蘇州木瀆實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)中考數(shù)學(xué)期末二次函數(shù)和幾何綜合匯編一、二次函數(shù)壓軸題1．定義：若拋物線的頂點(diǎn)和與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)所組成的三角形為等邊三角形時(shí)．則稱此拋物線為正拋物線．概念理解：（1）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．試證明：以點(diǎn)A為頂點(diǎn)，且與x軸交于D、C兩點(diǎn)的拋物線是正拋物線；問題探究：（2）已知一條拋物線經(jīng)過x軸的兩點(diǎn)E、F（E在F的左邊），E（1，0）且EF＝2若此條拋物線為正拋物線，求這條拋物線的解析式；應(yīng)用拓展：（3）將拋物線y1＝﹣x2+2x+9向下平移9個(gè)單位后得新的拋物線y2．拋物線y2的頂點(diǎn)為P，與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為M、N（M在N左側(cè)），把△PMN沿x軸正半軸無(wú)滑動(dòng)翻滾，當(dāng)邊PN與x軸重合時(shí)記為第1次翻滾，當(dāng)邊PM與x軸重合時(shí)記為第2次翻滾，依此類推…，請(qǐng)求出當(dāng)?shù)?019次翻滾后拋物線y2的頂點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣ax2+bx+3與x軸交于A(﹣1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)．（1）求直線AC及拋物線的解析式，并求出D點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若P為線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，求四邊形PMAC的面積的最大值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)P是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作直線1∥AC交拋物線于點(diǎn)Q，試探究：隨著P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)A、P、Q、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．3．如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)．（1）求點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線交于點(diǎn)，試探究當(dāng)為何值時(shí)，四邊形是平行四邊形；（3）在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在點(diǎn)，使是以為直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．4．在數(shù)學(xué)拓展課上，九（1）班同學(xué)根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)新函數(shù)y=x2﹣2|x|的圖象和性質(zhì)進(jìn)行了探究，探究過程如下：（初步嘗試）求二次函數(shù)y=x2﹣2x的頂點(diǎn)坐標(biāo)及與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（類比探究）當(dāng)函數(shù)y=x2﹣2|x|時(shí)，自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，下表為y與x的幾組對(duì)應(yīng)值．x…﹣3﹣﹣2﹣10123…y…30﹣10﹣103…①根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)，并畫出了函數(shù)圖象的一部分，請(qǐng)你畫出該函數(shù)圖象的另一部分；②根據(jù)畫出的函數(shù)圖象，寫出該函數(shù)的兩條性質(zhì)．（深入探究）若點(diǎn)M（m，y1）在圖象上，且y1≤0，若點(diǎn)N（m+k，y2）也在圖象上，且滿足y2≥3恒成立，求k的取值范圍．5．基本模型如圖1，點(diǎn)A，F(xiàn)，B在同一直線上，若∠A=∠B=∠EFC=90°，易得△AFE∽△BCF．（1）模型拓展：如圖2，點(diǎn)A，F(xiàn)，B在同一直線上，若∠A=∠B=∠EFC，求證：△AFE∽△BCF；（2）拓展應(yīng)用：如圖3，AB是半圓⊙O的直徑，弦長(zhǎng)AC=BC=4，E，F(xiàn)分別是AC，AB上的一點(diǎn)，若∠CFE=45°．若設(shè)AE=y，BF=x，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式及y的最大值；（3）拓展提升：如圖4，在平面直角坐標(biāo)系柳中，拋物線y=﹣（x+4）（x﹣6）與x軸交于點(diǎn)A，C，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線的對(duì)稱軸交線段BC于點(diǎn)E，探求線段AB上是否存在點(diǎn)F，使得∠EFO=∠BAO？若存在，求出BF的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線W1：y＝x2+bx+c與x軸交于A（﹣4，0）、B兩點(diǎn)，且過點(diǎn)C（0，﹣2）．拋物線W2與拋物線W1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)C在W2上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C′．（1）求拋物線W1的表達(dá)式；（2）寫出拋物線W2的表達(dá)式；（3）若點(diǎn)P在拋物線W1上，試探究：在拋物線W2上是否存在點(diǎn)Q，使以C、C′、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，并且其面積等于24？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．7．如果拋物線C1：與拋物線C2：的開口方向相反，頂點(diǎn)相同，我們稱拋物線C2是C1的“對(duì)頂”拋物線．（1）求拋物線的“對(duì)頂”拋物線的表達(dá)式；（2）將拋物線的“對(duì)頂”拋物線沿其對(duì)稱軸平移，使所得拋物線與原拋物線形成兩個(gè)交點(diǎn)M、N，記平移前后兩拋物線的頂點(diǎn)分別為A、B，當(dāng)四邊形AMBN是正方形時(shí)，求正方形AMBN的面積．（3）某同學(xué)在探究“對(duì)頂”拋物線時(shí)發(fā)現(xiàn)：如果拋物線C1與C2的頂點(diǎn)位于x軸上，那么系數(shù)b與d，c與e之間的關(guān)系是確定的，請(qǐng)寫出它們之間的關(guān)系．8．某校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣社團(tuán)的同學(xué)們學(xué)習(xí)二次函數(shù)后，有興趣的在一起探究“函數(shù)的有關(guān)圖象和性質(zhì)”．探究過程如下：（1）列表：?jiǎn)朹_____．x…012…y…620002m…（2）請(qǐng)?jiān)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中畫出圖象．（3）若方程（p為常數(shù)）有三個(gè)實(shí)數(shù)根，則______．（4）試寫出方程（p為常數(shù)）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，p的取值范圍是______．9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求該拋物線的解析式；（2）如圖1，若點(diǎn)D是拋物線上第一象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，連接CD，BD，BC，AC，當(dāng)△BCD的面積等于△AOC面積的2倍時(shí)，求m的值；（3）如圖2，若點(diǎn)N為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，探究拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得以B，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．10．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=x2+bx+3經(jīng)過A(1，0)、B(－3，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．直線BC經(jīng)過B、C兩點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式及對(duì)稱軸；（2）將△COB沿直線BC平移，得到△C1O1B1，請(qǐng)?zhí)骄吭谄揭频倪^程中是否存在點(diǎn)O1落在拋物線上的情形，若存在，求出點(diǎn)O1的坐標(biāo)，若不存在，說明理由；（3）如圖2，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E，連結(jié)AC，請(qǐng)?zhí)骄吭趻佄锞€上是否存在一點(diǎn)F，使直線EF∥AC，若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．二、中考幾何壓軸題11．如圖l，在正方形ABCD中，AB=8，點(diǎn)E在AC上，且，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，．（問題發(fā)現(xiàn)）（1）線段與的數(shù)量關(guān)系是________，直線與所夾銳角的度數(shù)是___________；（拓展探究）（2）當(dāng)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)寫出結(jié)論并結(jié)合圖2給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；（解決問題）（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)到直線的距離為2時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．12．[探索發(fā)現(xiàn)]（1）如圖①，△ABC與△ADE為等腰三角形，且兩頂角∠ABC＝∠ADE，連接BD與CE，則△ABD與△ACE的關(guān)系是；[操作探究]（2）在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝100°，D是BC的中點(diǎn)，在線段AD上任取一點(diǎn)P，連接PB，將線段PB繞點(diǎn)P按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)80°，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E，連接BE，得到△BPE，隨著點(diǎn)P在線段AD上位置的變化，點(diǎn)E的位置也在變化，點(diǎn)E可能在直線AD的左側(cè)，也可能在直線AD上，還可能在直線AD的右側(cè)．請(qǐng)你探究，當(dāng)點(diǎn)E在直線AD上時(shí)，如圖②所示，連接CE，判斷直線CE與直線AB的位置關(guān)系，并說明理由．[拓展應(yīng)用]（3）在（2）的應(yīng)用下，請(qǐng)?jiān)趫D③中畫出△BPE，使得點(diǎn)E在直線AD的右側(cè)，連接CE，試求出點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AE的最小值．13．探究：如圖①和②，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，∠EAF=45°．（1）如圖①，若∠B、∠ADC都是直角，把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，使AB與AD重合，則能得EF=BE+DF，請(qǐng)寫出推理過程；（2）如圖②，若∠B、∠D都不是直角，則當(dāng)∠B與∠D滿足數(shù)量關(guān)系時(shí)，仍有EF=BE+DF；（3）拓展：如圖③，在中，∠BAC=90°，AB=AC=，點(diǎn)D、E均在邊BC上，且∠DAE=45°．若BD=1，求DE的長(zhǎng)．14．如圖1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，AD＝AE，連接DC，點(diǎn)M，P，N分別為DE，DC，BC的中點(diǎn)．（1）觀察猜想：圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）探究證明：把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判斷△PMN的形狀，并說明理由；（3）拓展延伸：把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD＝4，AB＝10，請(qǐng)直接寫出△PMN面積的最大值．15．折紙是一種許多人熟悉的活動(dòng)．近些年，經(jīng)過許多人的努力，已經(jīng)找到了多種將正方形折紙的一邊三等分的精確折法，下面探討其中的一種折法：（綜合與實(shí)踐）操作一：如圖1，將正方形紙片ABCD對(duì)折，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，再將正方形紙片ABCD展開，得到折痕MN；操作二：如圖2，將正方形紙片ABCD的右上角沿MC折疊，得到點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為D′；操作三：如圖3，將正方形紙片ABCD的左上角沿MD′折疊再展開，折痕MD′與邊AB交于點(diǎn)P；（問題解決）請(qǐng)?jiān)趫D3中解決下列問題：（1）求證：BP＝D′P；（2）AP：BP＝；（拓展探究）（3）在圖3的基礎(chǔ)上，將正方形紙片ABCD的左下角沿CD′折疊再展開，折痕CD′與邊AB交于點(diǎn)Q．再將正方形紙片ABCD過點(diǎn)D′折疊，使點(diǎn)A落在AD邊上，點(diǎn)B落在BC邊上，然后再將正方形紙片ABCD展開，折痕EF與邊AD交于點(diǎn)E，與邊BC交于點(diǎn)F，如圖4．試探究：點(diǎn)Q與點(diǎn)E分別是邊AB，AD的幾等分點(diǎn)？請(qǐng)說明理由．16．（探究證明）（1）某班數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)小組對(duì)矩形內(nèi)兩條互相垂直的線段與矩形兩鄰邊的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行探究，提出下列問題，請(qǐng)你給出證明：如圖①，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，GH分別交AB、DC于點(diǎn)G、H，求證：；（結(jié)論應(yīng)用）（2）如圖②，將矩形ABCD沿EF折疊，使得點(diǎn)B和點(diǎn)D重合，若AB＝2，BC＝3．求折痕EF的長(zhǎng)；（拓展運(yùn)用）（3）如圖③，將矩形ABCD沿EF折疊．使得點(diǎn)D落在AB邊上的點(diǎn)G處，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，得到四邊形EFPG，若AB＝2，BC＝3，EF＝，請(qǐng)求BP的長(zhǎng)．17．問題發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，∠ABC＝90°，將線段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角α=2∠BAC，∠BCD的度數(shù)是；線段BD，AC之間的數(shù)量關(guān)系是．類比探究：（2）在Rt△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC＝90°，將線段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角α=2∠BAC，請(qǐng)問（1）中的結(jié)論還成立嗎？；拓展延伸：（3）如圖3，在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝4，∠BDC＝90°，若點(diǎn)P滿足PB＝PC，∠BPC＝90°，請(qǐng)直接寫出線段AP的長(zhǎng)度．18．探究：如圖1和圖2，四邊形中，已知，，點(diǎn)、分別在、上，．（1）①如圖1，若、都是直角，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至，使與重合，直接寫出線段、和之間的數(shù)量關(guān)系____________________；②如圖2，若、都不是直角，但滿足，線段、和之間①中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由．（2）拓展：如圖3，在中，，，點(diǎn)、均在邊上，且，若，求的長(zhǎng)．19．如圖(1)，在矩形ABCD中，AD＝nAB，點(diǎn)M，P分別在邊AB，AD上(均不與端點(diǎn)重合)，且AP＝nAM，以AP和AM為鄰邊作矩形AMNP，連接AN，CN.（問題發(fā)現(xiàn)）（1）如圖(2)，當(dāng)n＝1時(shí)，BM與PD的數(shù)量關(guān)系為，CN與PD的數(shù)量關(guān)系為.（類比探究）（2）如圖(3)，當(dāng)n＝2時(shí)，矩形AMNP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接PD，則CN與PD之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)就圖(3)給出證明；若變化，請(qǐng)寫出數(shù)量關(guān)系，并就圖(3)說明理由.（拓展延伸）（3）在(2)的條件下，已知AD＝4，AP＝2，當(dāng)矩形AMVP旋轉(zhuǎn)至C，N，M三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段CN的長(zhǎng)20．問題探究：（1）如圖①，已知在△ABC中，BC＝4，∠BAC＝45°，則AB的最大值是．（2）如圖②，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且AD＝2，BD＝2．，CD＝6，請(qǐng)求出∠ADB的度數(shù)．問題解決：（3）如圖③，某戶外拓展基地計(jì)劃在一處空地上修建一個(gè)新的拓展游戲區(qū)△ABC，且AB＝AC．∠BAC＝120°，點(diǎn)A、B、C分別是三個(gè)任務(wù)點(diǎn)，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一個(gè)打卡點(diǎn)．按照設(shè)計(jì)要求，CP＝30米，打卡點(diǎn)P對(duì)任務(wù)點(diǎn)A、B的張角為120°，即∠APB＝120°．為保證游戲效果，需要A、P的距離與B、P的距離和盡可能大，試求出AP+BP的最大值．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、二次函數(shù)壓軸題1．A解析：（1）詳見解析；（2）y＝或y＝；（3）當(dāng)?shù)?019次翻滾后拋物線y2的頂點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（4039，3）．【分析】（1）由Rt△ABC中AD是斜邊BC的中線可得AD＝CD，由拋物線對(duì)稱性可得AD＝AC，即證得△ACD是等邊三角形．（2）設(shè)拋物線頂點(diǎn)為G，根據(jù)正拋物線定義得△EFG是等邊三角形，又易求E、F坐標(biāo)，即能求G點(diǎn)坐標(biāo)．由于不確定點(diǎn)G縱坐標(biāo)的正負(fù)號(hào)，故需分類討論，再利用頂點(diǎn)式求拋物線解析式．（3）根據(jù)題意求出拋物線y2的解析式，并按題意求出P、M、N的坐標(biāo)，得到等邊△PMN，所以當(dāng)△PMN翻滾時(shí)，每3次為一個(gè)周期，點(diǎn)P回到x軸上方，且橫坐標(biāo)每多一個(gè)周期即加6，其規(guī)律為當(dāng)翻滾次數(shù)n能被3整除時(shí)，橫坐標(biāo)為：+n×2＝（2n+1）．2019能被3整除，代入即能求此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)．【詳解】解：（1）證明：∠BAC＝90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)∴AD＝BD＝CD＝BC∵拋物線以A為頂點(diǎn)與x軸交于D、C兩點(diǎn)∴AD＝AC∴AD＝AC＝CD∴△ACD是等邊三角形∴以A為頂點(diǎn)與x軸交于D、C兩點(diǎn)的拋物線是正拋物線．（2）∵E（1，0）且EF＝2，點(diǎn)F在x軸上且E在F的左邊∴F（3，0）∵一條經(jīng)過x軸的兩點(diǎn)E、F的拋物線為正拋物線，設(shè)頂點(diǎn)為G∴△EFG是等邊三角形∴xG＝①當(dāng)G（2，）時(shí)，設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣2）2+把點(diǎn)E（1，0）代入得：a+＝0∴a＝﹣∴y＝﹣（x﹣2）2+②當(dāng)G（2，﹣）時(shí)，設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣2）2﹣把點(diǎn)E（1，0）代入得：a﹣＝0∴a＝∴y＝（x﹣2）2﹣綜上所述，這條拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣2）2+或y＝（x﹣2）2﹣（3）∵拋物線y1＝﹣x2+2x+9＝﹣（x﹣）2+12∴y1向下平移9個(gè)單位后得拋物線y2＝﹣（x﹣）2+3∴P（，3），M（0，0），N（2，0）∴PM＝MN＝PN＝2∴△PMN是等邊三角形∴第一次翻滾頂點(diǎn)P的坐標(biāo)變?yōu)镻1（4，0），第二次翻滾得P2與P1相同，第三次翻滾得P3（7，3）即每翻滾3次為一個(gè)周期，當(dāng)翻滾次數(shù)n能被3整除時(shí)，點(diǎn)P縱坐標(biāo)為3，橫坐標(biāo)為：+n×2＝（2n+1）∵2019÷3＝673∴（2×2019+1）×＝4039∴當(dāng)?shù)?019次翻滾后拋物線y2的頂點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（4039，3）．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義的理解、性質(zhì)運(yùn)用，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)．第（3）題的解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)等邊△PMN每3次翻滾看作一個(gè)周期，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)的特征，是規(guī)律探索的典型題．2．D解析：（1）y=3x+3，y=﹣x2+2x+3，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，4)；（2）四邊形PMAC的面積的最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)；（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2，3)或(1，﹣3)或(1，﹣3)．【分析】（1）先求出點(diǎn)C坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求出直線AC及拋物線的解析式，把拋物線的一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式即可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）先根據(jù)待定系數(shù)法求出直線BD的解析式，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為p，然后根據(jù)S四邊形PMAC=S△OAC+S梯形OMPC即可得出S四邊形PMAC與p的關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可；（3）由題意得PQ∥AC且PQ=AC，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，0)，當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方時(shí)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x+1，3)，把點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可求出x，進(jìn)而可得點(diǎn)Q坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方時(shí)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x﹣1，﹣3)，同樣的方法求解即可．【詳解】（1）∵拋物線y=﹣ax2+bx+3與y軸交于點(diǎn)C，∴點(diǎn)C(0，3)，設(shè)直線AC的解析式為y=k1x+b1(k1≠0)．∵點(diǎn)A(﹣1，0)，點(diǎn)C(0，3)，∴，解得：，∴直線AC的解析式為y=3x+3．∵拋物線y=﹣ax2+bx+3與x軸交于A(﹣1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)，∴，解得：，∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3．∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4，∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，4)；（2）設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b．∵點(diǎn)B(3，0)，點(diǎn)D(1，4)，∴，得，∴直線BD的解析式為y=﹣2x+6．∵P為線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(p，﹣2p+6)．∵OA=1，OC=3，OM=p，PM=﹣2p+6，∴S四邊形PMAC=S△OAC+S梯形OMPC=﹣p2p=﹣(p)2，∵1＜p＜3，∴當(dāng)p時(shí)，四邊形PMAC的面積取得最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)；（3）∵直線l∥AC，以點(diǎn)A、P、Q、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，∴PQ∥AC且PQ=AC．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，0)，由A(﹣1，0)，C(0，3)，當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方時(shí)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x+1，3)，此時(shí)，﹣(x+1)2+2(x+1)+3=3，解得：x1=﹣1(舍去)，x2=1，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2，3)；當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方時(shí)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x﹣1，﹣3)，此時(shí)，﹣(x﹣1)2+2(x﹣1)+3=﹣3，整理得：x2﹣4x﹣3=0，解得：x1=2，x2=2，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1，﹣3)或(1，﹣3)，綜上所述：點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2，3)或(1，﹣3)或(1，﹣3)．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)和一元二次方程的解法等知識(shí)，綜合性強(qiáng)、具有一定的難度，屬于中考?jí)狠S題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3．C解析：（1）（2）當(dāng)，四邊形是平行四邊形（3）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，【分析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式列方程即可；（2）根據(jù)平行四邊形的判定，用含未知數(shù)的值表示QM的長(zhǎng)度，從而可求解;（3）設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為,分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)，由勾股定理可得：，當(dāng)時(shí)，由勾股定理可得：，可解出的值.【詳解】（1）令，則，C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,2）；令，則解得，點(diǎn)A為（-1,0）；點(diǎn)B為（4,0）∴（2）如圖1所示：點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于軸對(duì)稱，點(diǎn),設(shè)直線BD的解析式為，將代入得：解得∴直線BD的解析式為：∵∴當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為，則∴解得（不合題意，舍去）∴當(dāng)，四邊形是平行四邊形（3）存在，設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為∵是以BD為直角邊的直角三角形∴當(dāng)時(shí)，由勾股定理可得：即解得（不合題意，舍去）∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，由勾股定理可得：即解得Q點(diǎn)的坐標(biāo)為綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為，，.【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)和拋物線的綜合問題，解題的關(guān)鍵在于拿出函數(shù)解析式，會(huì)用含未知數(shù)的代數(shù)式表示出關(guān)鍵的點(diǎn)的坐標(biāo)和線段的長(zhǎng)度.4．【初步嘗試】（0，0），（2，0）；【類比探究】①如圖所示：②函數(shù)圖象的性質(zhì)：1．圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；2．當(dāng)x取1或﹣1時(shí)，函數(shù)有最小值﹣1；【深入探究】k≤﹣5或k≥5．【詳解】【分析】【初步嘗試】利用配方法將y=x2﹣2x化為頂點(diǎn)式，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0，解方程x2﹣2x=0，求出x的值，即可得到拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；【類比探究】①根據(jù)表中數(shù)據(jù)描點(diǎn)連線，即可得到該函數(shù)圖象的另一部分；②根據(jù)畫出的圖象，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可寫出該函數(shù)的兩條性質(zhì)；【深入探究】根據(jù)圖象可知y1≤0時(shí)，﹣2≤m≤2；y2≥3時(shí)，m+k≤﹣3或m+k≥3，根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求出k的取值范圍.【詳解】【初步嘗試】∵y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，∴此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣1）；令y=0，則x2﹣2x=0，解得x1=0，x2=2，∴此拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），（2，0）；【類比探究】①如圖所示：②函數(shù)圖象的性質(zhì)：圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；當(dāng)x取1或﹣1時(shí)，函數(shù)有最小值﹣1；【深入探究】根據(jù)圖象可知，當(dāng)y1≤0時(shí)，﹣2≤m≤2，當(dāng)y2≥3時(shí)，m+k≤﹣3或m+k≥3，則k≤﹣5或k≥5，故k的取值范圍是k≤﹣5或k≥5．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵.5．F解析：（1）證明詳見解析；（2）y=﹣x2+x（0≤x≤8），當(dāng)x=4時(shí)，y最大=2；（3）存在一點(diǎn)F，使得∠EFO=∠BAO；或．【解析】試題分析：（1）利用已知得出∠E=∠CFB，進(jìn)而利用相似三角形的判定方法得出即可；（2）利用（1）得出△AFE∽△BCF，則，進(jìn)而求出y與x的函數(shù)關(guān)系式及y的最大值；（3）首選求出A，C點(diǎn)坐標(biāo)，再得到△CEH∽△CBO，求出BE的長(zhǎng)，再利用△AFO∽△BEF，求出BF的長(zhǎng)．試題解析：（1）證明：如圖2，∵∠A=∠EFC，∴∠E+∠EFA=∠EFA+∠CFB，∴∠E=∠CFB，∵∠A=∠B，∴△AFE∽△BCF；（2）解：如圖3，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴AB==8，∵AC=BC，∴∠A=∠B=45°，∴∠A=∠B=∠CFE=45°，由（1）可得△AFE∽△BCF，∴，即，∴y=﹣x2+x（0≤x≤8），當(dāng)x=4時(shí)，y最大=2；（3）解：如圖4，存在一點(diǎn)F，使得∠EFO=∠BAO，理由：連接EF，F(xiàn)O，拋物線y=﹣（x+4）（x﹣6），對(duì)稱軸為x==1，把x=0代入y=﹣（x+4）（x﹣6），得y=8，∴B（0，8），即OB=8把y=0代入y=﹣（x+4）（x﹣6）得x1=﹣4，x2=6，∴A（﹣4，0），C（6，0），∴OC=6，OA=4，AC=10，∴BC===10，∴AB===4，∵EH∥BO，∴△CEH∽△CBO，∴，即，解得：BE=，∵BC=AC=10，∴∠CAB=∠CBA∴∠CAB=∠CBA=∠EFO，由（1）可得△AFO∽△BEF，∴，設(shè)BF=x，則，化簡(jiǎn)得：x2﹣4x+=0，解得：x1=，x2=，∴當(dāng)BF=或時(shí)，∠EFO=∠BAO．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．6．A解析：（1）y＝；（2）y＝；（3）存在，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣6，10）或（6，﹣4）．【分析】（1）待定系數(shù)法：把A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入拋物線的解析式中，解方程組即可；（2）兩拋物線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則其大小和形狀相同，開口方向相反，則只要求出W1的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的拋物線W2的頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得W2的解析式；（3）按是對(duì)角線和邊分類，根據(jù)面積確定點(diǎn)P或Q的橫坐標(biāo)，代入函數(shù)關(guān)系式，從而求得Q的坐標(biāo)．【詳解】解（1）把點(diǎn)A、點(diǎn)C的坐標(biāo)分別代入y＝x2+bx+c中，得：，∴b＝，c=－2，∴y＝；（2）∵拋物線w1：y＝＝（x+1）2﹣的頂點(diǎn)是（﹣1，﹣），∴w2的頂點(diǎn)是（1，），∴w2的解析式是：y＝﹣（x﹣1）2+＝﹣x2+x+2；（3）存在．由題意知，，則．①若CC′是對(duì)角線，如圖，∵W1和W2關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴P、Q也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為h，∵平行四邊形的面積=2∴CC′?h＝24，∴4?h＝24，∴h＝6，即P點(diǎn)橫坐標(biāo)是6或﹣6，當(dāng)x＝6時(shí)，y＝×62+×6﹣2＝10，∴Q（﹣6，10），當(dāng)x＝﹣6時(shí)，y＝×（﹣6）2﹣×6﹣2＝4，∴Q（6，﹣4），②當(dāng)CC′是邊時(shí)，PQ∥CC′，PQ＝CC′，如圖，設(shè)點(diǎn)Q（x，），P（x，），由①知：x＝6或﹣6，當(dāng)P（6，10）時(shí)，∵y＝﹣×62+×6+2＝﹣4，∴Q（6，﹣4），∴PQ＝14≠4，當(dāng)x＝﹣6時(shí)，y＝﹣×（﹣6）2+×（﹣6）+2＝﹣10，∴PQ＝14，∴PQ≠CC′，∴CC′不能為邊，綜上所述，當(dāng)C、C′、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，并且其面積等于24時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（﹣6，10）或（6，﹣4）．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，平行四邊形的性質(zhì)，用到了分類討論思想，本題第三問的關(guān)鍵是根據(jù)已知兩個(gè)點(diǎn)，按邊和對(duì)角線分類．7．C解析：（1）；（2）2；（3）【分析】（1）先求出拋物線C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出拋物線C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)正方形AMBN的對(duì)角線長(zhǎng)為2k，得出B（2，3＋2k），M（2＋k，3＋k），N（2?k，3＋k），再用點(diǎn)M（2＋k，3＋k）在拋物線y＝（x?2）2＋3上，建立方程求出k的值，即可得出結(jié)論；（3）先根據(jù)拋物線C1，C2的頂點(diǎn)相同，得出b，d的關(guān)系式，再由兩拋物線的頂點(diǎn)在x軸，求出c，e的關(guān)系，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）解：（1）∵y＝x2?4x＋7＝（x?2）2＋3，∴頂點(diǎn)為（2，3），∴其“對(duì)頂”拋物線的解析式為y＝?（x?2）2＋3，即y＝?x2＋4x?1；（2）如圖，由（1）知，A（2，3），設(shè)正方形AMBN的對(duì)角線長(zhǎng)為2k，則點(diǎn)B（2，3＋2k），M（2＋k，3＋k），N（2?k，3＋k），∵M(jìn)（2＋k，3＋k）在拋物線y＝（x?2）2＋3上，∴3＋k＝（2＋k?2）2＋3，解得k＝1或k＝0（舍）；∴正方形AMBN的面積為×(2k)2＝2；（3）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得，拋物線C1：y＝ax2＋bx＋c的頂點(diǎn)為（，），拋物線C2：y＝?ax2＋dx＋e的頂點(diǎn)為（，），∵拋物線C2是C1的“對(duì)頂”拋物線，∴，∴，∵拋物線C1與C2的頂點(diǎn)位于x軸上，∴，∴，即．【點(diǎn)睛】此題主要考查了拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，正方形的性質(zhì)，理解新定義式解本題的關(guān)鍵．8．（1）；（2）見解析；（3）；（4）或．【分析】（1）把x=代入解析式，計(jì)算即可；（2）按照畫圖像的基本步驟畫圖即可；（3）一個(gè)方程有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，另一個(gè)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根和兩個(gè)方程都有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，但是有一個(gè)公共根；（4）結(jié)合函數(shù)的圖像，分直線經(jīng)過頂點(diǎn)和在x軸上方兩種情形解答即可．【詳解】（1）當(dāng)x=時(shí)，==，∴；（2）畫圖像如下；（3）當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)為；當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)為；∵方程（p為常數(shù)）有三個(gè)實(shí)數(shù)根，∴兩個(gè)方程有一個(gè)公共根，設(shè)這個(gè)根為a，則，解得a=0，當(dāng)a=0時(shí)，p=0，故答案為：p=0；（4）∵方程（p為常數(shù)）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴p＞0；或△=0即1+4p=0，解得．綜上所述，p的取值范圍是或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖像，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，熟練掌握拋物線與一元二次方程的關(guān)系，靈活運(yùn)用分類思想，數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．9．A解析：（1）；（2）1或2；（3）存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或或【分析】（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式進(jìn)行求解即可；（2）過點(diǎn)D作y軸平行線交BC于點(diǎn)E，由題意易得C點(diǎn)坐標(biāo)是（0，2），然后可得直線BC的解析式，然后可表示點(diǎn)E坐標(biāo)，進(jìn)而可根據(jù)鉛垂法進(jìn)行表示△BCD的面積，最后問題可進(jìn)行求解；（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（x，y），點(diǎn)N（1，s），點(diǎn)B（3，0）、C（0，2），根據(jù)題意易得當(dāng)以B，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，可分①當(dāng)BC是平行四邊形的邊時(shí)，②當(dāng)BC為對(duì)角線時(shí)，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求解．【詳解】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+2中，得：，解得：，∴拋物線解析式為；（2）過點(diǎn)D作y軸平行線交BC于點(diǎn)E，把x＝0代入中，得：y＝2，∴C點(diǎn)坐標(biāo)是（0，2），又∵B（3，0），∴直線BC的解析式為y＝x+2，∵點(diǎn)D（m，），∴E（m，m+2），∴DE＝（）﹣（m+2）＝m2+2m，由S△BCD＝2S△AOC得：×DE×OB＝2××OA×OC，∴（m2+2m）×3＝2××1×2，整理得：m2﹣3m+2＝0解得：m1＝1，m2＝2∵0＜m＜3∴m的值為1或2；（3）存在，理由：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（x，y），y＝，則有點(diǎn)N（1，s），點(diǎn)B（3，0）、C（0，2），①當(dāng)BC是平行四邊形的邊時(shí)，當(dāng)點(diǎn)C向右平移3個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位得到B，同樣點(diǎn)M（N）向右平移3個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位N（M），故：x+3＝1，y﹣2＝s或x﹣3＝1，y+2＝s，解得：x＝﹣2或4，故點(diǎn)M坐標(biāo)為：（﹣2，）或（4，）；②當(dāng)BC為對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)公式得：x+1＝3，y+s＝2，解得：x＝2，故點(diǎn)M（2，2）；綜上，M的坐標(biāo)為：（2，2）或（﹣2，）或（4，）．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合，關(guān)鍵是根據(jù)題意得到函數(shù)解析式，然后利用平行四邊形的存在性問題可進(jìn)行分析．10．F解析：（1），；（2）O1(,)或（，）；（3）滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)為F1(-2，3)，F(xiàn)2(3，-12)．【分析】（1）把A（1，0），B（-3，0）代入y=ax2+bx+3即可求解；（2）先求出直線OO1的解析式為，再根據(jù)，求解即可或是根據(jù)得出x的值，再根據(jù)直線OO1的解析式為求解；（3）先求出直線EF解析式為，再根據(jù)求解即可．【詳解】解：（1）將點(diǎn)A（1,0），B（-3,0）代入拋物線解析式y(tǒng)=x2+bx+3得：解得：∴拋物線解析式為∴∴（2）∵點(diǎn)C為與軸的交點(diǎn)∴C（0，3）∵B(－3，0)∴OB＝OC∴∠CBO=45°∵將△COB沿直線BC平移，得到△C1O1B1∴直線OO1∥BC∴∠O1OA=45°∴直線OO1的解析式為根據(jù)題意得整理得解得∴O1(,)或)（，）解法2∵點(diǎn)C為與軸的交點(diǎn)∴C（0，3）∴OC=3∵將△COB沿直線BC平移，得到△C1O1B101C1=3∴整理得解得∵B(－3，0)∴OB＝OC∴∠CBO=45°∵將△COB沿直線BC平移，得到△C1O1B1∴直線OO1∥BC∴∠O1OA=45°∴直線OO1的解析式為y=x∴O1(,)或（，）(3)∵拋物線對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E,則點(diǎn)E的坐標(biāo)為E(-1,0),過點(diǎn)C作CF∥x軸根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得F的坐標(biāo)為F(-2,3)∴AE=CF=2∵CF∥AE∴四邊形CFEA為平行四邊形∴EF∥CA設(shè)直線EF的解析式為得：解得：∴直線EF解析式為根據(jù)題意得解得滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)為F1(-2，3)，F(xiàn)2(3，-12)．【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程組解決問題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．二、中考幾何壓軸題11．（1），；（2）結(jié)論仍然成立，證明詳見解析；（3）的長(zhǎng)為或．【分析】（1）延長(zhǎng)DE交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，由正方形的性質(zhì)可得和均為等腰直角三角形，因此，易證，由相似三角形的性質(zhì)即可得到，由三角形的解析：（1），；（2）結(jié)論仍然成立，證明詳見解析；（3）的長(zhǎng)為或．【分析】（1）延長(zhǎng)DE交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，由正方形的性質(zhì)可得和均為等腰直角三角形，因此，易證，由相似三角形的性質(zhì)即可得到，由三角形的內(nèi)角和即可得到；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知和均為等腰直角三角形，因此，易證，同（1）易證結(jié)論仍成立；（3）由點(diǎn)E到直線AD的距離為2，，可知點(diǎn)F在直線AD或AB上，分兩種情況討論：（i）當(dāng)點(diǎn)F在DA的延長(zhǎng)線或BA延長(zhǎng)線上時(shí)，由勾股定理可得的長(zhǎng)，（ii）當(dāng)點(diǎn)F在AD或AB上時(shí)，過點(diǎn)E作的高，由勾股定理可得的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）如圖①，延長(zhǎng)DE交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，∵AC是正方形ABCD的對(duì)角線，∴，∵是直角三角形，∴和均為等腰直角三角形，∴，又∵，∴，∴，，∴；又∵，，，∴故答案為：，（2）結(jié)論仍然成立．理由如下：如圖②，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．∵是正方形的對(duì)角線，且是由原題中圖1的位置旋轉(zhuǎn)得來(lái)，∴，即和均為等腰直角三角形．∴．又∵，，∴．∴．∴，．∴．又∵，，，∴．∴結(jié)論成立．（3）的長(zhǎng)為或．理由如下：∵點(diǎn)E到直線AD的距離為2，，∴點(diǎn)F在直線AD或AB上分兩種情況討論：（i）如圖③，當(dāng)點(diǎn)F在DA的延長(zhǎng)線上時(shí)，過點(diǎn)E作EG⊥AD交延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,∵,∴,∴，在中，由勾股定理得；如圖④，當(dāng)點(diǎn)F在BA延長(zhǎng)線上時(shí)，過點(diǎn)E作EK⊥AD交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，在等腰中，過點(diǎn)E作EH⊥AF于點(diǎn)H,∵AH=EK=2=AF，∴BF=AB+AF=12，∴；（ii）如圖⑤，當(dāng)點(diǎn)F在AD上時(shí)，過點(diǎn)E作EI⊥AD于點(diǎn)I，∵AF=4，AD=8，∴，在中，由勾股定理得；如圖⑥，當(dāng)點(diǎn)F在AB上時(shí)，過點(diǎn)E作EM⊥AD交AD于點(diǎn)M，在等腰中，過點(diǎn)E作EN⊥AF于點(diǎn)N，∵AN=EM=2=AF，∴，∴，綜上所述，CF的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形和圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，屬于綜合題，需要分類討論，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)是解題關(guān)鍵．12．（1）相似；（2）AB∥EC，理由見解析；（3）3．【分析】（1）結(jié)論：相似．先判斷出△BAC∽△DAE，即可得出結(jié)論．（2）利用等腰三角形的性質(zhì)證明∠ABC＝40°，∠ECB＝40°，推出∠解析：（1）相似；（2）AB∥EC，理由見解析；（3）3．【分析】（1）結(jié)論：相似．先判斷出△BAC∽△DAE，即可得出結(jié)論．（2）利用等腰三角形的性質(zhì)證明∠ABC＝40°，∠ECB＝40°，推出∠ABC＝∠ECB即可．（3）如圖3中，以P為圓心，PB為半徑作⊙P．利用圓周角定理證明∠BCE＝∠BPE＝40°，推出AB∥CE，因?yàn)辄c(diǎn)E在射線CE上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動(dòng)，所以當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)A重合時(shí)，AE的值最小，此時(shí)AE的最小值＝AB＝3．【詳解】解：（1）如圖①中，∵△ABC與△ACE為等腰三角形，且兩頂角∠ABC＝∠ADE，∴BA＝BC，DA＝DE，∴∠BAC＝∠DAE，∴△BAC∽△DAE，∴＝，∴＝，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE．故答案為：相似．（2）如圖2中，結(jié)論：AB∥EC．理由：∵∠BPE＝80°，PB＝PE，∴∠PEB＝∠PBE＝50°，∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，∴∠BDE＝90°，∴∠EBD＝90°﹣50°＝40°，∵AE垂直平分線段BC，∴EB＝EC，∴∠ECB＝∠EBC＝40°，∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠ABC＝∠ACB＝40°，∴∠ABC＝∠ECB，∴AB∥EC．故答案為50，AB∥EC．（2）如圖3中，以P為圓心，PB為半徑作⊙P．∵AD垂直平分線段BC，∴PB＝PC，∴∠BCE＝∠BPE＝40°，∵∠ABC＝40°，∴AB∥EC．如圖4中，作AH⊥CE于H，∵點(diǎn)E在射線CE上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)A重合時(shí)，AE的值最小，此時(shí)AE的最小值＝AB＝3．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定及圓的基本性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)題意得到三角形的相似，然后結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)得到問題答案，關(guān)鍵是要利用圓的基本性質(zhì)求解最值問題．13．（1）見解析；（2）∠B+∠D=180°；（3）【分析】（1）根據(jù)已知條件證明△EAF≌△GAF，進(jìn)而得到EF=FG，即可得到答案；（2）先作輔助線，把△ABE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△ADG，使AB和A解析：（1）見解析；（2）∠B+∠D=180°；（3）【分析】（1）根據(jù)已知條件證明△EAF≌△GAF，進(jìn)而得到EF=FG，即可得到答案；（2）先作輔助線，把△ABE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△ADG，使AB和AD重合，根據(jù)（1），要使EF=BE+DF，需證明△EAF≌△GAF，因此需證明F、D、G在一條直線上，即，即；（3）先作輔助線，把△AEC繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△AFB，使AB和AC重合，連接DF，根據(jù)已知條件證明△FAD≌△EAD，設(shè)DE=x，則DF=x，BF=CE=3﹣x，然后再中根據(jù)勾股定理即可求出x的值，即DE的長(zhǎng)．【詳解】（1）解：如圖，∵把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，使AB與AD重合，∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠DAG+∠DAF=45°，即∠EAF=∠GAF=45°，在△EAF和△GAF中∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF=GF，∵BE=DG，∴EF=GF=BE+DF；（2）解：∠B+∠D=180°，理由是：如圖，把△ABE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△ADG，使AB和AD重合，則AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG，∵∠B+∠ADC=180°，∴∠ADC+∠ADG=180°，∴F、D、G在一條直線上，和（1）類似，∠EAF=∠GAF=45°，在△EAF和△GAF中∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF=GF，∵BE=DG，∴EF=GF=BE+DF；故答案為：∠B+∠D=180°；（3）解：∵△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠C=45°，由勾股定理得：BC==4，如圖，把△AEC繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△AFB，使AB和AC重合，連接DF．則AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE，∵∠DAE=45°，∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC﹣∠DAE=90°﹣45°=45°，∴∠FAD=∠DAE=45°，在△FAD和△EAD中∴△FAD≌△EAD，∴DF=DE，設(shè)DE=x，則DF=x，∵BD=1，∴BF=CE=4﹣1﹣x=3﹣x，∵∠FBA=45°，∠ABC=45°，∴∠FBD=90°，由勾股定理得：，，解得：x=，即DE=．【點(diǎn)睛】本題綜合考查三角形的性質(zhì)和判定、正方形的性質(zhì)應(yīng)用、全等三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理等知識(shí)，解題關(guān)鍵在于正確做出輔助線得出全等三角形．14．（1）PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．理由見解析；（3）S△PMN最大＝．【分析】（1）由已知易得，利用三角形的中位線得出，，即可得出數(shù)量關(guān)系，再利用三角形的中位線得出得解析：（1）PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．理由見解析；（3）S△PMN最大＝．【分析】（1）由已知易得，利用三角形的中位線得出，，即可得出數(shù)量關(guān)系，再利用三角形的中位線得出得出，最后用互余即可得出位置關(guān)系；（2）先判斷出，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法由，即可得出結(jié)論；（3）方法1：先判斷出最大時(shí)，的面積最大，進(jìn)而求出，，即可得出最大，最后用面積公式即可得出結(jié)論．方法2：先判斷出最大時(shí)，的面積最大，而最大是，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）點(diǎn)，是，的中點(diǎn)，，，點(diǎn)，是，的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，，故答案為：，；（2）是等腰直角三角形．由旋轉(zhuǎn)知，，，，，，，利用三角形的中位線得，，，，是等腰三角形，同（1）的方法得，，，同（1）的方法得，，，，，，，，是等腰直角三角形；（3）方法1：如圖2，同（2）的方法得，是等腰直角三角形，最大時(shí)，的面積最大，且在頂點(diǎn)上面，最大，連接，，在中，，，，在中，，，，．方法2：由（2）知，是等腰直角三角形，，最大時(shí)，面積最大，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，，．【點(diǎn)睛】此題屬于幾何變換綜合題，主要考查了三角形的中位線定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判斷和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用；解（1）的關(guān)鍵是判斷出，，解（2）的關(guān)鍵是判斷出，解（3）的關(guān)鍵是判斷出最大時(shí)，的面積最大．15．（1）見解析；（2）2：1；（3）點(diǎn)Q是AB邊的四等分點(diǎn)，點(diǎn)E是AD邊的五等分點(diǎn)，理由見解析【分析】（1）如圖1，連接PC，根據(jù)正方形的性質(zhì)、HL定理證明△CD′P≌△CBP，根據(jù)全等三角形的性解析：（1）見解析；（2）2：1；（3）點(diǎn)Q是AB邊的四等分點(diǎn)，點(diǎn)E是AD邊的五等分點(diǎn)，理由見解析【分析】（1）如圖1，連接PC，根據(jù)正方形的性質(zhì)、HL定理證明△CD′P≌△CBP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論；（2）設(shè)BP＝x，根據(jù)翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、勾股定理列出方程，解方程即可；（3）如圖2，連接QM，證明Rt△AQM≌Rt△D′QM（HL），得到AQ＝D′Q，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，AQ＝QD′＝y(tǒng)，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可．【詳解】（1）證明：如圖1，連接PC．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∴∠MD′C＝∠D＝90°，∴∠CD′P＝∠B＝90°，在Rt△CD′P和Rt△CBP中，，∴Rt△CD′P≌Rt△CBP（HL），∴BP＝D′P；（2）解：設(shè)正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為1．則AM＝DM＝D′M＝．設(shè)BP＝x，則MP＝MD′+D′P＝DM+BP＝+x，AP＝1﹣x，在Rt△AMP中，根據(jù)勾股定理得AM2+AP2＝MP2．∴（）2+（1﹣x）2＝（+x）2，解得x＝，∴BP＝，AP＝，∴AP：BP＝2：1，故答案為：2：1．（3）解：點(diǎn)Q是AB邊的四等分點(diǎn)，點(diǎn)E是AD邊的五等分點(diǎn)．理由：如圖2，連接QM．∴∠QD′M＝180°﹣∠MD′C＝90°，∴∠QD′M＝∠A＝90°．在Rt△AQM和Rt△D′QM中，，∴Rt△AQM≌Rt△D′QM（HL），∴AQ＝D′Q，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，AQ＝QD′＝y(tǒng)，則QP＝AP﹣AQ＝﹣y．在Rt△QPD′中，根據(jù)勾股定理得QD′2+D′P2＝QP2．∵D′P＝BP＝，∴y2+（）2＝（﹣y）2，解得y＝．∴AQ：AB＝1：4，即點(diǎn)Q是AB邊的四等分點(diǎn)，∵EF∥AB，∴，即，解得AE＝．∴點(diǎn)E為AD的五等分點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握折疊的性質(zhì)及方程思想是解題的關(guān)鍵．16．（1）見解析；（2）EF＝；（3）BP＝．【分析】（1）過點(diǎn)A作AP∥EF，交BC于P，過點(diǎn)B作BQ∥GH，交CD于Q，如圖1，易證AP=EF，GH=BQ，△ABP∽△BCQ，然后運(yùn)用相似三角形解析：（1）見解析；（2）EF＝；（3）BP＝．【分析】（1）過點(diǎn)A作AP∥EF，交BC于P，過點(diǎn)B作BQ∥GH，交CD于Q，如圖1，易證AP=EF，GH=BQ，△ABP∽△BCQ，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)就可解決問題；(2)連接BD，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出BD的長(zhǎng)，再根據(jù)結(jié)論（1）得出，進(jìn)而可求出EF的長(zhǎng).（3）過點(diǎn)F作FH⊥EG于H，過點(diǎn)P作PJ⊥BF于J．根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AD、CD的長(zhǎng)，由結(jié)論（1）可得出DG的長(zhǎng)，再由勾股定理得出AG的長(zhǎng)，然后根據(jù)翻折的性質(zhì)結(jié)合勾股定理得出四邊形HGPF是矩形，進(jìn)而得出FH的長(zhǎng)度，最后根據(jù)相似三角形得出BJ、PJ的長(zhǎng)度就可以得出BP的長(zhǎng)度.【詳解】（1）如圖①，過點(diǎn)A作AP∥EF，交BC于P，過點(diǎn)B作BQ∥GH，交CD于Q，BQ交AP于T．∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．∴四邊形AEFP、四邊形BGHQ都是平行四邊形，∴AP＝EF，GH＝BQ．又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，∴∠BAT+∠ABT＝90°．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABP＝∠C＝90°，AD＝BC，∴∠ABT+∠CBQ＝90°，∴∠BAP＝∠CBQ，∴△ABP∽△BCQ，∴,∴.（2）如圖②中，連接BD．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AB＝CD＝2，∴BD＝,∵D，B關(guān)于EF對(duì)稱，∴BD⊥EF，∴,∴,∴EF＝.（3）如圖③中，過點(diǎn)F作FH⊥EG于H，過點(diǎn)P作PJ⊥BF于J．∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，∠A＝90°，∴=,∴DG＝，∴AG＝＝1，由翻折可知：ED＝EG，設(shè)ED＝EG＝x，在Rt△AEG中，∵EG2＝AE2+AG2，∴x2＝AG2+AE2，∴x2＝（3﹣x）2+1，∴x＝，∴DE＝EG＝，∵FH⊥EG，∴∠FHG＝∠HGP＝∠GPF＝90°，∴四邊形HGPF是矩形，∴FH＝PG＝CD＝2，∴EH＝，∴GH＝FP＝CF＝EG﹣EH＝﹣＝1，∵PF∥EG，EA∥FB，∴∠AEG＝∠JPF，∵∠A＝∠FJP＝90°，∴△AEG∽△JFP，∴，∴，∴FJ＝，PJ＝，∴BJ＝BC﹣FJ﹣CF＝3﹣﹣1＝，在Rt△BJP中，BP＝．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，屬于中考?jí)狠S題．17．（1）120°，BD=AC；（2）不成立，理由詳見解析；（3）或．【分析】（1）過點(diǎn)D作DE⊥BC，通過線段之間的轉(zhuǎn)換得到AC與DE之間的關(guān)系，在直角三角形BDE中通過BD與DE的關(guān)系，得到BD解析：（1）120°，BD=AC；（2）不成立，理由詳見解析；（3）或．【分析】（1）過點(diǎn)D作DE⊥BC，通過線段之間的轉(zhuǎn)換得到AC與DE之間的關(guān)系，在直角三角形BDE中通過BD與DE的關(guān)系，得到BD,AC之間的關(guān)系.（2）類比（1）的解法，找線段之間的關(guān)系.(3)分情況進(jìn)行討論，畫出符合題意得圖形進(jìn)行求解.【詳解】解：（1）如圖3，過點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E，設(shè)BC=m．在Rt△ABC中，∠BAC=30°，由BC=AB·tan30°，BC=AC·sin30°，得AC=2m，BC=m，∵AC=AD，∠CAD=2×30°=60°，∴△ACD為等邊三角形，∴∠ACD=60°，CD=AC=2m，∴∠BCD=60°×2=120°，在Rt△DEC中，∠DCE=180°-120°=60°，DC=2m，∴CE=CD·cos60°=m，DE=CE·tan60°=m，∴在Rt△BED中，BD==，∴==，故BD=AC．故答案為：120°；BD=AC．（2）不成立，理由如下：設(shè)BC=n，在Rt△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=90°，∴BC=AB=m，AC=BC=n，∵AC=AD，∠CAD=90°，∴△CAD為等腰直角三角形，∴∠ACD=45°，CD=AC=2n，∴∠BCD=2×45°=90°，在Rt△BCD中，BD==，∴==，，故BD=AC．答案為：90°；BD=AC．故結(jié)論不成立．（3）AP的長(zhǎng)為或．；解答如下：∵PB=PC，∴點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上，∵∠BAC=∠BCP=90°，故A、B、C、P四點(diǎn)共圓，以線段BC的中點(diǎn)為圓心構(gòu)造⊙O，如圖4，圖5，分類討論如下：①當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上方時(shí)，如圖4，作PM⊥AC，垂足為M，設(shè)PM=x．∵PB=PC，∠BPC=90°，∴△PBC為等腰直角三角形，∴∠PBC=45°，∵∠PAC=∠PBC=45°，∴△AMP為等腰直角三角形，∴AM=PM=x，AP=PM=x，在Rt△ABC中，AB=2，AC=4，∴BC==，∴PC=BC·sin45°=，在Rt△PMC中，∵∠PMC=90°，PM=x，PC=，CM=4-x，∴，解得：，（舍），∴AP==；②當(dāng)點(diǎn)P在直線BC的下方時(shí)，如圖5，作PN⊥AB的延長(zhǎng)線，垂足為N，設(shè)PN=y．同上可得PB=，△PAN為等腰三角形，∴AN=PN=y，∴BN=y-2，在Rt△PNB中，∵∠PNB=90°，PN=y，BN=y-2，PB=，∴，解得：，（舍），∴AP==．故AP的長(zhǎng)度為：或．【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、以及旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，掌握類比思想解題是解決本題的關(guān)鍵．18．（1）①EF=BE+DF；②成立，理由見解析；（2）．【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，求出∠EAF=∠GAF=45°，根據(jù)SAS推出△EAF≌△GA解析：（1）①EF=BE+DF；②成立，理由見解析；（2）．【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，求出∠EAF=∠GAF=45°，根據(jù)SAS推出△EAF≌△GAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=GF，即可求出答案；②根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)把△ABE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△ADG，使AB和AD重合，得出AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG，推出C、D、G在一條直線上，根據(jù)SAS推出△EAF≌△GAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=GF，即可得出結(jié)果；

（2）把△AEC繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△AFB，使AB和AC重合，連接DF．根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)和勾股定理求出∠ABC=∠C=45°，BC=4，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE，求出∠FAD=∠DAE=45°，證△FAD≌△EAD，根據(jù)全等得出DF=DE，設(shè)DE=x，則DF=x，BF=CE=3-x，根據(jù)勾股定理得出方程，求出x即可．【詳解】解：（1）①如圖1中，∵把△ABE繞點(diǎn)A