2026屆高三微專題12.6成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系

r必背知識(shí)

1.變量的相關(guān)關(guān)系

(1)相關(guān)關(guān)系：兩個(gè)變最有關(guān)系，但又沒(méi)有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)

系稱為相關(guān)關(guān)系.

(2)相關(guān)關(guān)系的分類：正相關(guān)和負(fù)相關(guān).

(3)線性相關(guān)：一般地，如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)用關(guān)，而且散點(diǎn)落在一條直線附近，我們

就稱這兩個(gè)變量線性相關(guān).

2.樣本相關(guān)系數(shù)

n

E(*i-x)(yf-y)

(I)r=,i=)

、7jnHi

x尸z(y-y)2

yji=lQi=l

(2)當(dāng)r>0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)西送；當(dāng)r<0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān).

(3)|r|Wl；當(dāng)|r|越接近1時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越理：當(dāng)H越接近。時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線

性相關(guān)程度越嵬.

3.一元線性回歸模型

⑴我們將;=取+1稱為丫關(guān)于)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,

n

人E（再一回（y廠刃

k—{=1

O---51-------

其中,￡（方一刃2

<=1

a=y—bx.

(2)殘差：觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值所得的差稱為殘差.

4.列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)

(1)2x2列聯(lián)表

如缸給出成對(duì)分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表稱為2x2列聯(lián)表.

XY合計(jì)

Y=0Y=1

X=0aba+b

X=1cdc+d

合計(jì)a+cb+dn=a+b+c+d

(2)獨(dú)立性檢驗(yàn)

①依據(jù)上述2x2列聯(lián)表構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量22nCad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

忽略*2的實(shí)際分布與該近似分布的誤差后，對(duì)于任何小概率值a,可以找到相應(yīng)的正實(shí)數(shù)力，

使得P（/2>%）=a成立.我們稱％為a的臨界值，這個(gè)臨界值就可作為判斷12大小的標(biāo)準(zhǔn).

②基于小概率值a的檢驗(yàn)規(guī)則是：

當(dāng)時(shí)，我們就推斷％不成立，即認(rèn)為X和丫不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)a；

當(dāng)%時(shí)，我們沒(méi)有充分證據(jù)推斷Ho不成立，可以認(rèn)為X和Y獨(dú)立.

這種利用/的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為f獨(dú)立性檢驗(yàn)，讀作“卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)”，簡(jiǎn)稱

獨(dú)M性檢驗(yàn).

下表給出了犬獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值

a0.1().050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

【重要結(jié)論】

1.線性回歸直線一定經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心（無(wú)為，據(jù)此性質(zhì)可以解決有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題、判斷結(jié)論的正確性.

2.根據(jù)回歸方程計(jì)算的y值，僅是一個(gè)預(yù)報(bào)值，不是真實(shí)發(fā)生的值.

3.根據(jù)公的值可以判斷兩個(gè)分類變量有關(guān)的可信程度，若爐越大，則兩分類變量有關(guān)的把握越大.

區(qū)教材改編

I.紅蜘蛛是柚子的主要害蟲(chóng)之一，能對(duì)柚子樹(shù)造成嚴(yán)重傷宙，每只紅蜘蛛的平均產(chǎn)卵數(shù)w個(gè)）和平

均溫度x（攝氏度）有關(guān)，現(xiàn)收集了以往某地的7組數(shù)據(jù)，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

平均產(chǎn)卵數(shù)

40()-

350-

3(X)■

25()-

200-

15()-

1(M)-,

5()-??

°2()222426283()323436平均溫度

參考數(shù)據(jù)（z=1ny）：

777

￡H￡孫￡XiZjXyz

i=1i=1i=1

5215177137142781.33.6

⑴根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，），=云+〃與曠=或叫其中e=2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）哪一個(gè)更適合作為平均產(chǎn)

卵數(shù)），（個(gè)）關(guān)于平均溫度M攝氏度）的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）

（2）由（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出），關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.

AAE（x-x）（yi-y）E苞前八

AAfyA

附：y=bx+Q中，6二^-n--------=-------,a=y-bx.

￡（xt-x）2Exf-nx2

i=li=l

2.為考察某種藥物A對(duì)預(yù)防疾病B的效果，進(jìn)行了動(dòng)物（單位:只）試驗(yàn)，得到如下列聯(lián)表:

疾病

藥物合計(jì)

未患病患病

木服用10080

服用15070220

合計(jì)250t400

⑴求用；

⑵記未服用藥物A的動(dòng)物患疾病B的概率為p,給出p的估計(jì)值；

⑶根據(jù)小概率值?=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為藥物A對(duì)預(yù)防疾病B有效?

附:/=n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.050.01().001

3.8416.63510.828

Xa

【方法儲(chǔ)備】

判斷數(shù)據(jù)相關(guān)關(guān)系的方法：

1.數(shù)點(diǎn)圖：如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系.如果所有的樣本點(diǎn)都落在

某一函數(shù)曲線的附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系.

2.樣本相關(guān)系數(shù)法：若|r|的值越接近于1,說(shuō)明變量之間的線性相關(guān)程度越高；當(dāng)〃>0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)

正相關(guān)；當(dāng)〃<0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān).

3.經(jīng)驗(yàn)回歸方程法:在經(jīng)驗(yàn)回歸方程中，當(dāng)5>0時(shí)，正相關(guān);當(dāng)5Vo時(shí)，負(fù)相關(guān).

【典例精講】

例1.（2025?全國(guó)?模擬）某工廠為了確定工效進(jìn)行了5次試驗(yàn)，收集數(shù)據(jù)如下：

加工零件個(gè)數(shù)X1020304050

加工時(shí)間y（分）6469758290

經(jīng)檢驗(yàn)，這組樣本數(shù)據(jù)的兩個(gè)變量x與V具有線性相關(guān)關(guān)系，那么對(duì)于加工零件個(gè)數(shù)X與加T.時(shí)間V這兩個(gè)

變量，下列判斷中正確的是（）

氣溫/p

30

27

24

城高氣溫

21

18最低氣溫一T-

15

12

9

6

3

ti期

A.5號(hào)到11號(hào)的最低氣溫與日期之間呈線性相關(guān)關(guān)系且為正相關(guān)

B.9號(hào)的最高氣溫與最低氣溫的差值最大

C.最高氣溫的眾數(shù)為27。。

D.S號(hào)到15號(hào)的最低氣溫的極差比最高氣溫的極差大

考點(diǎn)二一元線性回歸模型及其應(yīng)用

【方法儲(chǔ)備】

1.求線性回歸萬(wàn)程的步驟：

⑴利用散點(diǎn)圖或進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)判定兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系；

⑵列表求出無(wú)產(chǎn),2X1媛，￡%勺%

⑶利用相應(yīng)公式計(jì)算式,亂

⑷寫(xiě)出線性回歸方程.

⑸經(jīng)驗(yàn)回歸方程的擬合效果，可以利用相關(guān)系數(shù)|r|判斷，當(dāng)|r|越趨近于1時(shí)，兩變量的線性相關(guān)性越強(qiáng).

或利用決定系數(shù)R2判斷，膽越大，擬合效果越好.

2.利用回歸方程可以進(jìn)行預(yù)測(cè)和估計(jì)總體，回歸方程將部分觀測(cè)值所反映的規(guī)律進(jìn)行延伸，是我們對(duì)有線

性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行分析卻控制、依據(jù)自變量的取值估計(jì)和預(yù)報(bào)因變量值的基礎(chǔ)和依據(jù).

3.非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程轉(zhuǎn)化為線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法

如：①若夕=a+b\[x,設(shè)t=y/x,則y=a+bt；②若滿足對(duì)數(shù)式:y=a+blnx,設(shè)亡=Inx,則f=d+bt；

③若滿足指數(shù)式：y=qeC2x,兩邊取對(duì)數(shù)解[ny=]nci+c2》,設(shè)z=lny,a==Q，則2=a+bx.

【典例精講】

例3.（2025?湖南省長(zhǎng)沙市模擬）若需要刻畫(huà)預(yù)報(bào)變量w和解釋變量”的相關(guān)關(guān)系，且從已知數(shù)據(jù)中知道

預(yù)報(bào)變量w隨著解釋變量x的增大而減小，并且隨著解釋變量工的增大，預(yù)報(bào)變量w大致趨于一個(gè)確定的值，

為擬合W和*之間的關(guān)系，應(yīng)使用以下回歸方程中的（b>O,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（）

A.w=bx+aB.iv=-b\nx+aC.w=—b\T-x+aD.w=be~x+a

例4.（2025?江蘇省無(wú)錫市月考）為了解某地區(qū)未成年男性身高與體重的關(guān)系，對(duì)該地區(qū)12組不同身高修（

單位：C77i）的未成年男性體重的平均值%（單位：kg）（i=l,2,…，12）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散

點(diǎn)卻和一些統(tǒng)計(jì)量的值.

不

70-

6」

50-J

40-?

30-.?

20-.?

10-.????

___itillIIitilliiii??

o102030405060-0809010011012013014015016017O18Cf5c

121212

W（'i）2W（勺一以％一夕）W（陽(yáng)-%）3-⑹

Xy3

i=l1=1i=l

11524.3582.958143006300286

表中=Iny^i=1,2,…,12）,to=

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷y=ax+匕和y=哪一個(gè)適宜作為該地區(qū)未成年男性體重的平均值、與身高工的回

歸方程類型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）.

（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；

（3）如果體事高于相同身高的未成年男性平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏搜，那么該地區(qū)的一位未成

年男性身高為175cm,體重為783，他的體重是否正常？

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（“1，%）,（次,吃），....（〃n，%），其回歸直線u=a+夕〃的斜率和截距的最小二乘估計(jì)

分別為2=笠曲二粵聲，a=v-m2no.693.

次=式葭

【拓展提升】

練2T.（2025?山東省濟(jì)南市?模擬題）（多選）一組樣本數(shù)據(jù)（肛為）,i<1,2,3,…,100}.其中勺>1895,

求以=2X105,玄謂％=970,求得其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為：y=-0.02x4-^,殘差為即對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行

處理：％[=Ing-1895）,得到新的數(shù)據(jù)Q1,%）,求得其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為：y=-0.42x+a2,其殘差為

Ui.百，公分布如圖所示，且合?N(0,孑)，位-N(0,蟾),貝|J()

C.廳<統(tǒng)D.處理后的決定系數(shù)變大

練2-2.(2025,河南省深河市?期末考試)某制藥公司研發(fā)一種新藥，需要開(kāi)展臨床用藥試驗(yàn).隨機(jī)征集了一

部分志愿者作為樣本參加試驗(yàn)，并得到一組數(shù)據(jù)(?。?(i=1,2…,10),其中陽(yáng)，力表示連續(xù)用藥i天，相應(yīng)

的臨床藥效指標(biāo)值.已知該組數(shù)據(jù)中y與Inx之間具有線性相關(guān)關(guān)系，令t=lnx,經(jīng)計(jì)算得到下面一些統(tǒng)計(jì)

量的值：

，巴呼=385.理i%=86.￡24=15.0.￡巴汨=27.5,￡2匕乂=528.214M=143.0.

(1)求y關(guān)于％的經(jīng)驗(yàn)回歸方程：

(2)該公司要用甲與乙兩套設(shè)備同時(shí)生產(chǎn)該種新藥，已知設(shè)備甲的生產(chǎn)效率是設(shè)備乙的1.5倍，設(shè)備甲生產(chǎn)

藥品的不合格率為0.008,設(shè)備乙生產(chǎn)藥品的不合格率為0.006,且設(shè)備甲與乙生產(chǎn)的藥品是否合格相互獨(dú)

立.

①?gòu)脑摴旧a(chǎn)的新藥中隨機(jī)抽取一件，求所抽藥品為不合格品的概率；

②在該新藥產(chǎn)品檢驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)有三件不合格品，求其中恰有二件是設(shè)備乙生產(chǎn)的概率.

參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(勺,為?)?=1,2，…,n),其回歸方程歹=5%+6中，斜率和截距的最小二乘法估計(jì)

公式分別為：否=學(xué)冬喀，^=y-bx.

考點(diǎn)三列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)

【方法儲(chǔ)備】

獨(dú)①性檢驗(yàn)的一般步驟：

⑴獨(dú)立性檢驗(yàn)原理只能解決兩個(gè)對(duì)象，且每個(gè)對(duì)象有兩類屬性的問(wèn)題，所以對(duì)于一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，我們首

先要確定能否用獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想加以解決：

⑵如果確實(shí)屬于這類問(wèn)題,要科學(xué)地抽取樣本,樣本容顯要適當(dāng)不可太小；

⑶根據(jù)數(shù)據(jù)列出2x2列聯(lián)表；

⑷提出假設(shè)%：所研究的兩類對(duì)象(X,Y)無(wú)關(guān)；

⑸根據(jù)公式計(jì)算X2=扁鬻怒鵬的假;

(6)比較X?與臨界值力,根據(jù)小概率原理肯定或者否定假設(shè)，即判斷x,y是否相關(guān).

【典例精講】

例5.(2025?山東省棗莊市模擬)根據(jù)分類變量x與y的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到f=6.147.依據(jù)a=0.01

的獨(dú)立性檢驗(yàn)(Moi=6.635),結(jié)論為()

A.變量％與y不獨(dú)立

B.變量％與y不獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01

C.變量X與y獨(dú)立

D.變量％與y獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01

例6.(2022?湖南省長(zhǎng)沙市期中)新能源汽車是指除汽油、柴油發(fā)動(dòng)機(jī)之外的所有其他能源汽車，被認(rèn)為

能減少空氣污染和緩解能源短缺的壓力.在當(dāng)今提倡全球環(huán)保的前提下，新能源汽車越來(lái)越受到消費(fèi)者的青

睞，新能源汽車產(chǎn)業(yè)也必將成為未來(lái)汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展的導(dǎo)向與目標(biāo).某機(jī)構(gòu)從某地區(qū)抽取了500名近期購(gòu)買新

其中購(gòu)買甲車型的有200人，統(tǒng)計(jì)得到如下的頻率分布直方圖.

(1)將年齡不低于45歲的人稱為中年，低于45歲的人稱為青年，購(gòu)買其他車型的車主青年人數(shù)與中年人數(shù)

之比為3:1.完成下列2X2列聯(lián)表，依據(jù)a=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為購(gòu)買甲車型新能源汽車與年齡

(2)用分層抽樣的方法從購(gòu)買甲車型的樣本中抽取8人，再?gòu)闹辛隀C(jī)抽取4人，記青年有X人，求X的分布列

和數(shù)學(xué)期望.

____n(ad-%)2____

附:z2=a+b+c+d-

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.1000.0500.0100.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

【拓展提升】

練3-1（2025?廣東省東莞市?期末考試）（多選）根據(jù)分類變量”與y的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，提出零假設(shè)％，并計(jì)算

得到公=2.974,則下列說(shuō)法正確的是（）

2

2_n(ad—bc)

~(a+b)(c+d)(Q+c)(Z)+d)

a0.10.050.010.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

A.零假設(shè)為“0;分類變量大與y獨(dú)立

B.根據(jù)小概率值a=0.1的12獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為％與y不獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1

C.根據(jù)小概率值a=0.01的f獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為％與y不獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01

D.若所有樣本數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來(lái)的10倍，根據(jù)小概率值a=0.01的*2獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為％與y不獨(dú)立,

這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01

練3-2（2025?安徽省合肥市聯(lián)考）針對(duì)“中學(xué)生追星問(wèn)題”，某校團(tuán)委正在對(duì)“性別與中學(xué)生追星是否有

關(guān)”做相關(guān)研究.現(xiàn)從本校隨機(jī)抽取10。名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到下表:

性另1」

是否追星合計(jì)

男生女生

追星4570

不追星20

合計(jì)100

（1）請(qǐng)將上述2x2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并依據(jù)a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為性別與中學(xué)生追星有關(guān)聯(lián)?

（2）根據(jù)是否追星，在樣本的女生中，按照分層抽樣的方法抽取9人作為研究小組.為J'更詳細(xì)地J'解情況,

再?gòu)难芯啃〗M中隨機(jī)抽取4人，求抽到追星人數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

2

參考公式：入記趣蒜En=a+b+c+d

下表給出了獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值.

a0.0500.0250.0100.001

無(wú)a3.84105.0246.63510.828

新題放送

1.12025?山東省濟(jì)南市?模擬題）（多選）為了驗(yàn)證牛的毛色（黑色、紅色）和角（有角、無(wú)角）這兩對(duì)相對(duì)性狀是

否相關(guān)，某學(xué)院進(jìn)行了一次數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，并根據(jù)形成的2x2列聯(lián)表，計(jì)算得到戶之2.727,根據(jù)小概率值為

a的獨(dú)立性檢驗(yàn)，則（）

附：

PJ2>k)0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

A.若a=0.100,則認(rèn)為“毛色”和“角”無(wú)關(guān)

B.若a=0.100,則認(rèn)為“毛色”和“角”有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)10%

C.若a=0.010?則認(rèn)為“毛色”和“角”無(wú)關(guān)

D.若a=0.010,則認(rèn)為“毛色”和“角”有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)1%

2.（2025?重慶市市轄區(qū)模擬）（多選）小張同學(xué)收集了某商品銷售收入y（單位：萬(wàn)元）與相應(yīng)的廣告支出工（

單位：萬(wàn)元）共10組數(shù)據(jù)，繪制出散點(diǎn)圖，如下圖所示，并利用線性回歸模型進(jìn)行擬合.她將圖中10個(gè)點(diǎn)

中的4點(diǎn)去掉后再重新進(jìn)行線性回歸分析，則下列說(shuō)法正確的是（）

八銷售收入W萬(wàn)元

60?

50-.***

40-.??

30■?*A

O|\.01.52.02^53*03*54.04.55.05.5支出/萬(wàn)元

A.決定系數(shù)R2變大

B.殘差平方和變大

C.相關(guān)系數(shù)丁的值變大

D.去掉4點(diǎn)后，若所有散點(diǎn)都在一條直線上，則決定系數(shù)中=1

332025?河北省唐山市?模擬題謀學(xué)術(shù)平臺(tái)引入神智能檢測(cè)系統(tǒng)對(duì)所收到的文本進(jìn)行篩查.檢測(cè)系統(tǒng)對(duì)4生

成文本的識(shí)別準(zhǔn)確率為98%,對(duì)人類撰寫(xiě)文本的識(shí)別準(zhǔn)確率為96.5%.檢測(cè)系統(tǒng)對(duì)所收到的文本進(jìn)行篩查時(shí),

會(huì)對(duì)每篇文本輸出一個(gè)“4生成咪率”得分y（分）.y與文本長(zhǎng)度工（字）可以用一元線性回歸模型來(lái)刻畫(huà)，其

線性回歸方程為產(chǎn)=Bx+0.95,且工=480,歹=0.35.已知該平臺(tái)中15%的文本由A/生成.

（1）求回歸系數(shù)務(wù)；

（2）從該平臺(tái)隨機(jī)選取一篇文本，求該文本被檢測(cè)系統(tǒng)識(shí)別為人類撰寫(xiě)文本的概率（精確到0.001）;

（3）現(xiàn)從平臺(tái)中隨機(jī)抽取200篇文本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，填寫(xiě)列聯(lián)表（篇數(shù)四舍五入取整數(shù)）：

檢測(cè)結(jié)果

文本真實(shí)性總計(jì)

識(shí)別為加生成（篇）識(shí)別為人類撰寫(xiě)（篇）

真實(shí)加生成（篇）

真實(shí)人類撰寫(xiě)（篇）

總計(jì)200

依據(jù)小概率值a=0.01的犬獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否判斷“檢測(cè)結(jié)果”與“文本真實(shí)性”有差異?

參考公式：參1a+叭緇窯…

提示：d獨(dú)立性檢驗(yàn)中常用的小蹴率值和相應(yīng)的臨界值

a0.10.050.010.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

【答案解析】

1.解（1）由散點(diǎn)圖可以判斷，隨溫度升高，平均產(chǎn)卵數(shù)增長(zhǎng)速度變快，符合指數(shù)函數(shù)模型的增長(zhǎng)特點(diǎn)，

所以更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)）,關(guān)于平均溫度X的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類型.

(2)將y=ce'，兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)，可得Inj=lnc+dx,即z=lnc+dx,

7

由頊中的數(shù)據(jù)可得，￡XiZi-lx2=33.6,

i=1

77

￡(勺一君2=￡X?-7X2=112,

i=1i=1

7

AEXiZi-7xzAA

所以d=-------=—=0.3,貝I]Inc-z-dx-3.6-0.3X27=-4.5,

-7112

XX1-7X2

i=l

所以z關(guān)于x的經(jīng)珀回歸方程為z=0.3x-4.5,故)，關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=e°"-4.5

2.解(1)5=100+80=180,r=80+70=150.

⑵丁提的估計(jì)值為*

(3)零假設(shè)從):藥物A對(duì)預(yù)防疾病B無(wú)效.

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得

7400x(100x70-80xl50)22000

■~6.734>6.635=^,oi.

*--2-50-X-15-0X-1-80-X-22-0-=-2-97-

根據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn).推斷”。不成立.即認(rèn)為藥物A對(duì)預(yù)防疾病B有效

考點(diǎn)一成對(duì)數(shù)據(jù)相關(guān)性與相關(guān)系數(shù)

例1.解：由表中數(shù)據(jù)可得y隨X的增大而增大，故丫與X正相關(guān).乂5二：x(10+20+30+40+50)=30,

y=ix(64+69+75+82+90)=76,所以樣本點(diǎn)的中心為(30,76),而線性回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心,

因比其線性回歸直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(30,76),故選O.

例2.解：4選項(xiàng)，因0.839>0,則y與x正相關(guān)，但相關(guān)系數(shù)不是0.839,故4錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，回歸方程過(guò)定點(diǎn)(元歹)，破8錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，由回歸方程可知x每增大一個(gè)單位，夕增大0.839個(gè)單位，故C正確；

0選項(xiàng)，回歸方程得到的?為預(yù)測(cè)值，不■定滿足實(shí)際情況，故。錯(cuò)誤.

故選:C

練1-1.解：由圖知，都是正相關(guān)關(guān)系，都是負(fù)相關(guān)關(guān)系，

從敦點(diǎn)密集程度看，心，口相關(guān)性分別比4,「2絕對(duì)值大，所以丁3>4>0>72>Q.

故選：D.

練1-2.解：由某地3月5日到3月15日的每天最高氣溫與最低氣溫(單位：°C)數(shù)據(jù)，折線圖，知：

在.4中，5號(hào)到11號(hào)的最低氣溫與日期之間，在一條直線附近，成上升趨勢(shì)，即呈線性相關(guān)關(guān)系巨為正相關(guān)，

故A正確；

在8中，由圖知，6號(hào)的最高氣溫與最低氣溫的差值最大，故B錯(cuò)誤；

在C中，最高氣溫27。出現(xiàn)2次，次數(shù)最多，則眾數(shù)為27。&故C正確；

在D中，5號(hào)到15號(hào)的最低氣溫的極差小于15-3=12,最高氣溫的極差為27—15=12,故最高氣溫的

極差大，故。錯(cuò)誤

故選；AC.

例3.解：W于力：因?yàn)閥=%在定義域內(nèi)單調(diào)遞增且8>0,所以w隨著%的增大而增大，不合題意，故

4錯(cuò)誤：

對(duì)于B：因?yàn)閥=lnx在定義域內(nèi)單調(diào)遞增且b>0,所以w隨著工的增大而減小，

當(dāng)解釋變量為T(mén)+8,WT-8,不合題意，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：因?yàn)閥=Q在定義域內(nèi)單調(diào)遞增且b>0,所以w隨著工的增大而減小，

當(dāng)解樣變量％—十8,WT—8,不合題意，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于0：因?yàn)檠?。一'=《尸在定義域內(nèi)單調(diào)遞減且匕>0,所以卬隨著“的增大而減小,

當(dāng)解釋變量X—+8,WTQ,故。正確；

故選：D.

例4.解：（1）根據(jù)散點(diǎn)圖，選擇模型丫=/>。更適宜作為該地區(qū)未成年男性體重的平均值y與身高》的回歸

方程類型；

（2）對(duì)y=eOd兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，可得濟(jì)y=ex+d,即e=ex+d,

所以2==0.02,則2=ZJ-cx=2.958-0.02x115=0.658,

14300

所以y=e0,002x+0,658.

（3）由仇2ao.693,可得08693^2,

令X=175,則y=e0-02xl75+0,6S￡_e6x0,693_（?0.693）6之?=64,

又64x1.2=76.8<78,所以該男生偏胖.

練2T.解：對(duì)于A、由經(jīng)驗(yàn)回歸方程的斜率為負(fù)可知樣本（孫力）負(fù)相關(guān)，故A正確；

對(duì)于小、文=喘^=2X103,5=喘［=9.7,

代入5=—。02%+8］得苗=49.7,故B正確;

對(duì)于C、由殘差圖可知，處理前的殘差比處理后的殘差更分散，所以*>。春故C錯(cuò)誤；

對(duì)于0、處理后殘差的絕對(duì)值更小，

所以處理后的決定系數(shù)變大，故。正確，

故選：ABD.

練2-2.解：（1*=糕=1.5,歹=白型1%=8.6,

公_￡昌GyTOEy_143.0-10x1.5x8.6_

D=c7=7=乙8,

27.5-10x1.5-

a=y-bt=8.6—2.8x1.5=4,4,

所以y關(guān)于t的線性回歸方程為：y=2.8t+4.4,

所以y關(guān)于“的回歸方程為9=2.81nx+4.4；

(2)設(shè)事件力:隨機(jī)抽取一件藥品來(lái)自設(shè)備甲生產(chǎn),

事件3:隨機(jī)抽取一件藥品來(lái)自設(shè)備乙生產(chǎn)，

事件C：隨機(jī)抽取一件該公司生產(chǎn)的藥品為不合格品,

①因?yàn)樵O(shè)備甲的生產(chǎn)效率是設(shè)備乙的15倍，

所以P(4)=1,P⑻4，

則P(C|/1)=0.008,P(C\B)=0.006,

所以P(C)=P⑷?P(C|A)+P(B)?P(C|F)=1x0.008+1x0.006=0.0072,

故所抽藥品為不合格品的概率為0.0072；

2

P(8)P(C|8)_W06_i

②P(8|C)=-P(C)-=0.0072=3

即所抽藥品為不合格品，該藥品來(lái)自設(shè)備乙生產(chǎn)的概率為今

所以三件不合格品中恰有二件是設(shè)備乙生產(chǎn)的概率為P=或0)2x|=1.

例5.解：a=0.01時(shí)，Xa=6.635,則大于2。時(shí)相關(guān)，不獨(dú)立，

而,丫2=6.147<Xa=6.635,所以變量％與y獨(dú)立，

但是這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率超過(guò)0.01,故A,B,。錯(cuò)誤，C正確.

故選C.

例6.解：(1)由直方圖可知，購(gòu)買甲車型的青年人數(shù)為200(0.005+0.025+0.0325)x10=125人，中年

人數(shù)為200-125=75人，

購(gòu)買其他車型的青年人數(shù)為(500-200)x言=225人，中年人數(shù)為300-225=75人,

?3-iA

可得2x2列聯(lián)表:

青年中年合計(jì)

甲車型12575200

其他乍型22575300

合計(jì)350150500

零假設(shè)Ho：購(gòu)買甲車型新能源汽車與年齡無(wú)關(guān).

因?yàn)楣?嘿簫湍鬻&929>7.879.

根據(jù)小概率值a=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷％不成立，即認(rèn)為購(gòu)買甲車型新能源汽車與年齡有關(guān),

此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.005.

(2)用分層抽樣的方法從購(gòu)買甲車型的樣本中抽取8人，則肖年的8x黑=5人，中年有8x六=3人,

所以X的可能取值為1,2,3,4.

P(x=D=普裝蟲(chóng)，P(x=2)=普璃用，

P(X=3)=警埸T叩=4)=普

得分布列：

X1234

1331

P

147714

所以￡(X)=1X^+2X2+3X1+4X^=1.

練3-L解：選項(xiàng)A：f獨(dú)立性檢驗(yàn)的零假設(shè)也定義為“分類變量x與y獨(dú)立”，符合基本概念，故4正確；

選項(xiàng)8：當(dāng)a=0.1時(shí)，臨界值&.[=2.706,由于計(jì)算得到的公=2.974>2.706,

零陵設(shè)不成立，即認(rèn)為“與y不獨(dú)立，R犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)。=0.1,故8正確；

選項(xiàng)C：當(dāng)a=0.01時(shí)，臨界值沏Qi=6.635,由于公=2.974<6.635,

零假設(shè)成立，無(wú)法認(rèn)為％與y不獨(dú)立，故C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D：樣本數(shù)據(jù)擴(kuò)大10倍時(shí),f公式中分子"(ad—兒產(chǎn)變?yōu)?0幾x[100(ad—be')]2=10nx10000(ad—

he)2,

分母變?yōu)?04(a+b)(c+d)(Q+c)(b+d),因此新d為原22值的短倍(即2.974x10=29.74),

此時(shí)29.74>6.635,零假設(shè)不成立，即認(rèn)為“與y不獨(dú)立，且犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01,故。王確.

故選：ABD.

練3-2.解：(1)列聯(lián)表補(bǔ)充為

性別

是否追星合計(jì)

男生女生

追星452570

不追星102030

合計(jì)5545100

零假設(shè)“。：性別與中學(xué)生追星無(wú)關(guān)聯(lián),

100x(45x20-25x10)2

?8.129>6.635=x?

55x45x70x30001

依據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)“.性檢驗(yàn)，我們推斷％不成立，即認(rèn)為性別與中學(xué)生追星有關(guān)聯(lián),

此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01.

(2)由題意知，9人中追星的有5人，不追星的有4人.

由題意可知，X的