第6章數(shù)字邏輯基礎(chǔ)6.1數(shù)字邏輯基礎(chǔ)6.2數(shù)制與碼制6.3邏輯代數(shù)及其化簡(jiǎn)

6.1

數(shù)字邏輯的基本概念及基本邏輯關(guān)系

數(shù)字邏輯是數(shù)字電路邏輯設(shè)計(jì)的簡(jiǎn)稱(chēng),其主要內(nèi)容是應(yīng)用數(shù)字電路進(jìn)行數(shù)字系統(tǒng)的邏輯設(shè)計(jì)。在數(shù)字系統(tǒng)中(例如電子計(jì)算機(jī)),利用電壓的高、低變化來(lái)表示二進(jìn)制中的“1”和“0”,再以二進(jìn)制數(shù)代表其他的數(shù)學(xué)量。數(shù)字系統(tǒng)的工作原理,就是將這種代表數(shù)學(xué)量的、穩(wěn)定的、不斷高低變化的電壓,輸入到按照一定要求設(shè)計(jì)好的電路中去,完成數(shù)學(xué)計(jì)算,得到相應(yīng)的運(yùn)算結(jié)果。

用于進(jìn)行數(shù)學(xué)計(jì)算的電路就是數(shù)字電路,也叫作數(shù)字邏輯電路,其功能是對(duì)數(shù)學(xué)量進(jìn)行算術(shù)運(yùn)算或者邏輯運(yùn)算。數(shù)字電路的主要部件和模擬電路一樣,都是由電阻、電容、電感、二極管、三極管等電路元件構(gòu)成的。但是對(duì)于數(shù)字電路來(lái)說(shuō),我們關(guān)心的不再是電路中運(yùn)行的電壓值、電流值的大小,而是這些物理參數(shù)背后的數(shù)學(xué)量和數(shù)學(xué)邏輯。

如果一種數(shù)字電路能夠表示出一種特定的數(shù)字邏輯關(guān)系,那么這種電路就是數(shù)字邏輯部件。

復(fù)雜的數(shù)字電路都是由基本的數(shù)字邏輯部件組成的,這些邏輯部件按其結(jié)構(gòu)可簡(jiǎn)單地分為組合邏輯電路和時(shí)序邏輯電路兩種類(lèi)型。

組合邏輯電路是由“與門(mén)”“或門(mén)”和“非門(mén)”等門(mén)電路組合形成的邏輯電路,它的特點(diǎn)是,輸出值與當(dāng)時(shí)的輸入值有關(guān),即電路輸出端口出現(xiàn)的結(jié)果只和當(dāng)時(shí)輸入的參數(shù)有關(guān),電路沒(méi)有記憶功能,輸出狀態(tài)會(huì)隨著輸入狀態(tài)的變化而變化。

時(shí)序邏輯電路是由觸發(fā)器和門(mén)電路組成的具有記憶能力的邏輯電路,具備反饋回路或者記憶器件,簡(jiǎn)稱(chēng)時(shí)序電路,它與組合電路本質(zhì)的區(qū)別在于其具有記憶功能。時(shí)序電路的特點(diǎn)是:輸出不僅取決于當(dāng)時(shí)的輸入值,而且還與電路過(guò)去的狀態(tài)有關(guān)。

將組合邏輯電路和時(shí)序邏輯電路以一定的邏輯關(guān)系組合在一起,可以構(gòu)成我們現(xiàn)在使用的各種數(shù)字設(shè)備。反過(guò)來(lái)講,不論多復(fù)雜的數(shù)字設(shè)備,都是由簡(jiǎn)單的邏輯電路構(gòu)成的。6.1.2基本邏輯關(guān)系

當(dāng)兩個(gè)二進(jìn)制數(shù)碼表示數(shù)量大小時(shí),它們之間可以進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算,稱(chēng)這種運(yùn)算為算術(shù)運(yùn)算,也就是常說(shuō)的加、減、乘、除。二進(jìn)制數(shù)的算術(shù)運(yùn)算法則和十進(jìn)制數(shù)的運(yùn)算法則基本相同,只是相鄰兩位之間的關(guān)系是“逢二進(jìn)一”及“借一當(dāng)二”。

除此之外,二進(jìn)制的數(shù)碼“0”和“1”還可以表示兩種不同的狀態(tài),比如開(kāi)關(guān)的“通”和“斷”,事情的“真”和“假”。這里的“1”和“0”不再具有數(shù)量上的大小關(guān)系,也不能用數(shù)學(xué)計(jì)算的方法對(duì)它們進(jìn)行加、減、乘、除。但是,依然可以用另一種方法對(duì)這種情況進(jìn)行研究,這就是邏輯代數(shù)。在邏輯代數(shù)中,參數(shù)之間的關(guān)系不再是數(shù)量關(guān)系,而是邏輯關(guān)系。下面通過(guò)介紹幾種簡(jiǎn)單的邏輯關(guān)系,讓大家對(duì)邏輯代數(shù)有一些初步的了解。1.與邏輯

只有當(dāng)決定某一事件的條件全部具備之后,這一事件才會(huì)發(fā)生,這種因果關(guān)系稱(chēng)為與邏輯。

圖6-1(a)就是一個(gè)簡(jiǎn)單的與邏輯電路。電壓U

通過(guò)開(kāi)關(guān)A

和B

向指示燈L

供電。當(dāng)A

和B都閉合(全部條件同時(shí)具備)時(shí),燈就亮(事件發(fā)生),否則,燈就不亮(事件不發(fā)生)。圖6-1與邏輯電路及邏輯符號(hào)

假如設(shè)定開(kāi)關(guān)閉合和燈亮用“1”表示,開(kāi)關(guān)斷開(kāi)和燈熄滅用“0”表示。采用枚舉法分析圖6-1

(a)中開(kāi)關(guān)斷開(kāi)、閉合與燈是否發(fā)亮的邏輯關(guān)系,可以發(fā)現(xiàn)一共有四種情況:

(1)當(dāng)開(kāi)關(guān)A斷開(kāi)(“0”),開(kāi)關(guān)B斷開(kāi)(“0”)時(shí),電燈不亮(“0”)。

(2)當(dāng)開(kāi)關(guān)A斷開(kāi)(“0”),開(kāi)關(guān)B閉合(“1”)時(shí),電燈不亮(“0”)。

(3)當(dāng)開(kāi)關(guān)A閉合(“1”),開(kāi)關(guān)B斷開(kāi)(“0”)時(shí),電燈不亮(“0”)。

(4)當(dāng)開(kāi)關(guān)A閉合(“1”),開(kāi)關(guān)B閉合(“1”)時(shí),電燈亮(“1”)。與邏輯的運(yùn)算關(guān)系也可以用波形圖表示。圖6-2給出了和表6-1相對(duì)應(yīng)的波形圖。圖6-2與運(yùn)算的波形圖

在圖6-2中,高電平表示“1”,低電平表示“0”?？梢钥闯?隨著輸入的方波電平的變化,輸出的信號(hào)波也會(huì)變化。

與邏輯可以具有多個(gè)輸入變量,即與門(mén)可以具有兩個(gè)以上的輸入端。此時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)與門(mén)所有輸入是高電平時(shí),輸出才會(huì)是高電平;當(dāng)任何一個(gè)輸入端為低電平時(shí),輸出就是低電平。

如圖6-3所示,只有開(kāi)關(guān)A、B、C全部閉合(也就是輸入為“1”),電燈才會(huì)點(diǎn)亮(輸出為“1”);只要有一個(gè)開(kāi)關(guān)斷開(kāi)(輸入為“0”),電燈就不亮(輸出為“0”),這與算術(shù)運(yùn)算中的“多個(gè)整數(shù)相乘,只要其中有一個(gè)是‘0’,結(jié)果就是‘0’”這一規(guī)則是類(lèi)似的。但是需要注意這是邏輯運(yùn)算,并不是算術(shù)運(yùn)算。圖6-3三個(gè)開(kāi)關(guān)的與邏輯電路【例6-1】

兩輸入的與門(mén)及其輸入信號(hào)的波形如圖6-4(a)所示,試畫(huà)出其輸出波形。圖6-4例6-1波形圖解

當(dāng)且僅當(dāng)A和B同時(shí)是高電平時(shí)輸出Y為高電平。即當(dāng)輸入B=0時(shí),不管輸入A如何,輸出Y一定是0;當(dāng)B=1時(shí),Y的輸出波形與A相同。由此畫(huà)出輸出Y的波形如圖6-4(b)所示。

例6-1的分析表明,輸入信號(hào)B事實(shí)上對(duì)信號(hào)A是否通過(guò)與門(mén)起著控制作用,在進(jìn)行邏輯電路的設(shè)計(jì)時(shí),經(jīng)常可以利用這一點(diǎn)控制信號(hào)的傳輸。2.或邏輯

當(dāng)決定某一事件的所有條件中的任一條件具備時(shí),事件就發(fā)生,這種因果關(guān)系稱(chēng)為或邏輯。圖6-5(a)表示一個(gè)簡(jiǎn)單的或邏輯電路。電壓U通過(guò)開(kāi)關(guān)A或B向指示燈L供電。當(dāng)A或者B閉合(任一條件具備)時(shí),燈就亮(事件發(fā)生)。圖6-5或邏輯電路及邏輯符號(hào)

與前面“與邏輯”中的表述相同,假如設(shè)定開(kāi)關(guān)閉合和燈亮用“1”表示,開(kāi)關(guān)斷開(kāi)和燈熄滅用“0”表示。采用枚舉法分析圖65(a)中開(kāi)關(guān)斷開(kāi)、閉合與燈是否發(fā)亮的邏輯關(guān)系,也可以發(fā)現(xiàn)一共有四種情況:

(1)當(dāng)開(kāi)關(guān)A斷開(kāi)(“0”),開(kāi)關(guān)B斷開(kāi)(“0”)時(shí),電燈不亮(“0”)。

(2)當(dāng)開(kāi)關(guān)A斷開(kāi)(“0”),開(kāi)關(guān)B閉合(“1”)時(shí),電燈亮(“1”)。

(3)當(dāng)開(kāi)關(guān)A閉合(“1”),開(kāi)關(guān)B斷開(kāi)(“0”)時(shí),電燈亮(“1”)。

(4)當(dāng)開(kāi)關(guān)A閉合(“1”),開(kāi)關(guān)B閉合(“1”)時(shí),電燈亮(“1”)。

其分析結(jié)果歸納如表62所示。【例6-2】

在圖6-6(a)所示的輸入條件下,試畫(huà)出或門(mén)的輸出波形。圖6-6例62波形圖解

從圖66(a)可見(jiàn),或門(mén)3個(gè)輸入端A、B、C的信號(hào)是變化的,依據(jù)或運(yùn)算的規(guī)則,當(dāng)3個(gè)輸入端中任意一個(gè)為高電平(邏輯“1”)時(shí),或門(mén)的輸出L即為高電平。由此可畫(huà)出輸出L的波形,也就是圖6-6(b)。3.非邏輯

當(dāng)條件具備時(shí)事件不發(fā)生,當(dāng)條件不具備時(shí)事件就發(fā)生,這種因果關(guān)系稱(chēng)為非邏輯。圖6-7(a)表示一個(gè)非邏輯電路。當(dāng)開(kāi)關(guān)A閉合(條件具備)時(shí),指示燈不亮(事件不發(fā)生)。當(dāng)開(kāi)關(guān)A斷開(kāi)時(shí)(條件不具備),指示燈亮(事件發(fā)生)。圖6-7非邏輯電路及其邏輯符號(hào)

假如設(shè)定開(kāi)關(guān)閉合和燈亮用“1”表示,開(kāi)關(guān)斷開(kāi)和燈熄滅用“0”表示,可以很簡(jiǎn)單地得到下面兩種情況:(1)當(dāng)開(kāi)關(guān)A斷開(kāi)(“0”)時(shí),燈會(huì)亮(“1”);(2)當(dāng)開(kāi)關(guān)A閉合(“1”)時(shí),燈不亮(“0”)。非邏輯關(guān)系可以用真值表描述,如表6-3所示。6.1.3邏輯門(mén)電路

在數(shù)字電路中,“門(mén)”指的是只能夠?qū)崿F(xiàn)基本邏輯關(guān)系的電路。最基本的邏輯關(guān)系就是“與”“或”“非”,所以最基本的邏輯門(mén)電路就是“與門(mén)”“或門(mén)”和“非門(mén)”。除此之外,也可以用門(mén)電路完成一種以上的邏輯運(yùn)算,常見(jiàn)的包括“與非門(mén)”“或非門(mén)”“與或非門(mén)”“異或門(mén)”等。

門(mén)電路可以有一個(gè)或多個(gè)輸入端,但只有一個(gè)輸出端。門(mén)電路的各輸入端所加的脈沖信號(hào)只有滿(mǎn)足一定的條件時(shí),“門(mén)”才打開(kāi),即才有脈沖信號(hào)輸出。從邏輯學(xué)上講,輸入端滿(mǎn)足一定的條件是“原因”,有信號(hào)輸出是“結(jié)果”。1.基本邏輯門(mén)

圖6-8是用二極管實(shí)現(xiàn)的一個(gè)“與門(mén)”電路。圖中,邏輯電路由兩個(gè)二極管構(gòu)成A、B兩路輸入信號(hào),信號(hào)輸出端為L(zhǎng),此外還包括一個(gè)+5V的電壓輸入端和一個(gè)3kΩ的電阻。電路工作時(shí),如果A端、B端中一個(gè)或者兩個(gè)輸入了低電平,即輸入為“0”,二極管就會(huì)導(dǎo)通,輸出端L處的電壓為低電平,即輸出為“0”;如果A端和B端同時(shí)輸入為“1”,即高電平,兩個(gè)二極管都不會(huì)導(dǎo)通,L處的電壓與輸入端電壓相同,是高電平,即輸出為“1”。

圖6-9是由二極管實(shí)現(xiàn)的一個(gè)“或門(mén)”電路。與圖68類(lèi)似,當(dāng)A端、B端中的一個(gè)或者兩個(gè)輸入了高電平,即輸入為“1”,二極管將導(dǎo)通,輸出端L會(huì)輸出高電平,即輸出為“1”;當(dāng)A端和B端同時(shí)為低電平,即輸入為“0”時(shí),兩個(gè)二極管都不會(huì)導(dǎo)通,輸出端L保持低電平的狀態(tài),即輸出為“0”。圖6-8二極管構(gòu)成的而輸入與門(mén)電路圖6-9二極管構(gòu)成的二輸入或門(mén)電路

圖6-10是由三極管構(gòu)成的“非門(mén)”電路。電路中,三極管V的導(dǎo)通與否由輸入端A決定,從而確定輸出端L的輸出電平。當(dāng)A是高電平,即輸入為“1”時(shí),三極管導(dǎo)通,L輸出低電平,即輸出為“0”;當(dāng)A是低電平,即輸入為“0”時(shí),三極管不會(huì)導(dǎo)通,輸出端L的電平和輸入的+5V電壓相同,是高電平,即輸出為“1”。圖6-10三極管構(gòu)成的二輸入或門(mén)電路2.復(fù)合邏輯門(mén)電路

單獨(dú)運(yùn)用“與”“或”“非”運(yùn)算只能解決與它們相對(duì)應(yīng)的基本邏輯運(yùn)算。在求解復(fù)雜的邏輯問(wèn)題時(shí),需要綜合運(yùn)用上述3種基本運(yùn)算,構(gòu)成復(fù)合運(yùn)算。

常用的復(fù)合運(yùn)算及相應(yīng)的公式有以下幾種:3.集成門(mén)電路

6.2

數(shù)

制

與

碼

制6.2.1數(shù)制

數(shù)制是計(jì)數(shù)體制的簡(jiǎn)稱(chēng),是用一組固定的符號(hào)和統(tǒng)一的規(guī)則來(lái)表示數(shù)值的方法。數(shù)制可以分為累加計(jì)數(shù)制和進(jìn)位計(jì)數(shù)制,目前使用的數(shù)制基本都屬于進(jìn)位計(jì)數(shù)制,常見(jiàn)的有十進(jìn)位計(jì)數(shù)制(簡(jiǎn)稱(chēng)十進(jìn)制)、二進(jìn)制、八進(jìn)制、十六進(jìn)制等。

1.數(shù)制的基本概念

要構(gòu)成一種數(shù)制,需要建立下面幾個(gè)概念。

1)數(shù)碼

數(shù)碼是基本數(shù)碼的簡(jiǎn)稱(chēng),是指某一種計(jì)數(shù)制中使用的基本數(shù)字符號(hào)。上面提到的各種數(shù)制里包括的數(shù)碼符號(hào)如下:

二進(jìn)制中的數(shù)碼符號(hào)包括:“0”和“1”;

八進(jìn)制中的數(shù)碼符號(hào)包括:“0”“1”“2”“3”“4”“5”“6”和“7”;

十進(jìn)制中的數(shù)碼符號(hào)包括:“0”“1”“2”“3”“4”“5”“6”“7”“8”和“9”;

十六進(jìn)制中的數(shù)碼符號(hào)包括:“0”“1”“2”“3”“4”“5”“6”“7”“8”“9”“A”“B”“C”“D”“E”和“F”。

特定的計(jì)數(shù)制中使用的符號(hào)不能超出數(shù)碼規(guī)定的范圍。比如,在十進(jìn)制中,不能使用十六進(jìn)制中的“A”;在八進(jìn)制中,也不能使用十進(jìn)制中的“8”。所以在使用數(shù)碼的時(shí)候,首先要分清楚目前使用的是哪一種數(shù)制,才能確定使用哪些數(shù)碼。2)基數(shù)

在一種計(jì)數(shù)制中使用的數(shù)碼的個(gè)數(shù),稱(chēng)為該計(jì)數(shù)制的基數(shù),或稱(chēng)為底數(shù)。基數(shù)一般可以用字母R來(lái)表示,比如十進(jìn)制中使用的數(shù)碼個(gè)數(shù)為10,所以R=10。

在基數(shù)為R的數(shù)制中,每個(gè)計(jì)數(shù)位置上可以使用的數(shù)碼數(shù)量為“R”,最大數(shù)碼的值是“R-1”,即數(shù)碼中沒(méi)有“R”。比如二進(jìn)制中的計(jì)數(shù)位置上有“0”和“1”,共有R=2個(gè)數(shù)碼,但是二進(jìn)制中沒(méi)有“2”這個(gè)數(shù)碼。

因此進(jìn)行計(jì)數(shù)時(shí),某位置的數(shù)碼達(dá)到R之后,該位記為“0”,并且向更高的數(shù)位進(jìn)1,即逢R進(jìn)1,所以基數(shù)為R的計(jì)數(shù)制會(huì)被稱(chēng)為R進(jìn)制計(jì)數(shù)制。這就是“十進(jìn)制”“二進(jìn)制”這些名稱(chēng)的由來(lái)。

3)數(shù)位

在由不同位置上的數(shù)碼構(gòu)成的數(shù)中,數(shù)碼所在的位置稱(chēng)為“數(shù)位”。

數(shù)位的排序用小寫(xiě)字母“i”表示,i的計(jì)算以小數(shù)點(diǎn)為界,向左依次為第0位、第1位、第2位……,向右依次為第-1位、第-2位、……

例如,在十進(jìn)制數(shù)123.45中,3是第0位數(shù),2是第1位數(shù),4是第-1位數(shù)等。4)位權(quán)

位權(quán)亦稱(chēng)權(quán)值。在進(jìn)位計(jì)數(shù)制的由一串?dāng)?shù)碼構(gòu)成的數(shù)中,各個(gè)數(shù)位上的數(shù)碼所表示的數(shù)值大小不但和該數(shù)碼本身有關(guān),而且還和該數(shù)碼所在的數(shù)位有關(guān)。

例如,在十進(jìn)制數(shù)“23”中,“2”表示的數(shù)值大小實(shí)際為2×10,“3”表示的數(shù)值是3。可見(jiàn),不同數(shù)位可以賦予該位置上的數(shù)碼以不同的表示數(shù)的大小的能力。為了表示不同數(shù)位上數(shù)碼所代表的數(shù)的不同大小,將數(shù)位上的數(shù)碼在表示數(shù)時(shí)所乘的倍數(shù)稱(chēng)為該數(shù)位的“位權(quán)”。

在特定的R進(jìn)制數(shù)中,在一串?dāng)?shù)碼表示的數(shù)中,相鄰兩個(gè)數(shù)位,左邊數(shù)位的位權(quán)是右邊的R倍。比如,在十進(jìn)制的“123”中,“1”的位權(quán)是“100”,“2”的位權(quán)是“10”;在八進(jìn)制“123”中,“1”的位權(quán)是“82=8×8=64”,“2”的位權(quán)是“8”。5)數(shù)的表示方式

在進(jìn)位計(jì)數(shù)制中數(shù)的表示方式有幾種不同的類(lèi)型。以十進(jìn)制數(shù)123.45為例:2.幾種常見(jiàn)的數(shù)制

1)十進(jìn)制

2)二進(jìn)制3)八進(jìn)制4)十六進(jìn)制

十六進(jìn)制數(shù)的基數(shù)R=16,共有十六個(gè)數(shù)碼,進(jìn)位規(guī)則是“逢十六進(jìn)一”,各個(gè)數(shù)位的權(quán)值是“16”的冪。3.常見(jiàn)數(shù)制的轉(zhuǎn)換

在數(shù)字系統(tǒng)中,可能同時(shí)用到多種數(shù)制,因此,理解一個(gè)數(shù)字系統(tǒng)的運(yùn)算過(guò)程,需要具備進(jìn)行數(shù)制間相互轉(zhuǎn)換的能力。下面介紹實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)換的方法,如圖611所示。圖6-11二、十、十六進(jìn)制數(shù)的相互轉(zhuǎn)換1)基數(shù)乘除法

基數(shù)乘除法主要適用于十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為其他進(jìn)制的數(shù)。其整數(shù)部分采取除基數(shù)取余數(shù)的方法轉(zhuǎn)換,小數(shù)部分采取乘基數(shù)取整數(shù)的方法轉(zhuǎn)換。(1)除基數(shù)取余數(shù)法,適用于將十進(jìn)制數(shù)的整數(shù)部分轉(zhuǎn)換成等值的其他進(jìn)制的數(shù)。

【例6-3】將十進(jìn)制數(shù)549轉(zhuǎn)換為等值的十六進(jìn)制數(shù)。(2)乘基數(shù)取整數(shù)法,適用于將十進(jìn)制數(shù)的小數(shù)部分轉(zhuǎn)換成等值的其他進(jìn)制的數(shù)。

【例6-4】將十進(jìn)制數(shù)0.625轉(zhuǎn)換為等值的二進(jìn)制數(shù)。

【例6-5】將十進(jìn)制數(shù)56.625轉(zhuǎn)換為等值的二進(jìn)制數(shù)。

解

對(duì)于整數(shù)部分,采用除2取余法有

2)按位權(quán)展開(kāi)相加法3)分組法

二進(jìn)制數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是每位僅可能有0和1兩個(gè)數(shù)碼,即兩種狀態(tài)。二極管的導(dǎo)通與截止,三極管的飽和導(dǎo)通與截止等均可方便地表示這兩種狀態(tài),因此,二進(jìn)制是數(shù)字系統(tǒng)的基本計(jì)數(shù)方法。

但如果一個(gè)較大的數(shù)值采用二進(jìn)制表示時(shí),其所需的位數(shù)較多。利用八進(jìn)制、十六進(jìn)制可彌補(bǔ)這一不足,且八進(jìn)制和十六進(jìn)制易于與二進(jìn)制進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換。

當(dāng)面對(duì)多種計(jì)數(shù)體制時(shí),為了便于區(qū)別,采用下標(biāo)B、O、D、H分別表示二、八、十、十六進(jìn)制。

盡管一般的計(jì)算器均具有數(shù)制間的相互等值轉(zhuǎn)換功能,完成轉(zhuǎn)換也許僅需要按幾下鍵即可完成,但理解并掌握基數(shù)乘除法、通式展開(kāi)法、分組轉(zhuǎn)換法等數(shù)制間的相互轉(zhuǎn)換方法,有助于提高分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力。6.2.2碼制

用按一定規(guī)律排列的多位二進(jìn)制數(shù)碼“0”和“1”表示某種信息,稱(chēng)為編碼。形成編碼的規(guī)律法則,稱(chēng)為碼制。這里的“二進(jìn)制”并無(wú)“進(jìn)位”的含義,只是強(qiáng)調(diào)采用的是二進(jìn)制數(shù)的數(shù)碼符號(hào)而已。n位二進(jìn)制數(shù)可有2n種不同的組合,即可代表2n種不同的信息。

1.二-十進(jìn)制碼

用四位二進(jìn)制數(shù)碼表示一位十進(jìn)制數(shù)的代碼,稱(chēng)為二

十進(jìn)制碼,簡(jiǎn)稱(chēng)BCD(BinaryCodedDecimal)碼。

四位二進(jìn)制數(shù)有16種組合,而一位十進(jìn)制數(shù)只需要10種組合,因此,用四位二進(jìn)制碼表示一位十進(jìn)制數(shù)的組合方案有許多種,幾種常用的BCD碼如表6-6所示。2.奇偶校驗(yàn)碼

信息在存儲(chǔ)和傳送過(guò)程中,常會(huì)由于各種干擾而發(fā)生錯(cuò)誤,因此,保證信息的正確性對(duì)數(shù)字系統(tǒng)非常重要。奇偶校驗(yàn)碼是一種可以檢測(cè)出一位錯(cuò)誤的代碼。它由信息位和校驗(yàn)位兩部分組成。信息位可由任何一種二進(jìn)制碼組成。奇偶校驗(yàn)碼位僅有一位,可以放在信息位的前面或者后面。

當(dāng)信息位的代碼中有奇數(shù)個(gè)1時(shí)校驗(yàn)位為0,有偶數(shù)個(gè)1時(shí)校驗(yàn)位為1,即每一碼組中信息位和校驗(yàn)位的1的個(gè)數(shù)之和總為奇數(shù),稱(chēng)為奇校驗(yàn)碼。當(dāng)信息位的代碼中有偶數(shù)個(gè)1時(shí)校驗(yàn)碼為0,有奇數(shù)個(gè)1時(shí)校驗(yàn)碼為1,即每一碼組中信息位和校驗(yàn)位的1的個(gè)數(shù)之和總為偶數(shù),稱(chēng)為偶校驗(yàn)碼。表67給出了奇偶校驗(yàn)的8421BCD碼。奇偶校驗(yàn)只能檢測(cè)出一位錯(cuò)碼,但無(wú)法測(cè)定哪一位出錯(cuò),也不能自行糾正錯(cuò)誤。若兩位同時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤,則奇偶校驗(yàn)碼無(wú)法檢測(cè)出錯(cuò)誤,但這種出錯(cuò)概率極小。奇偶校驗(yàn)碼容易實(shí)現(xiàn),故被廣泛應(yīng)用。

除上述分析的代碼外,在計(jì)算機(jī)系統(tǒng)中還常用到字符數(shù)字碼(例如ASCII碼)、漢字編碼等其他編碼形式。

二進(jìn)制編碼是數(shù)字系統(tǒng)中表示文字、數(shù)據(jù)等各種信息的基本形式,熟悉常用編碼是數(shù)字系統(tǒng)應(yīng)用的基礎(chǔ)要求。6.2.3數(shù)的原碼、反碼和補(bǔ)碼

在使用計(jì)算機(jī)時(shí),人們?cè)陲@示器等輸出設(shè)備上看到的數(shù)字通常是十進(jìn)制的,但是在計(jì)算機(jī)內(nèi)部,使用的是二進(jìn)制數(shù)。為了正確顯示數(shù)字,需要在計(jì)算機(jī)中區(qū)分正數(shù)和負(fù)數(shù),同時(shí)要能夠確定小數(shù)點(diǎn)的位置,這就需要考慮正負(fù)數(shù)、定點(diǎn)數(shù)和浮點(diǎn)數(shù)的表示方法。并且在計(jì)算機(jī)中,使用二進(jìn)制來(lái)表示十進(jìn)制的數(shù)值(稱(chēng)之為“機(jī)器數(shù)”)有3種表示法:原碼、反碼和補(bǔ)碼。

1.正負(fù)數(shù)、定點(diǎn)數(shù)與浮點(diǎn)數(shù)的表示

由于用于計(jì)算的數(shù)值有正有負(fù),在計(jì)算機(jī)內(nèi),通常把1個(gè)二進(jìn)制數(shù)的最高位定義為符號(hào)位,用“0”表示正數(shù),“1”表示負(fù)數(shù),其余位表示數(shù)值。除此之外,小數(shù)點(diǎn)位置固定不變的數(shù)稱(chēng)為“定點(diǎn)數(shù)”;小數(shù)點(diǎn)的位置不固定,可以浮動(dòng)的數(shù)稱(chēng)為“浮點(diǎn)數(shù)”。2.原碼3.反碼

4.補(bǔ)碼

6.3邏

輯

代

數(shù)

及

其

化

簡(jiǎn)

邏輯代數(shù)又稱(chēng)為布爾代數(shù),是描述和研究客觀世界中事務(wù)間邏輯關(guān)系的數(shù)學(xué)方法,也是分析和設(shè)計(jì)數(shù)字電路的數(shù)學(xué)工具。

邏輯代數(shù)把邏輯問(wèn)題的描述由冗繁的語(yǔ)言文字描述簡(jiǎn)化為符號(hào)間的數(shù)學(xué)運(yùn)算,建立了思維的數(shù)學(xué)模型。

邏輯代數(shù)中的變量稱(chēng)為邏輯變量,在數(shù)字電路中,邏輯變量只有兩種狀態(tài),即前面內(nèi)容中提到的“0”和“1”。通常,可以用器件名稱(chēng)的縮寫(xiě)代表邏輯變量,常見(jiàn)的有代表開(kāi)關(guān)的“S”和代表燈的“L”。6.3.1布爾代數(shù)的邏輯運(yùn)算規(guī)則

在前面的內(nèi)容中，已經(jīng)介紹了邏輯代數(shù)的三種基本運(yùn)算“與”“或”“非”，以及復(fù)合運(yùn)算“與非”“或非”“同或”“異或”“與或非”。在相對(duì)復(fù)雜一些的邏輯運(yùn)算中,不僅僅要應(yīng)用這些基本的邏輯運(yùn)算,還要應(yīng)用一些邏輯運(yùn)算的基本定律,如表68所示。

表格中,交換律、結(jié)合律和普通代數(shù)中的交換律、結(jié)合律是一致的;分配律中,先邏輯加再邏輯乘的公式和普通代數(shù)中的公式是相同的,但是先邏輯乘再邏輯加的公式在普通代數(shù)中是不成立的,需要特別注意。

“0律”和“1律”表示的是邏輯變量和邏輯常量之間的運(yùn)算規(guī)則。“0律”中的邏輯加表示任何邏輯變量與邏輯“0”相加都等于自身,邏輯乘表示任何邏輯變量與邏輯“0”相乘都等于邏輯“0”;“1律”中的邏輯加表示任何邏輯變量與邏輯“1”相加都等于邏輯“1”,邏輯乘表示任何邏輯變量與邏輯“1”相乘都等于它本身。

互補(bǔ)律指出,互補(bǔ)的兩個(gè)邏輯變量相加為“1”,相乘為“0”。

重疊律指出,同一個(gè)邏輯變量多次相加或者多次相乘,都等于其自身。

吸收律可以利用前面的定律進(jìn)行證明,同時(shí)也是邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)的重要定律。

反演律又稱(chēng)摩根(De·Morgan)定律。變量A求反后記作A,A稱(chēng)為原變量,A稱(chēng)為反變量。

反演律指出,對(duì)兩個(gè)邏輯變量的邏輯加結(jié)果求反,與它們的反變量的邏輯乘結(jié)果相同;對(duì)兩個(gè)邏輯變量的邏輯乘結(jié)果求反,與它們反變量的邏輯加結(jié)果相同。

包含律指兩個(gè)乘積項(xiàng)中包含A和A兩個(gè)因子,則這兩個(gè)乘積項(xiàng)其余因子組成的第三個(gè)乘積是多余的,可以消去。

否否律,也可以叫作還原律,表示邏輯變量經(jīng)過(guò)二次求反后,得到原來(lái)的變量。

想要證明以上的各種定律,可以用真值表的方式。6.3.2邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡(jiǎn)法

通過(guò)邏輯運(yùn)算規(guī)則可以知道,某些比較復(fù)雜的邏輯