第一章勾股定理階段檢測

一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。

1.下列各組數(shù)中，不是勾股數(shù)的是（）

A.5,12,13B.9,12,15C.12,18,22D.15,36,39

2.如圖，小明將一張長為20cm,寬為15cm的長方形紙Q4￡>DE）剪去了一角，量得力8=3cm,CD=

4cm,則剪去的直角三角形的斜邊長為（）

A.5cmB.12cmC.16cmD.20cm

3.在△ABC中，乙A、KB、NC的對應(yīng)邊分別是a,b,c,若乙4+iC=90°,則下列等式中成立的是（）

A.a2+b2=c2B.b2+c2=a2C.a2+c2=b2D.c2—a2=b2

4.下列條件中，不能判定團ABC為直角三角形的是（）

A.a:/）:c=5:12:13B.Z.A+乙B=Z.C

C.Z.A:Z.B:Z.C=2:3:5D.Q=6,b—12,c=10

5.如圖，每個小正方形的邊長為1,4,B,C分別是小正方形的頂點，則的度數(shù)為（）.

W

C

A.90°B.60°C.45°D.30°

6.已知a,b,c是△48C的三條邊長，且滿足（a-5）2+|b-12|+c2-26c+169=0,則關(guān)于的形

狀判斷正確的是（）

A.銳角三角形B.鈍角三角形

C.直角三角形且N8=90°D.直角三角形且ZC=90°

7.我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)學(xué)九章》里記載有這樣一道題目：“問有沙田一塊，有三斜，其

中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知為田幾何？”這道題講的是：有一塊三角形沙田，三條邊長

分劃為5里、12里、13里，問這塊沙田面積有多大？題中的“里”是我國市制長度單位，1里=500米，則

該沙田的面積為（）

A.7.5平方千米B.15平方千米C.75平方千米D.750平方千米

8.如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形

小B、C、。的邊長分別是3、5、2、3,則最大正方形E的面積是（）

C.34D.47

二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分。

9.在RtA/IBC中，ZC=90°,AB=13,AC=12,則BC=

10.平面直角坐標(biāo)系上有點火-3,4）,則它到坐標(biāo)原點的距離為

1L如圖，一架云梯長10米，斜靠在一面墻上，梯子頂端離地面6米，要使梯子頂端離

地面8米，則梯子的底部在水平面方向要向左滑動米.

12一直角三角形的兩邊長分別為5和12,則第三邊的長是_____.

13.如圖，點E在正方形4BCD內(nèi)，^AEB=90°,AE=5fBE=12,則圖中陰影部

分的面積是_____.

14.木工做一個長方形桌面，量得桌面的長為45cm,寬為28cm,對角線為53cm,這

個桌面.（填“合格”或“不合格”）.

15.圖中陰影部分是一個正方形，則此正方形的面積為

8cm

16.公元3世紀(jì)初，中國占代數(shù)學(xué)家趙爽注《周髀算經(jīng)》時，創(chuàng)造了“趙爽弦圖”.如圖，設(shè)勾。=6,弦c=

10,則小正方形48CD的面積是.

三、解答題：本題共6小題，共52分。

17.（本小題8分）

如圖，在4x4的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1.

(1)求△ABC的周長；

(2)求證：Z.ABC=90°.

18.（本小題8分）

為了響應(yīng)政府提出的“綠色長垣，文明長垣”的號召，某小區(qū)決定開始綠化，要在一塊四邊形力空地

上種植草皮.如圖，經(jīng)測量：48=90。，48=6米，8C=8米，CD=24米，4。=26米，若每平方米草皮

需要300元，問需要投入多少元？

21.（本小題10分）

如圖，小旭放風(fēng)箏時，風(fēng)箏線斷了，風(fēng)箏掛在了樹上.他想知道風(fēng)箏距地面的高度.于是他先拉住風(fēng)箏線

垂直到地面上，發(fā)現(xiàn)風(fēng)箏線多出1米，然后把風(fēng)箏線沿直線向后拉開5米，發(fā)現(xiàn)風(fēng)箏線末端剛好接觸地面（

如圖為示意圖）.請你幫小旭求出風(fēng)箏距離地面的高度48.

22.（本小題10分）

在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，這個定理稱為“勾股定理”.即在直角三角形中

（如圖）,LACB=90°,兩條直角邊分別為AC,BC,斜邊為AB,則4c2+BC?=.利用勾股定理解答下

列問題：

（1）在直角三角形力中，LACB=90°,AB=13cm,AC=5cm,求BC的長.

（2）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的4x4的網(wǎng)格中，每個小格的頂點叫做格點.

圖1圖2

①在圖1中，利用勾股定理求線段的長度.

②在圖2中，畫一條格點線段CO,使CD=5.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查的是勾股數(shù)有關(guān)知識，判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時還需驗證兩小數(shù)的平

方和是否等于最大數(shù)的平方，據(jù)此解答即可.

【解答】

解：小52+122=132,能組成直角三角形，都是正整數(shù)，是勾股數(shù)，故此選項不合題意；

B、92+122=152,能組成直角三角形，都是正整數(shù)，是勾股數(shù)，故此選項不合題意；

C、12?+18?6222,不能組成直角三角形，故此選項符合題意；

D、152+362=392,能組成直角三角形，都是正整數(shù)，是勾股數(shù)，故此選項不合題意；

故選C.

2.【答案】D

【解析】解：延長48、DC相交于尸,則三角形BFC構(gòu)成直角三角形,

運用勾股定理得：

BC2=(15-3)2+(20-4)2=122+162=400,

所以BC=20.

則剪去的直角三角形的斜邊長為20cm.

故選：D.

解答此題只要把原來的圖形補全，構(gòu)造出直角三角形解答.

本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解答此題要延長AB、。。相交于F,構(gòu)造直角三角形，用勾股定理進行計

算.

3.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了勾股定理.注意：勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中.

結(jié)合三角形內(nèi)角和定理得到乙8=90。，所以由勾股定理可以直接得到答案.

【解答】

解：???在A/IBC中，Zi4+zC=90°,

:.乙B=90°,

:.a2+c2=b2.

故答案選C.

4.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用.判斷三角形是否為直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角

形的定義判斷.

【解答】

解：兒?.?52+122=132,.?.△ABC是直角三角形，故能判定△48C是直角三角形；

乙A+乙B=乙(：,.??△(?=90°,故能判定是直角三角形；

C.7z/1:ZB:ZC=2:3:5,ZC=x180°=90°,故能判定△力8C是直角三角形；

L"iOI"。

。「62+102廣122,.必力80不是直角三角形，故不能判定△4BC是直角三角形.

故選D

5.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理.判斷△48。是等腰直角三角形是解決本題的關(guān)鍵.根據(jù)勾股定理

即可得到力B,BC,4c的長度，再根據(jù)勾股定理的逆定理以及等腰三角形的判定得出△4BC是等腰直角三

角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求解.

【解答】

解：根據(jù)勾股定理可以得到：AC=BC=yT5f/1F=/1O,

(\/-5)2+(A/-5)2=(-/10)2.

222

AAC+BC=AB.

???△48。是等腰直角三角形.

A/.ABC=45°.

故選C.

6.【答案】D

【解析】解：???（a—5）2+|b—12|+c2-26c+169=0,

（Q-5）2+\b-12|+（c-13）2=0,

a=5,b=12,c=13,

???52+122=132,

二此三角形是直角三角形且NC=90。.

故選：

根據(jù)給出的條件求出三角形的三邊長，再根據(jù)勾股定理的逆定理來判定三角形的形狀.

本題考查了勾股定理的逆定理，用到的知識點是絕對值、偶次方的性質(zhì)、勾股定理的逆定理、完全平方公

式，關(guān)鍵是證出a,b,c之間的關(guān)系.

7.【答案】A

【解析】解：???52+122=132,

???三條邊K分別為5里，12里，13里，構(gòu)成了直角三角形，

???這塊沙田面積為：1x5x500xl2x500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）.

故選：A.

直接利用勾股定理的逆定理進而結(jié)合直角三角形面積求法得出答案.

此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確得出三角形的形狀是解題關(guān)鍵.

8.【答案】D

【解析】解：如圖,

由勾股定理得，正方形F的面積=正方形力的面積+正方形B的面積=32+52=34,

同理，正方形G的面積=正方形C的面積+正方形D的面積=22+32=13,

???正方形E的面積=正方形產(chǎn)的面積+正方形G的面積=47,

故選：D.

9.【答案】5

【解析】解：?.?48=13,AC=12tLC=90°,

:.BC=ylAB2-AC2=V132-122=5.

故答案為:5.

在孔△48C中，^6=90°,則力=4。2+8。2,根據(jù)題目給出的力B,4C的長，則根據(jù)勾股定理可以求

BC的長.

本題考杳了勾股定理在直角三角形中的運用，本題中正確的根據(jù)勾股定理求值是解題的關(guān)鍵.

10.【答案】5

【解析】解：???點人一3,4）,

.??它到坐標(biāo)原點的距離二J（一3尸+42=5,

故答案為：5.

根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

1L【答案】2

【解析】解：由題意可知梯子的長是不變的，

由云梯長10米，梯子頂端離地面6米，

可由勾股定理求得梯子的底部距墻8米.

當(dāng)梯子頂端離地面8米時，

梯子的底部距墻為6米，

則梯子的底部在水平面方向要向左滑動8-6=2（米）.

梯子的長是不變的，只要利用勾股定理解出梯子滑動前和滑動后的所構(gòu)成的兩三角形即可.

本題考查正確運用勾股定理.善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵.

12.［答案】13^x^119

【解析】【分析】

本題考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，當(dāng)已知條件中沒有明確哪是斜邊時，要注意討論，一些學(xué)

生往往忽略這一點，造成去解.

本題已知直角三角形的兩邊長，但未明確這兩條邊是直角邊還是斜邊，因此兩條邊中的較長邊12既可以是

直角邊，也可以是斜邊，所以求第三邊的K必須分類討論，即12是斜邊或直角邊的兩種情況，然后利用勾

股定理求解.

【解答】

解：根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系，可分為12為直角邊和12為斜邊兩種情況：

①當(dāng)12為直角邊時，根據(jù)勾股定理可得第三邊為V52+122=13;

②當(dāng)12為斜邊時，根據(jù)勾股定理可得第三邊為，122-52=，前.

故答案為13或/用.

13.【答案】139

【解析】【分析】

本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形的面積，勾股定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計算能力和推理能力.

根據(jù)勾股定理求出48,分別求出A4EB和正方形48CD的面積，即可求出答案.

【解答】

解：???在中，44EB=9Q。，AE=5,BE=12,由勾股定理得：AB=13,

,正方形的面積是13xl3=169,

???△力的面積是:AExBE=3x5x12=30,

???陰影部分的面積=S正方形ABCD-S&AEB=169-30=139,

故答案為:139.

14.【答案】合格

【解析】【分析】

本題考查了長方形的判定，解題的關(guān)鍵在于掌握勾股定理的逆定理.

首先，用桌面長的甲方加上寬的平方，看其是否等于對角線的平方；然后，若其相等則滿足勾股定理的逆

定理，三者構(gòu)成直角三角形，桌面合格，否則不合格.

【解答】

解：，?,長都為45cm,寬都為28cm,

???此四邊形是平行四邊形，

V452+282=2809=532,

???根據(jù)勾股定理的逆定理可知桌面的長、寬和對角線能構(gòu)成直角三角形，

???此四邊形有一個角為90°,

,此四邊形是長方形，

二這個桌面合格.

故答案為合格.

15.【答案】36cm2

【解析】【分析】

此題主要考查了勾股定理，只要熟知勾股定理和正方形的面積公式即可解答.

由勾股定理可得正方形的邊長，再由正方形的面積公式解答.

【解答】

解：由圖可知正方形的邊長為，102-82=6cm,

正方形的面積為6x6=36(cm2).

故答案為36cm2.

16.【答案】4

【解析】解：；勾。=6,弦c=10,

???股二V102-62=8,

二小正方形的邊長=8-6=2,

???小正方形的面積=22=4

故答案為4.

應(yīng)用勾股定理和正方形的面積公式可求解.

本題運用了勾股定理和正方形的面積公式，關(guān)鍵是運用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

17.【答案】解：(1)48=V424-22=2V-5,BC=V22+I2=\<5,AC=V32+42=5,

△45c的周長=2/5+門+5=3/5+5,

(2)vAC2=25,臍=20,BC?=5,

222

AC=AB+BCf

/./.ABC=90°.

【解析】本題主要考杳了勾股定理及勾股定理的逆定理，熟記勾股定理是解題的關(guān)鍵.

（1）運用勾股定理求得力B,BC及4C的長，即可求出△力BC的局長.

22

（2）運用勾股定理的逆定理求得AC?=AB+BCt得出4ABe=90°.

18.【答案】解：連接4C,

?:乙B=90°,

:,在Rt△力8c中，由勾股定理得4c=y]AB2+BC2=V62+82=10（米）,

在A4C0中,vAC2+CD2=102+242=262=AD2,

???△/ICO是直角三角形，且4/CD=90°,

S四邊形ABCD=SdABC+SMC0

11

=^AB-BC+^AC-CD

11

=5x6x8+5x10x24

=24+120

=144（平方米），

所以需費用300X144=43200（元）.

???需要投入43200元.

【解析】仔細分析題目，需要求得四邊形的面積才能求得結(jié)果.連接力g在直角三角形48c中可求得力。

的長，由力。、CD、40的長度關(guān)系可得三角形AC。為一直角三角形，力。為斜邊；由此看，四邊形力BCO由

RtA48C和構(gòu)成，則容易求解.

本題考查了勾股定理的應(yīng)用，通過勾股定理由邊與邊的關(guān)系也可證明直角三角形，這樣解題較為簡單.

19.【答案】解：在中，

vZ.ACB=90°,BC=0.7米，AC=2.4米,

AB2=0.72+2.42=6.25.

222

在ABD中,vZ-A'DB=90°,ND=2米,BDA'D=ABf

???81)2+22=6.25,

:.BD2=2.25,

???BD>0,

:.BD=1.5米，

CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2(米).

答：教學(xué)樓走廊的寬度是2.2米.

【解析】先根據(jù)勾股定理求出梯子的長，進而可得出結(jié)論.

本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常

用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖.領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)

用.

20.【答案】解：由題意可得：RP=18海里，PQ=24海里,QR=30海里，

V182+242=302,

???△RPQ是直角三角形，

Z.RPQ=90°,

；〃遠航”號沿北偏東60。方向航行，

z/?PS=30°,

“海天”號沿北偏東30。方向航行；

【解析】本題考查了勾股定理的逆定理，由PQ、PR、QR的K度找出4QPR=90。是