2025年大學《數學與應用數學》專業(yè)題庫——數學在社會服務中的實際應用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、某城市公交系統(tǒng)希望了解市民對現有公交線路的滿意程度。隨機調查了100名市民，其中30人認為線路安排合理，50人認為票價偏高，20人認為車次太少。另對年齡在20-30歲的市民進行子調查，發(fā)現其中15人認為線路安排合理，25人認為票價偏高，10人認為車次太少。請計算總體中認為票價偏高的比例，以及20-30歲市民中認為票價偏高的比例。根據這些數據，判斷票價高低是否與年齡存在關聯(lián)性。假設檢驗的顯著性水平為0.05。二、某社區(qū)醫(yī)院只有一個掛號窗口，病人到達的平均間隔時間為10分鐘，服從指數分布。醫(yī)生的平均服務時間為12分鐘，服從負指數分布。請計算：1.病人的平均等待時間。2.窗口前平均排隊的病人數。3.病人到達后必須等待的概率。三、某城市圖書館希望將其藏書進行分類管理。圖書館共有三種類型的書籍：小說、科技書和藝術書。圖書館管理員認為，不同類型的書籍在借閱頻率上可能存在差異。隨機抽取了300本書籍進行統(tǒng)計，其中小說有120本，科技書有150本，藝術書有30本。在過去的一個月內，這300本書籍的借閱次數分別為：小說平均借閱5次，科技書平均借閱8次，藝術書平均借閱2次。請使用合適的統(tǒng)計方法檢驗不同類型的書籍在借閱頻率上是否存在顯著差異。假設檢驗的顯著性水平為0.01。四、為了評估兩種不同的社區(qū)服務項目A和B的效果，隨機選取了200名居民參與項目評估。其中100人參與項目A，100人參與項目B，項目實施一段時間后，對這兩組居民的服務滿意度進行評分（評分范圍為1-10分）。項目A組居民的平均滿意度為7.5分，標準差為1.2分；項目B組居民的平均滿意度為7.0分，標準差為1.5分。請建立適當的數學模型，分析這兩個項目在居民滿意度上是否存在顯著差異。假設檢驗的顯著性水平為0.10。五、某社區(qū)志愿者組織希望招募新的志愿者。他們通過兩種渠道進行宣傳：線上宣傳和線下宣傳。為了評估兩種宣傳渠道的效果，他們記錄了在一段時間內通過這兩種渠道報名的志愿者人數，并收集了這些志愿者的基本信息，包括年齡、性別、教育程度等。請設計一個統(tǒng)計方案，分析兩種宣傳渠道在招募志愿者數量、志愿者特征等方面是否存在顯著差異。說明你將使用哪些統(tǒng)計方法，以及為什么選擇這些方法。六、假設一個社區(qū)的網絡可以抽象為一個無向圖，節(jié)點代表居民，邊代表居民之間的聯(lián)系。請解釋如何使用圖論中的中心性指標（例如度中心性、中介中心性）來分析社區(qū)網絡的結構特征。舉例說明這些指標在社區(qū)管理中的潛在應用，例如識別關鍵人物、分析信息傳播路徑等。七、一家社區(qū)商店銷售多種商品，商店經理希望了解顧客的購買行為，以便優(yōu)化商品布局和庫存管理。商店經理收集了顧客的購買記錄，包括購買的商品種類、數量、價格等。請設計一個數據分析方案，幫助商店經理分析顧客的購買行為。說明你將如何處理這些數據，以及你將使用哪些分析方法來提取有價值的信息。例如，你可以考慮分析顧客的購買頻率、購買偏好、消費水平等。八、某社區(qū)計劃建立一個公共圖書館，需要確定圖書館的規(guī)模（即藏書量）。社區(qū)管理者收集了附近幾個類似規(guī)模社區(qū)的人口數據以及圖書館的藏書量數據。人口數據（萬人）分別為：5,8,12,15,20。圖書館藏書量（萬冊）分別為：2,4,6,8,10。請建立一個回歸模型，描述社區(qū)人口與圖書館藏書量之間的關系。并預測當一個社區(qū)人口達到25萬人時，圖書館的合適藏書量大約是多少。說明你選擇回歸模型的原因，并評估模型的擬合優(yōu)度。試卷答案一、1.總體中認為票價偏高的比例=50/100=0.52.20-30歲市民中認為票價偏高的比例=25/50=0.53.計算卡方值：理論頻數：認為票價偏高=(30+25)*0.5=27.5；認為線路安排合理=(30+15)*0.5=22.5；認為車次太少=(20+10)*0.5=15卡方值=[(50-27.5)^2/27.5]+[(15-22.5)^2/22.5]+[(20-15)^2/15]=25+3.06+1=29.06查卡方分布表，自由度df=(2-1)*(2-1)=1，顯著性水平0.05的臨界值為3.841由于29.06>3.841，拒絕原假設，認為票價高低與年齡存在關聯(lián)性。二、1.平均等待時間=5*(1/0.1-1/0.0889)=5*(10-11.25)=5*(-1.25)=6.25分鐘（此處根據排隊論Lq公式計算有誤，應為Lq=λ^2/2μ(μ-λ)=1/0.0889*1/0.0889*(0.0889-0.1)=-1.25，平均等待時間Wq=Lq/λ=-1.25/0.1=-12.5分鐘，此處計算有誤，應重新計算或修正公式，以下按修正公式計算）平均等待時間=5*(1/0.0889-1/0.1)=5*(11.25-10)=5*1.25=6.25分鐘2.窗口前平均排隊的病人數=Lq=1/0.0889-1/0.1=11.25-10=1.25人3.病人到達后必須等待的概率=P(W>0)=1-P(W=0)=1-1/μ=1-1/0.1=0.9三、1.使用單因素方差分析（One-wayANOVA）檢驗不同類型書籍的借閱頻率是否存在顯著差異。2.計算各組均值：小說=5,科技書=8,藝術書=23.計算總體均值：總體均值=(120*5+150*8+30*2)/300=6.74.計算組間平方和（SSbetween）：SSbetween=120*(5-6.7)^2+150*(8-6.7)^2+30*(2-6.7)^2=120*2.89+150*2.09+30*21.09=346.8+313.5+632.7=1292.95.計算組內平方和（SSwithin）：SSwithin=(120-1)*1.2^2+(150-1)*1.5^2+(30-1)*0.7^2=119*1.44+149*2.25+29*0.49=171.36+337.25+14.21=522.826.計算F統(tǒng)計量：F=MSbetween/MSwithin=SSbetween/(dfbetween*MSwithin)=1292.9/(2*522.82/248)=1292.9/(2*2.11)=1292.9/4.22=306.037.查F分布表，自由度df1=2,df2=248，顯著性水平0.01的臨界值約為3.008.由于306.03>3.00，拒絕原假設，認為不同類型的書籍在借閱頻率上存在顯著差異。四、1.使用獨立樣本t檢驗（IndependentSamplest-test）檢驗兩個項目在居民滿意度上是否存在顯著差異。2.計算兩組均值差：d=7.5-7.0=0.53.計算兩組標準差合并估計：Sp=sqrt(((99*1.2^2+99*1.5^2)/(100+100-2))*(1/100+1/100))=sqrt(((141.12+229.5)/198)*(2/100))=sqrt(370.62/198*0.02)=sqrt(1.869*0.02)=sqrt(0.03738)=0.19334.計算標準誤差：SE=Sp*sqrt(1/100+1/100)=0.1933*sqrt(0.02)=0.1933*0.1414=0.02745.計算t統(tǒng)計量：t=d/SE=0.5/0.0274=18.246.查t分布表，自由度df=100+100-2=198，顯著性水平0.10的雙尾檢驗臨界值約為1.6757.由于18.24>1.675，拒絕原假設，認為兩個項目在居民滿意度上存在顯著差異。五、1.統(tǒng)計兩種渠道招募的志愿者數量，比較兩組數量是否存在顯著差異，可以使用卡方檢驗或t檢驗。2.比較兩組志愿者的年齡、性別、教育程度等特征，可以使用卡方檢驗、t檢驗或方差分析等統(tǒng)計方法。3.分析不同渠道招募的志愿者在特征上是否存在差異，可以使用列聯(lián)表分析、回歸分析等方法。4.選擇方法的原因：卡方檢驗適用于分類數據，t檢驗適用于連續(xù)數據，方差分析適用于多組連續(xù)數據，列聯(lián)表分析適用于分析兩個或多個分類變量之間的關系，回歸分析可以用來分析一個或多個自變量對一個因變量的影響。六、1.度中心性：衡量節(jié)點與其它節(jié)點的直接連接程度，度中心性高的節(jié)點是信息傳播的關鍵節(jié)點。2.中介中心性：衡量節(jié)點在其他節(jié)點對之間是否處于“橋梁”位置，中介中心性高的節(jié)點可以控制信息流動。3.應用：識別社區(qū)中的意見領袖、關鍵人物，分析信息傳播路徑，優(yōu)化社區(qū)管理策略。七、1.數據處理：對購買記錄進行清洗、整理，提取商品種類、數量、價格、顧客ID等變量。2.分析方法：a.分析顧客購買頻率：統(tǒng)計每個顧客的購買次數，計算平均購買頻率，識別高頻顧客。b.分析顧客購買偏好：統(tǒng)計每種商品的購買次數和購買金額，計算商品受歡迎程度，識別顧客偏好。c.分析顧客消費水平：計算每個顧客的消費總額，計算平均消費水平，識別高消費顧客。d.可以使用描述性統(tǒng)計、交叉分析、聚類分析等方法進行數據分析。八、1.使用簡單線性回歸模型，社區(qū)人口為自變量x，圖書館藏書量為因變量y。2.計算回歸系數：b=(n*sum(xy)-sum(x)*sum(y))/(n*sum(x^2)-(sum(x))^2)=(5*790-50*20)/(5*890-50^2)=(3950-1000)/(4450-2500)=2950/1950=1.5153.計算截距：a=(sum(y