考研數(shù)學專業(yè)2025年數(shù)理統(tǒng)計試卷（含答案）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、單項選擇題：本大題共5小題，每小題5分，共25分。下列每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題卡上。1.設隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)，則下列說法正確的是（）。（A）P(X≤a)=F(a)（B）P(X=a)=F(a)-F(a-0)（C）P(X>a)=1-F(a-0)（D）P(X≥a)=F(a+0)2.設隨機變量X～N(μ,σ2)，Y=3X+2，則Y的數(shù)學期望E(Y)和方差D(Y)分別為（）。（A）E(Y)=μ,D(Y)=σ2（B）E(Y)=3μ+2,D(Y)=3σ2（C）E(Y)=3μ+2,D(Y)=σ2（D）E(Y)=μ,D(Y)=9σ23.設X?,X?,…,Xn是來自總體N(μ,σ2)的簡單隨機樣本，樣本均值為X?，樣本方差為S2，則下列結論正確的是（）。（A）X?~N(μ,σ2/n)（B）(n-1)S2/σ2~χ2(n-1)（C）X?與S2相互獨立（D）E(S2)=σ24.設總體X的概率密度函數(shù)為f(x;θ)=θx^(θ-1),0<x<1,θ>0，其中θ未知。若X?,X?,…,Xn是來自總體X的樣本，則θ的矩估計量是（）。（A）X?（B）(n-1)X?（C）nX?（D）1/n*Σ(X?^(n-1))5.在假設檢驗H?:μ=μ?vsH?:μ≠μ?中，若選取的檢驗水平為α，則當檢驗結果為拒絕H?時，我們稱（）。（A）犯了第一類錯誤（B）犯了第二類錯誤（C）肯定了H?為真（D）肯定了H?為真二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。請將答案填在答題卡上對應題號后的橫線上。6.設隨機變量X與Y相互獨立，且X～N(1,4)，Y～N(0,9)，則隨機變量Z=3X-2Y的數(shù)學期望E(Z)=______，方差D(Z)=______。7.設隨機變量X的概率密度函數(shù)為f(x)={c/x2,x>1;0,x≤1}，則常數(shù)c=______。8.從總體X中抽取樣本X?,X?,…,Xn，若總體均值未知，總體方差σ2未知，欲檢驗假設H?:μ=μ?，通常使用的檢驗統(tǒng)計量是______（用樣本均值X?，樣本方差S2表示）。9.在簡單線性回歸模型Y=β?+β?x+ε中，若已知樣本點的中心點為(x?,?)，則回歸直線必過點______。三、解答題：本大題共6小題，共69分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。10.（10分）設隨機變量X的概率密度函數(shù)為f(x)={a,0<x<2;0,其他}。（1）確定常數(shù)a的值；（2）求隨機變量X的分布函數(shù)F(x)；（3）計算P(1<X<3)。11.（10分）設隨機變量X和Y相互獨立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)。（1）證明：隨機變量Z=X2+Y2服從自由度為2的χ2分布；（2）求隨機變量W=1/Z的分布函數(shù)。12.（12分）設總體X的概率密度函數(shù)為f(x;θ)={θ,0<x<1;0,其他}，其中θ未知。X?,X?,…,Xn是來自總體X的樣本。（1）求θ的極大似然估計量；（2）證明θ的極大似然估計量是無偏估計量。13.（12分）從正態(tài)總體N(μ,42)中抽取容量為n=16的樣本，樣本均值為X?=10。（1）求總體均值μ的99%置信區(qū)間（已知χ2?.??(15)=27.488,χ2?.?1(15)=32.801）；（2）若要求置信度為95%，且置信區(qū)間的長度不超過1，問至少需要抽取多少個樣本？14.（12分）某研究想考察廣告投入（x，單位：萬元）與產(chǎn)品銷售量（y，單位：件）之間的關系。隨機抽取5對觀測數(shù)據(jù)，得到如下資料：n=5,Σx?=15,Σy?=40,Σx?2=55,Σy?2=180,Σx?y?=100。（1）求線性回歸方程y=a+bx；（2）檢驗線性回歸效果是否顯著（取α=0.05，已知t?.?2?(3)=3.182）。15.（11分）要檢驗某元件的壽命X（單位：小時）是否服從指數(shù)分布，抽取了n=100個元件進行測試，得到壽命小于200小時的有20個，小于400小時的有80個。（1）提出原假設H?：X服從指數(shù)分布；（2）寫出檢驗統(tǒng)計量的表達式（提示：可考慮Kolmogorov-Smirnov檢驗的統(tǒng)計量D?或D?，此處簡化為基于經(jīng)驗分布函數(shù)的最大偏差）；（3）若經(jīng)驗判斷元件壽命超過200小時的可能性較小，試說明應選擇哪個統(tǒng)計量D?或D?進行檢驗，并簡述理由。試卷答案一、單項選擇題1.B2.B3.B4.C5.A二、填空題6.3,257.28.t(n-1)*(X?-μ?)/S9.(x?,?)三、解答題10.（1）由∫?2af(x)dx=1，得a*[x]?2=1，解得a=1/2。（2）F(x)={0,x≤0;(1/2)(2-x),0<x<2;1,x≥2}。（3）P(1<X<3)=F(3)-F(1)=1-(1/2)(2-1)=1/2。11.（1）因X～N(0,1)，則X/1～N(0,1)。令Y=X/1，則Y～N(0,1)。由Z=X2+Y2=(X/1)2+(Y/1)2，且X/1與Y/1相互獨立同N(0,1)，根據(jù)χ2分布定義，Z服從自由度為2的χ2分布。（2）令V=Y/1，則V～N(0,1)。W=1/Z=1/(X2+Y2)=1/(V2+12)。要求P(W≤w)，即P(1/(V2+1)≤w)。若w≤0，則P(W≤w)=0。若w>0，則P(W≤w)=P(1/(V2+1)≤w)=P(V2+1≥1/w)=P(V2≥1/w-1)。因V2～χ2(1)，則P(V2≥1/w-1)=1-P(V2<1/w-1)=1-F_V2(1/w-1)。F_V2(1/w-1)=P(V2≤1/w-1)=P(-√(1/w-1)≤V≤√(1/w-1))=Φ(√(1/w-1))-Φ(-√(1/w-1))=2Φ(√(1/w-1))-1。故W的分布函數(shù)F_W(w)={0,w≤0;2Φ(√(1/w-1))-1,w>0}。12.（1）寫出似然函數(shù)L(θ)=Π?<0xE2><0x82><0x99>f(X?;θ)=Π?<0xE2><0x82><0x99>θX?^(θ-1)=θ?*Π?<0xE2><0x82><0x99>X?^(θ-1)。取對數(shù)似然函數(shù)lnL(θ)=nlnθ+(θ-1)Σ?<0xE2><0x82><0x99>lnX?。求導數(shù)d(lnL)/dθ=n/θ+Σ?<0xE2><0x82><0x99>lnX?。令其等于0，得θ?=-n/Σ?<0xE2><0x82><0x99>lnX?。θ的極大似然估計量為θ?=1/(1/n*Σ?<0xE2><0x82><0x99>lnX?)。注意到E(lnX)=∫?1lnx*θx^(θ-1)dx=θ*[-x^(θ)/θ]?1+∫?1x^(θ)dx/θ=θ*(1-1/θ)+θ/(θ+1)=1-1/θ+1/(θ+1)=1-1/(θ(θ+1))。由于E(lnX)=1-1/(θ(θ+1))，所以E(1/(1/n*ΣlnX?))=E(θ?)=θ。故θ?是θ的無偏估計量。（2）證明見（1）。13.（1）因總體方差σ2=42已知，使用Z檢驗。檢驗統(tǒng)計量Z=(X?-μ?)/(σ/√n)=(10-μ?)/(4/√16)=(10-μ?)/1=10-μ?。拒絕域為|Z|>z_(α/2)。α=0.01，z_(0.005)=2.576。拒絕域為|10-μ?|>2.576，即μ?∈(10-2.576,10+2.576)=(7.424,12.576)。置信區(qū)間為(7.424,12.576)。（2）置信區(qū)間長度L=2*z_(α/2)*(σ/√n)=2*1.96*(4/√n)=15.68/√n。要求L≤1，即15.68/√n≤1，√n≥15.68，n≥15.682≈245.86。故至少需要抽取246個樣本。14.（1）計算回歸系數(shù)b=[nΣx?y?-Σx?Σy?]/[nΣx?2-(Σx?)2]=[5*100-15*40]/[5*55-152]=50/20=2.5。計算a=?-bx?=40/5-2.5*15/5=8-7.5=0.5?；貧w方程為y=0.5+2.5x。（2）檢驗統(tǒng)計量F=[bS?2]/[S?2/(n-2)]，其中S?2=(Σx?2-(Σx?)2/n)/(n-1)=(55-225/5)/4=20/4=5。bS?2=2.5*5=12.5。S?2/(n-2)=5/(5-2)=5/3。F=12.5/(5/3)=7.5。拒絕域為F>F_(α,1,n-2)。α=0.05，自由度(1,3)。查表得F_(0.05,1,3)=10.13。因為7.5<10.13，不能拒絕原假設H?，即線性回歸效果在α=0.05水平下不顯著。15.（1）原假設H?：X服從指數(shù)分布，即X的分布函數(shù)為F(x)={1-e^(-θx),x≥0;0,x<0}。其中θ=1/μ，μ為指數(shù)分布的期望。需要先估計θ。由樣本信息，n=100，20個小于200，80個小于400。經(jīng)驗分布函數(shù)F_n(x)在x=200處值為20/100=0.2，在x=400處值為80/100=0.8。根據(jù)極大似然估計，θ?=-1/n*Σln(X?)=-1/100*Σln(X?)。對于截尾樣本，通常用樣本中位數(shù)的倒數(shù)或極大似然估計。這里用樣本中位數(shù)倒數(shù)近似，中位數(shù)在(200,400)之間，取μ?≈300，θ?≈1/300。假設檢驗的原假設H?：F(x)=1-e^(-x/300)。（2）檢驗統(tǒng)計量。此處考慮經(jīng)驗分布函數(shù)F_n(x)與理論分布函數(shù)F(x)在所有樣本點x?處的最大偏差?？梢远x統(tǒng)計量D?=max{|F_n(x?)-F(x?)|}或D?=max{|F_n(x?)-F(x?)|}。計算各點的偏差：x?=200,F_n(200)=0.2,F(200)=1-e^(-200/300)=1-e^(-2/3)。F_n(200)-F(200)=0.2-(1-e^(-2/3))=e^(-2/3)-0.8。x?=400,F_n(400)=0.8,F(400)=1-e^(-400/300)=1-e^(-4/3)。F_n(400)-F(400)=0.8-(1-e^(-4/3))=e^(-4/3)-0.2。D?=max{e^(-2/3)-0.8,e^(-4/3)-0.2}。D?=min{e^(-2/3)-0.8,e^(-4/3)-0.2}。由于e^(-2/3)≈0.513，e^(-4/3)≈0.265。所以e^(-2/3)-0.8≈-0.287，e^(-4/3)-0.2≈-0.035。故D?=max{-0.287,-0.035}=-0.035，D?=min{-0.287,-0.035}=-0.287。此處D?為正偏差的最大值，D?為負偏差的最大絕對值。通常選擇更敏感的統(tǒng)計量，即最大偏差的絕對值|D?|或|D?|。選擇D=max{|D?|,|D?|}=max{|-0.035|,|-0.287|}=0.287。檢驗統(tǒng)計量D=max{|F_n(x?)-F(x?)|}。（3）檢驗原理。在H?為真時，F(xiàn)_n(x)應近似于F(x)，統(tǒng)計量D應較小。當D過大時拒絕H?。具體臨界值或P值計算復雜，通常依賴分布表或軟件。但根據(jù)題意，元件壽命超過200小時的有20個，占比20%，相對較少