數(shù)列

□題型概覽

題型01數(shù)列的概念與表示

題型02等差數(shù)列

題型03等比數(shù)列

題型04數(shù)列新定義

凝型011

1.(2025?四川廣安?二模)已知定義域為(0,位)的函數(shù)/(X)滿足,(*：；琰口)=1,/'⑴-1=0.數(shù)列｛4｝的

首項為1,且%"億.|)一/(4)=—1，則()

A./(In2)-ln2=lB./(〃)>1

C.^2025<生024D.之1

【答案】ABC

【分析】由題意，根據(jù)求導(dǎo)法則，求得函數(shù)/(x)的解析式，代入x=ln2,可得A的正誤；構(gòu)造函數(shù)

^(.v)=ev-x-l,利用導(dǎo)數(shù)求得其最值，可得B的正誤：由函數(shù)解析式求得數(shù)列的遞推公式，利用B才不

等式進行放縮，構(gòu)造函數(shù)證明數(shù)列單調(diào)性，可得CD的正誤.

【詳解】因為,“)?/'(")=i,所以〃x)+M，a)=e',

e

乂;W(x)]'=/*)+xf\x)=ev,-?.xf(x)=e'+c.

取x=l可得f(l)=e+c,由/⑺+礦⑺=?',

令E,得/⑴+/'0)=e.

V/(1)=!,/.C=-1,/./(.r)=—,

x

J'(ln2)=4=log,e,/(In2)ln2=l,故A正確;

In2

設(shè)p(x)=eK-x-1,則(p'(x)=ev-1,

當x<0時，/(x)<0,當x>0時，(p(x)>0,

所以奴x)在(F,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，8(x)1nHi=奴。)=o,

1/29

@(x)=e'-x-1之0,BPe*>x+l?當且僅當x=0時，等號成立.

故f(x)>l,乂〃wN,所以故B正確.

由j/(4+J一/(q)二一1,所以f(%+J=

得了/—

M+in+l

e0°_I

即鏟“=/,”)，所以討“=——，

n

aaf,

=e"-1>(an+1)-1=^,Bla?(c'-1)>0,

因為函數(shù)/(》)定義域為(0,E),

所以a.>0,有即為“NO,

下證數(shù)列｛4｝單調(diào)遞減，即證eJ<e"",即證三」<葭，

即證e“"—lvqe%,即證(l-a.)e"，-l<0,

令g(x)=(1-v)e'-l,貝ijg\x)=-xev,

當x>0時，gV)<0,所以g(x)在(0,y。)上單調(diào)遞減.

因為勺>0，g(/)<g(O)=。，所以。向<%，即數(shù)列｛可｝單調(diào)遞減，

所以0<勺44=1,%025<。2024，故C正確,D錯誤.

故選:ABC.

2.(2025?四川廣安?二模)設(shè)s”為數(shù)列｛%｝的前〃項和，若(〃+1)“=(〃+2電+心+1)(〃+2),

若$=-50,則下列結(jié)論正確的有()

A.4Vo

B.數(shù)列｛%｝為遞減數(shù)列

C.當〃=4時，S”取得最小值

D.當S”>0時，〃的最小值為8

2/29

【答案】ACD

【分析】根據(jù)已知條件和累加法求出數(shù)列｛%｝的前〃項和S”，再利用4與S”的關(guān)系式求出數(shù)列｛為｝的通項

公式，再結(jié)合已知條件逐項計算判斷即可.

C

(詳解】由條件可知電=(〃+1)5^+(〃-1)小(〃+1)(/7>2,/zeN')得-^-=/?-1(/7>2,/7GN

〃+1n'

S,S.,S3s2css.,

.?一一一L=l,」一一L=2,J-n-----^a=n-l,

3243w+1n

累加得，二-2=1+2+…+(〃-l)二華”，

〃+122

故2s51〃-50(〃之2,〃wN'),當〃=1時，*=一50滿足上式,

.0n3-5l?-50

??J=----------------?

02

當〃N2時，牝=17_”-：〃-50

對FA,q=-7<0,故A正確;

對千B,由于函數(shù)^二3/一2'-50,其圖象對稱軸為x=；,當了之!時函數(shù)遞增,

故行〃22時，3/3〃50單調(diào)遞增,又=-50,?2=5,-5,=-22,

2

???｛/｝單調(diào)遞增，且。]<。2</<。4<0<。5<。6<.......，故B錯誤；

對于C由B可知4<%<小<。4<0</<4<........，

當〃工4時，｛S.｝單調(diào)遞減，當〃25時，⑸｝單調(diào)遞增，且S/Ss，

二.當〃=4時，S”取得最小值，故C正確;

對于D,當〃25時，｛'｝單調(diào)遞增，又邑=7,5；7二50=-32<0,斗=占詈二"=27>0,

「?當S”>0時，〃的最小值為8,故D正確；

故選：ACD.

3.(2025?四川成都?二模)已知數(shù)列｛%｝的通項公式q=盧二，前〃項和為則()

2〃一15

A.數(shù)列｛丁二｝為等差數(shù)列

2q,T

aa

B.3HeN*?使得n+]>n

C.當〃=8時，S.取得最小值

3/29

a"/\

5.(2025?四川?二模)若等比數(shù)列應(yīng)｝的前〃項和S”=1+Z,則數(shù)列｛logaSM^)｝的前〃項和

Tn=.

【答案】r+2n

【分析】根據(jù)S,,求出(，進而可得｛10g3(%4+j｝的通項，再利用等差數(shù)列前〃項和公式求解即可.

927

【詳解】因為S'+Z,所以q=E=—+Grz,+67,=S2=y-i-/,

QI

所以生=9,a,+a2+a3=S3=—^t,所以/=27,

a27

所以等比數(shù)列｛〃“｝的公比為。=?=§=3,所以生=3%=9,解得q=3,

所以E=?刈1=3",記"=1*34%+1），則4=1弟3（3"3川）=2/?+1,

所以7；=々+4+...+"=3+5+...+2/?+1=（3+2;+1）〃=〃42n,

故答案為：//+2〃

6.(2025?四川德陽?二模)數(shù)列｛%｝中，滿足4=1,1小懸(〃eN)則q+%+…+%)25

2025,1012

【答案】-------1---------

10131013

【分析】先利用“累乘法”求數(shù)列應(yīng)｝的通項公式，再利用“裂項求和法”求和.

【詳解】因為…磊，所以黃若

所歸a4且建…2=與（心2

生445%〃+1

an2(\1A

各式相乘，可得：；=而二=%=2----------7，

顯然q=i滿足上式，則見=2(，-一二],

V?n+\J

所以數(shù)列｛謂的前〃項和為邑=2(1一＞沼+宗卜..4篇=2(1一馬=磊

2x2025二2025

所rr以il/+%+…+，025=50J1

4U4J-i1-1013

2025

故答案為:

1013

7.（2025?四川?二模）已知數(shù)列｛q｝中，q=l,a“=a”_]+3〃-2（?€N\旦〃22）,則通項公式（=（）

A.3〃?+2口3，/一3〃+2

D?----------------

22

5/29

(〃-1)(3〃+2)

1-7?

22

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，利用累加法，結(jié)合等差數(shù)列前〃項和公式求出通項公式.

【詳解】當〃22時，%=%+3”2,即4-%_]=3〃-2,而4=1,

所以4=叫+(。2…=+++…+n-)

_?(1+3/?-2)_3/z2-n

6=1滿足匕式,

一22

所以所求通項公式為勺=叫士

"2

故選:C

8.(2025?四川?二模)數(shù)列｛《,｝中,4=2,記｝+…+紇=7丁,

則()

A.42024+82024>1B.4(>24+82024V1C.-^2024—^2024>三D.^2024—^2024<萬

【答案】C

1111a-I

【分析】根據(jù)一=-7------即可累加求解加,由一即可累乘求解424,即可判定AB,利

aal

nn~4"+|T%a^\~1

用%+「%=a；-24+1=&-1)220可得，必>7,即可求解CD.

【詳解】由4“+1=片-%+1可得q+|-1=4（氏T），

由于《=2,所以4―100.

I11111I

-----------=------------------------------=--------------------------------=>---------=--------------------------------------------,

.-1a(a,-\]a?-\a?a?a-1a,-1'

Inn\n/nnftnn+1l

又%+「l=a"(%-1)可得—=

人111a1一la,一1—1—11

因此g024=------——=-X—-X-X」-----------

qa2-24a2Ta3T.25一1.25一?為心一

故.2024+與024=1，故AB錯誤，

又。川-％=。；-2(+1=(%-1)%()，又因為6=2,則等號無法取到,

6/29

故02O25>a2O24）“2023>…%，

21

由于。2=3,%=7,故1025>7,因比-----<-

02025~1$

221

^2024-^2024=1------T>故C正確，D錯誤，

峻-132

故選：C

【點睛】關(guān)鍵點點暗：將。川=。：-%+1變形為'=-7-----T和,二'1二），即可累加以及累乘求解

4%T勺+「1%。川-1

4OM>^2024?

鼠理02

9.（2025?四川?二模）已知等差數(shù)列｛%｝的公差4工0,其前〃項和為S"，若S1S、2,則下列結(jié)論中正確的

是（）

A.:t/=-17:2B.S18=0

C.當dvO時，EV。/D.當d>0時，4+原>0

【答案】ABD

【分析】利用等差數(shù)列前〃項和公式得4=4+24，結(jié)合等差數(shù)列通項公式有冽+17d=0,進而得

%十%=0,再依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)依次判斷各項的正誤.

【詳解】由題設(shè)6儂；"6）=12（q;%）,則4=%+2%,進而有2%+17d=0,

所以％+4=0,故?=一］,品=18（%：%）=o,AB對；

d22

由。1+%8=4+4”=。，即&=一“13，故1%1=1卬31恒成立，C錯；

當d>0,等差數(shù)列｛4｝為遞增數(shù)列，則44>。心>0>4且14Hq31，故4+陽>（），D對.

故選：ABD

10.（2025?四川?二模）已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S”,若為+%=4+2,則Sy

【答案】30

【分析】根據(jù)題意可求出/=求進而可求&

【詳解】由題意1+%=以=4+2,則%=2,

7/29

所以S”15(。；%)=“30.

故答案為:30

11.(2025?四川達州?二模)已知S”為等差數(shù)列｛為｝的前〃項和，生=2方5=5〃4-10,則氏=()

A.4B.8C.16D.32

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，列式求出數(shù)列的公差，進而求出名.

【詳解】在等差數(shù)列｛勺｝中，%=2,工=棗等=迎產(chǎn)=5+；%,

乙乙乙

又邑=5%-1(),則5+：4=5%-10,解得4=6,則公差"=用"=2,

所以%=%+d=8.

故選:B

q

12.(2025?四川雅安?二模)記S.為等差數(shù)列｛叫的前〃項和，若%+%=10，的9=65,則」=()

A.14-〃B.n-2C.12-〃D.n-4

【答案】D

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出。5與生的值，進而求出首項6和公差d，再根據(jù)等差數(shù)列的前〃項和公式

求出邑，最后得出Z的表達式.

n

【詳解】已知｛可｝是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得%+%=%+%=2%=10,則為=5.

又因為%，=65,所以5ag=65,解得旬=13.

設(shè)等差數(shù)列應(yīng)｝的公差為(根據(jù)等差數(shù)列通項公式一+(…，可得仁;修需解得公2,

4=-3.

根據(jù)等差數(shù)列的前〃項和公式可得S“二〃x(-3)+若1x2=-3#+〃(〃-1)=/-4〃.

將S,二〃2-而代入工可得：屋=±1加=〃_4.

nnn

故選：D.

13.(2025?四川廣安?二模)廣安白塔始建于1174年至1224年間，塔的一至五層為石結(jié)構(gòu)，六至九層為磚

結(jié)構(gòu)，每層均為四方結(jié)構(gòu)(即每層底面為正方形)，P為第一層下底面四邊形的外接圓。內(nèi)一點，經(jīng)測算，

8/29

每一層的高度恰為過P的弦的長度的二分之一，并構(gòu)成等差數(shù)列，頂層的高度為過點P的圓的最短弦長度的

一半，第一層的高度為過點尸的圓的最長弦長度的一半.已知該塔第一層底面四邊形的邊長為5及米，

|OP|=3米，則塔高為（）

A.41米B.40.5米C.39.5米D.38.7米

【答案】B

【分析】先根據(jù)已知得出力,知,再結(jié)合等差數(shù)列求和公式計算求解即可.

【詳解】由題意，底面為正方形且第一層底面四邊形的邊長為5及米，最長弦長為直徑，即

a=-x5五x=5米，

2

最短弦長和最長弦長垂直，由弦長公式得知=X/52-32="=4，

,%=4,所以壯也包=到34。.5米.

22

故選:B.

14.（2025?四川?二模）已知各項都是正數(shù)的數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，且S“=3+'-,則下列說法中正

確的是（）

A.—B.⑶｝是等比數(shù)列

C.，*S.2Vs3D.S.+SQ2S”,、

【答案】c

【分析】由題目條件推出S；-S3=1,再得到S：=〃，即S”=?,利用/與S0的關(guān)系計算出生，即可判

斷A；由S；=〃即可判斷B,利用基本不等式疝4等（凡力CR+）即可判斷C、D.

【詳解】由題意知%>0,且S,吟+?-,

9/29

當"=1時，4=5=3■+，",解得S=q=l,

當"22時‘2="2*'+2(S,,_S.j

整理可得s；-S3=1,

所以數(shù)列｛S；｝是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列,

所以S；=〃，則Sn=y/n.

對卜選項A>囚為/=S2—S[=>/?.—1<%，故A錯誤;

對干選項B,因為S；=〃是等差數(shù)列，故B錯誤;

對于選項c,因為，a+2=〃?J[花＜絲產(chǎn)=〃+l=S2,故C正確;

對于選項D,因為2SN=2V^TT=j4〃+4,

Sn4-Sn+2=\Tn+J〃+2=J(G?W〃+2)

=\2/?+2+2\ln2+2n<j2〃+2+(〃+〃+2)=j4〃+4,故D錯誤.

故選：C.

15.(2025?陜西漢中?二模)設(shè)數(shù)列｛g｝的前〃項和為S“，若2S“-a”=〃2,〃eN.

(1)證明：數(shù)列｛/十勺列是等差數(shù)列;

(2)求$20.

【答案】(1)證明見解析

(2)210

【分析】⑴降次作差得勺+。1=方-1,再升次作差即可;

(2)直接累加并利用等差數(shù)列求和公式即可.

2

【詳解】(1)v2Sn-an=n,

.?.當〃之2時，2S,i_ai=(〃_1)2,

兩式相減得2Sn—Gn—[2Sn_,—?！癬])=，廠一(〃-1)=2〃—1,

乂2s“-a”-(2S〃T-1)=2sti-25?_1-an+an_｝

10/29

=初一%+%

4+%

=21，

故(凡7+〃.)-(/+/-I)=[2(〃+1)-1]一(2〃-1)=2,且%+q=3,

所以數(shù)列｛。向+6｝是以3為首項，公差為2的等差數(shù)列.

(2)由(1)知%+%=2〃-1(〃22),

所以S20=,]+%)+(%+&)+(%+%)+…+(〃19+。2。)

10x(3+39)

=3+7+11+…+39=——----^=210.

2

16.(2025四川二模)已知數(shù)列｛q｝是公差大于0的等差數(shù)列，數(shù)列1的前〃項和為

1%%J

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

k.n=a..

｛J，keN.

(i)試寫出4，人,4的值；

(ii)求數(shù)列｛2｝的前20項和S“.

【答案】⑴勺=3〃-2

(2)(i)4=1也=2力=2：(ii)408

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列基本量的計算可得公差和首項，即可根據(jù)通項公式求解，

(2)根據(jù)題意可得則力"_2=〃，&=2",%T=2"，即可利用分組求和，結(jié)合等差和等比數(shù)列的求和公式求

解.

【詳解】(1)設(shè)｛%｝的公差為"，

令〃=1,得y^-二Z，故4%=4,即4(%+")=4,

112

令〃=2,得---+----=-,故%%=28,即(q+d)(q+2d)=28,

。2a3

山于d>0,則解得q一Id=3,

11/29

故%=3n-2,

(2)(i)當〃=故々=1,

A=1時，1=4<2<3<&+|=4,

所以62=2=2,63=2=2,

(ii)由題意可知：ak<ak+\<ak+2<ak+lf

當〃二生時，b4=k,則%=〃,.?.廉_2二〃，

當〃=4+1,\+,=2*,則％川=2",.?也”一尸2”,

當"=%+2,/+2=2、則%+2=2",.?.&=2",

所以$30二4+力2+4+…+4”

=("+"+…+&_2)+(“+4+%)+(4+4+,??+&)

=(1+2+...+〃)+(2*+?+.-+2,)*2|+f+-??+?)

一心辿亞3

一I八乙

21-2

=^10+2-_4,

2

7X2

因此S2o=S21-&|=三一+29-4-2?=408

17.(2025?四川?二模)已知等差數(shù)列｛仆｝的前〃項和為邑,〃9+q=55,則品,=()

A.880B.440C.11()D.220

【答案】B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)偈+/=4+4。根據(jù)等差數(shù)列｛見｝前八項和公式即可求解.

【詳解】因為49+%=55,所以4+46=55,故S|6=?(a]+66)=8x55=440,

故選:B.

18.(2025?四川?二模)設(shè)S”是等差數(shù)列｛6｝的前〃項和，且品-1=21,貝37=()

A.17B.34C.51D.68

【答案】C

12/29

【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列性質(zhì)及前〃項和公式求解即可.

【詳解】等差數(shù)列｛〃“｝中，&+。，+48+%+〃+卬+62=￡2-55=21,則7%=21,解得％=3,

所以5=17伍；67）=]749=51.

故選：C

19.（2025?四川?二模）已知等差數(shù)列｛叫的前〃項和為工，且4s廣5$4=20,4=1,則（）

A.^=-11

B.S9=-9

C.當〃=5時，S.取得最小值

D.記”=生“，則數(shù)列｛4｝的前〃項和為2〃2-9〃

【答案】BCD

【分析】運用等差數(shù)列的通項公式?！?%+（〃-1）”和求和公式￡=/咐+若”1,結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可解.

[詳解】由題意可設(shè)公差為d,則有S$=5a,+"[I=5q+lOda=4q+當山/=6+相仆=%+5d

,c”“，f4（5q+10d）—5（44+6d）=10d=20[d=2

由4ss-5s4=20,6=1有：VVjn｛c，故A錯誤；

綜=q+5d=1⑼=-9

Sq=9al+，）d=9x（-9）+36x2=-9,故B正確；

5=叫+^211八~9〃1〃（1）x2=/（?-10）.由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：

22

當力=5時，S”取得最小值，故C正確：

因為%=-9+-I）x2=2〃-11,

所以”-?2,1=2x2/z-11=4/z-11=＞一"=4（〃+1）—11一（4〃-11）=4,

所以他｝為等差數(shù)列，公差為4,首項為々=4xl-ll=-7,

所以也｝的前〃項和為：—7〃+"；』X4=2〃2-9〃,故D正確.

故選：BCD.

20.（2025?四川?二模）已知S,是等差數(shù)列應(yīng)｝的前〃項和，若生+4+4=-3,S8=-I2,則數(shù)列｛黑｝的首項

4=()

13/29

【答案】B

【分析】由已知條件，利用等差數(shù)列通項與前〃項和基本量的計算，列方程組求出首項和公差.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為4,因為%+卬+。6=-3,可得3%=-3,即見=7,所以q+3d=-l,

又因為$8=-12,可得為|+28d=-12,即2%+7d=-3,聯(lián)立解得叫=2,d=-\.

故選:B.

21.（2025?四川?二模）等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S”，若3%+邑=12,4?4+54=28,則“5+85=（）

A.30B.50C.20D.40

【答案】B

【分析】根據(jù)條件求等差數(shù)列的首項和公差，再根據(jù)通項公式，即可求解.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項為4,公差為d,

所以〃％+S1t=叫+n(n-1"+〃％+—-4/=2?%+1(z-1

，得q=T,d=2,

3

8q+—x4x3d=28

'2

2

所以nan+Sn=-2/7+3n（n-1）=3^z-5n,

所以505+85=3x52-5x5=50.

故選：B

22.（2025?四川?二模）等差數(shù)歹1」｛可｝的前〃項和為5,,,%=7,吳=7。2,貝lj%=.

【答案】13

【分析】由等差數(shù)列的前〃項和和等差中項的性質(zhì)求出公差，再由等差數(shù)列的通項求出最后結(jié)果即可.

【詳解】因為｛%｝為等差數(shù)列，

所以&=5（。；%）=93=7%,

所以。2=5,

所以^二%-%=2,

所以。6=%+%=7+6=13,

14/29

故答案為：13.

＜型等比數(shù)列

23.(2025?四川雅安?二模)在公比不為1的等比數(shù)列｛%｝中，若%o”=l,且有

…％=卅2…a,?_5卜?eN*/w>5)成立，則〃?=

【答案】10或4049

【分析】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為夕，由％0”=1，可得力二夕一2。24,利用通項公式化簡條件等式

2

…生=《生…。吁5W>5),可得m-4059/w+40490=0即可求解.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為q，且4/1,

由425=1，則4?嚴JI，故。尸產(chǎn)

又@同2…%=4的…4-5(用>5),

7?47，”工

二.4-L-a[q=a{-ayqI.?aq

jn-51+24.?m-6Hri.("‘""一"…)

...，嚴d\q，即n=2

...1=%N°V「--%又可二4岫

1-51-6

(m-5Xm-6)W4f10v^^)io

(-5)(^-6),

,-2024(*10)+Wio=o

2

化簡整理得一4059〃?+40490=0,即(加—4049)(〃?-10)=0,

解得m=10或用=4049,均滿足川＞5.

故答案為：10或4049.

24.(2025?四川自貢?二模)已知數(shù)列｛為｝的前〃項和S'=W』(〃cN?)，數(shù)列｛"｝是正項等比數(shù)列，滿足

4=/，4=4.

(1)求｛4｝,也｝的通項公式;

[a,(n=2k-i),、

(2)設(shè)c“=1jnJ、？4)pwN),記數(shù)列｛(qj的前〃項和為7；,求小.

15/29

n

【答案】⑴凡=〃（〃€N?），bn=2

4§°+7496

⑵G=亍

【分析】（1）由數(shù)列通項公式與求和公式的關(guān)系求出％,以及等比數(shù)列的通項公式求出"，可得答案;

（2）由分組求和，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式，可得答案.

【詳解】（1）因為S“=WL（”GN*）,

所以〃=1時％=1.

當〃22時，s|=（〃7）、

I2

所以…f,=立士一位二匹也二且〃Rz2），

nnn-l2、7

6=1，滿足%=〃，所以a“二〃（"eN）,

數(shù)列出｝是正項等比數(shù)列々=%=2,4=4=8.

所以公比9=2,〃=2".

=2Ar-1)

(2)由(1)知%=wN),

'2n,(n=2k)

%=(1+3+5+…+99)+(〉+，+…+繆),

50(1+99)4x(l-4")_4x(449—114'°+7496

a=

21-433

25.（2025?四川?二模）已知正項等比數(shù)列｛〃“｝滿足。2。=。3且4+。2=3,則公比為.

【答案】1/0.5

【分析】設(shè)數(shù)列公比為小然后由等比數(shù)列通項公式結(jié)合題意可得答案.

【詳解】設(shè)數(shù)列公比為4,因生”=。3則。/1=./）2=q=夕

3->3（1V3A1

又％+%=:，則=q+不卜0=4=晨.

4412人2J2

故答案為：7

26.（2025?四川?二模）設(shè)｛。,f｝是各項均為正數(shù)的無窮數(shù)列，其前〃項和為工.

16/29

⑴若用q+2=4+i對任意,都成立，且2s““=S〃+2.

①求數(shù)列｛%｝的通項公式；

②已知首項為々，公比夕滿足同<1的無窮等比數(shù)列k”｝,當〃無限增大時，其前〃項和無限趨近于常數(shù)廣」，

1一9

則稱該常數(shù)為無窮等比數(shù)列上｝的各項和.現(xiàn)從數(shù)列｛%｝中抽取部分項構(gòu)成無窮等比數(shù)列低｝,且｛a｝的各

項和不大于《，求4的最大值.

（2）若?%.2-對任意〃€N’都成立.‘試證明：（qq“+2）5之（?2?31??明+］尸?

【答案】（嗚,；（/=+

（2）證明見解析

【分析】（I）①應(yīng)用等比數(shù)列及工Si=%計算求解得出通項公式；②應(yīng)用求和公式結(jié)合指數(shù)運算計算求

解得出最大值即可；

（2）先應(yīng)用分析法將問題轉(zhuǎn)化為4.小端久一2…夕押.f,再分〃為奇數(shù)和〃為偶數(shù)兩種情況分別證明即可.

【詳解】（1）①因為揚花'=〃川對任意〃wN?都成立，所以%七.二。；，且%>0,所以皿=也，

?！?1an

則數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，乂257=5“+2,〃€^,〃之2,2，=57+2,

作差得2。/1=4，〃eN］?N2,,所以"^J=5，

又數(shù)列｛勺｝為等比數(shù)列，故數(shù)列｛/｝的公比為:，

又因為2s2=$+2,所以2（q+g“J=q+2,所以6

=1,

所以｛%｝是以1為首項以；為公匕的等比數(shù)列，

所以數(shù)列口｝的通項公式為/=1x1/=出］

②因為凡=1,設(shè)數(shù)列A=L,公比為-,其中叫AwN',

\2）\2）

■■

則數(shù)列｛a｝的各項和等于號、r，所以不

1VJ

17/29

又因為0<1-J<1,所以可=（；了、七,

1

當4=圖”時,由與5r4，得J

1-1出呼,

(2

IX*

即L?白時滿足題意,所以。nW

\2)1O1o

（2）記號*=%,〃wN”,因為?/+2之對任意〃eN?都成立,且%>0,

得%1之&2…之生，即仇3>---></2>^>0,

%.lana1

要證:（q*2尸之（。2。3…%）九

只需證：（。得“.2）”之（。2。3…％+J）

只需證：。：（。必%%3/&）”?[（4小）何夕必卜?包％%…夕"I,

只需證:…西北海沙夕泮…9："，

只需證:夕3訓(xùn)；夕尸…渭廣，

n-44型

%

若"為奇數(shù)，只需證<1,

闈像n夕,1夕”.3

q空

2

因為%+i切”之…2%2%>0,所以生,-----￡（0』,

夕,川q“%Tq臉

”（、。

因為%+i2"之…2外之名>。，所以旦，"，&，----€（0^]<又q?=1，

q*l9"Qn-iqn、T+,

18/29

/\n/、"-2/、

所以出”生41成立;

\夕"+i))14"-i>

綜上可知，對任意〃wN.，不等式（q*+、）32（%%…?！?1）’都成立.

【點睛】方法點睛：解題的方法是對分析法的應(yīng)用將要證明不等式轉(zhuǎn)化為唱+小媚夕—…夕押.-，即可分類證

明.

27.（2025?四川南充?二模）在遞增的等比數(shù)列血｝中，a2a.=8,q+a=9,則數(shù)列｛仆｝的公比為（）

A.yB.2C.3D.4

【答案】B

【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)有生6=。4=8,易知"牝是方程.d-9x+8=0的兩個根，再由已知及等比數(shù)

列的通項公式求公比.

【詳解】由題設(shè)=8,易知?！卑欠匠?，-9x+8=0的兩個根,

又｛叫為遞增的等比數(shù)列，所以q=l,%=8,故公比q=（2"=2.

a\

故選:B

28.（2025?四川?二模）記數(shù)列｛%｝的前〃項和為S”.

（1）設(shè)4=1,若邑=24-1,求｛q｝的通項公式；

（2）記/（＞）=1+》+/+/++x”，設(shè)（:川⑵，求S”.

【答案】⑴%=2"T

（2）S”=（〃-2）X2"“+〃+4

【分析】（1）由%,S”的關(guān)系即可求解，

（2）通過求導(dǎo)確定通項公式，再由錯位相減法、等比數(shù)列求和公式即可求解；

【詳解】（1）當〃22時，%=S「S吁\=,整理得工=2,當〃=1時，有q=l=S-

Qn-\

數(shù)列｛4｝是以4=2為公比，以％=1為首項的等比數(shù)列，所以%=2"，

(2)當xwO時,

19/29

/(x)=l+x+/+jr'+…+x”=--------，

x-I

所以小戈(…),

(z)

所以e=/⑵=(〃+1)2"-(2"J1)=〃?2"-2”+1,

令…?2\其前”項和為刀,，

A7；=lx2,+2x224-3x23+4x244-...+(/7-l)-2rt-,+/r2H@

??.27；,=lx22+2x234-3x244-4x25+0?-l)-2rt+?-2n4,(2)

①一②得：-7；=2+1x2?+1x23+…+1x2"-〃?2""

=(l-n)-2B+,-2.

A7；=(/j-l)-2n+l+2.

令c'=2",其前〃項和易知為：2用-2，

所以S。二(〃-1)-2向+2—(2向一2)+〃=(〃-2)、2""+〃+4

29.(2025?四川?二模)等比數(shù)列｛q｝的前〃項和為S“，且。L2,甸+%=8,則S§=()

A.63B.48C.31D.15

【答案】C

【分析】根據(jù)等比數(shù)列基本量的計算可得公比和首項，即可由求和公式求解.

【詳解】令等比數(shù)列｛%｝的公比為夕，則%=%夕=2,4q+%=6(4+d)=8,

解得4=1,q=2,所以工=二-=31.

1—2

故選:C

30.(2025?四川?二模)已知等比數(shù)列｛為｝的前〃項和為S”，若8s6=753,則公比。=()

A.q=2B.=-C.q=-2D.夕=一;

【答案】D

【分析】根據(jù)等比的求和公式即可求解.

【詳解】由8s6=7$3可知公比4工1,則稱=N=l+/=2

311—qX

20/29

解得夕='

故選：D.

31.（2025?四川?二模）已知數(shù)列｛凡｝滿足％="（4?！?1”向=3%，S”為數(shù)歹I」」■的前〃項和.

（1）求證：數(shù)列，-2是等比數(shù)歹IJ；

（2）求數(shù)列｛4｝的通項公式；

I

（3）求數(shù)列J■的前〃項和Sn.

【答案】（1）證明見解析

3”

⑵%=

23,一1

(3?“=2〃一；+1

【分析】（1）對題設(shè)中的遞推關(guān)系變形后可得一L-2=：L-2,故可得|J_-2是等比數(shù)列;

%+i3”）[an

（2）由（1）結(jié)合等比數(shù)列的通項公式“J■求｛4｝；

（3）利用分組求和法可求S”.

【詳解】（1）對（也+1）.=3?！罢碛校?aMi7+—=3/，

I3

等式兩邊同時除以可得4+—=—,

%am

等式兩邊再同時減6得，-2二3（」一一21，即」--2=^-（--2

又由可得2=-9工0,故~!~-200,

5434

則數(shù)列,-2是首項為-：，公比為1的等比數(shù)列.

對33

（2）由（1）得的通項公式為，-2=-《,

凡an3

得卜24,所以丁=3”

2?3”-1

21/29

（3）由（2）知，=2-"，

n

所以舄=（2.我2城+...+（2城=2?.（3身?“+，

1

r3Alic1?

=2/7-----1------------二2〃-T--------.

y）22-r

3

32.（2025?四川?二模）下圖數(shù)陣的每一行最右邊數(shù)據(jù)從上到下形成以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，

每行的第〃個數(shù)從上到下形成以2川為首項，以3為公比的等比數(shù)列，則該數(shù)陣第〃行（〃eN1所有數(shù)據(jù)的

和邑=?

第一行1

第二行321

第三行9622

第四行27181223

第五行8154362424

【答案】3"-2"

【分析】先寫出第〃行的項再根據(jù)等比數(shù)列求和即可.

【詳解】因為每行的第〃個數(shù)從上到下形成以2M為首項，以3為公比的等比數(shù)列，

所以Sa=3°x2fl_,+3*x2"-2+32X+…+3,,_,x2°,

z\?-2/八。-3/八°

r+田卜（川

一，2、/

=3"x1--=3"-2".

故答案為：y-2n.

33.（2025?四川?二模）已知數(shù)列｛%｝滿足。3=%?！?2,若q=:M4=4,則S4=.

&

【答案】y/7.5

【分析】由題意可得數(shù)列4等比數(shù)列，得到首項與公式后借助等比數(shù)列前〃項和公式計算即可得.

【詳解】