第8講常常被你忽視的定積分定積分是高考數(shù)學理科試卷?？紗栴},一般以客觀題形式出現(xiàn),主要考查求定積分及利用定積分求曲邊多邊形的面積,難度是中等或中等以下,在高考試題中屬于得分題,但由于教材中定積分的內容比較少,安排的課時比較少,教學中對其重視不夠,致使相當一部分同學對定積分概念及幾何意義理解不清,在基礎試題上失分,實在可惜.總結近幾年高考試卷定積分失分情況主要有以下幾種類型：求對被積函數(shù)與原函數(shù)關系不清或求原函數(shù)出錯,不會用函數(shù)的奇偶性求求積分,不會用面積法求積分,對定積分幾何意義理解不清致誤或求解方法不正確，以定積分為載體，與其他數(shù)學知識綜合．下面對這幾類典型問題進行扼要剖析,供同仁們教學參考，學生備戰(zhàn)2024高考的培優(yōu)專題.定積分是高考數(shù)學理科試卷?？紗栴},一般以客觀題形式出現(xiàn),主要考查求定積分及利用定積分求曲邊多邊形的面積,難度是中等或中等以下,在高考試題中屬于得分題,但由于教材中定積分的內容比較少,安排的課時比較少,教學中對其重視不夠,致使相當一部分同學對定積分概念及幾何意義理解不清,在基礎試題上失分,實在可惜.總結近幾年高考試卷定積分失分情況主要有以下幾種類型：求對被積函數(shù)與原函數(shù)關系不清或求原函數(shù)出錯,不會用函數(shù)的奇偶性求求積分,不會用面積法求積分,對定積分幾何意義理解不清致誤或求解方法不正確，以定積分為載體，與其他數(shù)學知識綜合．下面對這幾類典型問題進行扼要剖析,供同仁們教學參考，學生備戰(zhàn)2024高考的培優(yōu)專題.題型一題型一求對被積函數(shù)與原函數(shù)關系不清或求原函數(shù)出錯名師導航要求定積分首先要要求出被積函數(shù)的原函數(shù)名師導航要求定積分首先要要求出被積函數(shù)的原函數(shù),為此對高中階段我們需要掌握的函數(shù)如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、五個特殊的冪函數(shù)、三角函數(shù)、對勾函數(shù)等要會求其定積分．當被積函數(shù)比較復雜,看不出原函數(shù)時,我們可以先化簡,再積分.【典例1】(直接求原函數(shù)）【人教新課標A版2-2第47頁例1】利用定積分的定義，計算的值解析：【典例2】(先化簡，再求原函數(shù)）=（）A．B．C．D．解析：,故選C．【典例3】(先求積分邊界）二項式的展開式中，含項的系數(shù)為，則（）A． B． C．1 D．解析：二項式的展開式的通項為令，根據(jù)題意含項的系數(shù).選C【典例4】(求被積函數(shù)的解析式）已知,則實數(shù)的值為（）A．B．C．D．解析：根據(jù)題意有,解得故選B．能力達標訓練1.已知，則的值為（）A．B．C．D．解析：.2.（）A．B．C．D．解析：由題意得.3.()A．0B．C．D．解析：．選B．4.（2014·陜西高考真題（理））定積分的值為()A． B． C． D．解析：=.故選C.5.（2014·江西高考真題（理））若,則（）A． B． C． D．解析：設，故選B．6.若，，，則（）A．B．C．D．解析：，，故選D.7.【2015高考，理13】.解析：.題型二題型二奇偶性與定積分名師導航名師導航奇函數(shù)與偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分（簡稱：“偶倍奇零”，秒殺選填）（1）若為偶函數(shù)，且在關于原點對稱的區(qū)間上連續(xù),則；（2）若為奇函數(shù)，且在關于原點對稱的區(qū)間上連續(xù),則?！镜淅?】計算（）A． B．0 C．1 D．-1解析：因為在上為奇函數(shù)，所以.故選：B能力達標訓練8._______．解析：由于的被積函數(shù)是奇函數(shù)，而積分區(qū)間關于原點對稱.故答案為：0.9.___________．解析：【答案】1題型三題型三用面積法求積分常被遺忘的定積分名師導航名師導航當被積函數(shù)的原函數(shù)不易求出，常利用定積分的幾何意義求定積分,高中階段一些被積函數(shù)是二次根式的一般用面積法去求,求的時候注意取值區(qū)間.【典例6】定積分的值為（）A．B．C．D．解析：法一換元求原函數(shù)法，令,則則故應選C．法二換元挖掘被積函數(shù)的幾何意義法，四分之一的圓面【典例7】．解析：,表示的幾何意義是以為圓心,1為半徑,四分之一圓的面積為,,能力達標訓練10.定積分的值為（）A．B．C．D．解析：【答案】A11.（）．A． B． C． D．解析：由題意，，如圖：的大小相當于是以為圓心，以1為半徑的圓的面積的，故其值為，，所以，，所以本題選D.12.（）A． B．8 C． D．解析：由，根據(jù)定積分的幾何意義可得表示以原點為圓心，半徑為2的上半圓的面積所以，又由所以.故選：D.13.（2021·高二月考（理））___________.解析：，根據(jù)定積分的幾何意義可知，表示以為圓心，1為半徑的圓的四分之一面積，所以，而，所以．故答案為：.14.（2022·高二期中（理））___________.【答案】；【分析】利用定積分的幾何意義及其計算公式求解.【解析】，由定積分的幾何意義可知等于半徑為的半圓的面積，即，，所以.故答案為：15.（2021·高二期中（理））已知函數(shù)，則＝_______．解析：令它表示單位圓在第一象限的個圓，因為表示個圓的面積所以.所以.故答案為：．16.________解析：因，而，，應填答案．題型四題型四利用定積分求平面圖形面積問題名師導航（名師導航（1）利用定積分求平面圖形面積的步驟：①根據(jù)題意畫出圖形；②借助圖形確定出被積函數(shù)，求出交點坐標，確定積分的上、下限；③把曲邊梯形的面積表示成若干個定積分的和；④計算定積分，寫出答案．（2）已知圖形的面積求參數(shù)求解此類題的突破口：畫圖，一般是先畫出它的草圖；然后確定積分的上、下限，確定被積函數(shù)，由定積分求出其面積，再由已知條件可找到關于參數(shù)的方程，從而可求出參數(shù)的值．【典例8】求曲線與所圍成的圖形的面積，正確的是()A．B．C．D．解析：如圖所示故選A.【典例9】由直線，，曲線及軸所圍圖形的面積是（）A． B． C． D．解析：如圖，由直線，，曲線及軸所圍圖形的面積：.故選：A【典例10】已知函數(shù)的圖象如圖所示，x軸與曲線相切于原點，所圍成的區(qū)域(陰影)面積為.（1）求的解析式；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的值域.解析：（1）由得，，由得，∴，令，得或，由圖知，即，則易知圖中所圍成的區(qū)城(陰影)面積為，即，從而得，∴.（2）由（1）知，令，解得或，由題，的變化情況如下表：01+0-0+單調遞增極大值0單調遞減極小值單調遞增①當時，在上單調遞減，所以，即；②當時，在上單調遞減，在上單調遞增，所以，即；③當時，在上單調遞減，在上單調遞增，所以，即，綜上可知：當時，值域為；當時，值域為；當時，值域為.能力達標訓練17.函數(shù)的圖象如圖所示，則陰影部分的面積是（）A．B．C．D．解析：所求面積為．18.（2011·全國高考真題（理））由曲線，直線及y軸所圍成的圖形的面積為（）A． B．4 C． D．6解析：由題意，曲線，直線及y軸所圍成的圖形如圖陰影部分所示：聯(lián)立方程，可得點，因此曲線，直線及y軸所圍成的圖形的面積為：．故選：C．20.（2015·天津高考真題（理）改編）曲線與直線圍成圖形的面積為（）A． B． C． D．9解析：由直線與曲線，解得或，所以直線與曲線的交點為和，因此，直線與曲線所圍成的封閉圖形的面積是.故選：C.21.曲線與直線圍成的封閉圖形的面積為______．解析：由，可得或，則根據(jù)積分的幾何意義可知所求的幾何面積，故答案為：．22.如圖，陰影部分是由曲線和及軸圍成的封閉圖形，則陰影部分的面積為______.解析：曲線和圓的在第一象限的交點為，

則直線OA的方程為：，

如圖，則直線OA與拋物線所圍成的面積，

又扇形AOB圓心角為，則扇形AOB的面積，

所以陰影部分的面積.故答案為.23.曲線和曲線圍成一個葉形圖（如圖所示陰影部分），其面積是________．解析：設陰影部分面積為S，由題意得兩個圖象的交點為，.故答案為:.24.曲線與直線及所圍成的封閉圖形的面積為__________．解析：令，解得（舎）或．25.如圖，所求面積為由y＝﹣x2+2x+1，y＝x，x＝1，x＝0圍成封閉圖形的面積為_____.解析：畫出圖象如下圖所示，則封閉圖形的面積為.．26.（2021·全國高二單元測試）函數(shù)，與y軸在第一象限內所圍成平面圖形的面積為______.解析：由題意知，所成平面圖形如下圖陰影部分所示，∴27.（2022·全國高二單元測試）曲線y＝sinx與直線所圍成圖形的面積是________.解析：由題意和定積分的意義可得所求面積，28.（2012·上海高考真題（理））已知函數(shù)的圖象是折線段ABC，若中A(0,0)，B(,1)，C(1,0).函數(shù)的圖象與x軸圍成的圖形的面積為.解析：依題意,當時,f(x)=2x,當時,f(x)=?2x+2，，的圖象與x軸圍成的圖形的面積為，故答案為題型五題型五定積分與幾何概率結合名師導航名師導航與幾何概率相交匯問題：解決此類問題應先利用定積分求出相應平面圖形的面積，再用相應幾何概率公式進行計算.【典例11】如圖，在直角坐標系中，過坐標原點作曲線的切線，切點為，過點分別作軸的垂線，垂足分別為，向矩形中隨機撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為（）A． B． C． D．【答案】A；【分析】先設出切點，利用切線過原點求出切點P的坐標，再用積分求出陰影部分的面積，最后用幾何概型求得結果.【解析】設切點，所以切線方程，又因為過原點所以解得，所以點P因為與軸在圍成的面積是則陰影部分的面積為，而矩形的面積為故向矩形中隨機撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為故選A【典例12】曲線及圍成的平面區(qū)域如圖所示，向正方形中隨機投入一個質點，則質點落在陰影部分區(qū)域的概率為___________.解析：由得或，所以陰影部分的面積為，，所以質點落在陰影部分區(qū)域的概率為，故答案為：.能力達標訓練29.設直線與軸交于點，與曲線交于點，為原點，記線段，及曲線圍成的區(qū)域為．在內隨機取一個點，已知點取在內的概率等于，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．解析：聯(lián)立，解得．則曲邊梯形的面積為，∵在內隨機取一個點，點取在內的概率等于，∴點P取在陰影部分的概率等于，∴圖中陰影部分的面積為．故選：B．30.（2012·福建高考真題（理））如圖所示，在邊長為1的正方形OABC中任取一點P，則點P恰好取自陰影部分的概率為（）A． B． C． D．【答案】C；【解析】試題分析：由三角形面積為，，所以陰影部分面積為，所求概率為31.（2010新課標）設為區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，且恒有，可以用隨機模擬方法近似計算積分，先產(chǎn)生兩組（每組個）區(qū)間上的均勻隨機數(shù)和，由此得到N個點，再數(shù)出其中滿足的點數(shù)，那么由隨機模擬方案可得積分的近似值為．解析：由題意可知得，故積分的近似值為．32.（2015·福建高考真題（理））如圖，點的坐標為，點的坐標為，函數(shù)，若在矩形內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于___________．【解析】試題分析：此點取自陰影部分的概率為：.35.如圖，在邊長為1的正方形內隨機取一點，則此點恰好取自曲線下方與正方形所圍成陰影部分的概率為______.解析：正方形的面積為：，陰影部分的面積為，所以此點恰好取自曲線下方與正方形所圍成陰影部分的概率為.故答案為：題型六題型六定積分在物理學應用名師導航（名師導航（1）變速直線運動的路程做變速直線運動的物體所經(jīng)過的路程s，等于其速度函數(shù)v=v(t)(v(t)≥0)在時間區(qū)間[a，b]上的定積分，即.（2）變力做功一物體在恒力F(單位：N)的作用下做直線運動，如果物體沿著與F相同的方向移動了sm，則力F所做的功為W=Fs.如果物體在變力F(x)的作用下沿著與F(x)相同的方向從x=a移動到x=b，則變力F(x)做的功..【典例13】（2022·高三三模（理））一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度（t的單位：s，v的單位：）行駛至停止．在此期間汽車繼續(xù)行駛的距離（單位：m）是（）A． B． C． D．解析：令v（t）=0得，3t2?4t?32=0，解得t=4(舍去)．汽車的剎車距離是故選：C【典例14】一物體在力（x的單位：m，F(xiàn)的單位：N）的作用，沿著于力F相同的方向，從處運動到處，力F(x)所做的功是（

）A．16N B．64N C．40N D．52N解析：由題可得（N）.故選：C.【典例15】把一個帶＋q電量的點電荷放在r軸上坐標原點處，形成一個電場，已知在該電場中，距離坐標原點為r處的單位電荷受到的電場力由公式F＝k(其中k為常數(shù))確定．在該電場中，一個單位正電荷在電場力的作用下，沿著r軸的方向從r＝a處移動到r＝b(a<b)處，則電場力對它所作的功為________．A．k－kB．kC．kD．k+k解析：.故選A.能力達標訓練36.汽車以v=(3t+2)m/s做變速運動時,在第1s至第2s之間的1s內經(jīng)過的路程是()A.5m B.112m C.6m D.13解析：s=37.已知自由落體運動的速度，則自由落體運動從到所走過的路程為（）A．1g B． C． D．解析：因為自由落體運動的速度，所以路程，故選：B38.（2021·全國高二單元測試）變速直線運動的物體的速度為，初始時所在位置為，則當秒末它所在位置為（）A．B．C．D．解析：由題意，可得物體的位移為定積分，所以當秒末它所在位置為．故選：B.39.一物體在力(單位：)的作用下沿與相同的方向，從處運動到(單位：)處，則力做