2025-2026學(xué)年甘肅省安陽市環(huán)縣一中高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共9小題，共45分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.下列函數(shù)中，隨雙%>0）的增大，增長速度最快的是（）

A.y=1B.y=xC.y=2XD.y=ex

2.已知集合力={x\xW1或％之21,B=[x\a-l<x<a+l],若力UB=R,則實數(shù)a的取值范圍為（）

A.1<%<2B.1<x<2C.1<x<2D.1<x<2

3.一組數(shù)據(jù)由幾個數(shù)組成，其中這幾個數(shù)的平均數(shù)為a,若在該組數(shù)據(jù)中再插入一個數(shù)字a則這組數(shù)據(jù)（）

A.平均數(shù)變大B.方差變大C.平均數(shù)變小D.方差變小

4.若一系列函數(shù)的解析式和值域相同，但定義域不相同，則稱這些函數(shù)為“同值函數(shù)”.例如函數(shù)y=

[1,2]與函數(shù)y=[一2,—1]即為“同值函數(shù)”，給出下面四個函數(shù)，其中能夠被用來構(gòu)造“同值函

數(shù)”的是（）

x3

A.y=（1）B.y=xC.y=log2xD.y=|x-1|

5.已知m,n是不同的直線，a,￡是不同的平面，則（）

A.若a〃入m//a,n〃￡,則m//nB.若?！??,mA.a,n//^,則m〃八

C.若a>!_/?,mLa,nip,則m_L?iD.若a_L0,m//a,n//p,則m1幾

6.命題p：Vxe[-1,1],dvQ為真命題的一個充分不必要條件是（）

A.a>1B.a<0C.a>2D.a<1

7.已知Wsizia—'cosa=h，則cos（2a+今）的值為（）

A.BC'|口]

8.已知tana=2,tan（a+?=-l,則;黑;幺=（）

AiiB.52C.21

9.已知乙瓦7均為單位向星，且3日十萬I=-2?@?方，貝人）

A.a1（a+2b）

C.當實數(shù)t變化時，|五+正|的最小值是^

D.若V7,a>=<a,"b>,則五?6-3）=0

二、多選題：本題共2小題,共12分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

第1頁，共14頁

10.已知復(fù)數(shù)Zi，Z2互為共扼復(fù)數(shù)，則()

A.㈤=\z2\B.Zj-z2=Ml?㈤

D?郎=屐)2

11.已知實數(shù)x,y滿足謨＜。"0＜。＜1),則下列關(guān)系式恒成立的有(

A.x5>y

C.\n(x-y+1)>0D.sinx>siny

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.a=(2,l)5=(m,-2),若方與石的夾角為鈍角，則血的取值范圍是____.

A

13.函數(shù)/(%)=2-|log05x|-1的零點個數(shù)為_____.

14.在三棱錐P-A8C中，LPCB=LABC=90°,PC=2,AB=3,BC=4,AP=V~29,則該三棱錐外接

球的表面積為______.

四、解答題：本題共5小題，共78分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題14分)

已知函數(shù)/?(%)=舞是定義在［-1,Q+可上的奇函數(shù).

(1)求/(%)的表達式；

(2)判斷/(%)在區(qū)間［-1,Q+b］上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論.

16.(本小題15分)

已知函數(shù)f(%)=2sinxcosx+2cos2x—1.

(1)求/(%)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若aW(，弓與且/'(a)=乎，求cos2a的值.

17.(本小題15分)

在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知ccos?=asEC.

(1)求角力的大??；

(2)若Q=2,當△力BC的周長取最大值時，求△/18C的面積.

18.(本小題17分)

某市舉辦了黨史知識競賽，從中隨機抽取部分參賽選手，統(tǒng)計成績后對統(tǒng)計數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率

分布直方圖.

(1)試估計全市參賽者成績的第40百分位數(shù)(保留小數(shù)點后一位〕和平均數(shù)(單位：分)：

第2頁，共14頁

(2)若用按比例分配的分層隨機抽樣的方法從[50,60),[60,70),[70,80)三層中抽取一個容量為6的樣本,

再從這6人中隨機抽取兩人.求抽取的兩人都及格(大于等于60分為及格)的概率.

19.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P-4BCD中，側(cè)面J■底面;4BCD,底面ABC。為矩形，PA=PB,。為八8的中點，OD1PC.

(1)求證：0clpD；

(2)若。。上存在點M,使得。M〃平面PBC,求為的值:

(3)若PD與平面P8C所成角的正弦值為手,48=2,求四棱錐的P-A8CD的體枳.

第3頁，共14頁

由題意得到函數(shù)不單調(diào)才能符合要求，48。錯誤，。中y=|x-1|不單調(diào)，且可舉出實例.

本題主要考查函數(shù)值域的求解，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：A：若a/",m//a,n//p,則m//n或m,n異面或m,n相交，故/錯誤；

B：若a///?,m1a,n///7,則m1n,故8錯誤；

C：若a_L夕，77i_La,n1/?,則771J.n,故C正確；

Dt若al./?,m//a,n///?,則7nln或m,九相交，或m,n異面，故。錯誤.

故選：C.

由面面平行，線面平行的性質(zhì)可得力錯誤；由面面平行，線面垂直的性質(zhì)可得8錯誤；由面面垂直，線面

垂直的性質(zhì)可得。正確；由面面垂直，線面平行的性質(zhì)可得。錯誤.

本題考查空間中各要素的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.

6.【答案】C.

【解析】解：因為p：VxG[—1,1]*%?v。為真命題，

因為04工241,

所以Q>1，

故p為真命題的一個充分條件為a>2.

故選：C.

結(jié)合仝稱量詞命題的真假關(guān)系先求出p為真時a的范圍，然后結(jié)合選項即可求解.

本題主要考查了全稱量詞命題真假關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】A

【解析】解：sina-^cosa=

由輔助角公式可得，sin(a

?5J

所以cos(2a+=-cos(2a—穹)=2sin2(a—-1=—

故選:A.

根據(jù)兩角和差正弦公式及二倍角余弦公式計算求解.

本題主要考查了和差角公式，誘導(dǎo)公式，二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】D

【解析】【分析】

第5頁，共14頁

本題主要考查了和差角公式在三角化簡求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)tsi/?=tan[(a+/?)-a],結(jié)合兩角和差的正余弦公式與同由三角函數(shù)的關(guān)系化簡當三號求解即可.

【解答】

解：因為tana=2,tan(a+/?)=-1,

所以tan/?=tan[(a+/?)—?]=:=二=3,

f一」i+tan(a+0)tana1+2x(-1)

rj-pisin(ct-/?)_sinacosfi-cosasinfi_tana—tanft_2-3_1

cos(a+。)-cosacos/?-sinasin/?-1-tanatan/?-1-2x3一5,

故選：。.

9.【答案】D

【解析】解：因為高工：均為單位向量，且|3五+臼=-2"5反

所以10+6方?b=280?石產(chǎn)，解得五?b=￡或,?匕=—今

對于4當五.石=飄，a-(a+2b)=a2+2a-?=l+y*0,

所以五與五+21不垂直，故力錯誤；

對于8,當五不=?時，|五+瓦=J/+J2+2五?4=聲二空

當心力=—；時，|3+石[=]方2+,+21?\=\/2-1.=1,故8錯誤：

對于C,當N?石=,時，|五+而|=J出+1+2也?石=J(t+H7)2+1一伍.1)2=J(t+、)2+4工2^5,

當整1=,時，|a+tb\=Vt2+l+2ta-~b=J(t+a-b)2+1-(ab)2=故C錯誤;

對于0,因為V：,a>=<a,b>,且優(yōu)b,：均為單位向量，

所以五二二五?無所以瓦?石一五二二0,即五?(石一：)=0,故。正確.

故選：D.

由條件及向量的數(shù)量積運算可得五不=，或=-熱計算五,0+26的值判斷4由向量模的求法計算成+

H的值判斷8：由向量模的運算和二次函數(shù)的最值求解可判斷C；由數(shù)量積的定義計算可判斷D.

本題考查平面向量的數(shù)量積與模的計算，屬于中檔題.

10.【答案】ABC

【解析】解：因為復(fù)數(shù)zi，Z2互為共輒復(fù)數(shù),所以設(shè)句=。+為則Z2=a—6,a,bER,

22

對于4,0|=\z2\=>/a+h,故A正確；

2222

對干8,ZiZ2=a+b,\zx\?\z2\=a+bt故5正確；

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2222=_22

對于C,Zj-z2=2bi,|Zi-z2\=(2b)=4d-(zx—z2)(2bi)=4b,故。正確；

對于D,設(shè)z1=l+i,z2=1-i,貝吟=含=(￡；(?；.)=?,

則已產(chǎn)=川2=1,(/)2=j2=-1,故。錯誤.

故選:ABC.

根據(jù)共軌復(fù)數(shù)的知識對選項進行分析，從而確定正確答案.

本題考查復(fù)數(shù)的運算，模的求解，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】AC

【解析】【分析】

本題主要考查了指數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和正弦函數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.

由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知x>y,再結(jié)合基函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)的單調(diào)性逐個判斷各個選項即可.

【解答】

解：?.,實數(shù)》,y滿足Q*<tzy(O<c<1),

x>y,

對于選項小函數(shù),=必在R上單調(diào)遞增，所以％3>y3,故彳恒成立，

對于選項&取x=l,y=-2,則！>L故8不是恒成立，

%y

對于選項C：：%-y>0,,％-y+1>1恒成立，ln(x-y+1)>0恒成立，故C恒成立，

對于選項。：?。=p貝ijslnx<故。不是恒成立，

故選:AC.

12.【答案】｛m|m<1且m。一4)

【解析】解：由萬=(2,1),「=(成一2),益與石的夾角為鈍角，

可得3?]<()且蒼與E不共線，

則有圖；竇〉2)，解得m<l且m~4,

即實數(shù)m的取值范圍是｛?川m<1且m=一4].

故答案為：｛m[m<1且m,一4｝.

根據(jù)夾角公式，將方與E的夾角為鈍角轉(zhuǎn)化為兩向量的數(shù)量積小于0求解，要注意此時向量不能共線.

本題考查向量夾角與數(shù)量積的關(guān)系，考查向量的坐標運算，屬基礎(chǔ)題.

13.【答案】2

第7頁，共14頁

【解析】【分析】

本題考查函數(shù)的零點與方程根的美系，函數(shù)圖象的應(yīng)用，屬于中檔題.

r

函數(shù)/(%)=2|logo,5x|-1的零點個數(shù)，即方程2X|logo.s%|-1=0根個數(shù)，即方程|logo.5%l=弓尸根個數(shù)，

即函數(shù)y=|logo.5刈與y=(；尸圖象交點的個數(shù)，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合，可得答案.

【解答】

x

解:函數(shù)/(%)=2|log05x|-1的零點個數(shù),

即方程2，logo.5%l-1=0根個數(shù)，

即方程|10go.5X|=弓尸根個數(shù)，

即函數(shù)y=|logo.5Xl與y=弓尸圖象交點的個數(shù)，

在同一坐標系中畫出函數(shù)y=|logX5x|Sy=(g)x圖象，如下圖所示:

由圖可得：函數(shù)y=|logo,5M與V=(，圖象有2個交點,

x

故函數(shù)/(%)=2|log05x|-1的零點有2個，

故答案為：2.

14.【答案】297r

【解析】解：解法一：如圖：

圖I

因為，PCB=44BC=90°,PC=2,AB=3,BC=4,AP=29,

所以P8=VPC2+BC2=2<5>AC=AB2+BC2=5，

由PB2+AB2=29=PA2=PC2+AC2可得248P=4ACP=90',

取PA的中點0,連接OB,OC,

易得08=0C=PA=OP=0A=

所以點。為三棱錐P-ABC的外接球球心，且球。的半徑R=學(xué)，

第8頁，共14頁

故該三棱錐外接球的表面積為4漉2=297r.

解法二：由已知及法一分析，可籽三棱錐P-48C補形成長方體，如上圖所示:

則三棱錐P-4BC的外接球直徑即長方體的體對角線長，

又PC=2,AB=3,BC=4,則長方體的體對角線4P=V2?+32+4?=，為,

所以三棱錐尸-4BC外接球的半徑R=卓，

故該三棱錐外接球的表面積為4TTR2=297r.

故答案為：297r.

解法一：通過計算邊長，借助于勾股定理可得乙IBP=41"=90。取PA的中點0,連接。8,OC,易得。8=

0C=^PA=0P=0A=^即可得到點。為三棱錐P-ABC的外接球球心，求出其半徑即得其表面積：

解法二：將三棱錐補形成一個長方體，根據(jù)長方體的體對角線長即三棱錐P-48。的外接球直徑，求出其半

徑即得其表面積.

本題考查三棱錐外接球的表面積的求解，屬中檔題.

15.【答案】/(%)=篇;

/(%)在［-1,1］上單調(diào)遞增，詳見解答過程

【解析】(1)因為函數(shù)f。)=線是定義在［-1,Q+加上的奇函數(shù)，

所以Q+/)=1,

又/(-1)=-/(1)，

所以u=_"

'"△1+a1+Q

即6—2=—b—2,

所以b=0,Q=1,

此時/(%)=備，經(jīng)檢驗/(一切=一/(乃，符合題意;

(2)/(%)=備在［-1,1］上單調(diào)遞增，證明如下：

任取一1<%i<x2<1,

第9頁，共14頁

則勺一工2<0，1-/工2>。，1+比>0,1+名>0,

皿|“一、一、,、_2xi2X_2X(1+X^)-2X(1+^I)_2(x-x)(l-xx),八

則/(與)—八"2)一同一項2一1(1+耳)(1+尺2)--(11+耳2)(1+珍12V

所以/■。1)</。2)，

所以/?(%)在上單調(diào)遞增.

(1)由奇函數(shù)的定義域及奇函數(shù)的定義即可求解a,b,進而可求函數(shù)解析式；

(2)結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明.

本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

16.【答案】丁=兀，單調(diào)遞增區(qū)間為[一言EZ)；

/2

而

【脩析】解：(1)因為/(%)=2siriTCOs無+2cos2%—1=s)2x+cos2x=V^sin(2%+3),

所以7=m

令一日+2而W2%+JWJ+2kMkeZ),解得一^+kn<x<1+kn(kEZ),

所以/。)的單調(diào)遞增區(qū)間為[一萼+kn，l+kn](keZ)：

oo

(2)由(1)可得/'(a)=/2sin(2a4-y)=4三所以sin(2a+

因為所以六2a+*<J

所以cos(2a+')=-',

所以cos2a=cos[(2a+^)-^]=cos(2a+^)cos^+sin(2a+：)si吟

~(-5)X—+5X-.

(1)利用二倍角公式降暴，再由兩角和的正弦公式化簡，最后由正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；

(2)利用同角二角函數(shù)關(guān)系結(jié)合角的范圍求得cos(2a+^).然后由兩角差的余弦公式代入求解即可.

本題主要考查了正弦函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，還考查了和差角公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

17.【答案】4=宗

73.

【解析】解：(1)因為ccos?=asinC,由正弦定理得sECcosg=sizMsinC,

因為sinC芋0,所以cos[=sim4.

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又因為sim4=25加義。5今且cos紅0,所以sin?=g,

乂因為力6(0,7T),y6(0,y),

所以J=3即4=*

ZO3

(3)在4A8C中，由余弦定理a?=b2+c2-2bccosA,

得4=(b+c)2—2bc—2bccos^,即(b+c)2-4=3bc<3(^^)2='(b+c)2,

所以;(b+c)2<4,(b+c)2<16,b+c<4,當且僅當b=c=2時取等號，

所以周長的最大值為Q+b+c=6,

此時面積S=^bcsinA=

⑴根據(jù)正弦定理得到cos?=sin兒再根據(jù)倍角公式得sin?=鼠進而得到4=%

ZLLS

(2)根據(jù)余弦定理得4=(b+c)2-2bc-2bccosg再利用均值不等式得b+c<4,當且僅當力=c=2時

取等號，此時周長最大，再由面積公式求得此時的面積.

本題考查了正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

18.【答案】(1)(0.005+0.010+0.015+%+0.040)x10=1,則x=0.030,

???0.054-0.1+0.15=0.3<0.4；0.3+0.3=0.6>0.4,

故40百分位數(shù)在［80,90),

則40百分位數(shù)為80+第累x10今83.3,

U.O-U.o

平均數(shù)為55x0.05+65X0.14-75x0.15+85x0.34-95x0.4=84：

(2)因為按比例分配的分層隨機抽樣，故[50,60),[60,70),[70,80)三層中抽取的樣本量分別為:

6x?！?=1

0.05+0.10+0.15-'

6x"I-2

0.05+0.10+0.15

6x°.5_3

0.05+0.10+0.15

從這6人中隨機抽取兩人，

記[50,60)中抽取的人編號為1,

[60,70)抽取的人編號為2、3,

[70,80)抽取的人編號為4、5、6,

記事件A="抽取的兩人都及格”，

第11頁，共14頁

a={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)},

所以n（。）=15,

4={(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)},

所以n(4)=10,

所以P6）=黯

t解析】（1）由頻率分布直方圖計算可得x，再借助百分位數(shù)的定義與平均數(shù)定義計算即可得;

（2）先借助分層隨機抽樣定義計算出從[50,60）,[60,70）,[70,80）三層中抽取的人數(shù)，并給抽取出的人數(shù)進

行編號，結(jié)合古典概型公式，計算出所有可能的樣本空間數(shù)即符合要求的樣本空間數(shù)即可得.

本胭考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查古典概型的概率公式，是中檔題.

19.【答案】證明見解析:黑號.

【解析】（1）證明：在四棱錐P—中，連接。P,

因為P4=PB,所以POJLAB,

又因為側(cè)面PA81底面力BCD,側(cè)面7MBCl底面ABC。=48,POu側(cè)面P4B,

所以PO1平面ABC。，又ODu平面48CD,所以P。1。0,

又因為OO1PC,POCPC=P,PO,PCu平面POC,

所以。。1平面P。。，

又因為OCu平面POC,所以O(shè)OJ.OC,

乂PO1平面/BCD,OCu平面4BCD,則P。1OC,

因為POnOD=O,PO,ODu平面POD,所以O(shè)CL平面POD,

又因為PD