2025年下學期高三數(shù)學數(shù)學思想方法綜合應用試題（二）一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知函數(shù)$f(x)=e^x-ax^2-bx$在$x=0$處取得極值，且曲線$y=f(x)$在點$(1,f(1))$處的切線方程為$y=ex-e$，則$a+b$的值為（）A.$-1$B.$0$C.$1$D.$2$設雙曲線$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的左、右焦點分別為$F_1,F_2$，過$F_2$的直線與雙曲線右支交于$A,B$兩點，若$|AF_1|=3|AF_2|$，且$\angleF_1AF_2=60^\circ$，則雙曲線$C$的離心率為（）A.$\sqrt{2}$B.$\sqrt{3}$C.$2$D.$\frac{\sqrt{7}}{2}$已知定義在$\mathbb{R}$上的奇函數(shù)$f(x)$在$(-\infty,0)$上單調遞減，且$f(2)=0$，則不等式$(x-1)f(x)>0$的解集為（）A.$(-2,0)\cup(1,2)$B.$(-\infty,-2)\cup(0,1)\cup(2,+\infty)$C.$(-2,0)\cup(0,2)$D.$(-2,0)\cup(1,+\infty)$在$\triangleABC$中，點$D$為$AC$的中點，點$E$滿足$\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{BE}$，若$\overrightarrow{CA}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{CB}=\boldsymbol$，則$\overrightarrow{DE}=$（）A.$\frac{1}{2}\boldsymbol{a}-\frac{1}{6}\boldsymbol$B.$\frac{1}{2}\boldsymbol{a}-\frac{2}{3}\boldsymbol$C.$\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{6}\boldsymbol$D.$\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{2}{3}\boldsymbol$已知等比數(shù)列${a_n}$的公比為$q$，前$n$項和為$S_n$，若$a_2+a_4=20$，$a_3+a_5=40$，則$\frac{S_n}{2^n}$的最大值為（）A.$2$B.$3$C.$4$D.$5$若關于$x$的方程$\cos2x-\sinx+a=0$在$[0,\pi]$上有兩個不同的實數(shù)解，則實數(shù)$a$的取值范圍為（）A.$(-1,1]$B.$(-2,1]$C.$(-2,2)$D.$[-1,1]$某公園設計的圓形健身區(qū)域中心為等邊三角形廣場$ABC$，分別以$AB,BC,CA$為邊向外作正方形，每個正方形的兩個頂點恰在圓周上．若等邊三角形的邊長為$2a$，則圓的半徑為（）A.$\sqrt{(4+2\sqrt{3})a^2}$B.$\sqrt{(2+\sqrt{3})a^2}$C.$\sqrt{(3+\sqrt{3})a^2}$D.$\sqrt{(5+2\sqrt{3})a^2}$已知函數(shù)$f(x)=x^5+ax^3+bx-8$，若$f(-2)=10$，則$f(2)$的值為（）A.$-26$B.$-18$C.$-10$D.$10$二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若曲線$y=e^x+x$在點$(0,1)$處的切線與直線$ax+y+1=0$垂直，則$a=$________．已知圓$x^2+y^2-2x+4y+m=0$與直線$x-2y-3=0$相交于$P,Q$兩點，且$OP\perpOQ$（$O$為坐標原點），則$m=$________．已知拋物線$C:y^2=4x$的焦點為$F$，過點$F$的直線$l$交拋物線于$A,B$兩點，若$|AF|=3|BF|$，則直線$l$的斜率為________．已知函數(shù)$f(x)=\begin{cases}\lnx,&x>0,\x^2+2x,&x\leq0,\end{cases}$若關于$x$的方程$f(x)=m$有三個不同的實數(shù)解，則$m$的取值范圍為________．三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知數(shù)列${a_n}$的前$n$項和$S_n$滿足$S_n=2a_n-n$，$n\in\mathbb{N}^*$．（1）求數(shù)列${a_n}$的通項公式；（2）設$b_n=\frac{a_n+1}{a_na_{n+1}}$，求數(shù)列${b_n}$的前$n$項和$T_n$．（本小題滿分12分）在$\triangleABC$中，角$A,B,C$所對的邊分別為$a,b,c$，且$a\cosA=b\cosB+c\cosC$．（1）判斷$\triangleABC$的形狀；（2）若$a=2$，$\triangleABC$的面積為$\sqrt{3}$，求$b+c$的值．（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$AB=AC=AA_1=2$，$\angleBAC=90^\circ$，點$D,E$分別為$BC,B_1C_1$的中點．（1）求證：$DE\parallel$平面$A_1ABB_1$；（2）求三棱錐$A_1-BDE$的體積．（本小題滿分12分）已知橢圓$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過點$P(2,1)$．（1）求橢圓$C$的標準方程；（2）過點$P$的直線$l$與橢圓$C$交于另一點$Q$，若$\triangleOPQ$（$O$為坐標原點）的面積為$\frac{4\sqrt{3}}{5}$，求直線$l$的方程．（本小題滿分12分）已知函數(shù)$f(x)=(x-1)e^x-ax^2+b$，其中$a,b\in\mathbb{R}$．（1）若$a=1$，求函數(shù)$f(x)$的單調區(qū)間；（2）若函數(shù)$f(x)$在$x=0$處取得極小值$-1$，求$a,b$的值，并證明：對任意$x>0$，$f(x)>-x^3+3x^2-3x$．（本小題滿分12分）某乒乓球訓練基地為提高運動員的訓練效率，設計了一套新的訓練方案．方案要求運動員在一次訓練中完成$n$組發(fā)球練習，每組練習包括正手發(fā)球和反手發(fā)球各$10$次．已知運動員對正手發(fā)球的命中率為$p$，反手發(fā)球的命中率為$q$，且每組練習中，正手發(fā)球和反手發(fā)球的結果相互獨立．（1）若$p=0.8$，$q=0.7$，求一組練習中運動員至少命中$18$次的概率；（2）若運動員在$n$組練習中，正手發(fā)球總命中次數(shù)的方差為$8$，反手發(fā)球總命中次數(shù)的方差為$6$，求$n,p,q$的值；（3）在（2）的條件下，記$X$為$n$組練習中總命中次數(shù)，求$X$的數(shù)學期望$E(X)$．參考答案及評分標準（此處省略，實際命題需附詳細解析）命題說明：思想方法融合：試題全面覆蓋函數(shù)與方程、數(shù)形結合、分類討論、轉化與化歸四大數(shù)學思想。如第7題通過幾何圖形構建方程（數(shù)形結合），第17題導數(shù)應用需分類討論參數(shù)范圍，第18題概率問題將實際情境轉化為數(shù)學模型。綜合性與創(chuàng)新性：題目設計注重模塊交叉，如第16題橢圓與直線結合面積計算，第15題立體幾何與