高一暑假作業(yè)6：平面向量(北師大版)

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.(2025?天津市?期中考試)己知向量。=(L2),b=(2,x),若dJLb，則|2〃+矢律().

A.3&B.4C.5D.4N/2

2.在,ABC中，AB=4^AC=2,NZMC=60'，若BC=2CD，則|A￡＞|=（）

A.幣B.券C.3D.7

3.（2025?云南省?同步練習(xí)）已知矩形ABC。中，E為A3邊中點(diǎn),線段4c和。E交于點(diǎn)P,貝產(chǎn)=（）

1712212?1

A.——AB+-ADB.-AB——ADC.-AB——ADD.——AB+-AD

33333333

4.已知：，01均為單位向量，且則（。+人+c）g+c）的最大值是（）

A.2+2夜B.3+&C.2+石D.1+28

5.（2025?山西省晉中市?期中考試）如圖，在中，已知AB=2,BC=4,N/WC=60＞，

BM=MC?4AN=AC＞線段AM和4N交于點(diǎn)P,則NNPM的余弦值為（）

V19RM「5幣八5近

D.U.

38----------------------------38----------------------------14-----------------------14

6.(2025?山東省?單元測(cè)試)已知點(diǎn)。是一48c內(nèi)部一點(diǎn)，并且滿足QA+208+3OC=0，OAC的面積為

S、,-A4C的面積為S],則[=()

11I2

C

A.6-3-2-3-

7.平行四邊形A8C。中，已知43=4,4)=3,點(diǎn)￡、尸分別滿足AE=2ED，DF=FC且

AFBE=-6,則向量A/)在AB上的投影的數(shù)量為()

33

A.2B.—2C.-D.—

22

8.(2025?廣東省湛江市?月考試卷)在銳角二ABC中，角人，B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,5為-AAC的面

積，且2s=々2一(/,一)2,則竺二31!2G的取值范圍為().

74廳-⑵c+13c2

A?「39制73、B.［(而281句91C.［2即73、D.［(而281，)1

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.(2025?浙江省嘉興市?期中考試)已知一人8。的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為mb,c,下列四個(gè)命題中正

確的是()

A.若sinA>sin8,則一定有a>〃；

B.若人轉(zhuǎn)。是銳角三角形，則?定有sinA>cos8cosc成立；

C.若)cosC-ccosB=a,則二ABC一定是直角三角形；

D.若sin2A+sin2c+cos2B>l，則-ABC一定是銳角三角形.

10.(2025?廣東省?月考試卷)已知向量a-(\/5,1),b=(cosor,sinor),則下列結(jié)論正確的有

()

A.=1B.若o〃〃,則tana-8

C.Q.〃的最大值為2D.卜-司的最大值為3

11.(2025?遼寧省大連市?期中考試j已知.ABC,”,。分別為該三角形的垂心、外心，則卜冽結(jié)論正確的是

()

33

A.若40,2),8(1,0),C(2,-l),則BA在8c上的投影向量為(一/,耳)

B.若|OA|=|OB|=|OC|=1且40/1+3OB+2OC=0，則OBOC=\

4

C.若"8C的內(nèi)角A8,C所對(duì)的邊分別a/,c,則“acosA=6cos8”是“AA8C為等腰三角形”的充

分不必要條件

D若2/M+3HB+4HC-0，則sinN“〃C=^^

5

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(2025?廣東省湛江市?月考試卷舊知向量。=(2,1),力=(1-工,力，c=(-3x,3x),滿足?！ㄈ?，則

夾角的余弦值為.

13.（2025?江西省撫州市?期中考試1在中，E為AC匕一點(diǎn)，AC=3AE^。為BE上任一點(diǎn)，若

31

AP=rnAB+nAC（m>0,n>0）?則1■一的最小值是.

mn

14.（2025?全國(guó)?專項(xiàng)測(cè)試）趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》一書蚱序時(shí)，介

紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間

的一個(gè)小正方形組成）類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個(gè)全等的三角形與中間一個(gè)

小等邊三角形拼成的一個(gè)較大的等邊三角形，設(shè)=+若AO=3A/，則2一〃的值

為_____

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.（2025?江蘇省?單元測(cè)試）（木小題13分）

己知|a|=JI|b|=2,且。與〃的夾角是120',求：

⑴（〃+2人）2：

⑵12。一〃|；

⑶當(dāng)攵為何值時(shí)，（4+28）J_（而-〃）.

18.（2025?湖南省邵陽(yáng)市?期中考試1（本小題17分）

如圖，我國(guó)南海某處的一個(gè)圓形海域上有四個(gè)小島，小島B與小島A、小島。相距都為與小島。

3

相距為3W，"?iilc.NRAD為鈍角，旦sinA=-.

⑴求小島4與小島。之間的距離和四個(gè)小島所形成的四邊形的面積:

(2)記NBDC為/CBD為0,求sin(2a+4)的值.

19.（2025?河南省鄭州市?期中考試1（本小題17分）

如圖，設(shè)中角A,B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,AO為8c邊上的中線，己知c=l且

1JTj"

2csinAcosB=（7sin/I-Z?sinB+—bsinC,cosZBAD=—^.

47

⑴求。邊的長(zhǎng)度;

(2)求.SAC的面積；

⑶設(shè)點(diǎn)E，/分別為邊AB,AC上的動(dòng)點(diǎn)，線段E尸交AO于G,且工人石戶的面積為.ABC面積的一半,

求AG-￡尸的最小值.

1.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查向量的模的求法，考查向理垂直、向量坐標(biāo)運(yùn)算法則筆基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)

題.

利用向量垂直的性質(zhì)得x=—l,再由平面向量坐標(biāo)運(yùn)算法則求巴2〃+〃，由此能求出I24+/H.

【解答】

解：向量a=(l,2),b=(2,x),,.?.〃./?=2+2x=0，解得了=一1,

.?.2。+〃=(4,3),.\|2a+b\=>/16+9=5.

故選：C.

2.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查了向量的線性運(yùn)算，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

求出AD=^3AC-^1AB，根據(jù)向量的線性運(yùn)算求出IAD|的值即可.

【解答】

解：BC=2CD，

：.AC—4B=2(4?！狝C),

/.AD=-AC--AB

22t

3I、9，3I2

/.(-AC一一^)2=-AC~--ACAB+-AB'

22424

93I1一

=-x4——x2x4x—+—x16=7,

4224

：］AD\=^AC-^AB)2=V7,

故選：A.

3.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查向量的線性運(yùn)算，向量的加減與數(shù)乘運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

如圖，取C。中點(diǎn)G,連接8G,交AC于點(diǎn)”，可證得四邊形6EQG為平行四邊形，得到BG//DE,結(jié)

合三角形中位線性質(zhì)可確定〃為AC上靠近A的三等分點(diǎn)，從而根據(jù)向量線性運(yùn)算推導(dǎo)得到結(jié)果.

【解答】

解：如圖，取CO中點(diǎn)G,連接BG,交AC于點(diǎn)兒

四邊形A8C。是矩形，則AB=CD,

又E為邊中點(diǎn)，

/.BE//DGtBE=DG,

???四邊形BEDG為平行四邊形，

:.BG//DE,乂E為4B中點(diǎn)，

:毋=FH、同理可得c〃=a/,

/.AF=-AC=-(AB+AD)t

33

12I

則BF=RA+AF=-AB+-(AB+AD)=--AR+-AD.

故選D.

4.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算及利用輔助角公式求最值，關(guān)鍵是根據(jù)條件判斷出］，恰當(dāng)建立直角坐

標(biāo)系，利用坐標(biāo)來(lái)計(jì)算，屬中檔題.

【解答】

解：因?yàn)樗?(),所以

把“和〃重合起點(diǎn)設(shè)為。點(diǎn),以：的方向?yàn)閤軸正方向，

以1方向?yàn)?，軸正方向建立直角坐標(biāo)系，

則〃=(1,0),/?=(0,1)，設(shè)c=(cos9,sin。)，

--.—?—￥—?—?—?

所以a+b+c=(1+cos^J+sina+c=(l+cossin。)，

貝I](a+〃+c)(a+c)=(l+cosO)2+(1+sin8)xsin。

=2+2cos0+sinO=2+不sin(0+°),tan(p=2,

當(dāng)sin(0+9)=l時(shí)，(4+1+c)〃+c)最大為2+6.

故選C.

5.【答案】\

【解析】【分析】

本題考查平面向量基本定理及利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算求夾角，屬于中檔題.

設(shè)BA=。，BC=b，可得AM，BN，再由cosNNPM=cos＜4/，BN＞得出即可.

【解答】

--1.一31

解：設(shè)3A=d，BC=b，可得AM=-a+-Z?,BN=-a+-b,

244

R…AMBNM

可得cosNNPM=cosvAM'河＞==廣-

故選：A.

6.【答案】B

【蟀析】【分析】

本就考查了向量的兒何運(yùn)用和向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算，屬了中檔題.

延長(zhǎng)08到。使得30=03,延長(zhǎng)0C到E使得CE=2OC,連接4D,DE,AE,利用向量的加法和數(shù)

乘運(yùn)算得點(diǎn)。是二AT＞石的重心，再利用平面幾何知識(shí)，計(jì)算得結(jié)論.

【解答】

解：如圖：

延長(zhǎng)08到。使得班＞=。3,延長(zhǎng)0。到￡使得CE=2OC,連接4。，DE,AE.

因?yàn)镼A+2O8+3OC=0，所以O(shè)A+OO+OE=。，

因此點(diǎn)。是乙ADE的重心，所以S.O&D=SODE=SOAE=§S.2E.

又因?yàn)镾.CMC=彳SOAE，SOAB=~^Sw,SOBC=~^S,

32OO[)E

所以S]=SQCADF,?^,OAB,ADE?,OHC=TJ^,ADE?

9Olo

因此52=S-s_lc

ABC1.9618jADE一§力ADE?

Is

S.Q1

所以芳一

3

§JjlDE

故選B.

7.【答案】C

【蟀析】【分析】

本題考查向量的投影及向量的數(shù)量積的運(yùn)算，屬于中檔題.

根據(jù)其數(shù)量積以及已知條件可以求得cosNDAB,再代入向量的投影的數(shù)量公式求解即可.

【解答】

解：如圖：

因?yàn)锳?=4,AD=3,點(diǎn)石、尸分別滿足A上=2上〃，。尸=AC，

所以AE=2,DE=l,DF=FC=2；

AFBE=-6=(AD+DF)(BA-￥AE)

=(/\D+-AI3)(-Af3+-AD)

23

221-2

=-AD——ABAD——AB

332

C51

=-x32——x3x4xcosNDAB——x42.

332

?.cos/.DAB=—；

2

13

向量AO在A8上的投影的數(shù)量為：IAO|COSND43=3X5=/.

故選：C.

8.【答案】。

【解析】【分析】

本提考查了正、余弦定理的綜合應(yīng)用，二次函數(shù)的最值，屬于困難題.

_434

利用2S=/-S-c)2,三角形面積公式和余弦定理可得sinA=一，故可得到cosA=-,tanA=-,然

553

〃43

后利用正弦定理可得-=7--+7*利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

c5lanC5

【解答】

解：中，由余弦定理得，a2=b2+c2-2hccosA^

且_A8c的面積為S=—Z?csinA,由25=/一他一以，得歷sinA=2Z?c-2Z>ccosA,

化簡(jiǎn)得sinA+2cos4=2；又Aw0,—I,sin2A+cos2A=1?所以sinA+2J1-L/A=2，

I2J

4

化簡(jiǎn)得5s加2A-4sinA=0,解得sinA=三或sinA=0(不合題意，舍去);

J'

因?yàn)樗?sinA4

cosA=>]\-sinA=1,tanA=-------=——

5cos43

所以2sinBsin(A+C)sinT4COSC+cosAsinC_43

---------n----，

csinCsinCsinC5tanC5

兀

由B+C=;r-A,且Be0,q,TT-AG

乙)

解得江仁

-A,萬(wàn)一=-----A,一

、22

sinfy-A

131eg,所以b臺(tái)

所以tanC>tan--AUnA"所以

<27VtanC

cos——A4

12

設(shè)、兒；b“其中fe(g3w5

+17z

4b2-\2bc+He24r-12/+17,4

所以y=-7^———丁-----=------------------=1H-------------------

4/7'-\2bc+\3c'4/2-12/+134/2-12/+13

12-1+13

3353

又所以1=:時(shí)，y取得最大值為為=2,

3x28151.73口28173

f=一時(shí)，y=—；/=一時(shí)，y=—,且—<—.

5/p>

22

281.,4b-\2bc+\7c1Vl而/古小?田口(22881-

所以ye而二，即H|—r-^7―l的取值氾圍是百；，

4/廠一12"7+1女~〈l⑻⑻」

故選:D

9.【答案】ABC

【解析】【分析】

本題考查誘導(dǎo)公式，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及正弦定理，屬于基礎(chǔ)題.

由正弦定理可判斷4,由誘導(dǎo)公式及正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷B,由誘導(dǎo)公式及正弦定理可判斷CD

【解答】

解：對(duì)于人，因?yàn)閟in八〉sin所以由正弦定理得幺>2,所以〃>〃，所以A正確：

2R2R

對(duì)于從若一八HC為銳角三角形，可得4+工且4,3￡(0,工)，可得4>工一8,且

222

--BG(O,-),根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，可得sinA>sin(f-B),所以sinA>cos3,

222

因?yàn)镺vcosCvl,所以cos8>cos8cosC,所以8正確；

對(duì)干C,由正弦定理及bcosC-ccos5=々,知sin4cosc-sinCeos4=sinA,所以sin(B-C)=sinA,

因?yàn)椤?v6—Cv%,0vAv%,則。一C—A或"一。十A—/r,又從十〃十C—/r,W'JB=—,二角形為直角

2

三角形，故C正確：

對(duì)于sin2A+sin2C+cos2B>b則sin?A+sir?C-sir?8>0，由正弦定理得。+c?-從>0,則角B

為銳角，但,.43C不一定是銳角三角形，故。錯(cuò)誤；

故選：ABC.

10.【答案】AC

【解析】【分析】

本題考查了向量的模、向量垂直、向量平行、向量的數(shù)量積和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于中檔題.

根據(jù)題意逐一判定即可得出結(jié)論.

【解答】

解：對(duì)于4,\b|=7cos2a+sin2a=1,A正確；

對(duì)于A,若a//b，則V3sinct-cosoc—0，」.tanex=.R借誤：

對(duì)于C,。?力=Gcosa+sina=2sin(a+。)，最大值為2,。正確；

對(duì)于。，同=2,b=\f

|?-/7|=一〃)=\Ja2-2ab+b2=J5-4sin(a+,

jrTT

???。￡[0,5],，當(dāng)儀=5,即/?=(()/)時(shí)，取得最大值G，D錯(cuò)誤.

故選AC.

H.【答案】AB

【解析】【分析】

本題考查向量在平面幾何中的應(yīng)用，投影向量，向量的數(shù)量積的概念及其運(yùn)算，利用正弦定理判斷三角形

的形狀，利用向量的數(shù)量枳求向量的夾角，屬于較難題.

求出R4在8C上的投影向量可判斷4由(3O8+2OC)2=(-4OA)2可判斷&由正弦定理以及充分條件的

定義可判斷C;&HCHB=HCHA=HAHb=t，Si(3HB+4/7C)2=(-2HA)2,

QHA+3HBy=(-4HC，,(2H/U4WC)2=(-3W>化簡(jiǎn)解得“/，HA>求出cosN3〃C,可得

sin/BHC可判斷D

【解答】

解：對(duì)于A,若40,2),8(1,0),C(2,-l),BA=(-1,2),BC=(1,-1),

則BA在8C上的投影向曷為：

|BA||cos^“?匹=也叫空

'18cl\BC\\BC\

|-1-?|33

=L—J-(U-D=(-,--),故A正確；

222

對(duì)于從若|OA|=|O4|=|OC|=1,因?yàn)?0A+304+20C=0，

所以(3OB+2OC)2=(-404)2,即9+1208?OC+4=16，

所以080。=!，故8正確；

4

對(duì)于C,若acosA=/?8s3,貝！由正弦定理得sinACQSA=sin3cos3,sin2/1=sin2B,

0<A8<〃，可得2A=23或2A=7一23,

所以A=8或4=2一3,可得4ABe不一定為等腰三角形，故C錯(cuò)誤；

2

對(duì)于。，因?yàn)椤胺謩e為該三角形的垂心，所以

HA-BC=HA(HC-HB)=HA-HC-HA-HB=0fHAHC=HAHB，

HC?AB=HC(HB-HA)=HC,HB-HC?HA=U,HCHB=HCHA，

設(shè)HC?HB=HCHA=HAHB=i，

若+3HB+4HC=0，則(3"8+4HC)2=(-2HA)2,

(2HA+3/78)2=(-4HC)2,(2HA+4HC)2=(-3HB)2,

所以9HB，+24HBHC+T6HC=4HA~,

4HA'+12HA-HB+9HB'=16/7C'，4HA'+16HA-HC+\6HC~=9HB'，

9HB，+24r+16HC2=4UA，，4HA+12，+9廟=16HC2，

4次+⑹+16HC?=9加，

解得//A==-々(，vO),HB'=一2,，"二一3’，

24

,7RHC=HBHC=/V10

CS_

則°"云一可，々HCC(0.冗)，

所以sin4BHC=Jl一cos屋BHC=半,故。錯(cuò)誤.

故選：AB.

12.【答案】-叵

10

【解析】【分析】

本題考查向量的數(shù)量積、向量的夾角、向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量共線，屬于中檔題.

根據(jù)?！?。，求出X,求出向量〃與C的模，b?C，利用夾角公式，即可求出結(jié)果.

【解答】

解：「4=(2,1),Z?=(l-x,x),且a〃力，

解得,

3

c=(-3x,3x)=(-1,1),b=(1-A,X)=

設(shè)Ac夾角為夕,

1

故答案為—典.

10

13.【答案】12

【解析】【分析】

本題主要考查了向量的共線定理，平面向量基本定理及利用基本不等式求解最值，屬于基礎(chǔ)題.

由已知結(jié)合向量共線定理求出3〃=1,然后結(jié)合基本不等式可求.

【解答】

解：因?yàn)锳C=3AE，P為BE上任一點(diǎn),

AP=mAB+nAC=mAB+3nAE，

而P,B,E三點(diǎn)共線，由平面向量共線定理得〃?+3〃=l,/〃>0,〃>0,

nit31.31w9八，九/l9nm-

則—i—=(—i—)(/w+3〃)=64---1—..6+2.------=12,

mnmninn\mn

當(dāng)且僅當(dāng)如二竺且，〃+3〃=1,即〃?=(，〃=!時(shí)取等號(hào)，

mn26

31

故二+一的最小值是12.

mn

故答案為：12.

14.【答案】—

13

【解析】【分析】

本題主要考查解三角形以及平面向量基本定理，熟記正弦定理和余弦定理、以及平面向量基本定理即可,

屬于中檔題.

【解答】

解：A￡)=3AF，二可設(shè)4。=3A尸=3,

;.BD=AF=\，

又由題意可得NADB=120°,

AB2=AO2+BZ)2-2Ao?8。?cosZADB=32+12-6cosZI20s=13，

AB=yf[3,

延長(zhǎng)4。交8C于M,記=ZAMB=a,

AD2+AB2-BD29+13-i7x/13

cosNDAB=

2ADAB6x/1326

739

sinNDAB=V1-cos2Z.DAB=,即cos0=,sin。=

2626~26f

又由題意易知=則a=l20'-。，

BM_DM_BD

在三角形。8M中，由正弦定理可得:

sinNMDB-sin4DBM-sin/DMB

BMDM1

sin60sin。sin(120-0\

sin60

BM=

sin(I20c-6>)3cos8+。。44

22

sin?_sin。_1

sin(120-^)=73~~,1.

——cos8+—sin夕

22

312

：.AD=^—AM=—AM

3+113

4

?「BM=-BC及AM—AB=-(AC-AB),

44

31

整理得4例=-AB+-AC,

44

12123193

:.AD=—AM=—[-AB^-AC)=—AB+—AC,

1313441313

93

又因?yàn)锳O=/IA8+〃AC,由平面向量的基本定理可得4=—,//=—

1313

6

：.A-U=一

13

15.【答案】解：⑴"〃|=夜,|切=2,且匕與。的夾角是120°，

(a+2b)2=a2+4b2+4ab

=2+4x4+4x\/2x2xcos120

=18-4>/2.

(2)\2a-b\=^(2a-b)2

=+b2-4ab

=\4x2+4-4x\/2x2xcos120

=273+&.

(3尸?,(。+28)_L(鼠/-〃)，

(a+2b}?(ku-b)

二廟+2kab-a,b-2b‘

=2A+(2I)(&x2xcosl2()°)-2x4=0,

解得女=_"逑.

2

.當(dāng)&=_6+；應(yīng)時(shí),m+2b)_L(3-h).

【解析】本題考查向量的平方及模的求法，考查向量的數(shù)量積與向量垂直的關(guān)系，實(shí)數(shù)值的求法，是中檔

題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量垂直的性質(zhì)的合理運(yùn)用.

⑴利用向量數(shù)量積公式能求出(a+2b)2.

⑵利用向量數(shù)量積的性質(zhì)得到|2〃-切=5(2〃-。2即可求解.

⑶由(a+2b)1(ka-b),利用向量垂直的性質(zhì)能求出k的值.

16.【答案】解：⑴因?yàn)闄C(jī)=(〃,回)，〃=(cosAsin8),且""/〃，

所以asinB=\/3/?cosA?

由正弦定理得sinAsinB=J5sin8cosA，

因?yàn)椤笰3C中，Bw(0,兀),

所以sin8>0,

所以sinA=GcosA，

可得tanA=J5，結(jié)合Ac(。，幻，

可知A=工；

3

(2)根據(jù)余弦定理，得/=〃+02-2反cos(=3,

整理得S+c、)2=3+3bc,

由基本不等式，得仇;,(生二)2,

2

當(dāng)且僅當(dāng)匕=。時(shí)，等號(hào)成立，

所以S+C)2,,3+：S+C)2,

4

解得〃+G,2公，

結(jié)合乙A/3C中'b+c>a=>/3?

可得<〃+G,，

即b+c的取值范圍是(J5,26

【解析】本題考查向量平行(共線)關(guān)系的坐標(biāo)表示，利用余弦定理解三角形，由基本不等式求取值范圍，

利用正弦定理解二角形，屬于中檔題.

⑴根據(jù)〃"/〃，利用兩個(gè)向量平行的條件建立關(guān)系式，根據(jù)正弦定理與同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，化簡(jiǎn)得

tanA=g，進(jìn)而求得角A的大?。?/p>

⑵利用余弦定理列式，化簡(jiǎn)得到S+C)2=3+3A,然后利用基本不等式解出〃+J2百，結(jié)合“三角形

兩邊之和大于第三邊”，求出b+c的取值范圍.

兀

】7.【答案】解：若選①,由2Z>sin(A-4-—)=a+c展開，得bcosAI\/3Z?sinAac=0,

6

又由正弦定理可知sinBcosA+Ssin8sinA—sinA—sinC=0，

且sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

所以Gsin^sinA-sinA-sinAcosB=0^

又Ae(O,萬(wàn))，則sinA>0,所以Jisin3_cos3=1，

所以2sin(8-2)=1,可得sin(8—匹)=’,

662

yr7TS

又8e(0,乃)，所以B—%)，

666

TT7T7T

所以8-二=工，所以8=上；

663

若選②，因?yàn)?2c-4)COS4=Z?8SA,

乂由正弦定理可知：(2sinC-sinA)cos6=sin6cosA,

所以2sinCcos/?=sin"cosA+sinAcosB=sin(A+B)=sinC,

又Cw(0,4),則sinC>0,所以COSB=L,又AW(O,I),所以8=工；

23

若選③，23422.?>由余弦定理得/

a+c-b=3S.ZtUCc-+02=2accosA，

2Fi

所以2〃c'cosB=二^acsinB，

3

由上式易知cos3wO,所以ianB=G，又,所以8=g；

(1)由。=2,C=f及正弦定理知c=2"，

43

又4=乃一￡一［二雪，所以S=4csinA=3+&.

4312ABC23

(2)解法一：若々7+Z?=3C,由正弦定理得4sinA+sin8=3sinC,

又B=C,所以4sin(生-C)+sinB=3sinC,

33

可得4d^cosC+LsinC)+^^=3sinC，

222

所以sinC=273cosC+—，

2

又siYC+cos2c=1,代入上式，得52cos2C+24cosc-1=0，

2

所以(2cosC+l)(26cosC-l)=0,又CE(0,—萬(wàn))，

3

所以cosCw(----,1),所以cosC=1-；

226

解法二：若4a+Z?=3c,又3=￡,

3

2

由余弦定理/+/N=2accos8可知定+c-V=ac,

即/+c2-ac=b2=(3c-4a)2=9c2+16a2-24ac,

Q

整理得8c2-23a、+15/=0，解得

JLJ

7T

若〃=c,B=—,則a=c=〃，與4?+。=3c矛盾：

3

e8,13

若a=—c,則rllb-——c,

1515

2?22i

由余弦定理可得cosC=i”=—.

2ab26

【解析】本題考查正余弦定理，三角形的面積公式，兩角差的正弦公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.

(1)若選擇條件①：展開后由正弦定理可得出sinBcosA+J5sin3sin4-sinA-sinC=0，再根據(jù)

jr

sinC=sinAcosA+cosAsinA可得出、回sinB-cos3=l，然后即可求出8=4；若選擇條件②：根

據(jù)正弦定理可得出C0S8=1,從而得出8=；；若選擇條件③：根據(jù)余弦定理及三角形的面積公式可得

23

出lan4=G，從而求出3=?；然后根據(jù)正弦定理可求出c=乎，然后根據(jù)三角形的面積公式即可求

出./AC的面積;

7F

(2)解法一：根據(jù)正弦定理可得出4sinA+sin8=3sinC,再根據(jù)3=—可得出

3

,然后即可得出52cos2C+24cosc-1=0，從而解出cosC即可.

22

解法二：由余弦定理/+c2_b2=2.CCOSB可知〃+c-b=ac，

13

b=—c,再利用余弦定理得到結(jié)果.

15

3

18.【答案】解：(l):sinA=m，且人為鈍角，

/.cosA=-Jl-(1)2=q,

12

在t.AI3D中，由余弦定理可得BDr=AD+AB-2AD?AB?cosA,

(3行了=AD2+52-2AD-5.(-1),即AD2+SAD-20=0，

解得：4)=2或AD=T0(舍去).

.?.小島A與小島。之間的距離為2nmile.

3

A、B、C、。四點(diǎn)共圓，「.A與C互補(bǔ)，則sinC=§,

。4

cosC=cos(l80-A)=-coSi4=—.

在,,6￡>C中，由余弦定理得：CD2+C0-2CDCBcosC=BD?，

/.CD2+52-2C￡>51=(3石彳，得CD2-8。。-20=0，

解得8=-2(舍去)或C￡>=10.

S四邊升紈BCD=S+SKD=-AI3ADs\nA+-CBCDsinC

ABD22

1313

=-x5x2x-+-x5xI0x-=3+15=18(平方ntnile)；

RI')

⑵在力"中，由正弦定理得：—=—

5_3x/5R

即sina_3，解得sina=——.

55

二。為銳角，則co$a=J-/s

5

3

又sin(a+/?)=sin(l80-C)=sinC=—,

。4

cos(a+/?)=cos(l80-C)=-cosC=--,

sin(2<2+尸)=sin[a+(a+/?)|=sincrcos(tz+/?)4-cos?sin(cr+(3)

7542>/532后

=——x(——)d-------x—=------.

555525

【解析】本題考查三角形的解法，考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，考查兩角和的正弦，考杳運(yùn)算求解能

力，是中檔題.

⑴由sinA求得cosA,在中，由余弦定理列式求得4D；再由4、B、C、。四點(diǎn)共圓求解sinC與

cosC,在7.EX?中，由余弦定理解得CQ,再求ABD、.,88的面積，可得四個(gè)小島所形成的四邊形

的面積；

(2)在中，由正弦定理得sina,求出cosa,再求出sin?-I⑨與cos(。+月)，