2026屆高三微專題6概率統(tǒng)計的綜合應(yīng)用

微點簡介

概率與統(tǒng)計問題主要考直學(xué)生的閱讀理解能力和數(shù)據(jù)分析能力.要從已知數(shù)表、題干信息中經(jīng)過閱讀分

析判斷獲取關(guān)鍵信息，搞清各數(shù)據(jù)、各事件間的關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.概率與統(tǒng)計問題在近幾年的高

考中背景取自現(xiàn)實，題型新穎，綜合性增強(qiáng).

考點歸納

考點一概率統(tǒng)計的綜合

【典例精講】

例1.(2025?廣東省佛山市模擬)：多選)有一組樣本數(shù)據(jù)0,1,2,3,4,添加一個數(shù)X形成一組新的數(shù)據(jù)，

且P(X=k)=辱(kw{0,1,234,5},則新的樣本數(shù)據(jù)()

A.極差不變的概率是flB.第25百分位數(shù)不變的概率是盤

3/1O

C.平均值變大的概率是:D.方差變大的概率是與

例2.(2025?山東省?模擬題)某市推行垃圾分類后，環(huán)保部門對居民分類準(zhǔn)確率進(jìn)行抽樣調(diào)查.已知該市有甲、

乙兩個人口數(shù)量相等的社區(qū)，甲社區(qū)開展過多次分類培訓(xùn)，乙社區(qū)未開展.現(xiàn)從甲社區(qū)隨機(jī)抽取100人，乙社

區(qū)隨機(jī)抽取150人，統(tǒng)計正確分類人數(shù)如下：甲社區(qū)：80人正確分類;乙社區(qū)：90人正確分類.假設(shè)各社區(qū)中

每位居民的分類行為相互獨立，用頻率估計概率.

(1)若從甲社區(qū)中任選3人，求恰好2人正確分類的概率；

(2)依據(jù)小概率值a=0.001的獨立性檢驗，分析兩個社區(qū)居民對垃圾分類的準(zhǔn)確率是否有差異？

(3)環(huán)保部門從兩社區(qū)抽取居民的樣本中，對不能正確分類的樣本，按照分層抽樣抽取8人，再從這8人中選

擇3人進(jìn)行深度訪談.設(shè)X為3人中來自甲社區(qū)的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

a0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

參考公式：f(L)(QL)(H“其中…+b+c+d.

【方法儲備】

概率和統(tǒng)計綜合問題主要包括：①概率與統(tǒng)計中2x2列聯(lián)表的綜合問題；②概率與統(tǒng)計中線性回歸方程的

綜合問題；③概率與統(tǒng)計指標(biāo)的綜合問題；④概率與簡單隨機(jī)抽樣的綜合問題；⑤概率與統(tǒng)計圖的綜合問

題等幾種類型.

【拓展提升】

練1((2025?浙江省溫州市?模擬)某學(xué)校校醫(yī)研究溫差武。0與本校當(dāng)天新增感冒人數(shù)y(人)的關(guān)系，該醫(yī)生

記錄了5天的數(shù)據(jù)，旦樣本中心點為(8,25).由于保管不善，記錄的5天數(shù)據(jù)中有兩個數(shù)據(jù)看不清楚，現(xiàn)用m,n

代替，已知1837九W24,26工幾W34,則下列結(jié)論正確的是()

X568912

y17m25n35

A.在確定的條件卜.，去掉樣本點(8,25),則樣本的相關(guān)系數(shù)r增大

B.在m,幾確定的條件下，經(jīng)過擬合，發(fā)現(xiàn)基本符合線性回歸方程了=乙6%+左，則瓦=4

C.在租,"確定的條件下，經(jīng)過擬合，發(fā)現(xiàn)基本符合線性回歸方程3=2.6%+優(yōu)則當(dāng)％=12時，殘差為0.4

D.事件“m=20,n=28”發(fā)生的概率為:

練1-2(2025?安徽省六安市月考)某校想了解高二數(shù)學(xué)成績在學(xué)業(yè)水平考試中的情況，從中隨機(jī)抽出50人

的數(shù)學(xué)成績作為樣本并進(jìn)行統(tǒng)計，頻率分布表如表所示.

組號分組頻數(shù)頻率

第1組[50,60]20.04

第2組(60,70]a0.18

第3組(70,80]20b

第4組(80,90]160.32

第5組(90,100130.06

合計501.00

(1)據(jù)此估計這次參加數(shù)學(xué)考試的高二學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績；

(2)從這五組中抽取14人進(jìn)行座談，若抽取的這14人中，恰好有2人成績?yōu)?0分，7人成績?yōu)?0分，2人成績

為75分，3人成績?yōu)?0分，求這14人數(shù)學(xué)成績的方差；

(3)從50人的樣本中，隨機(jī)抽取測試成績在［50,60］,(90,100］內(nèi)的兩名學(xué)生，設(shè)其測試成績分別為M,N.

⑴求事件>30”的概率；

(")求事件"MN<3600”的概率.

考點二概率統(tǒng)計與函數(shù)的綜合

【典例精講】

例3.（2025?重慶市市轄區(qū)模擬）我市開展了“暖冬計劃”活動，為高海拔地區(qū)學(xué)校加裝供暖器.按供暖器的

達(dá)標(biāo)規(guī)定：學(xué)校供暖器的噪聲不能超過50分貝、熱效率不能低于70%.某地采購了一批符合達(dá)標(biāo)要求的供暖

器，經(jīng)抽樣檢測，這批供暖器的噪聲（單位：分貝）和熱效率的撅率分布直方圖如卜圖所不：

假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，且以相應(yīng)的頻率作為概率.

（1）求a,b的值；

（2）如果供暖器的噪聲與熱效率是獨立的，從這批供暖器中隨機(jī)抽2件，求恰有1件噪聲不超過25分貝且熱效

率不低于90%的概率;（3）當(dāng)不€[90,100],設(shè)供暖器的噪聲不超過半（分貝）的概率為pi，供暖器的熱效率

不低于X%的概率為P2,求P1+P2的取值范圍.

(1)求圖中Q的值；

(2)設(shè)該企業(yè)正常上班的員工健步步數(shù)(單位：千步)近似服從正杰分布N(〃R2),其中〃近似為樣本的平均數(shù)

(各區(qū)間數(shù)據(jù)用中點值近似計算)，取。=3.64,若該企業(yè)恰有10萬人正常上班的員工，試估計這些員工中日

健步步數(shù)Z位于區(qū)間［4.88,15.8］范鬧內(nèi)的人數(shù)；

(3)現(xiàn)從該企業(yè)員工中隨機(jī)抽取20人，其中有k名員工的口健步步數(shù)在13千步至15千步內(nèi)的概率為P(X=k),

其中表=0,1,2,...?20,當(dāng)P(X=k)最大時，求〃的值.

參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量f服從正態(tài)分布N(〃,o2),則P(〃一。f*0.6827,P(〃-2o<fW〃+

2<i?0.9545,P(〃-3。<fW〃+3。)、0.9973.

處

而

練2-2(2025?廣東省湛江市?模擬)某工生產(chǎn)某電子產(chǎn)品配件，關(guān)鍵接線環(huán)節(jié)需要焊接，焊接是否成功將直接

導(dǎo)致產(chǎn)品“合格”與“不合格”，工廠經(jīng)過大量后期出廣檢測發(fā)現(xiàn)“不合格”產(chǎn)品和“合格”產(chǎn)品的某性

能指標(biāo)有明顯差異，統(tǒng)計得到如下的“不合格”產(chǎn)品和“合格”產(chǎn)品該指標(biāo)的頻率分布直方醫(yī)：

利用該指標(biāo)制定一個檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值A(chǔ),將該指標(biāo)大于k的產(chǎn)品判定為“不合格”，小于或等于k

的產(chǎn)品判定為“合格”.此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏檢率是將“不合格”產(chǎn)品判定為“合格”產(chǎn)品的概率，記為/*(k)；

錯檢率是將“合格”產(chǎn)品判定為“不合格”產(chǎn)品的概率，記為g(k).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生

的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

(1)當(dāng)漏檢率/(幻=2.8%時，求臨界值攵和錯檢率g(k)；

(2)設(shè)函數(shù)M&)=fW+g(k),當(dāng)k6[80,100]時,求九伏)的解析式.

考點三概率統(tǒng)計與導(dǎo)數(shù)的綜合

【典例精講】

例5.(2025?云南省昆明市聯(lián)考)某校數(shù)學(xué)組老師為了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)整體發(fā)展水平，組織本校

8000名學(xué)生進(jìn)行針對性檢測(檢測分為初試和復(fù)試)，并隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的初試成績，繪制了頻率分布

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本平均數(shù)的估計值和70%分位數(shù);

(2)若所有學(xué)生的初試成績X近似服從正態(tài)分布N(〃42),其中〃為樣本平均數(shù)的估計值，14.初試成績不

低于90分的學(xué)生才能參加復(fù)試，試估計能參加復(fù)試的人數(shù)；

(3)復(fù)試共三道題，規(guī)定：全部答對獲得一等獎;答對兩道題獲得二等獎;答對一道題獲得三等獎;全部答錯不

獲獎.已知某學(xué)生進(jìn)入了復(fù)試，他在復(fù)試中前兩道題答對的概率均為a，第三道題答對的概率為b.若他獲得?

等獎的概率為:，設(shè)他獲得二等獎的概率為P,求P的最小值.

O

陽：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N?,4),則P(〃一(T<X三〃十0.6827,P(n-2o<X</.i+2a)?

0.9545,P(〃-3。<XW〃+3o)《0.9973.

例6.(2025?山西省臨汾市模擬)甲流和普通感冒都屬于上呼吸道感染，而甲流是流行性感冒中致病力最強(qiáng)

的一種流感,在醫(yī)學(xué)檢測中發(fā)現(xiàn)未接種過流感疫苗者感染該病毒的比例較大.某醫(yī)院選取200個有感冒癥狀的

就診患者作為樣本，統(tǒng)計了感染甲流病毒的情況，得到卜.面的列聯(lián)表:

接種流感疫苗與否/人數(shù)感染甲流病毒未感染甲流病毒

未接種流感疫苗3070

接種流感疫苗1090

(1)根據(jù)小概率值a=0.001的獨立性檢驗，判斷感染甲流病毒與接種流感疫苗是否有關(guān)？

(2)以樣本中感染甲流病毒的頻率估計概率，現(xiàn)從該醫(yī)院所有感冒癥狀就診者中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行感染甲流

病毒人數(shù)統(tǒng)計，求至多有1人感染甲流病毒的概率；

(3)該醫(yī)院某病房住有3位甲流密切接觸的病人，醫(yī)院要對該病房的人員逐一進(jìn)行甲流病毒檢測，若檢測結(jié)

果出現(xiàn)陽性，則該病房人員全部隔離.假設(shè)該病房每位病人檢測結(jié)果呈陽性的概率均為p(0<p<1)且相互

獨立，記該病房至少檢測了2位病人才確定需要隔離的概率為f(p),求當(dāng)p為何值時，f(p)最大?

_____n(ad-bc)2_____

附:

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

PQ2>k)0.100.050.010.001

k2.7063.8416.63510.828

【方法儲備】

概率統(tǒng)計與導(dǎo)數(shù)的綜合問題上，解題的難點是建立函數(shù)模型，如獨立性檢驗統(tǒng)計量、期望方差公式、正態(tài)

分布函數(shù)和用分布列建立其他的函數(shù)的模型，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性.

【拓展提升】

練3-1(2025?福建省漳州市?模擬)某工業(yè)流水線生產(chǎn)一種零件，該流水線的次品率為p(0<p<l),且各個零

件的生產(chǎn)互不影響.

⑴若流水線生產(chǎn)零件共有兩道工落且互不影響，其次品率依次為小=2/2=盤.

①求P；

②現(xiàn)對該流水線生產(chǎn)的零件進(jìn)行質(zhì)量檢測，檢測分為兩個環(huán)節(jié)：先進(jìn)行自動智能檢測，若為次品，零件就

會被自動淘汰；若智能檢測結(jié)果為合格，則進(jìn)行人工抽檢.已知自動智能檢測顯示該批零件的合格率為99%,

求人工抽檢時，抽檢的一個零件星合格品的概率(合格品不會被誤檢成次品).

(2)視p為概率，記從該流水線生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取ri個產(chǎn)品，其中恰好含有mS>m)個次品的概率為/(p),

求函數(shù)/(p)最大值.

練3-2(2025-浙江省杭州市期末)從2019年底開始，非洲東部的肯尼亞等國家爆發(fā)出了一場嚴(yán)重的蝗蟲災(zāi)

情?.目前?，蝗蟲」抵達(dá)烏干達(dá)和坦桑尼亞，并向西亞和南亞等地區(qū)蔓延.蝗蟲危害大，主要危害禾本科植物，

能對農(nóng)作物造成嚴(yán)重傷害，每只妲蟲的平均產(chǎn)卵數(shù)y和平均溫度工有關(guān)，現(xiàn)收集了以往某地的7組數(shù)據(jù)，得到

下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.

平均溫度"°。21232527293235

平均產(chǎn)卵數(shù)y/個711212466115325

表中々=Inypz=

關(guān)于匯的回歸方程.(結(jié)果精確到小數(shù)點后第三位)

(2)根據(jù)以往統(tǒng)計，該地每年平均溫度達(dá)到28。。以上時蝗蟲會造成嚴(yán)重傷害，需要人工防治，其他情況均不

需要人工防治，記該地每年平均溫度達(dá)到28。。以上的概率為p(0<p<1).

①汜該地今后n(n>3,neN)年中，恰好需要2次人工防治的概率為/'(p),求/'(p)取得最大值時相應(yīng)的概

率兩；

②根據(jù)①中的結(jié)論，當(dāng)/"(p)取最大值時，記該地今后6年中，需要人工防治的次數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望和

萬左.

附：對于一組數(shù)據(jù)(%i，zI),(x2,z2)?????(x7,z7),其回歸直線z=a+bx的斜率和截距的最小二乘法估計分

別為公端*'"Zi，

考點四概率統(tǒng)計與數(shù)列的綜合

【典例精講】

例7.(2025?吉林省長春市?模擬題)某企業(yè)舉辦企業(yè)年會，并在年會中設(shè)計了抽獎環(huán)節(jié)和游戲環(huán)節(jié).

(1)抽獎環(huán)節(jié)：該企業(yè)每位員工在年會上都會得到相應(yīng)的獎金X(單位：千元)，其獎金的平均值為滅=30,

標(biāo)湮差為s=5.經(jīng)分析，X近似服從正態(tài)分布N(〃R2),用獎金的平均值又作為〃的近似值，用獎金的標(biāo)準(zhǔn)差s

作為。的近似值，現(xiàn)任意抽取?位員工，求他所獲得獎金在[35,40)的概率；

(2)游戲環(huán)節(jié)：從員工中隨機(jī)抽取40名參加投擲游戲，每位員工只能參加?次，并制定游戲規(guī)則如下：參與

者擲一枚骰子，初始分?jǐn)?shù)為0,每次所得點數(shù)大于4,得2分，否則，得1分連續(xù)投擲累計得分達(dá)到9或10時，

游戲結(jié)束.

①設(shè)員工在游戲過程中累計得九分的概率為P“，求匕；

②得9分的員工，獲得二等獎，獎金1000元，得10分的員工，獲得一等獎，獎金2000元，估計該企、業(yè)作為

游戲獎勵的預(yù)算資金(精確到1元)

(參考數(shù)據(jù)：P(〃—a<x<^+a)=0.6827,P(〃—2a<x<p4-2a)=0.9545,

P(fi-3a<x<n+3o)=0.9973,蘇?1.524x10-4,米x5.081xIO-5,表?1.694x10-5)

例8.(2025?湖南省株洲市模擬)足球是一項大眾喜愛的運(yùn)動2026年世界杯將由美國、加拿大和墨西哥聯(lián)

合舉辦.

(1)為了解喜愛足球運(yùn)動是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了男性和女性各100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，得到2x2列聯(lián)表

如下：

喜愛足球運(yùn)動不喜愛足球運(yùn)動合計

男性6040100

女性2080100

合計80120200

依據(jù)小概率值a=0.001的獨立性檢驗，能否認(rèn)為喜愛足球運(yùn)動與性別有關(guān)？

(2)校足球隊中的甲、乙、丙、丁四名球員將進(jìn)行傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都

等可能的將球傳給另外三個人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到.記開始傳

球的人為第1次觸球者，第九次觸球者是甲的概率記為即P]=l.

⑴求尸3(直接寫出結(jié)果即可)；

3)證明：數(shù)列｛4-3為等比數(shù)列，并判斷第19次與第20次觸球者是甲的概率的大小.

a0.1000.0500.0250.0100.001

2.7063.8415.0246.63510.828

【方法儲備】

概率統(tǒng)計問題與數(shù)列的交匯問題,要準(zhǔn)確把題中所涉及的事件進(jìn)行分解，明確所求問題所屬的事件類型是關(guān)

鍵.解答此類問題，一是要根據(jù)題意建立數(shù)列模型；二是熟練的利用已知的求概率的方法進(jìn)行概率計算.概

率與數(shù)列的交匯問題的常見類型有：

①求通項公式：關(guān)鍵是找出概率P”或數(shù)學(xué)期望E(Xn)的遞推關(guān)系式,根據(jù)數(shù)列部分由遞推公式求通項公式的

方法，求出概率或期望的通項公式；

②利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，研究單調(diào)性、最值或求極限；

③求和：利用數(shù)列中的倒序求和、錯位求和、裂項求和等方法.

【拓展提升】

練4-1(2025?福建省廈門市?期中考試)

“綠色出行，低碳環(huán)?！钡睦砟钜呀?jīng)深入人心，逐漸成為新的時尚.甲、乙、丙三人為響應(yīng)“綠色出行，低

碳環(huán)保”號召，他們計劃每天選擇“共享單車”或“地鐵”兩種出行方式中的一種.他們之間的出行互不影

響，其中，甲每天選擇“共享單車”的概率為g,乙每天選擇“共享單車”的概率為彳，丙在每月第一天

選擇“共享單車”的概率為3:，從第二天起，若前一天選擇“共享單車”，后一天繼續(xù)選擇“共享單車”

的概率為!，若前一天選擇“地鐵”，后一天繼續(xù)選擇“地鐵”的概率為!，如此往復(fù).

43

(I)若3月I日有兩人選擇“共享單車”出行，求丙選擇“共享單車”的概率；

(口)記甲、乙、丙三人中3月1日選擇“共享單車”出行的人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

(ID)求丙在3月份第〃("=1,2,,31)天選擇“共享單車”的概率修，并幫丙確定在3月份中選擇“共享單

車”的概率大于“地鐵”的概率的天數(shù).

練4-2（2025?河北省石家莊市?月考試卷）若數(shù)列血｝（1都匕〃GNXGM）滿足ge｛01｝,則稱數(shù)列｛〃"｝為

k項0-1數(shù)列，由所有攵項0-1數(shù)列組成集合M：

⑴若｛〃”｝是12項0—1數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)〃=3p（peN*,p,,4）時，q=0,求數(shù)列的所有項的和；

（2）從集合中任意取出兩個數(shù)列｛4｝,｛"｝,記'=￡|4-4|.

1-1

①求隨機(jī)變量X的分布列，并證明：￡（x）>!；

②若用某軟件產(chǎn)生M"2）項0一1數(shù)列，記事件A="第一次產(chǎn)生數(shù)字1"，B="第二次產(chǎn)生數(shù)字1"，

且0<P（4）<l,0〈尸⑻<1.若比較尸⑷為與P⑷國的大小.

【答案解析】

例L數(shù)X的分布列為

X012345

15101051

P

323232323232

當(dāng)XW4時，極差不變，所以極差不變的概率是P(X<4)=1—P(X=5)=1—*=||,故4正確;

5x25%=1.25,所以原數(shù)據(jù)的笫25百分位數(shù)為1,

6x25%=1.5,所以當(dāng)XHO時，第25百分位數(shù)不變，

所以第25百分位數(shù)不變的概率為P(XH0)=焉故B錯誤；

原數(shù)據(jù)的平均值為2,當(dāng)X>2時，平均值變大，所以平均值變大的概率為P(X>2)=/故。正確;

原數(shù)據(jù)的方差為2,顯然，當(dāng)X=2時，新數(shù)據(jù)的方差變小，當(dāng)X=0,4,5時，新數(shù)據(jù)的方差變大,

當(dāng)X=1時，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為今方差為汪［2+(2-另歸+g［o+(i一卷均=裝v2,

同理，當(dāng)X=3時，新數(shù)據(jù)的方差為黑<2,

Z1O

所以方差變大的概率是P(X=0)+P(X=4)+P(X=5)=與，故。正確.

故選ACD.

例2.(1)甲社區(qū)正確分類概率的估計值為0.8,

按照二項分布的概率公式，恰好2人正確分類的概率p=或(0.8)2(0.2)i=0.384；

(2)零假設(shè)/為：兩個社區(qū)居民對垃圾分類的準(zhǔn)確率沒有差異；

將樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得到兩個社區(qū)居民對垃圾分類的準(zhǔn)確率的列聯(lián)表如卜：

社區(qū)正確分類不正確分類合計

甲8020100

乙9060150

合計17080250

2

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到］2=25黑黑黑:;黑：)=罌=11>10.828=&.0。1，

根據(jù)小概率值a=0.001的獨立性檢驗，推斷％不成立，

即認(rèn)為兩個社區(qū)居民對垃圾分類的準(zhǔn)確率有差異；

(3)按照分層抽樣，應(yīng)該在甲社區(qū)抽取2人，在乙社區(qū)抽取6人，

又8人中抽取3人，X可以取0,1,2,

P(x=o)=f=||=A,P(X=D=警途焉

P(X=2)=警

所以X的分布列為

X012

5153

P

142828

X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=0x2+1X1|+2X^=4=*

練l-l.對于4因為樣本中心點為(8,25),

所以由相關(guān)系數(shù)公式可知，去掉樣本點(8,25)后，％與、的樣本柞關(guān)系數(shù)不變，故A錯誤;

對于B,因為樣本中心點為(8,25),

所以25=2.6x8+*解得。=4.2,故4錯誤；

對于C,由B可得，y=2.6x4-4.2?

當(dāng)％=1時，y=2.6x12+4.2=35.4,

故殘差為35-35.4=-0.4,故C錯誤；

對F。，由題意可得184m424,26工九W34,m.n(N,

因為樣本中心點為(8,25),所以17+m+25+n+35=25x5,可得m+〃=48.

故(m,n)包含的事件為(18,30),(19,29),(20,28),(21,27),(22,26),

故事件“m=20,n=28”發(fā)生的概率為［故。正確.

練1-2.(1)先求得a為9,b為0.40.估計高二學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績?yōu)椋?5x0.04+65x0.18+75x0.4+85x

0.32+95x0.06=76.8.

+/i央人““"AiST?(、ia150x2+70x7+75x2+80x3—

(2)這14人數(shù)學(xué)成績的平均分為：x=---------------..................=70,

.??這14人數(shù)學(xué)成績的方差為：s2=2［2(50-70)2+7(70-70)2+2(75-70)2+3(80-70)2］=繪.

(3)⑴由頻數(shù)分布表知，成績在［50,60］內(nèi)的人數(shù)有2人，設(shè)其成績分別為x,y；

在(90,100］內(nèi)的人數(shù)有3人，設(shè)其成績分別為a,b,c,

若M,NW［50,60］時,只有(%,y)一種情況;

若M,NW(90,100］時，有(a,b),(瓦c),(a,c)三種情況;

若M,N分別在［50,60］和(90,100］內(nèi)時,有:

abc

X(x,a)(%，b)(爸c)

y(7，a)(yM(y，c)

共6種情況，.??基本事件總數(shù)為10種，事件“|M-N|>30”所包含的基本事件有6種,

.-.P(|M-N|>30)=^=|

(〃)事件MN<3600的基本事件只有(3)這一種，:P(MN<3600)=看

例3.(1)由5X(0.01+0.03+Q+0.06+Q+0.02)=1,解得Q=0.04,

由5x(0.008+0.02+b+0.04+0.06+0.04)=1,解得b=0.032;

(2)1件噪聲不超過25分貝且熱效率不低于90%的概率為：0.01x5x(0.06+0.04)x5=0.025,

隨機(jī)抽2件，恰有1件噪聲不超過25分貝且熱效率不低于90%的概率為：6?0.025-0.975=0.04875;

(3)當(dāng)%G[90,100],則竽e[20,25],所以p】=0.01X(:x-50x-一90

一29n0)=加，

2

當(dāng)xe[90,95]時，p2=0.06(95—％)+0.4,當(dāng)工￡[95,100]時，p2=004(100—

所以當(dāng)%6[90,95]時，P]+P2=11靠11”e[0.425,0.7],

當(dāng)x6[95,100]時,Pl+P2=嗡*e[0.05,0.225],

綜上所述，Pi+P2的取值范圍為[043,0.925].

例4.(1)因為調(diào)杳的女生人數(shù)為：與x100=40,所以，調(diào)查的男生人數(shù)為100—40=60,

于是可完成2x2列聯(lián)表如下:

心流無心流總計

女生35540

男生451560

合計8020100

零假設(shè)為H。：在創(chuàng)新性學(xué)習(xí)活動中體驗到心流與否與性別無關(guān)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),

-TZM2100x(35x15-45x5)275,0,

可得：產(chǎn)=80X20X40X6。=我<3<3.841=與席，

根據(jù)小概率值a=0.05的f獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷/不成立,

因此可以認(rèn)為％成立，即創(chuàng)新性學(xué)習(xí)活動中體驗到心流與否與性別無關(guān);

(2)當(dāng)k=8時,p(k)的值最大,

kk78!(78-幻！

_1_C78c78-k_1_k!(78-k)「k!(78-2k)!_1_(8°—2k)(79-2k)z>_A(-A7

1--1——1

PW_rkrk80!(80—幻！?ox79—$3,0,/,U),

80fc!(80-fc)!\!(80-2k)!

(80-2吐(79-2〃)(78-2A)(77-2k)=314-8A

P*+1)-p(/c)=80-7980-7980-79

由4WkW8可知，p(k+1)>p(k),

即p(k)為增函數(shù)，所以當(dāng)k=8時p(k)的值最大.

練2-1.⑴由0.02x2+0.03x2+0.05x2+0.05x2+0.15x2+ax2+0.05x2+0.04x2+0.01x

2=1,

解得a=0.1,

(2%=4x0.04+6x0.06+8x0.1+10x0.1+12x0.3+14x0.2+16x0.1+18x0.084-20x0.02

=12.16

P(4.88<Z<15.8)=P(〃-2a<Z<[i+a)

P(〃-2cr4Z4〃+2(T)P(〃一0&Z4〃+(T)

=---------------2---------------+--------------2-------------

產(chǎn)Z=0.8186,

100000x0.8186=81860,

???估計這些員工中日健步步數(shù)Z位于區(qū)間[4.88,15.8]范圍內(nèi)的人數(shù)約為81860人.

(3)設(shè)從該企業(yè)中隨機(jī)抽取20人口健步步數(shù)在13千步至15千步內(nèi)的員工有X人，則X?B(20,0.2),

...P(X=k)=啖?0.2”?0.82fk=0,1,2,...?20,

用f(b\-P(X=k)_二。2ko訶…_21-fc

八)一P(x=〃—1)-閡1。2二0821-k_4k，

當(dāng)/(Z)>1時，k<4.2,則尸(X=k-1)VP(X=k)

當(dāng)/(〃)<1時，k>4.2,貝”(X=k-l)>P(X=k),

所以當(dāng)k=4時，P(X=k)最大.

練2-2.(1)依題可知，第一個圖形中第一個小矩形面積為0.04>2.8%,

所以80VkV90,

所以(k-80)x0.004=2.8%,解得臨界值A(chǔ)=87,

于是錯檢率g(/c)=0.006X(90-87)+10x0.004=0.058=5.8%；

(2)當(dāng)ke[80,90)時,f(k)=(k-80)x0.004=0.004/c-0.320,g(k)=(90-/c)x0.006+0.004x10=

0.580-0.006/c,

所以/i(k)=f(k)+g(k)=0.0041-0.320+0.580-0.006k=-0.002k+0.260,

當(dāng)AG[90,100]時,f(k)=0.004xl0+(/c-90)x0.026=0.026k-2.300,g(k)=(100-k)x0.004=

-0.004/c+0.4,

所以h(k)=f(k)+g(k)=0.026Z:-2.300-0.004/c+0.4=0.022k-1.900,

柏“r=L0°°2k+0.260,80</c<90

W=(0.022k-1.900,90</c<100,

例5.(1)樣本平均數(shù)的估計值為，

則7=10X(40x0.01+50X0.02+60X0.034-70X0.024+80x0.012+90x0.004).

解得或=62.所以樣本平均數(shù)的估計值為62;

前三組的頻率和為0.1+0.2+0.3=0.6,前四組的頻率和為0.1+0.2+0.3+0.24=0.84,

第四組的頻率為0.24,所以70%分位數(shù)為65+10=65+^=^.

0.24126

(2)因為學(xué)生的初試成績X近似服從正態(tài)分布NO，/),其中〃=62,d?14.

所以〃+2。、62+2x14=90.所以PQ>90)=P(x>^+2a)?!(1-0.9545)=0.02275.

所以估計能參加夏試的人數(shù)為0.02275x8000=182.

(3)由該學(xué)生獲一等獎的概率為:匕知：a2b=l

oO

則P=a2(l-b)+C]a(l-a)b=a2+2ab-1=a2+^-1.

/v，/、2i13八1「，/、o18a3-l(2a-l)(4a2+4a+l)

令PD=/(a)=a+嘉一§，0<a<L/(?)=2?-^=^=-------------

當(dāng)0<Q<"時，f(a)<0；當(dāng)"vavl時，f(a)>0.

所以/'(a)在區(qū)間(0,；)上是減函數(shù)，在區(qū)間0,1)上是增函數(shù).

所以/■⑷加舊=用)=H；亮=沏以P的最小值為本

例6.(1)假設(shè)為H。:感染甲流病毒與接種流感疫苗無關(guān),

n(ad-bc)2_200x(90x30-10x70)2

由列聯(lián)表可知f的觀測值％2=

(a-b)(c+d)(Q+c)(b+d)-100x100x160x4012.5>10.828=Xo.ooi，

根據(jù)小概率值a=0.001的獨M性檢驗，推斷％不成立，即認(rèn)為感染甲流病毒與接種流感疫苗有關(guān).

(2)由題意得，該醫(yī)院所有感冒癥狀中感染甲流病毒的概率為誓=

乙IUO

設(shè)隨機(jī)抽取的3人中至多有1人感染甲流病毒為事件力，

則P(A)=C“)。鼾+廢自飛產(chǎn)=送；

(3)f(p)=(1-P)P+(1-p)2P=p(l-p)(2-p)=p3-3P24-2p,則r(p)=3p2-6p+2,

令/'(p)=0,則小=苧，22=苧(舍去)，

隨著p的變化，/(p),/'(p)的變化如下表:

p(O，P1)Pl(p11)

r(p)+0一

/(P)遞增極大值遞減

綜上，當(dāng)口=千時，/'(P)最大.

練3-1.(1)①因為兩道生產(chǎn)工序互不影響，

所以p=1-(1-Pi)(l-p2)

=1一(1一表)'(1-表)=親

②汜該款芯片自動智能檢測合格為事件4人工抽檢合格為事件8,

且P(A)=99%,P(AB)=1-p=言

則人工抽檢時，抽檢的一個芯片恰是合格品的概率為

P(B⑷=迪=邕二型：

II，p⑷99%21,

(2)因為各個芯片的生產(chǎn)互不影響，

所以/(p)=C￡pmq_p)n-m(o<p<1),

m

所以r(p)=C鏟［mpmT(l-p)n-m_(n_m)p(l-口廠一爪-1］

=C^pm-lq_p)n-m-l(7n_印)，

令/'(P)=。，得P=p又">m，

則0vfV1,

所以當(dāng)0VpV；時，

re)>o,/(p)為單調(diào)增函數(shù)，

當(dāng)T<pV1時，［(p)<OJ(p)為單調(diào)減函數(shù)，

所以，當(dāng)P=；時，/Xp)取得最大值，

則/(p)最大值為/⑸=刈常)叫1一,嚴(yán)m(xù)

二n?■

練3-2.(1)由散點圖可以判斷，y="公更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于平均溫度％的回歸類型,

對),=ce"”兩邊取自然對數(shù)得比y=Inc+dx,

令z=Iny,a=Inc,b=d,則2=。+/7%,

因為務(wù)=啊尸尸寫刃=40A82￡0272,a=z-bx=3.612-0.272x27.429=-3.849,

2工1(勺一幻2147.714

所以z關(guān)于比的回歸方程為2=0.272X-3.849,

所以y關(guān)于X的回歸方程為夕=9。力2”3.849.

(2)①由f(p)=C3p2-(l-p)32,

2

r?=2鬣?p(l-Pr--(n-2)鬣?p2(l-p產(chǎn)3

=鬣-p(l-py-3-[2(1-p)-(n-2)p]=番?p(l-p)吁3.(2-np),

7i》3且？16N*,當(dāng)OVpV,時，f(p)>0,當(dāng)jVpVI時，f'(p)<0.

所以函數(shù)/"(p)在區(qū)間(o[)上單調(diào)潴增，在區(qū)間弓,1)上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)/'(p)在p=；處取得極大值，即最大值，故Po=；;

②由①可知，當(dāng)p=，寸，f(p)取最大值，

又九=6,則p=.由題意可知X~(6、)，

JD

故E(X)=6xJ=2,D(X)=6x|x1=i

例7(1)由題意X?N(30.25),

P(35<X<40)=P(M+a<X<f/+2a)=°,9545-0-6827=0.1359；

⑵1由題意以吁2，

則4-kP“T=(9)Pn_#?Pn_2，

OKJ

則e=￥，解得&=1或

選區(qū)1時,&-PAl=|(Pn_rPn_2)，

由p1二i島弓+m，

則6*4(-扔-2，

Pn-l-Pn-2="(一—一3'

P2-W。

%_哈」空一牛工一7尸.

91(；)12

4七￡+早襯(一扔(壯9),

8

當(dāng)片io時島?p8=|?(若?(-|))=H.(-M

-D6+X-扔，(”力

I；W)9"=l。)

25=1000x40xP9+2(X)0X40XP10

=40000x(+*5.081x10T)]+80000X[*(-5.081X10-5)]?500017L.

即估計游戲獎勵的預(yù)算資金為50001元.

例8.(1)假設(shè)“。：喜愛足球運(yùn)動與性別獨立，即喜愛足球運(yùn)動與性別無關(guān),

》之二2。黑:黑麒即=33.3〉10.828,

根據(jù)小概率值a=0.001的獨立性檢驗，我們推斷％不成立,

即認(rèn)為喜愛足球運(yùn)動與性別有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不超過0.001.

(2)(i)由題意P3=9；

(ii)第九次觸球者是甲的概率記為幾，

則當(dāng)九N2時，第九-1次觸球者是甲的概率為Pn-1，

第九-1次觸球者不是甲的概率為1-Pm，

-

則以=Pn-l-0+(1—Pn_i),I=1(1-Pn-lV從而匕—T=—T)?

又Pl一;=33是以1為首項，公比為一/的等比數(shù)列，

’44I"4」43

則%=,x(_：￥-1+；,

?,?%='X(-|)18+「20='X(V)】9+X%

??.P19>P20,故第19次觸球者是甲的概率大.

練4-1.(I)記甲、乙、丙三人3月1口選擇“共享單車”出行分別為事件A,B,C,記三人中恰有兩人選

擇“共享單車”出行為事件

則P(D)=P(AI3C)+P{ABC)+P(ABC)

12111312311

=—X—X-----1-----X—X-------1-----X—X—=——,

23423423424

1731133

P(CD)=P(ABC)+P(ABC)=-x-x-+-x-x-=-,

2342348

3

所以=磊寸得

24

9

即若3月1日有兩人選擇“共享單車”出行，丙選擇“共享單車”的概率為百.

(n)由題意可知，X的所有可能取值為0,1,2,3,

---1111

貝ljP(X=O)=P(ABC)=-XA1=——，

23X424

p(x=1)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)++=:,

P(.￥=2)=P(D)=—,

1231

P(X=3)=。(從30=—又一乂二=一，

2344

所以X的分布列為

X0123

11111

p

24T24T

1111123

故E(X)=0x—+lx—+2x—+3x—=」

24424412

23

即X的數(shù)學(xué)期望為一.

12

(出)由