新高考數(shù)學一輪復習

第講直線與圓錐曲線的位置關系

知識點1:直線與圓錐曲線的位置判斷

將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去4（或），），得到關于），（或x）的一元二次方程，則

（1）直線與圓錐曲線相交=△＞（）;

（2）直線與圓錐曲線相切=△=（）；

（3）直線與圓錐曲線相離=△＜（）.

知識點2：弦長公式

設"（N,y）,N（X2,乃）根據(jù)兩點距離公式I例N|=-占了+（y-丁2『?

（1）若M、N在直線y=依一+/〃上，代入化簡，得|A/N|=人+攵］內-.

（2）若M、N所在直線方程為x=/＞，+〃7.代入化簡，得|/MV|=川+產也一）%|

（3）構造直角三角形求解弦長，|MN|二匹;口2fl其中々為直線MN斜率，a為直線傾斜

|cosa||sina|

知識點3：點差法

（1）4?是橢圓=+5=l（"h0）的一條弦，中點加（.%,%），則他的斜率為-經，

a〃a＞'o

運用點差法求4?的斜率；設A（N，）1），"（%，為）（$人人‘2），A,〃都在橢圓上，

v2

2+y

F=1

a=1+2O

所以?v,兩式相減得分V.一￥-

2

+

a

所以（M+P）（xf）+（）1+，2）（冒一丁2）=0

cTb-

2

即（,一）'2）=（玉+々）=bx（）

（%一七），,（），］+%）故”2

（2）運用類似的方法可以推出；若他是雙曲線，-營=1（4＞。0）的弦，中點則

38=與乜；若曲線是拋物線y2=2px（〃＞0），則

a%%

題型一：直線與圓錐曲線的位置關系

【典例1-1］直線3/-2），+6=0與曲線廣一生L］的公共點的個數(shù)是（）.

94

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】當xNO時，曲線工-利=1,即￡-￡=1,雙曲線右半部分；

9494

一條漸近線方程為：y=^3x,直線與漸近線平行；

當工<0時，曲線型=1,即f+二=1,橢圓的左半部分；

9494

畫出曲線和直線的圖像，如圖所示：

>

根據(jù)圖像知有2個公共點.

故選:B

【典例1-2］若直線"-2與曲線C:X2一）,2=6。>0）交于不同的兩點，則攵的取值范圍是（）

人子用B.釁）C

C，0jD.卜亍刃

【答案】D

【解析】聯(lián)立方程組憶箕6,整理得（…

F十44?十10-0,

設方程優(yōu)T*+4丘+10=0的兩根為司,12，

因為直線y=6+2與雙曲線/一/=6（v>0）的右支交于不同的兩點,

4k

>0

則滿足中2=黑＞。，解得AvT，

K—1

犬一1工0

k＜~\777

又由L/力2,/,2訃八，＜^＜-1,

△=（軟）—40（內一1）＞03

所以我的取值范圍是，平1.

故選：D.

【方法技巧】

（1）直線與圓錐曲線有兩個不同的公共點的判定：通常的方法是直線與圓錐曲線方程聯(lián)立方程消元

后得到一元一次方程,其中A〉。：另一方面就是數(shù)形結合，如直線與雙曲線有兩個不同的公共點，可通過

判定直線的斜率與雙曲線漸近線的斜率的大小得到.

（2）直線與圓錐曲線只有一個公共點則直線與雙曲線的一條漸近線平行，或直線與拋物線的對稱軸

平行，或直線與圓錐曲線相切.

【變式1?1】已知拋物線方程）P=4x,過點0（0,2）的直線與拋物線只有一個交點，這樣的直線有（）

條

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】因為點P（0,2）不在拋物線上，易知當直線斜率不存在時，直線方程為x=0,滿足題意；

當直線斜率攵=0時，易知y=2滿足條件：

當直線斜率存在且2工0時，設直線方程為y=u+2,

y2-4x

由，整理得至1]公產+（4仁一4）工+4=0,

y=kx+2

。，解得〃,

由?

綜上所述：滿足條件的直線有3條.

故選：D

【變式1?2】已知直線/：），=-]+，〃與曲線C：y=g正可恰有三個不同交點，則實數(shù)小的取值范圍

是（）

A.（-x/2,0）u（0,^）B.[l,碼C.（0,72）D.（1淘

A8在橢圓《+寸=1上，有g+上=1,反+或=1,

434343

兩式相減，得上￡=_&,即?！福?）5+）2）=一」一一）（一+%）,

4343

得紅二&=-1,即直線48的斜率為-金，

8-x2J3

4,

則AB的直線方程為y-\=--（x-l）,即4x+3y—7=0.

故答案為：4x+3y—7=（）

【方法技巧】

點差法

【變式2?1】已知雙曲線方程是三=1,過定點P（2』）作直線交雙曲線于匕〃兩點，并使/，為々鳥

的中點，則此直線方程是.

【答案】y=4x-7

2K2_）,2=2

【解析】設小小凹），以電，必），得L,,，兩式相減化簡得直線的斜率，即得直線的方程曲題得

2與一）T=2

2x:-y2=2,設耳（木|,凹）,鳥（電,y2），

2wT=2

所以

2v-y/=2

兩式相減得2（百+々）（內-七）一（凹+%）（y->’2）=°，

由題得X|十電=4，x十%=2,

所以8(v62(y_%)=0,

因為為工巧，所以21二^=女=4,

司一工2

所以直線的方程為），-1=4（x-2）,即y=4A-7.

故答案為：y=4.r—7

題型三：利用點差法解決對稱問題

【典例3?1】已知，〃cR,在拋物線丁=4》上存在兩個不同的點關于直線N=x+〃?對稱，則〃?的取值

范圍是.

【答案】（-，-3）

【解析】設拋物線上關于直線y=x+〃?對稱的兩點為A（x”y）,網(wǎng)電,%）,

則〃廠:“，兩式相減得（y+%乂乂一%）=4（西一丹）,

?二4々

由條件可知，-——="1?即,+%=-4,

MF

所以AB中點的縱坐標為-2,橫坐標為-2-m，即中點坐標為（-2-〃？,-2）,

由題意可知，44中點應在拋物線內，即（-2『<4x（-2-/〃），得根<-3.

故答案為:（-8,-3）

【方法技巧】

點差法

【變式3?1】已知橢圓E:*=1（〃>〃>0）的焦距為2c,左右焦點分別為G、F2,圓

G：（x+c）2+y2=i與圓入：*_c）2+）,2=9相交，且交點在橢圓E上，直線/：y=x+，〃與橢圓E交于A、B

兩點，且線段4B的中點為M,直線0M的斜率為-!.

（1）求橢圓E的方程；

（2）若團=1,試問E上是否存在P、。兩點關于/對稱，若存在，求出直線。。的方程，若不存在，請說明

理由.

【解析】（1）因為圓G（x+c）2+y2=i與圓工：（X—c）2+y2=9相交，且交點在橢圓E上，所以〃=1+3,

a=2,

設A（A，），J,現(xiàn)3%），AB的中點

W+"=1①

":b\，①-②=2%（「）+2）b（y廣）=0,

41-4=1?“"

a'a~

。X工2a

一一二一431,

4a2

則橢圓E的方程：—+y2=I;

4-

（2）假設存在P、。兩點關于/對稱，設直線PQ的方程為y=-x+f,

。（和兄），。（必乂），PQ中點”（打，匕V），

y=-x+t,r

二，=5/-8v+4產-4=0,

￡+4y-=4

A=64r-20（4r2-4）>0^-75<r<>/5，

_x,+x4_4t_￡即Nl'生父

由N在/上，^=y+1=>/=—|,此時，€（-石,石），

故存在P、。兩點關于/對稱，直線PQ的方程為），=-'-^.

題型四：利用點差法解決斜率之積問題

【典例4-1】已知橢圓C：，+，=l（a>〃>0）,過點加（毛,為）作傾斜角為§的直線與C交于A,8兩

點，當M為線段AB的中點時，直線QM（0為坐標原點）的斜率為-g,則C的離心率為（）

A.—B.-C.更D.凡

3333

【答案】D

所以卜4：+4"=i

【解析】設力（玉,兇）,8（天,%>

三+工=1

1/b2

兩式相減得與+以g=o,即（.…N

a~b~a~b~

弓+%二無，所以=_（X-：2）%,整理得上&=-空

+2

>,|3>2-^0/b‘項一七a-y（）

又“吒所以=M2,所吟小

所以橢圓C的離心率e=：=RE

故選：D.

【方法技巧】

點差法

【變式4?1】橢圓〃N+"=|與直線y=jx交于私川兩點，連接原點與線段MN中點所得直線的

斜率為坐，則巴的值是()

2n

A&R2百「9&n2石

?---O?------L?------\J?----

23227

【答案】A

［解析］設M(x,,y),N5,y,),則”鬲+ny2_j/混+ny］=I,

兩式相減得，—E)+〃(y；-yp=o,

由已知橢圓nix2+ny2=1與直線y=1-不交于M,N兩點，可知片工與，

故耳二4=_生，即止星.?=_'

n

片一x；nX)+x2z一々

設線段MN中點為80，%)，則％-9=2題,y+3=2%，而''=《=—,

X\~X2

連接原點與線段MN中點所得直線的斜率為烏，即叢=與

2%2

故也.(_])=_%,即％=立，

2nn2

故選：A

題型五：弦長問題

【典例5?1】已知直線〃?與椎圓C:二+2=1相切于點尸八孔直線〃的斜率為L設直線〃與橢圓

43I2)2

(2)證明：|4QI,I尸QIJ8Q成等比數(shù)列

【解析】(I)由題知直線，〃的斜逐存在，設直線，"的方程為y=A(x-l)+；,

x2))

—+—=1

由43只有一組實數(shù)解，

尸他一|)十萬

叫軟2+3)/+8%(|-&x+41一4-12=0只有一-實根，

得A=64k2(!_*)_4(4爐+3)—-12=0.

解得&=總

故直線，〃的方程為x+2），—4=0.

（2）設直線〃的方程為），=；x+/,

則XQ=2T且々W1,則fHl,

由1]，得八a+/_3=0，

y=2x+t

所以彳，,，

[xAxB=t-3

所以歸。|2="1+{￡)2H7。|=^(/-1)2>0.

|叫?忸Q|=JI+(；)%乜卜,+出k?fI

=^XQ-(XA+XB)XQ+XAXB\=^(2T)2-(2T)(T)+/T

=^(/2-2/+l)=|(7-l)2>0

即歸行=欠處忸叱,

即|Aa、|PQ|、|3。成等比數(shù)列.

【方法技巧】

在弦長有關的問題中，一般芍三類問題：

?2

（1）弦長公式：\AB\=>J\+k|xj-x2\=>J\+k.

（2）與焦點相關的弦長計算，利用定義；

（3）涉及到面積的計算問題.

【變式5?1】已知點8是圓C:*-l)2+y2=16上的任意一點，點廣(-1,0),線段所的垂直平分線交

BC于點P.

(1)求動點。的軌跡E的方程；

(2)直線/：)，=2.i+,〃與E交于點M,N,且阿兇=甘醇，求〃?的值.

(1)由條件可得|PC|+|PF|=|PC+|期二|8c|=4>|陷=2

所以動點尸的軌跡E是以尸C為焦點的橢圓，設其方程為//S八。)

所以2a=4,2c=2,所以a=2,c=l,》=G

所以方程為

⑵設”（百，,）,%（七,%）

「，一

工+工=1

聯(lián)立143可得19/+16”a+4病_]2=0

y=2x+m

所以由△=256〃/-76（W-12）＞0f#/ne（-M,M）

16m4m2—12

內+“2=一丁，叱2=一—

因為MM#+巧[（…）」聞書等一黨斗嚅

所以可解得〃?=±|

題型六：三角形面積問題

【典例6-1】（2024年新課標全國I卷數(shù)學真題）已知40,3）和為橢圓0：/+，=13>/,：>0）上兩

點.

（1）求C的離心率；

（2）若過。的直線/交。于另一點8,且一的面枳為9,求/的方程.

【答案】⑴5

⑵直線/的方程為3x-2y-6=0或x-2y=0.

【分析】（1）代入兩點得到關于。力的方程，解出即可：

（2）方法一：以為底，求出三角形的高，即點B到直線4尸的距離，再利用平行線距離公式得到平移

后的直線方程，聯(lián)立橢圓方程得到4點坐標，則得到直線/的方程；方法二：同法一得到點8到直線"的

距離，再設3（%,%）,根據(jù)點到直線距離和點在橢圓上得到方程組，解出即可；法三：同法一得到點“到

直線A”的距離，利用橢圓的參數(shù)方程即可求解；法四：首先驗證直線A8斜率不力在的情況，再發(fā)直線

廣版+3,聯(lián)立橢圓方程，得到點8坐標，再利用點到直線距離公式即可：法五：首先考慮直線/火斜率不

3

存在的情況,再設尸B:），-]=A（x-3）,利用弦長公式和點到直線的距離公式即可得到答案；法六：設線法

與法五一致,利用水平寬乘鉛錘高乘方表達面積即可.

b=3

從=9

,解得，

【詳解】（1）由題意得Q2

IL”a2=12

所以

」1

（2）法一：,「一2_1，則直線AP的方程為y=rx+3,即x+2y-6=0,

3西=一，2

.“（。-3『+（3雪考,由⑴知C：才9I,

2x9126

設點8到直線AP的距離為d,則南二丁，

則將直線AP沿著與心垂直的方向平移均叵單位即可，

5

此時該平行線與橢圓的交點即為點8,

設該平行線的方程為：x+2y+C=0,

則詈二哈解得C=6或38,

五十K,解得.x=-3

當C=6時，聯(lián)立或，3，

y=-3

x+2y+6=0

即B(O,—3)或,3,一|

Qa

當B（0,—3）時，此時勺=5,直線/的方程為y=3,即*一2），-6=0,

當B（-3,3-）5時，此時勺=1，1直線/的方程為y=11g|Jx-2y=0,

\乙）222.2

xryi

---F--=1_

當。=一18時，聯(lián)立，129得2），2-27），+117=（）,

x+2y—18=0

A=272-4X2XI17=-207<0?此時該直線與橢圓無交點.

綜上直線/的方程為3工一2），一6=。或x-2y=0.

法二：同法一得到在線AP的方程為％+2y-6=0,

點8到直線AP的距離八坦叵

5

|飛+2yo-6|二126

玉=-3

9,5,解得.七=°

設B（%為），則'3或“

Jo=-3

%..%_1獷一5

------1------_1

129

法三：同法一得到直線"的方程為x+2y-6=0,

點B到直線AP的距離d=盛,

5

設3(26cos0,3sin0),其中，<0,2兀)，則有+夕-[二時小.

v55

_V3

cosJ=可(cos6=0

聯(lián)立cos'e+sin?8=1,解得“2成，

1[sin6>=-l

sin〃=

2

即3（0,-3）或（一3,一|）,以下同法一；

法四：當直線A8的斜率不存在時，此時以0,-3）,

I33

S砂=釬6x3=9,符合題意，此時勺=，直線/的方程為），=：工-3,即3%一2），-6=0,

當線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y=&+3,

y=kx+3

2v2，則:軟2+3)W+24依=0,其中4安女”，即人工一」,

聯(lián)立橢圓方程有x

——+—=1'72

1129

-24k1

解得、二°或"工0’y

令―肅則廣,加'-24氏-12r+9、

W+3'4r+3)

同法一得到直線”的方程為匯+2），-6=0,

點8到宜線a的距離

5

一2軟c-12公+91

貝IJ軟2+3~4攵2+3I12右，解得k=3，

忑=~T

此時3,一|｝則得到此時勺=g,直線/的方程為y=B|Jx-2,y=0,

綜上直線/的方程為3X-2），-6=。或4-2），=0.

法五：當/的斜率不存在時，/：K=3,B（3,-|）,|PB|=3,A到PB距離4=3,

19

此時sA8P=3X3X3=3h9不滿足條件.

3

當/的斜率存在時，設尸8:），-2=左漢-3）,令人5,）。3（天,必），

3

y=k(x-3)+-

222，消)'可得(4^+3*一(24二一叫x+36S-36"27=0,

—+-=1

U29

△=（24%2―12%丫一4（4/+3）（363一36左一27）＞0,且女工心八印女工一：,

24公—12人4南西邛公+9k+今

X[+工2=----2----------------------

33；27樣==

4公+3

32+4I46“2+1，3犬+91+日,H=9,

A到直線.距離.」2|

A_------QPAE

a+124及2+3JF+1

1313

=g或;，均滿足題意，或y=-即3x_2）」6=0或工-2），=0.

4JJL

（3、

法六：當/的斜率不存在時，/：x=3,B3,--,|PB|=3,A到總距離4=3,

\乙）

19

此時s神=5'3'3=5工9不滿足條件.

3

當直線/斜率存在時，設/：y=Z（x-3）+],

設/與y軸的交點為。，令戶0,則。（o,-3k+￡|,

3

聯(lián)芷-3"+,，貝|」有（3+442）工2-84（32-2）4+36公一362—27=0,

3x2+4y2=36I27

（3+4火2）彳2_8女—X+36/-36攵-27=0,

其中△=8/（34-1）-4（3+4公）（36公-362-27）>0,且女工一1，

36〃-362-2712A-2A-9

則3/=

3+4右3+4公

則S=3AQ|瓦-與|=；3%+。巖苧=9,解得A=:或&=],經代入判別式驗證均滿足題意.

乙N2||3十4K乙乙

13,

貝ij直線/為y=或y=5x_3，即3x-2y-6=0ngx-2,v=0.

【方法技巧】

三角形的面積處理方法：S.=」?底?高（通常選弦長做底，點到直線的距離為高）

△2

【變式6?1】已知拋物線。:/=2必（〃>0）的焦點為產，直線/：x=m），+〃與C交于AI兩點，且當

m=2,〃=—1時，|A8|=4后.

（1）求拋物線。的方程；

（2）若求八鉆廠面積的最小值.

【解析】（1）當m=2,〃=-1時，直線/的解析式為x-2），+1=0.

設401/1),8(>2,%)，聯(lián)立〈2、消去K并整理得9-4py+2p=o,

y~=2px

2

/.弘+y2=4p,乂%=2p,A=16/.?-8〃>°，

/.p(2p-D>0,解得

vM.fi|=>/5|.yl->>2|=&/(y+%)'-4y%=4后，

16/?2-8p-48,

整理得(2〃+3)(〃-2)=0,解得〃=2(舍負)，

「?拋物線C的方程為爐=4底

(2)由(1)知，尸(1,0),設4和,)、，B(z孫%＞、聯(lián)立上x==m4y工+n.

2

消去x并整理得y-4my-4n=0,y,+y2=4〃?，y\y2=-4n,

A=16m2+16〃>0，「?m2+/:>().

?JAFLBF,??/4/3產=(1-7)(1-芍)十)，1%=0,

即(1-〃-吵)(1-〃-"7%)+yy2=0,

整理得9〃2+1)y%+〃?(〃一i)(y+y2)+(〃一1尸=o.

將M+)'2=4〃7,不當二一4〃，代入上式得4m2=〃2-6〃+l.

又4(4+〃)=(〃-1)2>0,...〃工］,且〃2-6〃+1之0,

解得“23+2夜或〃43-2夜.

7點/到直線/的距離4=*4，

|A8|=Jl+"/\>\-y2\=Jl+>J(H+)J-4.yj2

=Jl+>Ji+16〃=J+〃/J4(〃2—6〃+1)+16〃=2，1+"『

1.△/15"的面積5=』|44|乂〃=,乂2717^7.|〃一1|*-^=^4=("-1)2.

22VI+m~

又〃23+2衣或心3-2&，

且最小面枳為(2-2&)2=12-8衣.

題型七：四邊形面積問題

【典例7.1】已知定點P(G,O),圓Q:(x+G)2+.y2=16,N為圓。上的動點，線段NP的垂直平分

線和半徑NQ相交于點

(1)求點M的軌跡「的方程；

(2)過〃的直線/與軌跡「交于兩點，若點。滿足QQ=Q4+。。，求四邊形。人。5面積的最大值.

【解析】(1)因為N為圓Q上的動點，線段NP的垂直平分線和半徑NQ相交于點M,

所以由線段垂直平分線的性質可得：IMPHMN|,

所以|MQ|+|MP|=|MQ|+|MN|=4>|PQ\=2y/3,

故點〃的軌跡是以產、。為焦點的橢圓.其中。=2,c=6

所以/=。--3=1,

故點M的軌跡「的方程為三+/=].

4

(2)由題意，設直線/的方程為K=〃I)，+G，A(N，yj,8(-y2),

2

工+產—1

聯(lián)立(不+'二,整理可得：(4+〃[2)9+2屈少-1=0,

x=my+G

所以△=12m2+4(m2+4)>0,

2\/3/n1

，，)'|，2=一/2,

44+"廠4+nr

所以

2

22r---24^1+m_4+4〃?2

I4引=\l\+m|y-y2\=+?<(>*,+>'2)-4)^2*+m~------—