北師大版（2024）八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)第五章*5三元一次方程組教案

一、新課導(dǎo)入設(shè)計(jì)

【情境導(dǎo)入】

前面我們學(xué)習(xí)了二元一次方程組及其解法一消元法.有兩個(gè)未知數(shù)的問(wèn)題，可以列出

二元一次方程組來(lái)解決.實(shí)際上，有不少問(wèn)題含有更多天知數(shù).我們看下面的問(wèn)題：

小明手頭有12張面額分別為I元、2元、5元的紙幣，共計(jì)22元，其中1元紙幣的數(shù)量

是2元紙幣數(shù)量的4倍.求1元、2元、5元紙幣各多少?gòu)?

自然的想法是，設(shè)1元、2元、5元的紙幣分別為x張、y張、z張，根據(jù)題意，可以得

到下面三個(gè)方程：

x+y+z=12，

x+2y+5z=22，

x=4y.

這個(gè)問(wèn)題的解必須同時(shí)滿足上面三個(gè)條件，因此，我們把這三個(gè)方程合在一起，寫成

x+y+z=12，

vx+2y+5z=22，

x=4y.

這個(gè)方程組和我們以前學(xué)過(guò)的二元一次方程組有什么區(qū)別呢？又怎樣求出這個(gè)方程組的

解呢？（提示課題：三元一次方程組）

二、數(shù)學(xué)文化拓展閱讀

一次方程的古今表示及解法

我國(guó)古代很早就開始對(duì)一次方程組進(jìn)行研究，其中不少成果被收入古代數(shù)學(xué)著作《九章

算術(shù)》中.《九章算術(shù)》的“方程”章，有許多關(guān)于一次方程組的內(nèi)容，這一章的第一個(gè)問(wèn)題

譯成現(xiàn)代漢語(yǔ)是這樣的：

斗是過(guò)去容

積的計(jì)量單位.

上等谷3束，中等谷2束，下等谷1束，共是39斗；

上等谷2束，中等谷3束，下等谷1束，共是34斗；

上等谷1束，中等谷2束，下等谷3束，共是26斗.

求上、中、下三等谷每束各是幾斗.

第1頁(yè)共19頁(yè)

下面的算籌圖代表了古代解決這個(gè)問(wèn)題的方法，它是什么意思呢？

上等谷（束）中等谷（束）卜.等谷（束）斗數(shù)

IIIII

ilIH

《九章算術(shù)》中的算籌圖是豎排的.為看圖方便，上圖改為橫排，使三個(gè)橫行表示三句

話的含義.

不妨先用我們熟悉的教學(xué)符號(hào)來(lái)表述怎樣解這個(gè)有3個(gè)未知數(shù)的問(wèn)題.

設(shè)上等谷每束x斗，中等谷每束y斗，下等谷每束z斗.

根據(jù)題意，得三元一次方程組

'3x+2y+z=39，①

-2x+3y+z=34?②（*）

、x+2y+3z=26.③

與解二元一次方程組美似，通過(guò)消元可以使上面的方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，進(jìn)而

求出各未知數(shù).

上圖實(shí)際上就是用算籌列出的方程組（*），它省略了各未知數(shù)，只用算籌表示出未知數(shù)的

系數(shù)與相應(yīng)的常數(shù)項(xiàng).

我國(guó)古代解方程組時(shí)，也用算籌做計(jì)算工具，具體解法是：從一個(gè)方程累減（或累加）另

一個(gè)方程.例如，解方程組（*），將①一②可以消去z，將③連續(xù)三次減去②也可以消去z，

從而得到二元一次方程組

X—y=5，

-5x-7y=-76.

這里將③連續(xù)三次減去②，與③一②X3的結(jié)果一樣.

教學(xué)設(shè)計(jì)

課題-5三元一次方程組授課人

1.了解三元一次方程和三元一次方程組.

素養(yǎng)目標(biāo)

2-會(huì)解簡(jiǎn)單的三元一次方程組.

第2頁(yè)共19頁(yè)

3?掌握解三元一次方程組過(guò)程中化“三

元”為“二元”和“一元”的化歸思

想.

4?應(yīng)用三元一次方程組解決簡(jiǎn)單的實(shí)際

問(wèn)題.

5?通過(guò)三元一次方程組的解法練習(xí)，培

養(yǎng)分析能力，能根據(jù)題目的特點(diǎn)，確定

消元方法和消元對(duì)象.培養(yǎng)計(jì)算能力，

訓(xùn)練解題技巧.

會(huì)解簡(jiǎn)單的三元一次方程組，進(jìn)一步熟

教學(xué)重點(diǎn)悉解方程組時(shí)“消元”的基本思路，靈

活運(yùn)用代入法、加減法等重要方法.

教學(xué)難點(diǎn)根據(jù)方程組的特點(diǎn)，選擇最合適的解法.

授課類型新授課課時(shí)

教學(xué)活動(dòng)

教學(xué)步驟師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

問(wèn)題1：什么叫二元一次

方程和二元一次方程組？

問(wèn)題2：解二元一次方程組的通過(guò)回顧復(fù)習(xí)二元一次方程

回顧基本思路是什么？組的相關(guān)知識(shí)，為三元一次方

問(wèn)題3：求解二元一次方程組程組的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備.

有哪些方法？主要步驟有哪

些？

【課堂引入】1.分別用一元一次方程和二

已知甲、乙、丙三數(shù)的和是元一次方程組解決問(wèn)題，讓學(xué)

活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)情境、導(dǎo)入新課23，甲數(shù)比乙數(shù)大1，甲數(shù)的生比較其不同，為下面三元一

2倍與乙數(shù)的和比丙數(shù)大20,次方程組的解法做鋪墊.

求這三個(gè)數(shù).2?通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引入

第3頁(yè)共19頁(yè)

二元一次方程組有什么區(qū)別基本思想是“消元”

和聯(lián)系？3?體會(huì)三元一次方程組的不

生：①未知數(shù)的個(gè)數(shù)和方程都同解法之間的異同，增強(qiáng)思維

比二元一次方程組多一個(gè)；②的靈活性.

未知數(shù)次數(shù)都是一次.

引出三元一次方程組的概念：

在這個(gè)方程組中，x+y+z=

23和2x+y-z=20都含有三

個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的

項(xiàng)的次數(shù)都是1，這樣的方程

叫作三元一次方程.

像這樣，共含有二個(gè)未知數(shù)的

三個(gè)一次方程所組成的一組

方程，叫作三元一次方程組.

關(guān)注概念中的三個(gè)要點(diǎn)：①未

知數(shù)的個(gè)數(shù)；②未知數(shù)的次

數(shù)；③未知數(shù)同時(shí)滿足三個(gè)等

量關(guān)系.

三元一次方程組中各個(gè)方程

的公共解，叫作這個(gè)三元一次

方程組的解.

2?三元一次方程組的解法

如果能解出這個(gè)方程組就好

了.

引導(dǎo)學(xué)生回顧前面所學(xué)二元

一次方程組解法的基本指導(dǎo)

思想——消元，以及消元的基

本方法（代入消元、加減消

元），嘗試對(duì)

第5頁(yè)共19頁(yè)

x+y+z=23，①

<x—y=l，②進(jìn)行消元，

.2x+y—z=20③

從而解決問(wèn)題.

解：由方程②，得x=y+l.

?

把④分別代入①③，得

2y+z=22，⑤

3y-z=18.@

解由⑤⑥組成的二元?次方

y=8，

程組，得?

z=6.

把y=8代入④，得x=9.

x=9，

所以原方程組的解是y=8，

.z=6.

解上面的方程組時(shí)，你能先消

去未知數(shù)y(或z)，從而得到方

程組的解嗎？

(1)用代入消元法：由于方程

組②式的特點(diǎn)，可將②式化為

y=x—1，再分別代入①③式，

消去y，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于x?z

的二元一次方程組；

(2)用加減消元法：由于②式

中沒有含z，可以將①@兩式

聯(lián)立相加，消掉z，從而得到

關(guān)于x，y的二元一次方程組.

議一議：

上述不同的解法有什么共同

第6頁(yè)共19頁(yè)

之，處？與二元一次方程組的

解;去年“什么聯(lián)系？解?三元一

y方程組的思路是彳十么？

解.三五;一次方程組的基本思

8，仍:然是“消元”-—K

“Z三元”化為“二元”，再化

為“一元”.

消元,

耳|三元一次方程組

消元一

二5三一次方程組

一元一次方程

歸納總結(jié)：

解.三九;一次方程組的一般步

驟：

(1)觀第學(xué)方程組的系教【特點(diǎn)，

確a:先消哪個(gè)未知數(shù)；

⑵消71匕，得到一個(gè)二:元一次

方程組；

⑶解二二元一次方程及【，求出

部;個(gè)未知數(shù)的值.；

(4)；衣41?第三個(gè)未知婁1的值，

寫日以方程組的解.

續(xù)表

教學(xué)步驟師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

【典型例題】

活動(dòng)三：開放訓(xùn)練、體現(xiàn)應(yīng)用

第7頁(yè)共19頁(yè)

例解三元一次方程組：

X-Fy+z=4?①

<X--y+z=8*②

4、1+2y+z=17.③

解：②一①，得一2y=4，

解得y=-2.

把y=—2代入①得x-2+z=4，

如x+z=6.④

把y=—2代入③，得4x—4+z=

17，

Bl4x+z=21.⑤

由④和⑤鄉(xiāng)功成一個(gè)二元一次方程

x+z=6，

組

4x+z=21，

x=5，

解得

z=l.

x=5，

所以原方程組的解是<y=-2，

7=1.

【變式訓(xùn)練】

中超聯(lián)賽口1A?B?C?D?E五支

球隊(duì)的積二分和勝負(fù)情況如下表：

比賽場(chǎng)次勝場(chǎng)平場(chǎng)負(fù)場(chǎng)積分

1684428

16016016

16012412

第8頁(yè)共19頁(yè)

D16286a

E16b82C

從中可知a=j4，b=6?c=

26.

提示：設(shè)勝一場(chǎng)得X分，平一場(chǎng)得

y分，偵一場(chǎng)得z分，列方程組解

題即可.

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，教師適進(jìn)一步鞏固新知，舉一反三，靈活

當(dāng)引導(dǎo)設(shè)木知數(shù).選擇簡(jiǎn)便的方法進(jìn)行消元，熱練解

題.

活動(dòng)四：課堂檢測(cè)【課堂檢測(cè)】

[3x—y+2z=3，

1?解方程組｛2x+y—4z=ll，若

17x+y-5z=l*

要使運(yùn)算簡(jiǎn)便，消元的方法應(yīng)選取

(B)

4.先消去xB.先消去y

C.先消去zD.以上說(shuō)法

都不對(duì)

2.下列四組數(shù)值中，為方程組

x+2y+z=0，

-2x-y-z=l*的解的是(。)

.3x-y-z=2

第9頁(yè)共19頁(yè)

x=0，fx=1，

A.1y=l，8?y=0，

z=-2lz=l

x=0，[x=1，

C,y=—1，D.yy=~2?

.z=0,z=3

續(xù)表

教學(xué)步驟師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

3.解下列方程組：

x+y+z=ll?

(lny+z-x=5，

.Z-I-X-y=1；

x+y+z=12?

(2),x+2y+5z=22，

.x=4y；

2x+3y+z=6?

(3)<x—y+2z=—1，

、x+2y-z=5；

x__y__z

針對(duì)本課時(shí)的主要問(wèn)題，分層

(4),7105

活動(dòng)四：課堂檢測(cè)3x+5y=71.次進(jìn)行檢測(cè)，達(dá)到了解課堂學(xué)

x=3*(x=8，習(xí)效果的目的.

解：(1),y=5，(2)<y=2，

.z=3.,z—2.

x=2，fx=7，

(3)*y-1*(4)<y-10，

z=-1.lz=5.

4?某單位職工在植樹節(jié)當(dāng)天

去植樹，甲、乙、丙三個(gè)小組

共植樹50株，乙組植樹的株

第10頁(yè)共19頁(yè)

數(shù)是甲、丙兩組和的《，甲組

植樹的株數(shù)恰是乙組與丙組

的和，問(wèn)每組各植樹多少株？

解：設(shè)甲組植樹X株，乙沮植

樹y株，丙組植樹Z株.今題

意，得

(x+y+z=50，

(x+z),解得

[x=y+z.

x=25，

<y=10?

,z=15.

答：甲組植樹25株，乙組植

樹10株，丙組植樹15株.

師生活動(dòng)：學(xué)生進(jìn)行當(dāng)堂檢

測(cè)，完成后，教師進(jìn)行批閱、

點(diǎn)評(píng)、講解.

1.課堂小結(jié)：

學(xué)生在反思中整理知識(shí)、梳理

(1)本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了哪些知

思維，獲得成功的體驗(yàn)，積累

課堂小結(jié)識(shí)？學(xué)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)思想和

學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，養(yǎng)成系統(tǒng)整理所

方法？

學(xué)知識(shí)的習(xí)慣.

(2)本節(jié)課還有哪些疑惑？請(qǐng)

第11頁(yè)共19頁(yè)

同學(xué)們說(shuō)一說(shuō).

2?布置作業(yè)：

教材第136頁(yè)隨堂練習(xí)第1，

2題；教材第137?138頁(yè)習(xí)

題5.5第1，2，3題.

*5三元次方程組

1.三元一次方程組的相關(guān)概

板書設(shè)計(jì)提綱挈領(lǐng)，支點(diǎn)突出.

念.

2?解三元一次方程組.

1.學(xué)生可能因“未知數(shù)多、步

驟復(fù)雜”產(chǎn)生畏難情緒，需通

過(guò)簡(jiǎn)單例題強(qiáng)化“消元邏

輯”，強(qiáng)調(diào)“每次消元只針對(duì)

一個(gè)未知數(shù)，轉(zhuǎn)化為熟悉的二

元問(wèn)題”.

2?消元過(guò)程中易出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)

教學(xué)反思誤，可要求學(xué)生標(biāo)注消元步驟反思，更進(jìn)一步提升.

（如“①+②得④”），弁養(yǎng)成

檢驗(yàn)習(xí)慣（將解代入原方程

組）.

3?實(shí)際問(wèn)題中，部分學(xué)生難

以提取三個(gè)等量關(guān)系，可通過(guò)

“列表法”梳理已知量與未

知量的關(guān)系，降低建模難度.

第12頁(yè)共19頁(yè)

☆問(wèn)題解決策略：逐步確定

新課導(dǎo)入設(shè)計(jì)

某校購(gòu)進(jìn)72臺(tái)同型號(hào)的錄音機(jī)，由于票上字跡太模糊，末尾上的數(shù)字看不清，只能看出

應(yīng)付3592口元，你能推斷出這次學(xué)校購(gòu)買的錄音機(jī)的單價(jià)和總價(jià)嗎？

教學(xué)設(shè)計(jì)

課題☆問(wèn)題解決策略：逐步確定授課人

1.理解“逐步確定”策略在解決復(fù)雜問(wèn)

題中的應(yīng)用.

分步驗(yàn)證一分步驗(yàn)證一整合結(jié)論”的完

素養(yǎng)目標(biāo)

整思維過(guò)程.

3?體會(huì)從特殊到一般、從具體到抽象的

數(shù)學(xué)思想.

教學(xué)重點(diǎn)分步驟驗(yàn)證條件的方法.

1.理解多個(gè)條件的邏輯關(guān)系.

教學(xué)難占

2-高效篩選公共解的策略優(yōu)化.

授課類型新授課課時(shí)

教學(xué)活動(dòng)

教學(xué)步驟師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

【課堂引入】

問(wèn)題：今有物不知其數(shù)，三三

由古代問(wèn)題引入，介紹該問(wèn)題

數(shù)之余二，五五數(shù)之余三，七

是中國(guó)古代最早的系統(tǒng)化同

活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)情境、導(dǎo)入新課七數(shù)之余二.問(wèn)：物幾何？（選

余問(wèn)題，比西方早一千余年，

自《孫子算經(jīng)》）

增強(qiáng)文化自信.

你知道物品最少有多少個(gè)

嗎？

【探究新知】

活動(dòng)二：實(shí)踐探究、交流新知

一、策略引導(dǎo).

第13頁(yè)共19頁(yè)

提問(wèn)：“如何同時(shí)滿足三個(gè)條

件？能否先滿足部分條件再

逐步縮小范圍？”

(1)找出物品的個(gè)數(shù)應(yīng)同時(shí)滿

足的條件.

物品的個(gè)數(shù)為正整數(shù)，需要符

合三個(gè)條件：

①除以3余2；②除以5余3；

③除以7余2.

(2)逐步確定滿足以上三個(gè)條

件的最小正整數(shù).

符合條件①的正整數(shù)有：

2，5，8，11，14，17，20，

23，26，29，32，35，38，…

(A)

思考：這些數(shù)有什么規(guī)律？

疊加第二個(gè)條件.

在(人)中'符合條件②的正整

數(shù)有：8，23，38，…(B)

續(xù)表

教學(xué)步驟師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

疊加第三個(gè)條件.1.把復(fù)雜的行程問(wèn)題，分解成

在(5)中，符合條件③的正整幾個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題串，學(xué)會(huì)利用

數(shù)有：23，…線段化繁為簡(jiǎn)，梳理題干中的

活動(dòng)二：實(shí)踐探究、交流新知因此，同時(shí)滿足三個(gè)條件的最數(shù)量關(guān)系，理清解題思路.

小正整數(shù)是23.所以，物品最2?培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手操作的能力.

少有23個(gè).此過(guò)程體現(xiàn)了“逐步確定”

二、策略優(yōu)化.策略中“化繁為簡(jiǎn)、分步求

第14頁(yè)共19頁(yè)

討論：當(dāng)數(shù)字較大時(shí)，列舉法解”的核心思想，通過(guò)有序合

效率低，還能怎么改進(jìn)？并條件，逐步縮小解的范圍，

引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)：最終確定唯一解.

1?先找滿足條件①③的數(shù)（同

余2）：23，44，65，86，…

2?再?gòu)?3，44，65，86，…

中找符合條件②的最小的數(shù).

師生活動(dòng)：學(xué)生分小組討論，

教師引導(dǎo)學(xué)生采用逐步分析

的方式確定先求什么，再求什

么，一步步縮小范圍.

【典型例題】

例若三位數(shù)3a8能被12整

除，且a為偶數(shù)，求這個(gè)三位

數(shù).

解：（1）12=3X4，因此這個(gè)

三位數(shù)需同時(shí)滿足被3和4整1.鞏固新知，部助學(xué)生杭理逐

除.步確定的步驟和要點(diǎn)，提高學(xué)

被4整除：末兩位a8能被4生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能

活動(dòng)三：開放訓(xùn)練、體現(xiàn)應(yīng)用整除，且a為偶數(shù)，則a滿足力.

的數(shù)有2，4，6，8.2?變式訓(xùn)練拓展學(xué)生思維，

被3整除：3+a+8=ll+a進(jìn)一步提高學(xué)生分析問(wèn)題、解

是3的倍數(shù)，口a為偶數(shù)，則決問(wèn)題的能力.

a滿足的數(shù)有4.

（2）滿足條件的a值只有4,即

這個(gè)三位數(shù)為348.

【變式訓(xùn)練】

一批蘋果分給學(xué)生，3個(gè)人分

第15頁(yè)共19頁(yè)

乘1]2個(gè)，5個(gè)人分剩3個(gè)，7

個(gè)人分剩4個(gè).這批蘋果最少

有多少個(gè)？

解：(1)找出蘋果的個(gè)數(shù)應(yīng)同

時(shí)滿足的條件.

蘋果的個(gè)數(shù)為正整數(shù)，需要符

合三個(gè)條件：

①除以3余2；②除以5余3；

③除以7余4.

(2)逐步確定滿足以上三個(gè)條

件的最小正整數(shù).符合條件①

的TF整數(shù)有：

2，5，8，11，14，17，20，

23，26，29，32，35，38，41，

44，47，50，53，…(4)

在(4)中，符合條件②的正整

數(shù)有：

8，23，38，53，…⑻

在(B)中，符合條件③的正整

數(shù)有：53，…

因此，同時(shí)滿足三個(gè)條件的最

小正整數(shù)是53.所以，蘋果最

少有53個(gè).

師生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立思考并

作答，然后分小組交流討論，

派學(xué)生代表進(jìn)行講解，教怵最

后進(jìn)行完善.

活動(dòng)四：課堂檢測(cè)【課堂檢測(cè)】

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1.在正方形ABCD中，點(diǎn)P

在正方形ABCD的內(nèi)部，使

得△ABP9Z\ADP，S*BP=S

△BCP?試確定點(diǎn)P的位置.

解：(1)由△ABPZ4ADP，得

NBAP=ZDAP，所以點(diǎn)P在

對(duì)角線AC上.

(2)由SAABP=SABCP，得AP=

CP，所以點(diǎn)P是對(duì)角線AC

的中點(diǎn).

2?三三數(shù)之余一，五五數(shù)之

余一，七七數(shù)之余一，求最小

解.

解：(1)找出這些數(shù)應(yīng)同時(shí)滿

足的條件.為正整數(shù)，且需要

符合三個(gè)條件；

①除以3余1；②除以5余1；

③除以7余1.

(2)逐步確定滿足以上三個(gè)條

件的最小正整數(shù).符合條件①

的正整數(shù)有：

4*7?10*13t16?19?22?

25，28，31，34，37，40，43，

46，…(A)

在(A)中，符合條件②的正整

數(shù)有：

16，31，46，61，…(8)

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在(8)中，符合條件③的正整

數(shù)有：106，…

因此，同時(shí)滿足三個(gè)條件的最

小正整數(shù)是106.所以，最小解

是106.

續(xù)表

教學(xué)步驟師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

3.如圖，已知線段a5和/a，

用尺規(guī)作銳角三角形ABC，

使BC=a，高AD=h?ZB=