2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)學(xué)建模在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中的應(yīng)用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______注意事項：1.請仔細(xì)閱讀題目，理解題意。2.請在規(guī)定時間內(nèi)完成所有題目。3.請將所有解答書寫在答題紙上。第一題某農(nóng)場研究玉米產(chǎn)量與化肥施用量之間的關(guān)系。經(jīng)過試驗，獲得如下數(shù)據(jù)：當(dāng)化肥施用量為0,20,40,60,80,100（單位：kg/畝）時，玉米產(chǎn)量分別為200,240,280,300,330,350（單位：kg/畝）。（1）請利用線性回歸方法建立一個模型，描述玉米產(chǎn)量y與化肥施用量x之間的關(guān)系。（2）解釋模型中各變量和參數(shù)的經(jīng)濟(jì)學(xué)意義。（3）若該農(nóng)場計劃下一季施用75kg/畝的化肥，請利用模型預(yù)測玉米產(chǎn)量，并說明預(yù)測結(jié)果的合理性。第二題為了控制某種農(nóng)作物病害的蔓延，研究人員考慮采用兩種防治措施：藥物噴灑和培育抗病品種。假設(shè)在不采取任何措施的情況下，病害蔓延的面積S（單位：公頃）隨時間t（單位：天）的變化滿足微分方程dS/dt=kS，其中k為正的常數(shù)。若單獨采用藥物噴灑，可以使得微分方程變?yōu)閐S/dt=(k?-k?)S；若單獨采用培育抗病品種，可以使得微分方程變?yōu)閐S/dt=(k?-k?)S。其中k?>k?>k?>0，k?表示病害自然蔓延的速率?，F(xiàn)在考慮兩種措施同時采用，試建立微分方程模型描述病害蔓延面積的變化規(guī)律。請解釋模型中各個參數(shù)的含義，并分析兩種措施同時采用對控制病害蔓延的效果。第三題一個農(nóng)場有100公頃土地，計劃種植兩種作物A和B。種植作物A需要投入勞動力10人/公頃/月，化肥20kg/公頃/月；種植作物B需要投入勞動力8人/公頃/月，化肥15kg/公頃/月。農(nóng)場每月可提供的勞動力為800人，化肥為2000kg。作物A的市場售價為每公斤50元，作物B的市場售價為每公斤40元。假設(shè)農(nóng)場希望最大化月收益，請建立線性規(guī)劃模型。（1）定義模型中的決策變量。（2）列出模型的目標(biāo)函數(shù)。（3）列出模型的所有約束條件。（4）簡述該模型的實際意義。第四題某地區(qū)水果市場對蘋果的需求量D（單位：噸）與蘋果的價格p（單位：元/噸）之間的關(guān)系近似滿足線性關(guān)系D=a-bp。已知當(dāng)蘋果價格p=10元/噸時，需求量D=15噸；當(dāng)蘋果價格p=20元/噸時，需求量D=5噸。（1）請確定需求函數(shù)D(p)。（2）假設(shè)蘋果的供給量S（單位：噸）與價格p（單位：元/噸）之間的關(guān)系為S=c+ep，其中c和e為正的常數(shù)。若市場處于均衡狀態(tài)（即供給量等于需求量），請用p表示均衡價格。（3）分析蘋果價格變動對需求量的影響。第五題某農(nóng)場計劃在一個面積為A（單位：畝）的矩形地塊上修建一個矩形的雞舍，雞舍的一邊靠墻（假設(shè)墻足夠長），雞舍的長和寬分別為x和y（單位：米）。為了方便飼養(yǎng)管理，要求雞舍的長x至少為20米。設(shè)修建雞舍的費用為每平方米100元，除雞舍外，還需在地塊上留出至少100平方米的土地作為運動場。問如何設(shè)計雞舍的長x和寬y，才能使得修建雞舍及預(yù)留運動場的總費用最小？請建立數(shù)學(xué)模型，并說明模型中各參數(shù)和變量的實際意義。試卷答案第一題（1）利用最小二乘法，得到線性回歸方程為y?=190+1.8x。（2）y?代表玉米產(chǎn)量y的預(yù)測值，190是當(dāng)化肥施用量為0時的預(yù)測產(chǎn)量（截距，可能有實際意義，也可能無），1.8是化肥施用量每增加1kg/畝，玉米產(chǎn)量預(yù)計增加的kg數(shù)（斜率，表示邊際產(chǎn)量）。（3）模型預(yù)測施用75kg/畝化肥時產(chǎn)量為y?=190+1.8*75=355kg/畝。合理性在于：該預(yù)測值在歷史數(shù)據(jù)的范圍之內(nèi)（介于300-350kg/畝之間），且模型顯示了化肥施用量與產(chǎn)量之間存在正相關(guān)關(guān)系，這與一般農(nóng)業(yè)生產(chǎn)常識相符。第二題建立微分方程模型：dS/dt=(k?-k?-k?)S。模型中，S表示病害蔓延的面積，t表示時間，k?-k?-k?表示兩種措施共同作用下的有效遏制速率。該模型表明，當(dāng)兩種措施同時采用時，病害蔓延面積S隨時間t呈指數(shù)變化，其變化速率取決于(k?-k?-k?)。由于k?>k?>k?>0，因此k?-k?-k?<k?-k?，說明兩種措施同時采用的效果優(yōu)于單獨采用藥物噴灑，但可能仍不如單獨采用培育抗病品種的效果好。第三題（1）決策變量：x為種植作物A的面積（公頃），y為種植作物B的面積（公頃）。（2）目標(biāo)函數(shù)：MaxZ=50*10x+40*5y=500x+200y（最大化月收益）。（3）約束條件：a)土地面積約束：x+y≤100。b)勞動力約束：10x+8y≤800。c)化肥約束：20x+15y≤2000。d)非負(fù)約束：x≥0,y≥0。（4）該模型可以幫助農(nóng)場決定種植作物A和作物B各多少面積，以在滿足資源（勞動力、化肥、土地）限制的前提下，實現(xiàn)最大的月收益。第四題（1）需求函數(shù)：由兩點(10,15)和(20,5)確定斜率b=(5-15)/(20-10)=-1，代入點(10,15)得a=15-(-1)*10=25。因此，需求函數(shù)為D(p)=25-p。（2）均衡價格：令D(p)=S(p)，即25-p=c+ep。均衡價格p=(25-c)/(1+e)。（3）需求函數(shù)D(p)的斜率為-1，為負(fù)值，表明蘋果價格p上升時，需求量D下降；價格p下降時，需求量D上升。這種反向關(guān)系符合基本的經(jīng)濟(jì)學(xué)需求規(guī)律。第五題設(shè)總費用為F（元），則F=100*(x*y)+100*(A-x*y-100)=100Ax-100xy+10000。目標(biāo)函數(shù)：MinF=100Ax-100xy+10000。約束條件：a)x≥20。b)x*y≤A。c)x*y+100≤A。d)x≥0,y≥0。（通常土地面積y也隱含非負(fù)，且x*y≤A已包含x,y非負(fù)的部分）模型中，x為雞舍長（米），y為雞舍寬（米），A為矩形地塊面積（米