第七章證明第2節(jié)認識證明第2課時認識證明（2）

1.

公認的真命題稱為

公理

。除了

公理

外，其他

命題的真假都需要通過

演繹推理

的方法進行判斷。演繹推理的過程稱為

證明

，經(jīng)過證明的真命題稱為

定理

。2.

每個定理都只能用

公理

、

定義

和

已經(jīng)證明

為真的命題

來證明。公理公理演繹推理證明定理公理定義已經(jīng)證明

為真的命題3.

已經(jīng)認識的八條基本事實：①

兩點確定一條直線。

②

兩點之間線段最短。

③

同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線

垂直。

④

同位角相等，兩直線平行。

⑤

過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行。

兩點確定一條直線。

兩點之間線段最短。

同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線

垂直。

同位角相等，兩直線平行。

過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行。

⑥

兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等。

⑦

兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等。

兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等。

兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等。

⑧

三邊分別相等的兩個三角形全等。

三邊分別相等的兩個三角形全等。

4.

數(shù)與式的

運算律

和運算法則、

等式的有關(guān)性

質(zhì)

，以及反映大小關(guān)系的有關(guān)性質(zhì)都可以作為證明的

依據(jù)。5.

寫出本節(jié)出現(xiàn)的4個定理：①

同角（或等角）的補角相等。

②

同角（或等角）的余角相等。

③

三角形的任意兩邊之和大于第三邊。

④

對頂角相等。

運算律等式的有關(guān)性

質(zhì)同角（或等角）的補角相等。

同角（或等角）的余角相等。

三角形的任意兩邊之和大于第三邊。

對頂角相等。

命題、公理與定理【例1】下列說法正確的是（C）A.

命題是定理，定理是命題B.

命題不一定是定理，定理不一定是命題C.

真命題有可能是定理，假命題不可能是定理D.

定理可能是真命題，也可能是假命題C歸納總結(jié)本題考查命題與定理的關(guān)系。定理是命題，并

且是真命題，但真命題不一定是定理，熟知命題和定理的

定義及其關(guān)系是解題的關(guān)鍵。?跟蹤訓(xùn)練1.

下列說法正確的是（B）A.

定理可以推導(dǎo)出基本事實B.

定理都是真命題C.

定理和基本事實都不需要證明D.

基本事實不一定是真命題B

推理證明【例2】如圖，在△ABC和△ABD中，給出下列三個論

斷：①AD＝BC；②AC＝BD；③∠1＝∠2。請選擇其中

兩個論斷作為條件，另一個論斷作為結(jié)論構(gòu)成一個命題。

（2）請選擇一個真命題加以證明。

歸納總結(jié)本題考查了運用全等三角形解決問題的能力，

根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)，判定兩個三角形全等的一

般方法：SSS，SAS，ASA，AAS，HL。?跟蹤訓(xùn)練2.

聯(lián)合國教科文組織將每年的3月14日定為“國際數(shù)學

日”，也被許多人稱為“π節(jié)”。某校今年“π節(jié)”策劃了

五個活動，規(guī)則見下圖：小云參與了所有活動。（1）若小云只挑戰(zhàn)成功一個活動，則挑戰(zhàn)成功的活動名

稱為

魯班鎖

；（2）若小云共挑戰(zhàn)成功兩個活動，且她參與的第四個活

動挑戰(zhàn)成功，則小云最終剩下的“π幣”數(shù)的所有可能取

值為

1或2或3

。魯班鎖1或2或3

1.

在證明過程中，不能用來作為推理依據(jù)的是（D）A.

公理B.

定理C.

定義D.

假命題D2.

下列說法不正確的是（C）A.

證實命題正確與否的推理過程叫作證明B.

定理是命題，而且是真命題C.

“對頂角相等”是命題，但不是定理D.

要說明一個命題是假命題，只要舉出一個反例即可C3.

下列命題是定理的為（B）A.

同位角相等B.

內(nèi)錯角相等，兩直線平行C.

一個角的余角不等于它本身D.

在同一平面內(nèi)，有且只有一條直線與已知直線垂直B4.

某密碼鎖的密碼是一個三位數(shù)，小亮說：“它是

254?！毙∶髡f：“它是964?！毙娬f：“它是357?！?/p>

最后小穎說：“你們每人都只猜對了不同數(shù)位的一個數(shù)

字?！眲t這個密碼鎖的密碼是

267

。2675.

如圖，AC與BD交于點O。下列三個等式：①OB＝

OC；②∠ABD＝∠DCA；

③AC＝DB。請從這三個等

式中選兩個作為已知條件，剩下的一個作為結(jié)論，組成一

個真命題，將你選擇的等式的序號填在下面對應(yīng)的橫線

上，然后對該真命題進行證明。已知：

；求證：

。（均填序號）解：Ⅰ.已知①②；求證③。

Ⅱ.已知①③；求證②。

1.

下面關(guān)于定理的說法，不正確的是（B）A.

定理是真命題B.

定理的正確性不需要證明C.

定理可以作為推理論證的依據(jù)D.

定理的正確性需要證明B2.

“同位角相等，兩直線平行”是（B）A.

定理B.

公理C.

定義D.

待證的命題B3.

下列命題：①能被3整除的數(shù)也能被6整除；②等式兩

邊除以同一個數(shù)，結(jié)果仍是等式；③x＝2是一元一次方

程x－2＝0的根；④對頂角相等。其中可以作為定理的有

（A）A.1個B.2個C.3個D.4個A4.

下列說法：①與同一條直線平行的兩條直線一定平

行；②相等的角是對頂角；③在同一平面內(nèi)，過一點有且

只有一條直線與已知直線垂直；④在同一平面內(nèi)，沒有交

點的兩條直線叫平行線。其中正確命題有（C）A.1個B.2個C.3個D.4個C5.

將12張卡片分給甲、乙、丙、丁4個人，每人3張，卡

片分三種，紅卡片分值是5分、綠卡片分值是2分、黃卡片

分值是1分，結(jié)果甲得6分，乙得11分，丙得9分。已知黃

卡片的張數(shù)不超過紅卡片的張數(shù)，下列判斷錯誤的是

（D）A.

乙同學沒有拿綠卡片B.

丁同學可能得4分C.

丁同學可能同時拿三種花色卡片D.

綠卡片的數(shù)量一定多于紅卡片的數(shù)量D6.

如圖所示，點A是公路l旁的居民點，從點A向公路l修

一條連接公路的小路AB。若要保證AB最短，則需

AB⊥l，這樣修路所依據(jù)的數(shù)學公理是

垂線段最短

。垂線段最短7.

小明說：“我年齡肯定最小?！毙〖t說：“我不是年

齡最小的那個人?！毙堈f：“我年齡不是最小的，也不

是最大的?！毙±钫f：“只有我是年齡最大的?！比羲娜?/p>

的年齡各不相同，且僅有一人說錯，則四人中年齡最大的

是

小紅

。小紅

8.

卡塔爾世界杯上，阿根廷隊捧得大力神杯！世界杯小

組賽分成8個小組，每小組4個隊，小組內(nèi)進行單循環(huán)賽

（兩支球隊間只比賽一場），勝一場積3分，平一場積1

分，負一場積0分，小組賽結(jié)束后，積分前兩名（相同積

分比較凈勝球）進入16強。下表是世界杯E組賽結(jié)束后的

積分表：A.0B.1C.2D.3排名球隊積分1日本62西班牙43德國44哥斯達黎加？如果本小組比賽中只有一場戰(zhàn)平，根據(jù)此表，可以推斷哥斯達黎加隊的積分是（D）D9.

張、王、李三人預(yù)測甲、乙、丙、丁四個隊參加足球

比賽的結(jié)果。王說：“丁隊得冠軍，乙隊得亞軍?！崩?/p>

說：“甲隊得亞軍，丙隊得第四。”張說：“丙隊得第

三，丁隊得亞軍?！辟惡蟮弥硕贾徊聦α艘话?，則得

冠軍的隊是

丁

。丁10.

某參觀團依據(jù)下列約束條件從A，B，C，D，E五個

地方中選定參觀地點：①A，B兩地都去或都不去；②D，E兩地至少去一處；③B，C兩地只去一處；④C，D兩地都去或都不去；⑤如果去E地，那么A，D兩地也必須去。依據(jù)上述條件，你認為該參觀團能去哪些地方參觀？解：由②D，E兩地至少去一處可知，若去E地，則由⑤知

必須去A，D兩地，由①和④知必須去B，C兩地，但與③

矛盾，∴不能去E地，∴必須去D地，∴由④知必須去C地，再由③知不能去B地，∴由①知也不能去A地，由⑤知也不能去E地，故該參觀團只能去C，D兩地。

11.

如圖，點C在BE上