2025年大學《統(tǒng)計學》專業(yè)題庫——時間序列分析與預測模型考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共20分。請將正確選項的字母填在題后的括號內）1.時間序列數(shù)據(jù)按其數(shù)值隨時間變化的方式，通?？梢苑譃槟男┲饕煞郑浚ǘ噙x）A.趨勢成分B.季節(jié)成分C.循環(huán)成分D.隨機成分E.平均成分2.對于一個平穩(wěn)的時間序列，其統(tǒng)計特性（如均值、方差）是否隨時間變化？A.是，隨時間線性變化B.是，隨時間非線性變化C.否，不隨時間變化D.只有均值不隨時間變化，方差隨時間變化3.移動平均法（MovingAverage,MA）適用于平滑時間序列數(shù)據(jù)。當移動平均的窗口大小N增大時，其平滑效果和對近期數(shù)據(jù)的敏感度會發(fā)生什么變化？A.平滑效果增強，對近期數(shù)據(jù)敏感度增強B.平滑效果增強，對近期數(shù)據(jù)敏感度減弱C.平滑效果減弱，對近期數(shù)據(jù)敏感度增強D.平滑效果減弱，對近期數(shù)據(jù)敏感度減弱4.指數(shù)平滑法（ExponentialSmoothing）中，霍爾特（Holt）模型適用于處理具有什么特征的時間序列？A.只有趨勢成分B.只有季節(jié)性成分C.同時具有趨勢和隨機成分，但沒有季節(jié)性成分D.同時具有趨勢和季節(jié)性成分5.在構建自回歸移動平均模型（ARIMA(p,d,q)）時，參數(shù)d代表什么含義？A.模型中的自回歸階數(shù)pB.模型中的移動平均階數(shù)qC.對非平穩(wěn)序列進行差分的次數(shù)D.模型的季節(jié)性周期長度6.為了判斷ARIMA模型的殘差是否為白噪聲，常用的統(tǒng)計檢驗方法是？A.F檢驗B.t檢驗C.Ljung-BoxQ檢驗（LBQ檢驗）D.Durbin-Watson檢驗7.對于一個非平穩(wěn)的時間序列數(shù)據(jù)進行單位根檢驗（如ADF檢驗），如果檢驗結果拒絕原假設（存在單位根），這意味著什么？A.序列是平穩(wěn)的B.序列是非平穩(wěn)的，可以進行差分處理使其平穩(wěn)C.序列存在強烈的季節(jié)性D.序列的方差隨時間變化8.自相關函數(shù)（ACF）和偏自相關函數(shù)（PACF）在判斷ARIMA模型階數(shù)p和q時提供了哪些信息？A.ACF和PACF都是截尾的，可用于判斷AR階數(shù)；ACF是拖尾的，PACF是截尾的，可用于判斷MA階數(shù)B.ACF和PACF都是拖尾的，可用于判斷MA階數(shù)；ACF是截尾的，PACF是拖尾的，可用于判斷AR階數(shù)C.ACF和PACF都是拖尾的，無法判斷模型階數(shù)D.ACF和PACF都是截尾的，無法判斷模型階數(shù)9.衡量時間序列預測誤差的常用指標不包括以下哪個？A.平均絕對誤差（MAE）B.均方誤差（MSE）C.平均絕對百分比誤差（MAPE）D.決定系數(shù)（R2）10.某公司月度銷售額數(shù)據(jù)顯示出明顯的線性增長趨勢和固定的月度季節(jié)波動。最適合用于預測其未來幾個月銷售額的模型可能是？A.簡單指數(shù)平滑模型B.季節(jié)性ARIMA模型（如SARIMA）C.不含季節(jié)性的ARIMA模型（如ARIMA）D.線性回歸模型（使用時間作為自變量）二、填空題（每空2分，共20分。請將答案填在題中的橫線上）1.時間序列的分解方法通常將序列分解為______、______、______和隨機波動成分。2.指數(shù)平滑法中，平滑系數(shù)α的取值范圍通常在______與______之間。3.ARIMA(2,1,1)模型表示該模型是一個______階的自回歸模型，需要______次差分使其平穩(wěn)，并包含______階的移動平均項。4.繪制自相關圖（ACF）和偏自相關圖（PACF）是識別ARIMA模型中參數(shù)p和q的重要輔助手段。對于MA(q)模型，其ACF圖通常是______的，而PACF圖在滯后q之后會______。5.在進行時間序列預測時，預測區(qū)間寬度和預測水平（預測時期遠近）之間通常存在______關系。三、計算題（每題10分，共30分）1.給定時間序列數(shù)據(jù)：4,6,7,9,11,13,14。請計算其三階移動平均（簡單平均）和三階指數(shù)平滑值（設初始值S?=4，平滑系數(shù)α=0.3）。2.假設一個時間序列滿足ARIMA(1,1,1)模型，其自回歸系數(shù)φ?=0.6，移動平均系數(shù)θ?=0.4。請寫出該模型的差分方程形式，并求出其通解形式（假設初始條件已滿足）。3.某時間序列的觀測值為：Y?=10,Y?=12,Y?=13,Y?=15,Y?=17。計算其一階差分（ΔY?=Y?-Y???），并判斷該序列是否平穩(wěn)（無需進行統(tǒng)計檢驗，僅根據(jù)差分后數(shù)據(jù)的趨勢判斷）。四、分析題（每題15分，共30分）1.假設你正在分析一個月度銷售數(shù)據(jù)，繪制了其時間序列圖和自相關圖（ACF）與偏自相關圖（PACF）。時間序列圖顯示數(shù)據(jù)有明顯的向上趨勢，ACF圖呈拖尾狀，PACF圖在滯后1和滯后2處顯著，之后迅速衰減至零。根據(jù)這些信息，初步判斷適合的ARIMA模型階數(shù)是什么？請說明你的判斷依據(jù)。2.比較簡單指數(shù)平滑法、霍爾特（Holt）模型和ARIMA(0,1,1)模型在處理具有趨勢的時間序列數(shù)據(jù)時的優(yōu)缺點。在什么情況下，你可能會選擇使用其中一種模型而不是其他兩種？請簡要說明理由。試卷答案一、選擇題1.ABCD2.C3.B4.C5.C6.C7.B8.B9.D10.B二、填空題1.趨勢成分季節(jié)成分循環(huán)成分2.013.二一一4.拖尾衰減至零（或趨于零）5.正相關（或正向）三、計算題1.三階移動平均（簡單平均）：*MA?=(4+6+7)/3=5.0*MA?=(6+7+9)/3=7.0*MA?=(7+9+11)/3=9.0*MA?=(9+11+13)/3=11.0*MA?=(11+13+14)/3=12.0*結果：5.0,7.0,9.0,11.0,12.0*三階指數(shù)平滑值（α=0.3）：*S?=4(初始值)*S?=α*Y?+(1-α)*S?=0.3*6+0.7*4=5.2*S?=α*Y?+(1-α)*S?=0.3*7+0.7*5.2=5.74*S?=α*Y?+(1-α)*S?=0.3*9+0.7*5.74=6.618*S?=α*Y?+(1-α)*S?=0.3*11+0.7*6.618=7.6326*S?=α*Y?+(1-α)*S?=0.3*13+0.7*7.6326=8.74382*結果：4.0,5.2,5.74,6.618,7.633,8.7442.差分方程形式：*由ARIMA(1,1,1)定義，有ΔY?=Y?-Y???≈φ?(Y???-Y???)+θ?(Y?-Y???)*展開并整理：ΔY?=φ?ΔY???+(θ?-φ?)Y???*通解形式（齊次部分）：*對應特征方程：1-φ?z?1-θ?z?2=0=>z2-φ?z-θ?=0*代入φ?=0.6,θ?=0.4：z2-0.6z-0.4=0*解得：z=1或z=-0.4*齊次通解：Y??<0xE2><0x82><0x96>=C?(1)?+C?(-0.4)?=C?+C?(-0.4)?3.一階差分：*ΔY?=Y?-Y?=10-0=10(假設Y?=0或前值)*ΔY?=Y?-Y?=12-10=2*ΔY?=Y?-Y?=13-12=1*ΔY?=Y?-Y?=15-13=2*ΔY?=Y?-Y?=17-15=2*結果：10,2,1,2,2*平穩(wěn)性判斷：差分后序列（2,1,2,2,...）圍繞零均值波動，雖然波動幅度有變化，但無明顯趨勢或周期，初步判斷該序列在差分后可能趨于平穩(wěn)（或至少比原序列更平穩(wěn)）。四、分析題1.適合的ARIMA模型階數(shù)初步判斷：ARIMA(2,0,0)或ARIMA(2,1,1)。*判斷依據(jù)：*時間序列圖有趨勢，表明可能需要差分（d≥1）。ACF拖尾提示可能需要一階差分使其平穩(wěn)，PACF在滯后1和2處顯著，之后衰減，提示模型中可能包含AR(1)和AR(2)項。結合趨勢和PACF信息，ARIMA(2,1,0)或ARIMA(2,1,1)是可能的候選模型。如果數(shù)據(jù)經(jīng)過一階差分后已平穩(wěn)（即差分序列的ACF和PACF顯示拖尾），則可能是ARIMA(2,1,0)。題目未說明是否已差分，因此兩者都可能是初步判斷結果。若必須選一個，通常優(yōu)先考慮包含MA項的SARIMA形式以應對潛在季節(jié)性，但題目未明確季節(jié)性，故ARIMA(2,1,0)或(2,1,1)更直接基于ACF/PACF信息。2.比較與選擇理由：*簡單指數(shù)平滑法（SES）：*優(yōu)點：簡單易行，計算量小，需要少量數(shù)據(jù)。*缺點：只能捕捉水平變化，無法處理趨勢和季節(jié)性。*霍爾特（Holt）模型：*優(yōu)點：能處理具有趨勢的序列，比SES更靈活。*缺點：無法捕捉季節(jié)性變化。*ARIMA(0,1,1)模型（即一階差分后的白噪聲模型，或簡單MA(1)模型）：*優(yōu)點：能處理具有趨勢的序列（通過差分），MA(1)能捕捉一定的隨機波動。*缺點：MA(1)的預測能力有限，對近期觀測值的依賴性強。*選擇依據(jù)：*若序列只有趨勢，無季節(jié)性，且波動相對平穩(wěn)（或可被MA(1)描述），可選Holt模型或ARIMA(0,1,1)。*若序列只有趨勢，無季節(jié)性，但波動較大，可選ARIMA(0,1,1)（MA階數(shù)可能需要調整）。*若序列只有季節(jié)性，無趨勢，可選SARI