模型04相似三角形模型易錯模型1：一線三等角（K字）模型模型解讀“一線三等角”型的圖形，因為一條直線上有三個相等的角，一般就會有兩個三角形的“一對角相等”，再利用平角為180°，三角形的內(nèi)角和為180°，就可以得到兩個三角形的另外一對角也相等（或利用外角定理也可），從而得到兩個三角形相似．1）一線三等角模型（同側(cè)型）（同側(cè)銳角型）（同側(cè)直角型）（同側(cè)鈍角型）（異側(cè)型）條件：如圖，∠1=∠2＝∠3，結(jié)論：△ACE∽△BED。2）一線三等角模型（異側(cè)型）條件：如圖，∠1=∠2＝∠3，結(jié)論：△ADE∽△BEC.3）一線三等角模型（變異型）圖1圖2圖3①特殊中點型：條件：如圖1，若C為AB的中點，且∠1=∠2＝∠3，結(jié)論：△ACE∽△BED∽△ECD.②一線三直角變異型1：條件：如圖2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.結(jié)論：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一線三直角變異型2：條件：如圖3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.結(jié)論：△ABM∽△NDE∽△NCM.易錯提醒：未正確識別或添加輔助線以構(gòu)造“一線三等角”，導(dǎo)致無法形成相似或全等三角形?。例1．（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，為等邊三角形，點，分別在邊，上，，若，，則的長為（

）

A． B． C． D．變式1．（2024·湖北武漢·?？寄M預(yù)測）【試題再現(xiàn)】如圖1，中，，，直線過點，過點、分別作于點，于點，則（不用證明）．

(1)【類比探究】如圖2，在中，，且，上述結(jié)論是否成立？若成立，請說明理由：若不成立，請寫出一個你認為正確的結(jié)論．(2)【拓展延伸】①如圖3，在中，，且，猜想線段、、之間有什么數(shù)量關(guān)系？并證明你的猜想．②若圖1的中，，，并將直線繞點旋轉(zhuǎn)一定角度后與斜邊相交，分別過點、作直線的垂線，垂足分別為點和點，請在備用圖上畫出圖形，并直接寫出線段、、之間滿足的一種數(shù)量關(guān)系（不要求寫出證明過程）．變式2．（2024·河北滄州·校考二模）如圖，在中，，，點D是線段上的一點，連接，過點B作，分別交、于點E、F，與過點A且垂直于的直線相交于點G，連接，下列結(jié)論錯誤的是（

）A．B．若點D是AB的中點，則C．當(dāng)B、C、F、D四點在同一個圓上時，D．若，則易錯模型2：手拉手模型模型解讀“手拉手”旋轉(zhuǎn)型定義：如果將一個三角形繞著它的項點旋轉(zhuǎn)并放大或縮小(這個頂點不變)，我們稱這樣的圖形變換為旋轉(zhuǎn)相似變換，這個頂點稱為旋轉(zhuǎn)相似中心，所得的三角形稱為原三角形的旋轉(zhuǎn)相似三角形。1）手拉手相似模型（任意三角形）條件:如圖，∠BAC=∠DAE=，；結(jié)論：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；；∠BFC=∠BAC。2）手拉手相似模型（直角三角形）條件:如圖，，；結(jié)論：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，.3）手拉手相似模型（特殊的等邊三角形與等腰直角三角形）條件:M為等邊三角形ABC和DEF的邊AC和DF的中點；結(jié)論：△BME∽△CMF；.條件:△ABC和ADE是等腰直角三角形；結(jié)論：△ABD∽△ACE；∠ACE=90°；.易錯提醒：1）忽略“共頂點、雙等腰、頂角相等”三個必要條件，誤將非手拉手模型圖形強行套用結(jié)論?；2）未遵循“左手拉左手，右手拉右手”原則，錯誤連接對應(yīng)點（如將頂點B與D連接而非B與E）。?例1．（2024·江西·一模）圖形的旋轉(zhuǎn)變換是研究數(shù)學(xué)相關(guān)問題的重要手段之一，小麗和小亮對等腰只角形的旋轉(zhuǎn)變換進行研究．(1)[觀察猜想]如圖1，△ABC是以AB、AC為腰的等腰三角形，點D、點E分別在AB、AC上．且DE∥BC，將△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)a（0°≤a≤360°）．請直接寫出旋轉(zhuǎn)后BD與CE的數(shù)量關(guān)系；(2)[探究證明]如圖2，△ACB是以∠C為直角頂點的等腰直角三角形，DE∥BC分別交AC與AB兩邊于點E、點D．將△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至圖中所示的位置時，（1）中結(jié)論是否仍然成立．若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；(3)[拓展延伸]如圖3，BD是等邊△ABC底邊AC的中線，AE⊥BE，AE∥BC．將△ABE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)到△FBE，點A落在點F的位置，若等邊三角形的邊長為4，當(dāng)AB⊥BE時，求出DF2的值．變式1．（2024·廣東深圳·二模）如圖，在等腰直角中，，D為上一點，E為延長線上一點，且，，則．變式2．（2024·四川成都·中考真題）數(shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們將兩個全等的三角形紙片完全重合放置，固定一個頂點，然后將其中一個紙片繞這個頂點旋轉(zhuǎn)，來探究圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．已知三角形紙片和中，，，．【初步感知】（1）如圖1，連接，，在紙片繞點旋轉(zhuǎn)過程中，試探究的值．【深入探究】（2）如圖2，在紙片繞點旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點恰好落在的中線的延長線上時，延長交于點，求的長．【拓展延伸】（3）在紙片繞點旋轉(zhuǎn)過程中，試探究，，三點能否構(gòu)成直角三角形．若能，直接寫出所有直角三角形的面積；若不能，請說明理由．變式3．（2024·山西·模擬預(yù)測）綜合與實踐問題背景：在數(shù)學(xué)活動課上，老師帶領(lǐng)同學(xué)們進行三角形旋轉(zhuǎn)的探究，已知和均為等邊三角形，O是和的中點，將繞點O順時針旋轉(zhuǎn)．猜想證明：(1)如圖①，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)點E恰好在的延長線上時，交于點H，試判斷的形狀，并說明理由；(2)如圖②，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)點E恰好落在邊上時，連接，試猜想線段與線段的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(3)如圖③，若，連接，設(shè)所在直線與所在直線交于點M，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)點B，F(xiàn)，E在同一直線上時，在M，O兩點中的其中一點恰好是另一點與點C構(gòu)成的線段的中點，請直接寫出此時的長．易錯模型3：半角模型模型解讀半角模型特征：①共端點的等線段；②共頂點的倍半角；半角模型輔助線的作法：由旋轉(zhuǎn)（或翻折）構(gòu)造兩對全等，從而將邊轉(zhuǎn)化，找到邊與邊的關(guān)系（將分散的條件集中，隱蔽的關(guān)系顯現(xiàn)）。常見的考法包括：90°與45°（正方形、直角三角形）；120°與60°（等邊三角形）等。1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型）條件：已知，如圖，在正方形ABCD中，∠EAF的兩邊分別交BC、CD邊于M、N兩點，且∠EAF＝45°圖1圖2結(jié)論：如圖1，△MDA∽△MAN∽△ABN；結(jié)論：如圖2，△BME∽△AMN∽△DFN.結(jié)論：如圖3，連接AC，則△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且；圖3圖4結(jié)論：如圖4，△AMN∽△AFE且．2）半角模型（含120-60°半角模型）圖5條件：如圖5，已知∠BAC＝120°，；結(jié)論：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③（）。易錯提醒：1）誤將半角模型結(jié)論套用于非半角場景（如普通三角形）?；2）動態(tài)問題中未保持半角恒定性（如旋轉(zhuǎn)后角度變化未重新驗證）.?例1．（23-24九年級上·廣東深圳·期中）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF=45°，AE、AF分別交BD于M、N，連按EN、EF，有以下結(jié)論：①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；③當(dāng)AE=AF時，；④BE+DF=EF；⑤若點F是DC的中點，則CECB．其中正確的個數(shù)是()A．2 B．3 C．4 D．5變式1．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）（1）如圖，等腰中，，，、在線段上，且，，，求的長．（2）如圖，在中，，如果，在直線上，在上，在的右側(cè)，，若，，求的長．（3）如圖，在中，若，、是線段上的兩點，，若，，探究與的數(shù)量關(guān)系．變式2．（2024·遼寧沈陽·統(tǒng)考二模）在菱形中，．點，分別在邊，上，且．連接，．（1）如圖1，連接，求證：是等邊三角形；（2）平分交于點．①如圖2，交于點，點是的中點，當(dāng)時，求的長．②如圖3，是的中點，點是線段上一動點（點與點，點不重合）．當(dāng)，時，是否存在直線將分成三角形和四邊形兩部分，其中三角形的面積與四邊形的面積比為1∶3．若存在，請直接寫出的值；若不存在，請說明理由．易錯模型4：對角互補模型模型解讀四邊形或多邊形構(gòu)成的幾何圖形中，相對的角互補。該題型常用到的輔助線主要是頂定點向兩邊做垂線，從而證明兩個三角形相似。1）對角互補相似1 條件：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，點O是AB的中點，結(jié)論：如圖，過點O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分別為D，H，則：①△ODE～△OHF；②2）對角互補相似 2條件：如圖，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝.結(jié)論1：如圖1，過點C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分別為F，G；則①△ECG～△DCF；②CE＝CD·.條件：如圖，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝.結(jié)論2：如圖2，過點C作CF⊥OC，交OB于F；則：①△CFE～△COD；②CE＝CD·.3）對角互補相似3 條件：已知如圖，四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°。結(jié)論：如圖，過點D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分別為E、F；則：①△DAE～△DCF；②A、B、C、D四點共圓。易錯提醒：1）誤將“全等型對角互補”結(jié)論套用于相似場景；2）?區(qū)分相似對角互補模型與普通相似模型的區(qū)別（如是否需滿足∠A+∠C=180°）。?例1．（2024·江蘇淮安·一模）探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式，我們做以下探究．在中，，，是邊上一點，且(為正整數(shù)），、分別是邊和邊上的點，連接，且．【初步感知】（）如圖，當(dāng)時，興趣小組探究得出結(jié)論：，請寫出證明過程．【深入探究】（）如圖，當(dāng)，試探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，請寫出結(jié)論并證明；請通過類比、歸納、猜想，探究出線段，，之間數(shù)量關(guān)系的一般結(jié)論（直接寫出結(jié)論，不必證明）．【拓展運用】（）如圖，點為靠近的四等分點，連接，設(shè)的中點為，若，求點從點運動到點的過程中，請直接寫出點運動的路徑長．變式1．（23-24九年級上·四川成都·期中）如圖1，等邊中，為邊上的一點，且，分別為上的兩個動點，始終保持.(1)若，求證：①，②；(2)①如圖2，若，試探究之間的數(shù)量關(guān)系，請寫出證明過程；②請通過類比、歸納、猜想，探究出之間的數(shù)量關(guān)系的一般結(jié)論（用含有的代數(shù)式直接寫出，不用證明）；(3)如圖3，為邊上的中點，，連接，當(dāng)點分別在線段上運動時，當(dāng)時，直接寫出線段掃過的圖形的面積.變式2．（2024·四川成都·二模）如圖，在矩形中，（n為正整數(shù)），點E是邊上一動點，P為中點，連接，將射線繞點P按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，與矩形的邊交于點F．【嘗試初探】（1）在點E的運動過程中，當(dāng)點F在邊上時，試探究線段，之間的數(shù)量關(guān)系，請寫出結(jié)論并證明；【深入探究】（2）若，在點E的運動過程中，當(dāng)點F在邊上時，求的最小值；【拓展運用】（3）若，設(shè)的中點為M，求點E從點B運動到點C的過程中，點M運動的路程（用含n的代數(shù)式表示）．易錯模型5：十字架模型模型解讀矩形的十字架模型：矩形相對兩邊上的任意兩點聯(lián)結(jié)的線段是互相垂直的，此時這兩條線段的的比等于矩形的兩邊之比。通過平移線段構(gòu)造基本圖形，再借助相似三角形和平行四邊的性質(zhì)求得線段間的比例關(guān)系。1）條件：如圖，在矩形ABCD中，若E是AB上的點，且DE⊥AC，結(jié)論：。2）條件：如圖，在矩形ABCD中，若E、F分別是AB、CD上的點，且EF⊥AC，結(jié)論：。3）條件：如圖，矩形ABCD中，若E、F、M、N分別是AB、CD、AD、BC上的點，EF⊥MN，結(jié)論：。4）條件：如圖，已知等邊△ABC，BD=EC（或CD=AE），結(jié)論：①AD=BE，②AD和BE夾角為60°，③。5）條件：如圖，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，結(jié)論：①D為BC中點，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七個結(jié)論中，可“知二得五”。6）如圖，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，①D為BC中點，②BF⊥AD，③AF：FC=2：k2，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七個結(jié)論中，可“知二得五”。（全等+相似）易錯提醒：1）在等腰直角三角形中，未補齊正方形結(jié)構(gòu)或誤用平行線構(gòu)造相似三角形?；2）如延長垂直線段構(gòu)造正方形，顯化全等或相似關(guān)系。例1．（23-24下·衢州·二模）在矩形中，E是邊的中點，連接，過點B作于點F，射線與直線交于點P，設(shè)．(1)如圖①，若，求證：；(2)如圖②，當(dāng)點P恰好與點D重合時，試確定m的值；(3)作點B關(guān)于直線的對稱點，當(dāng)以點P，D，為頂點的三角形是等腰三角形時，求的值．變式1．（23·24·南通·模擬預(yù)測）如圖，已知是等邊內(nèi)的一點，且，延長，，分別交，于點D，E．若，，則的周長等于．

變式2．（23·24下·三明·期末）如圖①，在中，，，點D在邊上，過點C作，垂足為M，交于點E．(1)小亮通過探究發(fā)現(xiàn)，請你幫他說明理由；(2)如圖②，平分交于點N，小明通過度量猜想有，他的猜想正確嗎？請你幫他說明理由；(3)如圖③，連接，若D是的中點，小剛通過探究得到結(jié)論，請你幫他說明理由．

易錯模型6：（雙）A字模型模型解讀“A”字模型圖形（通常只有一個公共頂點）的兩個三角形有一個“公共角”（是對應(yīng)角），再有一個角相等或夾這個公共角的兩邊對應(yīng)成比例，就可以判定這兩個三角形相似。①“A”字模型②反“A”字模型③同向雙“A”字模型④內(nèi)接矩形模型圖1圖2圖3圖4①“A”字模型條件：如圖1，DE∥BC；結(jié)論：△ADE∽△ABC?eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC)。②反“A”字模型條件：如圖2，∠AED＝∠B；結(jié)論：△ADE∽△ACB?eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(DE,BC)。③同向雙“A”字模型條件：如圖3，EF∥BC；結(jié)論：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC?。④內(nèi)接矩形模型條件：如圖4，△ABC的內(nèi)接矩形DEFG的邊EF在BC邊上，D、G分別在AB、AC邊上，且AM⊥BC；結(jié)論：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM?。易錯提醒：1）未過“截點”作平行線構(gòu)造A字型，直接利用已知線段推導(dǎo)比例關(guān)系?；2）A字模型需結(jié)合幾何直觀與代數(shù)計算，避免因圖形復(fù)雜度忽略共角與平行線兩大核心條件。?例1．（2024·吉林長春·三模）如圖，在中，點、為邊的三等分點，點、在邊上，，交于點．若，則的長為．變式1．（2023·廣東廣州·模擬預(yù)測）如圖，正方形內(nèi)接于，點，在上，點，分別在和邊上，且邊上的高，，則正方形的面積為．變式2．（23-24九年級上·廣西南寧·階段練習(xí)）如圖，，垂足為，，垂足為，與相交于點，(1)判斷與是相似三角形嗎？請說明理由；(2)連接，求證：；(3)若，，，求的長．易錯模型7：（雙）8字模型模型解讀“8”字模型圖形的兩個三角形有“對頂角”，再有一個角相等或夾對頂角的兩邊對應(yīng)成比例就可以判定這兩個三角形相似．①“8”字模型②反“8”字模型③平行雙“8”字模型④斜雙“8”字模型圖1圖2圖3圖4①“8”字模型條件：如圖1，AB∥CD；結(jié)論：△AOB∽△COD?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OC)＝eq\f(OB,OD)。②反“8”字模型條件：如圖2，∠A＝∠D；結(jié)論：△AOB∽△DOC?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OD)＝eq\f(OB,OC)。③平行雙“8”字模型條件：如圖3，AB∥CD；結(jié)論：。④斜雙“8”字模型條件：如圖4，∠1＝∠2；結(jié)論：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC?∠3＝∠4。①一“A”+“8”模型②兩“A”+“8”模型（反向雙“A”字模型）③四“A”+“8”模型圖1圖2圖3①一“A”+“8”模型條件：如圖1，DE∥BC；結(jié)論：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，?。②兩“A”+“8”模型條件：如圖2，DE∥AF∥BC；結(jié)論：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，?。③四“A”+“8”模型3條件：如圖3，DE∥GF∥BC；結(jié)論：AF=AG，。易錯提醒：1）混淆“全等型8字”與“相似型8字”的輔助線構(gòu)造方法（如誤用全等結(jié)論解決相似問題）?；2）復(fù)雜圖形（如折疊或組合圖形）中未發(fā)現(xiàn)隱藏的8字結(jié)構(gòu)（如誤將相交線視為普通線段）。?例1.（23-24九年級上·浙江杭州·期中）如圖，與交于點O，過點O，交于點E，交于點，．（1）求證：．（2）若，求．變式1．（23-24九年級上·安徽蚌埠·期中）閱讀材料：三角形的三條中線必交于一點，這個交點稱為三角形的重心．(1)特例感知：如圖一，已知邊長為3的等邊的重心為點O，求與的面積；(2)性質(zhì)探究：如圖二，已知的重心為點O，請判斷、是否都為定值？如果是，分別求出這兩個定值；如果不是，請說明理由；(3)性質(zhì)應(yīng)用：如圖三，在正方形ABCD中，點E是CD的中點，連接BE交對角線AC于點M．若正方形ABCD的邊長為4，求EM的長度；若，求正方形ABCD的面積

變式2．（2024·湖北·模擬預(yù)測）（1）【問題背景】如圖1，，與相交于點E，點F在上．求證：；

小雅同學(xué)的想法是將結(jié)論轉(zhuǎn)化為來證明，請你按照小雅的思路完成原題的證明過程．（2）【類比探究】如圖2，，，，與相交于點G，點H在上，．求證：．（3）【拓展運用】如圖3，在四邊形中，，連接，交于點M，過點M作，交于點E，交于點F，連接交于點N，過點N作，交于點G，交于點H，若，，直接寫出的長．易錯模型8：母子型（共邊共角模型）模型解讀“母子”模型的圖形（通常有一個公共頂點和另外一個不是公共的頂點，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母懷），也是有一個“公共角”，再有一個角相等或夾這個公共角的兩邊對應(yīng)成比例就可以判定這兩個三角形相似。圖1圖2圖3圖41）“母子”模型（斜射影模型）條件：如圖1，∠C=∠ABD；結(jié)論：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.2）雙垂直模型（射影模型）條件：如圖2，∠ACB=90o，CD⊥AB；結(jié)論：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.3）“母子”模型（變形）條件：如圖3，∠D=∠CAE，AB=AC；結(jié)論：△ABD∽△ECA；4）共邊模型條件：如圖1，在四邊形中，對角線平分，，結(jié)論：；母子型相似證明題一般思路方法:①由線段乘積相等轉(zhuǎn)化成線段比例式相等；②分子和分子組成一個三角形、分母和分母組成一個三角形；③第②步成立，直接從證這兩個三角形相似，逆向證明到線段乘積相等；④第②步不成立，則選擇替換掉線段比例式中的個別線段，之后再重復(fù)第③步。易錯提醒：混淆“母子型”與“雙垂直模型”的射影定理結(jié)論（如誤用AC2=AD·AB解決非垂直問題）。?例1．（2024·湖北孝感·模擬預(yù)測）閱讀：兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，即：點是線段上一點，若滿足，則稱點是的黃金分割點．黃金分割在我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也處處可見，比如我們把有一個內(nèi)角為的等腰三角形稱為“黃金三角形”．

(1)應(yīng)用：如圖1，若點是線段的黃金分割點，若，則的長為______．(2)運用：如圖2，已知等腰三角形為“黃金三角形”，，，為的平分線．求證：點是的黃金分割點．(3)如圖3中，，，平分交于F，取的中點E，連接并延長交的延長線于M．，請你直接寫出的長為__________．變式1．（2024·河北石家莊·二模）如圖，在平行四邊形中，為對角線，，，，則長為（

）A． B．3 C．9 D．變式2．（2023·山東淄博·九年級期末）如圖，已知，點，在邊上，連接，，使，且．(1)請判定的形狀，并說明理由；(2)若，，求的面積．

變式3．（2024·四川廣元·中考真題）數(shù)學(xué)實驗，能增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，還能經(jīng)歷知識“再創(chuàng)造”的過程，更是培養(yǎng)動手能力，創(chuàng)新能力的一種手段．小強在學(xué)習(xí)《相似》一章中對“直角三角形斜邊上作高”這一基本圖形（如圖1）產(chǎn)生了如下問題，請同學(xué)們幫他解決．在中，點為邊上一點，連接．(1)初步探究：如圖2，若，求證：；(2)嘗試應(yīng)用：如圖3，在（1）的條件下，若點為中點，，求的長；(3)創(chuàng)新提升：如圖4，點為中點，連接，若，，，求的長．易錯模型9：梅涅勞斯、塞瓦（定理）模型模型解讀梅涅勞斯（定理）模型：如圖1，如果一條直線與的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點，那么。其中：這條直線叫的梅氏線，叫梅氏三角形。梅涅勞斯（定理）特征是三點共線；我們用梅涅勞斯（定理）解決的大部分問題，也可添加輔助線后用平行線分線段成比例和相似來解決。塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△ABC內(nèi)任取一點O，延長AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F，如圖3，則。塞瓦（定理）的特征是三線共點，我們用塞瓦（定理）解決的大部分問題，也可添加輔助線后用平行線分線段成比例和相似來解決。易錯提醒：將梅涅勞斯定理（三點共線）誤用于塞瓦定理（三線共點）場景，導(dǎo)致比例式錯誤?。例1．（24-25·廣東·九年級校聯(lián)考期中）梅涅勞斯（Menelaus）是古希臘數(shù)學(xué)家，他首先證明了梅涅勞斯定理，定理的內(nèi)容是：如圖1，如果一條直線與的三邊或它們的延長線交于三點，那么一定有．下面是利用相似三角形的有關(guān)知識證明該定理的部分過程：證明：如圖2，過點作，交的延長線于點，則有，，∴，．請用上述定理的證明方法解決以下問題：（1）如圖3，三邊的延長線分別交直線于三點，證明：．請用上述定理的證明方法或結(jié)論解決以下問題：（2）如圖4，等邊的邊長為3，點為的中點，點在上，且與交于點，試求的長．（3）如圖5，的面積為4，F(xiàn)為中點，延長至，使，連接交于，求四邊形的面積．

變式1．（23-24九年級上·福建泉州·階段練習(xí)）如圖，已知，是的中線，是的中點，則．變式2．（2024·山西·?？家荒＃┱堥喿x下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù)：塞瓦定理：塞瓦定理載于1678年發(fā)表的《直線論》，是意大利數(shù)學(xué)家塞瓦的重大發(fā)現(xiàn)．塞瓦是意大利偉大的水利工程師，數(shù)學(xué)家．定理內(nèi)容：如圖1，塞瓦定理是指在內(nèi)任取一點，延長AO，BO，CO分別交對邊于D，E，F(xiàn)，則．?dāng)?shù)學(xué)意義：使用塞瓦定理可以進行直線形中線段長度比例的計算，其逆定理還可以用來進行三點共線、三線共點等問題的判定方法，是平面幾何學(xué)以及射影幾何學(xué)中的一項基本定理，具有重要的作用．任務(wù)解決：(1)如圖2，當(dāng)點D，E分別為邊BC，AC的中點時，求證：點F為AB的中點；(2)若為等邊三角形（圖3），，，點D是BC邊的中點，求BF的長，并直接寫出的面積．易錯模型10：托勒密定理模型模型解讀托勒密定理：四邊形ABCD內(nèi)接于圓，求證：．特例：（1）當(dāng)△ABC是等邊三角形時，如圖1，根據(jù)托勒密定理有：，又等邊△ABC有AB=AC=BC，故：．特例：（2）當(dāng)△ABC是等腰直角三角形，如圖2，根據(jù)托勒密定理：，又，代入可得結(jié)論：．特例：（3）當(dāng)△ABC是一般三角形時，如圖2，根據(jù)托勒密定理可得：又BC：AC：AB=a：b：c，代入可得結(jié)論：．易錯提醒：1）將托勒密定理（四點共圓）誤用于非共圓四邊形，導(dǎo)致錯誤使用等式結(jié)論?；2）混淆托勒密定理與圓冪定理、中位線定理的應(yīng)用條件（如誤用圓冪定理替代乘積關(guān)系）?。例1．（2024·河南商丘·模擬預(yù)測）請閱讀下列材料，完成相應(yīng)的任務(wù)：克羅狄斯?托勒密（，約90年-168年），“地心說”的集大成者，生于埃及，著名的天文學(xué)家，地理學(xué)家，占星學(xué)家和光學(xué)家．托勒密定理實出自依巴谷（）之手，托勒密從他的書中摘出并加以完善．托勒密定理：圓的內(nèi)接四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積．已知：如圖1，四邊形內(nèi)接于，求證：下面是該結(jié)論的證明過程：證明：如圖1，作，交于點.，（依據(jù)1），（依據(jù)2），，，.，，即，，，．任務(wù)：(1)托勒密定理的逆命題是______；上述證明過程中的“依據(jù)1”為______；“依據(jù)2”為______．(2)當(dāng)圓內(nèi)接四邊形是矩形時，托勒密定理就是我們非常熟知的一個定理：______．(3)如圖2，以為直徑的中，點為上一點，且，的角平分線交于點，連接，，若，求的長．變式1．（2024·浙江·模擬預(yù)測）某著作講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對角線的乘積小于或等于兩組對邊乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)凸四邊形的對角互補時取等號．如圖，四邊形內(nèi)接于半徑為的圓，，，，則四邊形的周長為(

)A． B． C． D．變式2．（2024·山東德州·一模）△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，點P是⊙O上一點，且點P與點A在BC的兩側(cè)，連接PA，PB，PC．(1)如圖①，若△ABC是等邊三角形，則線段PA，PB，PC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(2)如圖②，把（1）中的△ABC改為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，其他條件不變，三條線段PA，PB，PC還有以上的數(shù)量關(guān)系嗎？說明理由．(3)如圖③，把（1）中△ABC改為任意三角形，AB＝c，AC＝b，BC＝a時，其他條件不變，則PA，PB，PC三條線段的數(shù)量關(guān)系為_________（直接寫結(jié)果）(4)由以上你能發(fā)現(xiàn)圓內(nèi)接四邊形的四條邊和對角線有什么關(guān)系？1-1．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）在以“矩形的折疊”為主題的數(shù)學(xué)活動課上，某位同學(xué)進行了如下操作：第一步：將矩形紙片的一端，利用圖①的方法折出一個正方形，然后把紙片展平；第二步：將圖①中的矩形紙片折疊，使點C恰好落在點F處，得到折痕，如圖②．根據(jù)以上的操作，若，，則線段的長是（

）

A．3 B． C．2 D．11-2．（2023·浙江寧波·二模）【基礎(chǔ)鞏固】如圖1，P是內(nèi)部一點，在射線上取點D、E，使得．求證：；【嘗試應(yīng)用】如圖2，在中，，，D是上一點，連接BD，在BD上取點E、F，連接，使得．若，求CE的長；【拓展提高】如圖3，在中，，，D是上一點，連接BD，在BD上取點E，連接CE．若，，求的正切值．

1-3．（2024·廣東深圳·九年級?？茧A段練習(xí)）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在中，，，D是邊上一點，F(xiàn)是邊上一點，．求證：；【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在四邊形ABFC中，點D是邊的中點，，若，，求線段的長．【拓展提高】（3）在中．，，以A為直角頂點作等腰直角三角形，點D在上，點E在上．若，求的長．2-1．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑．通過探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗，并將其運用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地．

(1)發(fā)現(xiàn)問題：如圖1，在和中，，，，連接，，延長交于點．則與的數(shù)量關(guān)系：______，______；(2)類比探究：如圖2，在和中，，，，連接，，延長，交于點．請猜想與的數(shù)量關(guān)系及的度數(shù)，并說明理由；(3)拓展延伸：如圖3，和均為等腰直角三角形，，連接，，且點，，在一條直線上，過點作，垂足為點．則，，之間的數(shù)量關(guān)系：______；(4)實踐應(yīng)用：正方形中，，若平面內(nèi)存在點滿足，，則______．2-2．（2024·山東棗莊·二模）綜合實踐問題背景：借助三角形的中位線可構(gòu)造一組相似三角形，若將它們繞公共頂點旋轉(zhuǎn)，對應(yīng)頂點連線的長度存在特殊的數(shù)量關(guān)系，數(shù)學(xué)小組對此進行了研究，如圖1，在中，，，分別取，的中點D，E，作．如圖2所示，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，連接，．(1)探究發(fā)現(xiàn)：旋轉(zhuǎn)過程中，線段和的長度存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并證明．(2)性質(zhì)應(yīng)用：如圖3，當(dāng)所在直線首次經(jīng)過點B時，求的長．2-3．（2024·山東濟南·模擬預(yù)測）(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，矩形與矩形相似，且矩形的兩邊分別在矩形的邊和上，，連接．線段F與的數(shù)量關(guān)系為；(2)拓展探究：如圖2，將矩形繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，其它條件不變．在旋轉(zhuǎn)的過程中，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，請利用圖2進行說理．(3)解決問題：當(dāng)矩形的邊時，點E為直線上異于D，C的一點，以為邊作正方形，點H為正方形的中心，連接，若，，直接寫出的長．3-1．（2023·江蘇宿遷·三模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，長方形，點A，C分別在y軸，x軸的正半軸上，，，，、分別交，于點D、E，且，則的長為（

）

A．1 B． C．2 D．3-2．（23-24九年級上·河北唐山·階段練習(xí)）在同一平面內(nèi)，將兩個全等的等腰直角三角形擺放在一起，如圖1所示，點A為公共頂點，點D在的延長線上，，．若將固定不動，把繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)a（），此時線段，射線分別與射線交于點M，N．(1)當(dāng)旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置時，①求證：；②在圖2中除外還有哪些相似三角形，直接寫出；③如圖2，若，求的長；(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，若，請直接寫出的長_________（用含d的式子表示）．

3-3．（2024·山東煙臺·一模）如圖①，在正方形中，點N、M分別在邊、上，連結(jié)、、．，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，點D與點B重合，得到．易證：，從而得．

【實踐探究】（1）在圖①條件下，若，，則正方形的邊長是_________．（2）如圖②，點M、N分別在邊、上，且．點E、F分別在、上，，連接，猜想三條線段、、之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【拓展應(yīng)用】（3）如圖③，在矩形中，，，點M、N分別在邊、上，連結(jié)，，已知，，求的長．4-1．（23-24九年級上·山西臨汾·期中）綜合與探究問題解決：如圖1，中，，過點C作于點D，小明把一個三角板的直角頂點放置在點D處，兩條直角邊分別交線段于點E，交線段于點F，在三角板繞著點D旋轉(zhuǎn)的過程中，若點E是的中點，則點F也是的中點嗎？（注：可以用知識：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）?！瓣柟狻毙〗M的解答是：若點E是的中點，則點F也是的中點．理由如下：∵于點D，．∵點E是的中點，．，．是等邊三角形．，．．又，．．即若點E是的中點，則點F也是的中點．反思交流（1）“群星”小組認為在這個題中，可以去掉條件“”，其他條件不變（如圖2），若點E是的中點，則點F也是的中點．請你根據(jù)條件證明這個結(jié)論；拓廣探索（2）去掉條件“”，其他條件不變旋轉(zhuǎn)過程中，若（如圖3），那么等式成立嗎？請說明理由；（3）去掉條件“”，其他條件不變．若點E是上任意一點（如圖4），（2）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由．4-2．（2023·河南信陽·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于點D，點E是直線AC上一動點，連接DE，過點D作FD⊥ED，交直線BC于點F．（1）探究發(fā)現(xiàn)：如圖1，若m＝n，點E在線段AC上，則＝；（2）數(shù)學(xué)思考：①如圖2，若點E在線段AC上，則＝（用含m，n的代數(shù)式表示）；②當(dāng)點E在直線AC上運動時，①中的結(jié)論是否仍然成立？請僅就圖3的情形給出證明；（3）拓展應(yīng)用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，請直接寫出CE的長．5-1．（2024·山西大同·模擬預(yù)測）矩形中，E為AD邊上一點，且，．將沿翻折到處，延長交邊于G點，延長交CD邊于點H，且，則線段的長為．5-2．（23·24下·吉安·模擬預(yù)測）課本再現(xiàn)：(1)如圖1，D，E分別是等邊三角形的兩邊上的點，且．求證：．下面是小涵同學(xué)的證明過程：證明：∵是等邊三角形，∴．∵，∴，∴．小涵同學(xué)認為此題還可以得到另一個結(jié)論：的度數(shù)是；

遷移應(yīng)用：(2)如圖2，將圖1中的延長至點G，使，連接．利用（1）中的結(jié)論完成下面的問題．①求證：；②若，求證：；拓展提升：(3)在等邊中，若點D，E分別在射線上，連接交于點F，且，將繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)到，且使得．直線與直線交于點P，若，則的值為5-3．（23·24上·深圳·期中）如圖，在中，，，點D為邊上的中點，連接，過點B作于點E，延長交于點F．則的長為．6-1．（2024·山東·中考真題）如圖，點為的對角線上一點，，，連接并延長至點，使得，連接，則為（

）A． B．3 C． D．46-2．（2024·湖南永州·模擬預(yù)測）如圖：中，，，，把邊長分別為，，，…的n個正方形依次放在中；第一個正方形的頂點分別放在的各邊上；第二個正方形的頂點分別放在的各邊上，其他正方形依次放入，則第2024個正方形的邊長為．6-3．（2024·陜西西安·一模）如圖，在中，D，M是邊的三等分點，N，E是邊的三等分點．連接并延長與的延長線相交于點P．若，則線段的長為（）A．5 B．7 C．6 D．87-1．（2024·吉林·中考真題）如圖，正方形的對角線相交于點O，點E是的中點，點F是上一點．連接．若，則的值為．7-2．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，菱形的邊長為6，，過點作，交的延長線于點，連結(jié)分別交，于點，，則的長為．7-3．（2023·安徽·三模）如圖，已知、，與相交于點，作于點，點是的中點，于點，交于點，若，，則值為（

）

A． B． C． D．7-4．（2024·江蘇泰州·三模）綜合與實踐在初中物理學(xué)中，凸透鏡成像原理與相似三角形有密切的聯(lián)系．請耐心閱讀以下材料：【光學(xué)模型】如圖1，通過凸透鏡光心的光線，其傳播方向不變，經(jīng)過焦點的光線經(jīng)凸透鏡折射后平行于主光軸沿射出，與光線交于點，過點作主光軸的垂線段，垂足為，即可得出物體所成的像．【模型驗證】設(shè)焦點到光心的距離稱為焦距，記為；物體到光心的距離稱為物距，記為；像到光心的距離稱為像距，記為．已知，，當(dāng)時，求證：．證明：∵，，∴又∵，∴，∴，即，同理可得，∴，即①，∴②，∴，∴，即．請結(jié)合上述材料，解決以下問題：(1)請補充上述證明過程中①②所缺的內(nèi)容(用含的代數(shù)式表示)；(2)若該凸透鏡的焦距為20，物體距凸透鏡的距離為30，物高為10，則物體所成的像的高度為__________；(3)如圖2，由物理學(xué)知識知“經(jīng)過點且平行于主光軸的光線經(jīng)凸透鏡折射后經(jīng)過點”，小明在做凸透鏡成像實驗時，不斷改變物距發(fā)現(xiàn)光線始終經(jīng)過主光軸上一定點．若該凸透鏡的焦距為20，物高為10，試說明這一物理現(xiàn)象．8-1．（2024·廣西南寧·三模）閱讀與思考，完成后面的問題．射影定理，又稱“歐幾里得定理”，是數(shù)學(xué)圖形計算的重要定理．如圖，在中，，是斜邊上的高，則有如下結(jié)論：①；②；③．下面是該定理的證明過程（部分）：∵是斜邊上的高，∴．∵，，∴．∴（依據(jù)）．∴．即．(1)材料中的“依據(jù)”是指；(2)選擇②或③其中一個結(jié)論加以證明；(3)應(yīng)用：中，，，，點A在y軸上，求頂點A的坐標(biāo)．8-2．（2024·浙江溫州·三模）如圖，在銳角三角形中，．以點為圓心長為半徑畫弧，交邊于點，連接．點是延長線上的一點，連接，若平分．(1)求證：．(2)當(dāng)時，求的值．8-3．（2024·河南·二模）三角形的布洛卡點（Brocardpoint）是法國數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家克洛爾（A．LCrelle1780-1855）于1816年首次發(fā)現(xiàn)，但他的發(fā)現(xiàn)并未被當(dāng)時的人們所注意．1875年，布洛卡點被一個數(shù)學(xué)愛好者法國軍官布洛卡（Brocard1845-1922）重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字命名．如圖1，若內(nèi)一點P滿足，則點P是的布洛卡點，是布洛卡角．（1）如圖2，點P為等邊三角形ABC的布洛卡點，則布洛卡角的度數(shù)是______；PA、P