第二章二次函數(shù)4二次函數(shù)的應(yīng)用第2課時利用二次函數(shù)解決拋物線形運動與建筑問題

1.

對于實際生活中的橋拱、噴水等拋物線形問題時，先

建立合適的

坐標(biāo)系

，再求

拋物線的表達式

，然后

利用

函數(shù)圖象性質(zhì)

來解決問題.2.

自由落體運動都滿足某一函數(shù)表達式，可由三組對

應(yīng)值求出

函數(shù)表達式

，然后利用圖象的性質(zhì)來解決

問題.坐標(biāo)系拋物線的表達式函數(shù)圖象性質(zhì)函數(shù)表達式

拋物線形問題【例1】三孔橋橫截面的三個孔都呈拋物線形，兩小孔形

狀、大小完全相同.當(dāng)水面剛好淹沒小孔時，大孔水面寬

度為10

m，孔頂離水面1.5

m；當(dāng)水位下降，大孔水面寬

度為14

m時，單個小孔的水面寬度為4

m，若大孔水面寬

度為20

m，則單個小孔的水面寬度為（B）B

拱橋是最典型的拋物線形問題，一般情況下都以水

平面為橫軸，經(jīng)過拋物線的頂點與橫軸垂直的直線為縱

軸建立直角坐標(biāo)系，再根據(jù)相關(guān)參照數(shù)據(jù)求出函數(shù)表達

式，從而解決問題.

自由落體問題【例2】豎直上拋物體時，物體離地面的高度h（m）與運

動時間t（s）之間的關(guān)系可以近似地用公式h＝－5t2＋

v0t＋h0表示，其中h0（m）是物體拋出時離地面的高度，

v0（m/s）是物體拋出時的速度.某人將一個小球從距地面

1.5

m的高處以20

m/s的速度豎直向上拋出，小球達到的

離地面的最大高度為

21.5

m.21.5

一般情況下，自由落體運動的函數(shù)表達式都是未知

的.若已知三組對應(yīng)值，也可利用待定系數(shù)法求出函數(shù)表

達式，然后配方求出最大值或最小值.

1.

一小球被拋出后，距離地面的高度h（m）和飛行時間

t（s）滿足下面的函數(shù)表達式：h＝－5t2＋10t＋1，則小

球距離地面的最大高度是（C）A.1mB.5mC.6mD.10mC

A.2

mB.4

m第2題圖D

8第3題圖4.

根據(jù)物理學(xué)規(guī)律，如果不考慮空氣阻力，以40

m/s的

速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出，小球的飛行高

度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)

系是h＝－5t2＋20t，當(dāng)飛行時間t為

2

s時，小球達到

最高點.25.

如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂離水面2

m時，水面寬6

m，水面下降

m，水面寬8

m.第5題圖

6.

如圖，“東方之門”通過簡單的幾何曲線處理，將傳

統(tǒng)文化與現(xiàn)代建筑融為一體，最大限度地傳承了蘇州的歷

史文化.“門”內(nèi)側(cè)曲線呈拋物線，已知其底部寬度為80

m，高度為200

m，則離地面150

m處的水平寬度為

40

m.40第6題圖

第7題圖8.

小聰設(shè)計獎杯，從拋物線形狀上獲得靈感，在平面直

角坐標(biāo)系中畫出截面示意圖，如圖（1），杯體ACB是拋

物線的一部分，拋物線的頂點C在y軸上，杯口直徑AB＝

4，且點A，B關(guān)于y軸對稱，杯腳高CO＝4，杯高DO＝8，杯底MN在x軸上.第8題圖（1）求杯體ACB所在拋物線的函數(shù)表達式；（不必寫出

x的取值范圍）解：（1）∵CO＝4，∴頂點C（0，4）.設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為y＝ax2＋4.∵AB＝4，∴AD＝DB＝2.∵DO＝8，∴A（－2，8），B（2，8）.將B（2，8）代入y＝ax2＋4，得8＝a×22＋4，解得a＝1，∴該拋物線的函數(shù)表達式為y＝x2＋4.（2）為使獎杯更加美觀，小敏提出了改進方案，如圖

（2），杯體A'CB'所在拋物線形狀不變，杯口直徑

A'B'∥AB，杯腳高CO不變，杯深CD'與杯高OD'之比的比值為0.6，求A'B'的長.

CA.

當(dāng)h＝20

m時，對應(yīng)兩個不同的時刻點B.

當(dāng)h＝25

m時，對應(yīng)一個時刻點C.

當(dāng)h＝15

m時，對應(yīng)兩個不同的時刻點D.

h取任意值，均對應(yīng)兩個不同的時刻點10.

小明和小麗先后從A地出發(fā)沿同一直道去B地.設(shè)小麗

x

min時，小麗、小明離B地的距離分別為y1

m，y2

m.y1與

x之間的函數(shù)表達式是y1＝－180x＋2

250，y2與x之間的

函數(shù)表達式是y2＝－10x2－100x＋2

000.（1）小麗出發(fā)時，小明離A地的距離為

250

m.250（2）小麗出發(fā)至小明到達B地這段時間內(nèi)，兩人何時相

距最近？最近距離是多少？解：（2）設(shè)小麗出發(fā)第xmin時，兩人相距sm，則s＝（－180x＋2250）－（－10x2－100x＋2000）＝

10x2－80x＋250＝10（x－4）2＋90，∴當(dāng)x＝4時，smin＝90，即小麗出發(fā)第4min時，兩人相距最近，最近距離是90m.

11.

用各種盛水容器可以制作精致的家用流水景觀，如圖

（1）.科學(xué)原理：如圖（2），始終盛滿水的圓柱體水桶水面離

地面的高度為H（單位：cm），如果在離水面豎直距離為h（單位：cm）的地方開大小合適的小孔，那么從小孔射出水的射程（水流落地點離小孔的水平距離）s（單位：cm）與h的表達式為s2＝4h（H－h(huán)）.應(yīng)用思考：現(xiàn)用高度為20

cm的圓柱體塑料水瓶做相關(guān)研

究，水瓶直立地面，通過連續(xù)注水保證它始終盛滿水，在

離水面豎直距離h

cm處開一個小孔.（1）寫出s2與h的表達式，并求出當(dāng)h為何值時，射程s

有最大值，最大射程是多少？解：（1）由題意，得s2＝4h（H－h(huán)），∴當(dāng)H＝20時，s2＝－4（h－10）2＋400，∴當(dāng)h為10時，射程s有最大值，最大射程是20cm.（2）在側(cè)面開兩個小孔，這兩個小孔離水面的豎直距離

分別為a，b，要使兩孔射出水的射程相同，求a，b之間

的表達式.解：（2）設(shè)存在a，b，使兩孔射出水的射程相同，則有4a（20－a）＝4b（20－b），∴a＝b或a＋b＝20.（3）如果想通過墊高塑料水瓶，使射出水的最大射程增

加16

cm，求墊高的高度及小孔離水面的豎直距離.

（成都中考）距離地面有一定高度的某發(fā)射裝置豎直向上發(fā)射物體，物體離地面的高度h（m）與物體運動的時間t（s）之間滿足函數(shù)關(guān)系h＝－5t2＋mt＋n，其圖象如圖所示，物體運動的最高點離地面20

m，物體從發(fā)射到落地