星B的軌道半徑為(2R)，則兩顆衛(wèi)星運(yùn)行周期的比值(\frac{T_A}{T_B}=)（）A.(\frac{1}{2\sqrt{2}})B.(\frac{1}{2})C.(\frac{1}{\sqrt{2}})D.(\sqrt{2})某環(huán)保監(jiān)測(cè)站對(duì)某水域的污染物濃度進(jìn)行檢測(cè)，已知污染物濃度(C(t))（單位：mg/L）隨時(shí)間(t)（單位：天）的變化規(guī)律滿足(C(t)=C_0e^{-kt})，其中(C_0)為初始濃度，(k)為降解系數(shù).若經(jīng)過10天污染物濃度降為初始值的(\frac{1}{e})，則降解系數(shù)(k=)（）A.0.05B.0.1C.0.2D.0.5在“雙碳”目標(biāo)背景下，某新能源汽車廠商研發(fā)的電池能量密度(D)（單位：Wh/kg）與材料配比(x)（(0<x<1)）的關(guān)系滿足(D(x)=-100x^2+150x+200).為獲得最大能量密度，材料配比(x)應(yīng)選取（）A.0.5B.0.6C.0.75D.0.8某科研團(tuán)隊(duì)研究發(fā)現(xiàn)，某病毒的傳播速度(v)（單位：人/天）與感染人數(shù)(N)的關(guān)系滿足(v=kN(1-\frac{N}{M}))，其中(k)為傳播系數(shù)，(M)為最大感染人數(shù).若當(dāng)(N=\frac{M}{3})時(shí)，傳播速度(v=120)人/天，則當(dāng)(N=\frac{2M}{3})時(shí)，傳播速度為（）A.120人/天B.160人/天C.180人/天D.240人/天二、多選題（本大題共2小題，每小題5分，共10分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）某城市為優(yōu)化交通布局，對(duì)地鐵線路進(jìn)行規(guī)劃.已知地鐵線路的一段軌道可近似視為拋物線(y=ax^2+bx+c)，若該拋物線經(jīng)過點(diǎn)((0,0))，((2,4))，且在(x=1)處的切線斜率為1，則下列說法正確的有（）A.(a=-1)B.(b=3)C.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為((\frac{3}{2},\frac{9}{4}))D.當(dāng)(x\in[0,3])時(shí)，(y)的最大值為4某人工智能實(shí)驗(yàn)室研發(fā)的機(jī)器人在進(jìn)行路徑規(guī)劃時(shí)，需要計(jì)算平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的“曼哈頓距離”.定義平面上兩點(diǎn)(A(x_1,y_1))，(B(x_2,y_2))的曼哈頓距離為(d(A,B)=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|).若點(diǎn)(P(x,y))滿足(d(P,O)=2)（其中(O)為坐標(biāo)原點(diǎn)），則下列說法正確的有（）A.點(diǎn)(P)的軌跡是正方形B.點(diǎn)(P)的軌跡所圍成的圖形面積為8C.(x+y)的最大值為2D.(x^2+y^2)的最小值為2三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）已知向量(\vec{a}=(1,2))，(\vec=(m,1))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}-\vec))，則(m=)________.某地區(qū)進(jìn)行人口普查，發(fā)現(xiàn)該地區(qū)人口年齡結(jié)構(gòu)近似服從正態(tài)分布(N(40,10^2)).已知該地區(qū)總?cè)丝跒?00萬人，則年齡在20歲到50歲之間的人口約為________萬人（精確到小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：(\Phi(1)=0.8413)，(\Phi(2)=0.9772)）.某航天器在太空中進(jìn)行姿態(tài)調(diào)整，需要繞三個(gè)互相垂直的軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn).若每次旋轉(zhuǎn)的角度分別為(\alpha)，(\beta)，(\gamma)，則總旋轉(zhuǎn)矩陣可表示為三個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣的乘積.已知繞x軸旋轉(zhuǎn)(\alpha)角的矩陣為(\begin{pmatrix}1&0&0\0&\cos\alpha&-\sin\alpha\0&\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix})，若(\alpha=90^\circ)，則該矩陣的逆矩陣為________.某科研團(tuán)隊(duì)研究發(fā)現(xiàn)，某種植物的生長(zhǎng)高度(h)（單位：cm）與生長(zhǎng)時(shí)間(t)（單位：周）的關(guān)系滿足(h(t)=100-80e^{-0.2t}).則該植物生長(zhǎng)到50cm時(shí)的生長(zhǎng)速率為________cm/周.四、解答題（本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分12分）在“東數(shù)西算”工程中，某數(shù)據(jù)中心需要設(shè)計(jì)一個(gè)長(zhǎng)方體形的服務(wù)器機(jī)房，其體積為(1200m^3)，已知機(jī)房地面每平方米的造價(jià)為1000元，墻壁每平方米的造價(jià)為2000元，屋頂每平方米的造價(jià)為1500元.設(shè)機(jī)房的長(zhǎng)為(xm)，寬為(ym)，高為(hm).（1）試用(x)，(y)表示總造價(jià)(C)（單位：元）；（2）若(x=20m)，求總造價(jià)(C)的最小值及此時(shí)(y)，(h)的值.（本小題滿分13分）某地區(qū)為了應(yīng)對(duì)氣候變化，開展了植樹造林工程.已知該地區(qū)的森林面積(S(t))（單位：(km^2)）隨時(shí)間(t)（單位：年）的變化規(guī)律滿足微分方程(\frac{dS}{dt}=kS(1-\frac{S}{M}))，其中(k=0.2)，(M=1000km^2)為該地區(qū)可承載的最大森林面積.（1）求解該微分方程，得到(S(t))的表達(dá)式（初始條件為(S(0)=100km^2)）；（2）求森林面積增長(zhǎng)最快的時(shí)刻及此時(shí)的森林面積.（本小題滿分13分）某新能源汽車廠商研發(fā)的新款電池，其充電時(shí)間(T)（單位：分鐘）與充電電流(I)（單位：A）的關(guān)系滿足(T=\frac{200}{I}+0.5I)，其中(I\in[10,50]).（1）求充電時(shí)間(T)的最小值及此時(shí)的充電電流(I)；（2）若充電過程中還需考慮電池發(fā)熱損耗，損耗功率(P=0.01I^2)（單位：W），則在充電電流(I\in[10,50])范圍內(nèi)，如何選擇充電電流才能使總能量消耗（電能）最小？（注：總能量消耗=充電能量+損耗能量，充電能量=電池容量×電壓，此處電池容量為常數(shù)，電壓為常數(shù)，可視為總能量消耗與(I\timesT+\int_0^TPdt)成正比）（本小題滿分14分）在立體幾何實(shí)驗(yàn)室中，某同學(xué)用3D打印機(jī)制作了一個(gè)正四棱錐模型，其底面邊長(zhǎng)為2，高為3.（1）求該正四棱錐的表面積；（2）若在該正四棱錐內(nèi)部挖去一個(gè)半徑為(r)的內(nèi)切球，求(r)的值；（3）若將該模型放入一個(gè)半徑為(R)的球形容器中，求(R)的最小值.（本小題滿分14分）某科研團(tuán)隊(duì)研究發(fā)現(xiàn)，某種病毒的傳播模型可以用Logistic方程描述：(\frac{dN}{dt}=rN(1-\frac{N}{K}))，其中(N(t))為(t)時(shí)刻的感染人數(shù)，(r=0.5)為傳播系數(shù)，(K=10000)為最大感染人數(shù).（1）若初始感染人數(shù)(N(0)=100)，求(N(t))的表達(dá)式；（2）為控制疫情傳播，采取了隔離措施，使得傳播系數(shù)(r)變?yōu)闀r(shí)間的函數(shù)(r(t)=0.5e^{-0.1t})，求此時(shí)(N(t))的表達(dá)式，并分析疫情是否能夠得到控制（即當(dāng)(t\to+\infty)時(shí)，(N(t))是否收斂）.（本小題滿分14分）在平面直角坐標(biāo)系中，某衛(wèi)星的軌道方程為橢圓(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)），已知該橢圓的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且經(jīng)過點(diǎn)((2,1)).（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若該衛(wèi)星在橢圓軌道上運(yùn)行，其速度(v)與到地心的距離(r)（坐標(biāo)原點(diǎn)為地心）的關(guān)系滿足開普勒第二定律：(r^2\frac{d\theta}{dt}=k)（(k)為常數(shù)，(\theta)為極角），求衛(wèi)星在點(diǎn)((a,0))和((0,b))處的速度大小之比(\frac{v_a}{v_b}).（本小題滿分13分）某人工智能模型在進(jìn)行圖像識(shí)別時(shí)，需要計(jì)算圖像中兩個(gè)特征點(diǎn)的相似度.定義兩個(gè)特征向量(\vec{u}=(u_1,u_2,\cdots,u_n))，(\vec{v}=(v_1,v_2,\cdots,v_n))的相似度為(S=\