第三節(jié)：函數(shù)的單調(diào)性與極值第三章：微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用講解：大學(xué)數(shù)學(xué)教研室單位：公共課部一、函數(shù)單調(diào)性的判別三、小結(jié)二、函數(shù)的極值目錄CONTENTS01武漢市氣象局監(jiān)測得2021年12月1日的氣溫變化如圖所示，請根據(jù)圖像描述這一段時(shí)間內(nèi)武漢市的氣溫變化情況01函數(shù)單調(diào)性的判別1.函數(shù)單調(diào)性的判別銳角單調(diào)上升單調(diào)下降切線的斜率>0切線的斜率<0tanα>0tanα<0f′(x)>0f′(x)<0鈍角2.單調(diào)區(qū)間求法1.單調(diào)性的判別法3.利用單調(diào)性證明不等式(1)若在(a,b)內(nèi)

，定理1設(shè)函數(shù)y=f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo).

判斷區(qū)間單調(diào)性

判斷區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)正負(fù)號(2)若在(a,b)內(nèi)

，

注：若在(a,b)內(nèi)只有個(gè)別點(diǎn)使得f′(x)=0，

則仍為嚴(yán)格單調(diào)2.單調(diào)區(qū)間求法1.單調(diào)性的判別法3.利用單調(diào)性證明不等式解：例題12.單調(diào)區(qū)間求法1.單調(diào)性的判別法3.利用單調(diào)性證明不等式解：例題2x=0就是單調(diào)性的分界點(diǎn)，該點(diǎn)也是導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)。2.單調(diào)區(qū)間求法1.單調(diào)性的判別法3.利用單調(diào)性證明不等式例題3解：x=0就是單調(diào)性的分界點(diǎn)，該點(diǎn)是不可導(dǎo)點(diǎn)。2.單調(diào)區(qū)間求法1.單調(diào)性的判別法3.利用單調(diào)性證明不等式分界點(diǎn)求法X0y1分界點(diǎn)界點(diǎn)導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)分界點(diǎn)可能是不可導(dǎo)點(diǎn)；如果可導(dǎo)，則導(dǎo)數(shù)為0。2.單調(diào)區(qū)間求法1.單調(diào)性的判別法3.利用單調(diào)性證明不等式單調(diào)區(qū)間求法確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：(1)確定函數(shù)定義域；

2.單調(diào)區(qū)間求法1.單調(diào)性的判別法3.利用單調(diào)性證明不等式確定函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間.

（2）解：令得：（3）列表：單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.例題4x-2(-2,2)22.單調(diào)區(qū)間求法1.單調(diào)性的判別法3.利用單調(diào)性證明不等式確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

（2）解：令得：（3）列表：單調(diào)增區(qū)間為

，單調(diào)減區(qū)間為.練習(xí)x-1(-1,1)12.單調(diào)區(qū)間求法1.單調(diào)性的判別法3.利用單調(diào)性證明不等式確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.練習(xí)x(?∞,-1)-1(-1,1)1(??,+∞)

（2）解：（3）列表：0分界點(diǎn)分界點(diǎn)單調(diào)增區(qū)間為

，單調(diào)減區(qū)間為

.2.單調(diào)區(qū)間求法1.單調(diào)性的判別法3.利用單調(diào)性證明不等式確定函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間.

（2）解：為不可導(dǎo)點(diǎn)（3）列表：??(?∞,??)0(??,+∞)單調(diào)增區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間為.例題52.單調(diào)區(qū)間求法1.單調(diào)性的判別法3.利用單調(diào)性證明不等式分界點(diǎn)求法X0y1分界點(diǎn)界點(diǎn)導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)和駐點(diǎn)一定是單調(diào)性的分界點(diǎn)嗎？確定函數(shù)的單調(diào)性.

（2）解：（3）列表：??(?∞,??)(??,+∞)單調(diào)增區(qū)間為所以該函數(shù)為單調(diào)增加的.令得：例求出導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)只是可疑分界點(diǎn)2.單調(diào)區(qū)間求法1.單調(diào)性的判別法3.利用單調(diào)性證明不等式駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)只是可疑分界點(diǎn)例（2）解：為不可導(dǎo)點(diǎn)??(?∞,??)(??,+∞)

（3）列表：2.單調(diào)區(qū)間求法1.單調(diào)性的判別法3.利用單調(diào)性證明不等式解：例題62.單調(diào)區(qū)間求法1.單調(diào)性的判別法3.利用單調(diào)性證明不等式證:則f(x)在區(qū)間[0,+∞)上連續(xù).令f(x)=ln(1+x)-x可知，f(x)在[0,+∞)嚴(yán)格單調(diào)減少，證明不等式ln(1+x)<x，x>0從而有l(wèi)n(1+x)<x，x>0∵f(0)=ln(1+0)-0=0∴f(x)<f(0)=0即ln(1+x)-x<0例題72.單調(diào)區(qū)間求法1.單調(diào)性的判別法3.利用單調(diào)性證明不等式證:則f(x)在區(qū)間[0,+∞)上連續(xù).令可知，f(x)在[0,+∞)嚴(yán)格單調(diào)增加，證明不等式

，x>0從而有

，x>0∵f(0)=1-(1+0)=0∴f(x)>f(0)=0練習(xí)02函數(shù)的極值1函數(shù)的極值函數(shù)的極值定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0的一個(gè)鄰域內(nèi)有定義，若對該鄰域內(nèi)任意一點(diǎn)x≠x0(1)f(x0)>f(x)，則稱f(x0)

為函數(shù)f(x)

的極大值，x0

稱為

f(x)的極大值點(diǎn)；(2)f(x0)<f(x)，則稱

f(x0)

為函數(shù)f(x)的極小值，x0

稱為

f(x)的極小值點(diǎn)；極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為

f(x)的極值點(diǎn).,有2.第一充分條件1.函數(shù)的極值3.第二充分條件注：極值是一個(gè)局部概念，鄰域內(nèi)的最大或最?。ú晃ㄒ唬?為極小值.為極大值.如何找極值可疑點(diǎn)？與單調(diào)性分界點(diǎn)的關(guān)系？1.函數(shù)的極值

定理1（必要條件）除了駐點(diǎn)，還要考慮哪些點(diǎn)？（不可導(dǎo)點(diǎn)）2.第一充分條件3.第二充分條件1.函數(shù)的極值(駐點(diǎn)不是極值點(diǎn)情形)(駐點(diǎn)是極值點(diǎn)情形)注意:駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)都有可能是極值點(diǎn)，統(tǒng)稱為極值嫌疑點(diǎn).注意:極值點(diǎn)附近單調(diào)性會發(fā)生改變.2.第一充分條件3.第二充分條件1.函數(shù)的極值(1)若定理2（第一充分條件）

(2)若

2.第一充分條件3.第二充分條件左正右負(fù)極大值左負(fù)右正極小值1.函數(shù)的極值(1)確定函數(shù)定義域；(2)找極值嫌疑點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；(3)討論嫌疑點(diǎn)左右兩邊導(dǎo)數(shù)符號，從而確定極大（?。?(4)求極值點(diǎn)函數(shù)值.確定極值步驟：2.第一充分條件3.第二充分條件

1.函數(shù)的極值x-1(-1,3)3確定函數(shù)

的極值.

（2）解：令得駐點(diǎn)：（3）列表：

例題82.第一充分條件3.第二充分條件練習(xí)求出函數(shù)

的極值解:極大值極小值得駐點(diǎn)

x1=-1,x2=3，列表討論D:(－∞,+∞)極大值為：f(-1)=17，極小值為：f(3)=-47圖形如下

1.函數(shù)的極值x-1(-1,1)1確定函數(shù)

的極值.

（2）解：令得：（3）列表：

練習(xí)2.第一充分條件3.第二充分條件1.函數(shù)的極值為導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)為導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)x(?∞,0)0(0,1)1(??,+∞)確定函數(shù)

的極值.

（2）解：（3）列表：

不可導(dǎo)極大值極小值例題92.第一充分條件3.第二充分條件1.函數(shù)的極值x(?∞,???)-11(??,+∞)確定函數(shù)

的極值.

（2）解：令得：（3）列表：

練習(xí)2.第一充分條件3.第二充分條件x(?∞,-1)-1(-1,1/2)1/2(1/2,5)5(5,+∞)確定函數(shù)

的極值.

（2）解：令得：（3）列表：練習(xí)還有不可導(dǎo)點(diǎn)極大值極小值1.函數(shù)的極值

則：判斷極大極?。ǖ诙浞謼l件）

2.第一充分條件3.第二充分條件例題10解:x=1是極小值點(diǎn)x=-1是極大值點(diǎn)極大值為：f(-1)=2，極小值為：f(1)=-2用第二充分條件判斷函數(shù)

的極值駐點(diǎn)且滿足第二充分條件時(shí)用二階導(dǎo)判斷更方便（2）用第二充分條件判斷這兩個(gè)駐點(diǎn)是否是極值點(diǎn)。

令

可得極值嫌疑點(diǎn)：駐點(diǎn)x=-1和駐點(diǎn)x=1。（1）

練習(xí)解:x=3是極小值點(diǎn)x=-1是極大值點(diǎn)極大值為：f(-1)=17，極小值為：f(3)=-47用第二充分條件判斷函數(shù)

的極值駐點(diǎn)且滿足第二充分條件時(shí)用二階導(dǎo)判斷更方便（2）用第二充分條件判斷這兩個(gè)駐點(diǎn)是否是極值點(diǎn)。

令

可得極值嫌疑點(diǎn)：駐點(diǎn)x=-1和駐點(diǎn)x=3。（1）

練習(xí)當(dāng)a為何值時(shí)，函數(shù)

在

處取得極值？它是極大值還是極小值？f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，故在得

a=2.

所以是極大值點(diǎn)，處取得極值，必有而即即

f′(x)=2cosx+cos3x極大值為解：用第一充分條件需判斷駐點(diǎn)左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)正負(fù)號，不方便函數(shù)的極值1、當(dāng)時(shí)，定理失效.（此時(shí)是否是極值？如何判斷？）比如：所有極值嫌疑點(diǎn)都可以用二階導(dǎo)判斷極大極小嗎？2、當(dāng)嫌疑點(diǎn)是不可導(dǎo)點(diǎn)時(shí)，不能使用.確定函數(shù)極值的方法匯總：（4）找出極值點(diǎn)求出極值函數(shù)的極值確定函數(shù)

的極值.

（2）解：（3）

例題11x(?∞,???)-11(??,+∞)函數(shù)的極值（4）

x(?∞,-1)-1(-1,1)1(??,+∞)0無法判斷極值建議：當(dāng)有的點(diǎn)需要用第一充分條件時(shí)，所有點(diǎn)都采用第一充分條件判斷03小結(jié)小結(jié)(1)、確定定義域。(2)、找可疑分界點(diǎn)：f′(x)=0的點(diǎn)或f′(x)不存在的點(diǎn)。(3)、分區(qū)間并根據(jù)f′(x)符號判別函數(shù)y=