嚴(yán)格的證明是數(shù)學(xué)的標(biāo)志,這是數(shù)學(xué)對(duì)于文化修養(yǎng)所提供的不可缺少的營(yíng)養(yǎng),一個(gè)學(xué)生若對(duì)數(shù)學(xué)證明從未留下印象,那他就缺少了一種基本的思維經(jīng)歷.---波利亞(Polya,G.)

數(shù)學(xué)的主要目標(biāo)是大眾的利益和對(duì)自然現(xiàn)象的解釋.---傅里葉(Fourier,J.B.J.)第七章Fourier變換§7.1

Fourier積分公式§7.2Fourier變換§7.3Fourier變換的性質(zhì)

在自然科學(xué)和工程技術(shù)中為了把較復(fù)雜的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的運(yùn)算，人們常采用變換的方法來(lái)達(dá)到目的．例如在初等數(shù)學(xué)中，數(shù)量的乘積和商可以通過(guò)對(duì)數(shù)變換化為較簡(jiǎn)單的加法和減法運(yùn)算．在工程數(shù)學(xué)里積分變換能夠?qū)⒎治鲞\(yùn)算（如微分、積分）轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，正是積分變換的這一特性，使得它在微分方程、偏微分方程的求解中成為重要的方法之一．積分變換的理論方法不僅在數(shù)學(xué)的諸多分支中得到廣泛的應(yīng)用，而且在許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中，例如物理學(xué)、力學(xué)、現(xiàn)代光學(xué)、無(wú)線電技術(shù)以及信號(hào)處理等方面，作為一種研究工具發(fā)揮著十分重要的作用．

人類(lèi)視覺(jué)所感受到的是在空間域和時(shí)間域的信號(hào).

但是，往往許多問(wèn)題在頻域中討論時(shí)，有其非常方便分析的一面.例如，空間位置上的變化不改變信號(hào)的頻域特性.

首先，提出的變換必須是有好處的，換句話(huà)說(shuō)，可以解決時(shí)域中解決不了的問(wèn)題.

其次，變換必須是可逆的，可以通過(guò)逆變換還原回原時(shí)域中.

頻域分析：－－－傅里葉變換，自變量為j

復(fù)頻域分析：－－－拉氏變換,自變量為S=

+j

Z域分析：－－－Z變換，自變量為z

所謂積分變換，就是把某函數(shù)類(lèi)A中的任意一個(gè)函數(shù)，經(jīng)過(guò)某種可逆的積分方法（即為通過(guò)含參變量的積分）變?yōu)榱硪缓瘮?shù)類(lèi)B中的函數(shù)這里是一個(gè)確定的二元函數(shù)，通常稱(chēng)為該積分變換的核．稱(chēng)為的象函數(shù)或簡(jiǎn)稱(chēng)為象，稱(chēng)為的原函數(shù)．

在這樣的積分變換下，微分運(yùn)算可變?yōu)槌朔ㄟ\(yùn)算，原來(lái)的偏微分方程可以減少自變量的個(gè)數(shù)，變成像函數(shù)的常微分方程；原來(lái)的常微分方程可以變?yōu)橄窈瘮?shù)的代數(shù)方程，從而容易在像函數(shù)類(lèi)B中找到解的像；再經(jīng)過(guò)逆變換，便可以得到原來(lái)要在A中所求的解，而且是顯式解．

另外需要說(shuō)明的是，當(dāng)選取不同的積分區(qū)域和核函數(shù)時(shí)，就得到不同名稱(chēng)的積分變換:（1）特別當(dāng)核函數(shù)（注意已將積分參變量改寫(xiě)為變量），當(dāng)，則稱(chēng)函數(shù)為函數(shù)的傅里葉（Fourier）變換，簡(jiǎn)稱(chēng)為函數(shù)的傅氏變換．同時(shí)我們稱(chēng)為的傅里葉逆變換．（2）特別當(dāng)核函數(shù)（注意已將積分參變量改寫(xiě)為變量），當(dāng)，則稱(chēng)函數(shù)為函數(shù)的拉普拉斯(Laplace)變換，簡(jiǎn)稱(chēng)為函數(shù)的拉氏變換．同時(shí)我們稱(chēng)為的拉氏逆變換．

主要內(nèi)容

Fourier變換是一種對(duì)連續(xù)時(shí)間函數(shù)的積分變換,通過(guò)特定形式的積分建立函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.它既能簡(jiǎn)化計(jì)算(如解微分方程或化卷積為乘積等)，又具有明確的物理意義(從頻譜的角度來(lái)描述函數(shù)的特征),因而在許多領(lǐng)域被廣泛地應(yīng)用.離散和快速Fourier變換在計(jì)算機(jī)時(shí)代更是特別重要．傅里葉變換發(fā)展歷史1822年，法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉(J.Fourier,1768-1830)在研究熱傳導(dǎo)理論時(shí)發(fā)表了“熱的分析理論”，提出并證明了將周期函數(shù)展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)的原理，奠定了傅里葉級(jí)數(shù)的理論基礎(chǔ).泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把這一成果應(yīng)用到電學(xué)中去，得到廣泛應(yīng)用.19世紀(jì)末，人們制作出用于工程實(shí)際的電容器；進(jìn)入20世紀(jì)以后，諧振電路、濾波器、正弦振蕩器等一系列具體問(wèn)題的解決為正弦函數(shù)與傅里葉分析的進(jìn)一步應(yīng)用開(kāi)辟了廣闊的前景.在通信與控制系統(tǒng)的理論研究和工程實(shí)際應(yīng)用中，傅里葉變換法具有很多的優(yōu)點(diǎn).“FFT”快速傅里葉變換為傅里葉分析法賦予了新的生命力.§7.1Fourier

積分公式7.1.1傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式

7.1.2傅里葉積分公式(

Dirichlet

定理)定理1.Fourier

級(jí)數(shù)的三角形式(A)稱(chēng)

(A)

式為

Fourier

級(jí)數(shù)的三角形式。定義一、

Fourier

級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式其中，

2=Tpw2.Fourier

級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式代入

(A)

式并整理得根據(jù)Euler公式可得推導(dǎo)(A)已知一、Fourier

級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式2.Fourier

級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式推導(dǎo)則有令其中,(B)稱(chēng)

(B)

式為

Fourier

級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式。定義一、

Fourier

級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式(2)絕對(duì)可積，即上的任一有限區(qū)間內(nèi)滿(mǎn)足

Dirichlet

條件；(1)在二、傅里葉積分公式定理設(shè)函數(shù)

滿(mǎn)足的間斷處，公式的左端應(yīng)為在1.Fourier

積分公式稱(chēng)

(D)

式為

Fourier

積分公式。定義則在的連續(xù)點(diǎn)處，有(D)Fourier變換是積分變換中常見(jiàn)的一種變換，它既能夠簡(jiǎn)化運(yùn)算

(

如求解微分方程、化卷積為乘積等等

)，又具有非常特殊的物理意義。

的地位，而且在各種工程技術(shù)中都有著廣泛的應(yīng)用。展起來(lái)的。在微積分課程中已經(jīng)學(xué)習(xí)了Fourier

級(jí)數(shù)的有關(guān)內(nèi)容，因此本節(jié)將先簡(jiǎn)單地回顧一下

Fourier

級(jí)數(shù)展開(kāi)?！?.2Fourier變換

因此，F(xiàn)ourier變換不僅在數(shù)學(xué)的許多分支中具有重要Fourier變換是在周期函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)(2)Fourier

逆變換(簡(jiǎn)稱(chēng)傅氏逆變換)稱(chēng)為傅氏變換對(duì)，記為與1、傅立葉變換的概念-1(1)Fourier

正變換(簡(jiǎn)稱(chēng)傅氏變換)定義其中，稱(chēng)為象原函數(shù)．稱(chēng)為象函數(shù)，1.Fourier

變換的定義注

上述變換中的廣義積分為柯西主值。

二、δ函數(shù)及其傅里葉變換在物理學(xué)中，除了有連續(xù)分布的物理量外，常有集中于一點(diǎn)或一瞬時(shí)的量，如脈沖力、脈沖電壓、點(diǎn)電荷、質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量等．在通常意義下的函數(shù)類(lèi)中找不到一個(gè)函數(shù)來(lái)表示這種性質(zhì)，只有引入一個(gè)特殊函數(shù)來(lái)表示它們的分布密度，才有可能把這種集中的量與連續(xù)分布的量來(lái)統(tǒng)一處理，這個(gè)函數(shù)稱(chēng)為狄拉克(Dirac)函數(shù)，并簡(jiǎn)稱(chēng)為δ函數(shù)。1.δ函數(shù)的概念二、δ函數(shù)及其傅里葉變換二、δ函數(shù)的概念及性質(zhì)2.

δ函數(shù)的性質(zhì)篩選性質(zhì)

性質(zhì)§7.3Fourier變換的性質(zhì)以下假定所討論的函數(shù)滿(mǎn)足Fourier積分定理的條件.(1)線性性質(zhì)

設(shè)a,b是常數(shù)，則(2)位移性質(zhì)(3)微分性質(zhì)設(shè)并且在上存在(n為正整數(shù)).如果當(dāng)時(shí),則(4)對(duì)稱(chēng)性質(zhì)設(shè)，則這個(gè)性質(zhì)說(shuō)明了傅里葉變換與其逆變換的關(guān)系；(5)積分性質(zhì)設(shè)并且如果則(6)相似性質(zhì)

實(shí)際上,只要記住下面五個(gè)傅里葉變換,則所有的傅里葉變換都無(wú)須用公式直接計(jì)算而可由傅里葉變換的性質(zhì)導(dǎo)出.求解數(shù)學(xué)物理方程本章內(nèi)容總結(jié)線性性質(zhì)對(duì)稱(chēng)性質(zhì)相似性質(zhì)位移性質(zhì)微分性質(zhì)積分性質(zhì)Fourier變換d函數(shù)的Fourier變換基本性質(zhì)篩選性質(zhì)反演公式本章的重點(diǎn)2.會(huì)求簡(jiǎn)單的Fourier變換1.Fourier

變換的定義及其性質(zhì)第七章完JeanleRondD’Alembert(1717.11.16-1783.10.29)法國(guó)數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家,被一個(gè)貧窮家庭收養(yǎng)的棄嬰.他是18世紀(jì)的大數(shù)學(xué)家,在很多領(lǐng)域取得了成就,特別在微分方程和力學(xué)等方面的貢獻(xiàn)尤為突出.歷史回顧——Fourier級(jí)數(shù)

附：1807年12月12日，在法國(guó)科學(xué)院舉行的一次會(huì)議上，F(xiàn)ourier

宣讀了他的一篇關(guān)于熱傳導(dǎo)的論文，宣稱(chēng)：在有限區(qū)間上由任意圖形定義的任何函數(shù)都可以表示為單純的正弦與余弦函數(shù)之和。經(jīng)拉格朗日、拉普拉斯和勒讓德三人(號(hào)稱(chēng)3L)審閱后，認(rèn)為其推導(dǎo)極不嚴(yán)密，被拒(鋸)收。1811

年，F(xiàn)ourier將修改好的論文：提交給法國(guó)科學(xué)院?！蛾P(guān)于熱傳導(dǎo)問(wèn)題的研究》其新穎、實(shí)用，從而于1812年獲得法國(guó)科學(xué)院頒發(fā)的大獎(jiǎng)，但仍以其不嚴(yán)密性被《論文匯編》拒(鋸)收。經(jīng)過(guò)評(píng)審小組(

3L

)審閱后，認(rèn)為歷史回顧——Fourier級(jí)數(shù)

附：1822

年，F(xiàn)ourier經(jīng)過(guò)十年的努力，終于出版了專(zhuān)著：《熱的解析理論》這部經(jīng)典著作將歐拉、伯努利等人在一些特殊情形下使用的三角級(jí)數(shù)方法，發(fā)展成內(nèi)容豐富的一般理論，特別是在工程應(yīng)用方面顯示出巨大的價(jià)值。歷史回顧——Fourier級(jí)數(shù)

附：1829

年，德國(guó)數(shù)學(xué)家Dirichlet終于對(duì)一類(lèi)條件較“寬”的函數(shù)給出了嚴(yán)格的證明。時(shí)年24歲。1830年

5

月

16

日，F(xiàn)ourier在巴黎去世。啟示：(1)有價(jià)值的東西一定是真的；真的東西一定是美的。(2)堅(jiān)持不懈的努力就一定會(huì)有收獲。歷史回顧——Fourier級(jí)數(shù)

附：

解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一。

對(duì)數(shù)論、數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)物理有突出貢獻(xiàn)。

對(duì)德國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生巨大影響。德國(guó)數(shù)學(xué)家(1805～1859)狄利克雷Dirichlet，PeterGustavLejeune人物介紹

——狄利克雷附：1859年5月5日卒于格丁根。1839年任柏林大學(xué)教授。1855年接任

C.

F.

高斯在哥廷根大學(xué)的教授職位。1805年2月13日生于迪倫。1822～1826年在巴黎求學(xué)。中學(xué)時(shí)曾受教于物理學(xué)家

G.

S.

歐姆?；貒?guó)后先后在布雷斯勞大學(xué)和柏林軍事學(xué)院任教。人物介紹

——狄利克雷附：附：人物介紹

——傅立葉

傅立葉級(jí)數(shù)、傅立葉分析等理論的始創(chuàng)人。1822年出版經(jīng)典著作《熱的解析理論》?！吧钊胙芯孔匀皇菙?shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)最豐富的源泉?！薄狫.

Fourier法國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家(1768～1830)傅立葉Fourier，JeanBaptisteJoseph1801年回國(guó)后被任命為格倫諾布爾省省長(zhǎng)。1795年任巴黎綜合工科大學(xué)助教。1798年隨拿破侖軍隊(duì)遠(yuǎn)征埃及。1768年3月21日生子法國(guó)中部歐塞爾一個(gè)裁縫家庭。1785年回鄉(xiāng)教數(shù)學(xué)。9歲父母雙亡，12歲由一主教送入軍事學(xué)校讀書(shū)。1817年當(dāng)選為法國(guó)科學(xué)院院士。1822年任法國(guó)科學(xué)院終身秘書(shū)。1830年5月16日卒于巴黎。附：人物介紹

——傅立葉傅立葉的兩個(gè)最主要的貢獻(xiàn)——“周期信號(hào)都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號(hào)的加權(quán)和”

——傅里葉的第一個(gè)主要論點(diǎn)“非周期信號(hào)都可用正弦信號(hào)的加權(quán)積分表示”

——傅里葉的第二個(gè)主要論點(diǎn)恩格斯(Engels)把傅里葉的數(shù)學(xué)成就與他所推崇的哲學(xué)家黑格爾(Hegel)的辯證法相提并論.他寫(xiě)道：傅里葉是一首數(shù)學(xué)的詩(shī)，黑格爾是一首辯證法的詩(shī).

(返回)附：?jiǎn)挝幻}沖函數(shù)的其它定義方式

方式一令則t方式二(20世紀(jì)50年代，Schwarz)

單位脈沖函數(shù)滿(mǎn)足其中，稱(chēng)為檢驗(yàn)函數(shù)。(返回)第八章拉普拉斯變換

拉普拉斯(Lapulace)變換在電學(xué)、力學(xué)、控制論等工程技術(shù)和科學(xué)領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用.它對(duì)像原函數(shù)

的要求的條件比傅里葉變換要弱，所以在某些問(wèn)題上，它比傅里葉變換的適用范圍要廣?！?.1

拉普拉斯變換的概念

由上一章可知，可進(jìn)行傅里葉變換的函數(shù)必須在整個(gè)數(shù)軸上有定義，而在許多物理現(xiàn)象中，考慮到的是以時(shí)間t為自變量的函數(shù)，僅僅定義于區(qū)