專題15,4等邊三角形（舉一反三講義）

【人教版2024]

颼題型歸納

【題型1根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求長(zhǎng)度】...........................................................1

【題型2根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求角度】..........................................................4

【題型3根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證明】............................................................8

【題型4證明是等邊三角形】....................................................................13

【題型5與等邊三角形有關(guān)的折疊問(wèn)題】..........................................................17

【題型6等邊三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題】.............................................................20

【題型7等邊三角形中的多結(jié)論問(wèn)題】...........................................................24

舉一反三

知識(shí)點(diǎn)1等邊三角形及其性質(zhì)

1.等邊三角形的概念：三邊都相等的三角形是等邊三角形.

2.等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于理:.

拓展：（1）等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸；

（2）等邊三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性質(zhì).

知識(shí)點(diǎn)2等邊三角形的判定

判定等邊三角形的方法：

（1）定義法：三邊都相笠的一:角形是等邊一:角形.

（2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.

（3）有一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊三角形.

【題型1根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求長(zhǎng)度】

【例1】（2425八年級(jí)下?陜西延安期中）如圖，△48c與ACOE都是等邊三角形，點(diǎn)4,D,E在同一直線上,

連接BE,若BE=2,AE=8,則CE的長(zhǎng)是（）

A

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵.

由等邊三角形的性質(zhì)證明△4C0三△BCE(SAS),再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：與△COE都是等邊三角形，

???Z.ACB=乙ECD=60°,AC=BC,CD=CE,

Z-ACB-LDCB=乙ECD-乙DCB,^^ACD=乙BCE,

在A/KD和ABCE中，

(AC=BC

l￡ACD=乙BCE,

(CD=CE

.??△4CD三△BCE(SAS),

:.AD=BE=2,

AE=8,

DE=AE-AD=8-2=6,

???CE=DE=6,

故選：C.

【變式11】(2425九年級(jí)下?吉林長(zhǎng)春?階段練習(xí))如圖，等邊△4BC的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)。、E分別在邊力8、BC±

(不與△/1BC的頂點(diǎn)重合)，將沿OE翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，則三個(gè)陰影三角形的周長(zhǎng)用為()

A.8B.6C.4D.2

【答案】B

【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想是解題的關(guān)鍵.

由折疊的性質(zhì)可得==再把三個(gè)陰影三角形的周長(zhǎng)和轉(zhuǎn)化成等邊△力8c的三邊之和，即可

解答.

【詳解】解：:由折疊的性質(zhì)可得：BD=FD,BE=FE,

工三個(gè)陰影三角形的周長(zhǎng)和為：AC+DF+EF+AD+CE=AC+BD+BE+AD-^CE,

*：AB=AD+BD,BC=BE+CEf

???三個(gè)陰影三角形的周長(zhǎng)和=AC+AB+BC=2+2+2=6,

故選:B.

【變式12］（2425八年級(jí)下?甘肅平?jīng)?階段練習(xí)）如圖，在△4CD中，B為CD邊上一點(diǎn),連接力氏△48。恰

為等邊二角形，乙D=xDAB,AB=7,則CO的K度為.

【答案】14

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出BC=7,然后根據(jù)

等角對(duì)等邊得出=DB=7,即可求解.

【詳解】解：???△人員:為等邊三角形，AB=7,

：,BC=AB=7,

VzD=^.DAB,

*?AB=DB=7,

：.CD=DB+BC=14,

故答案為：14.

【變式13］如圖，在等邊三角形A8C的邊4B、4C各取一點(diǎn)。，E,連接CD,8E交于點(diǎn)凡使/EFC=60。，

若BD=1,CE=2,貝IJ8C長(zhǎng)度為.

【答案】B

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解

題關(guān)鍵.先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC=BC,CE=CD/ACB=Z-ECD=乙ABC=Z.BAC=60°,再證出

AACE為BCD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得上DBC=NE4C,然后設(shè)立。8c=zEAC=",從而可得

^ABE^BAE,最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求解即可得.

【詳解】解：???△48C和ACDE都是正三角形，

：.AC=BC,CE=CD.Z-ACB=Z.ECD=/-ABC=^BAC=60°,

：,LACB-乙BCE=乙ECD-乙BCE,即NJACE=乙BCD,

在ZMCE和△BCD中，

AC=BC

Z.ACE=乙BCD，

,CE=CD

???△ACEBCD(SAS),

?LDBC=Z-EAC,

設(shè)，D8C="4C=x,

：.LBAE=Z-BAC-Z.EAC=60°-x,

LEBD=62°,

；?LCBE=乙EBD-Z-DBC=62°-x,

：,LABE=/.ABC-Z,CBE=60°-(62°-%)=x-2°,

：.LABE+乙BAE=x-2°+60°-x=58。，

：.LAEB=180°-(4ABE+乙BAE)=180°-58°=122°,

故選:B.

【變式21】(2425八年級(jí)下?河南?期末)已知：如圖，。、E分別是等邊三角形ABC兩邊AB、4C上的點(diǎn)，連

接BE、CD,BE與CD交于點(diǎn)、O,AD=CE,貝吐B。。的度數(shù)是()

A.50°B.60°C.65°D.70°

【答案】B

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，找出全等三角形是

解題關(guān)鍵.根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證明△4?。三△CBE(SAS),得至IJ乙4CD=乙CBE,再結(jié)合三角形外角的性

質(zhì)求解即可.

【詳解】解：?.?△ABC是等邊三角形，

AC=BC,乙/=Z.ACB=60°,

在A4CO和ACBE中，

(AD=CE

4=乙BCE,

(AC=CB

：.^ACD三△CBE(SAS),

???Z.ACD=乙CBE,

乙BOD=乙CBE十乙BCO=^ACD十乙BCO=乙ACB=60%

故選:B.

【變式22](2025?山東威海?一模)已知直線力BIICD,等邊△E”的頂點(diǎn)E剛好落在4B上，F(xiàn)G與CO交于點(diǎn)已

知/I=140°,貝此2=()

A.110°B.120°C.130°D.100°

【答案】D

【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì).作尸KIICD，先由平行線的性質(zhì)得到乙3=

180°-Z1=40°,再判定由平行線的性質(zhì)得到45=Z4=20。，最后根據(jù)平角的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：???等邊AfFG,

：.LEFG=Z-FEG=60°,

作FKIICD,

???，3=180°-zl=40°,

Az4=60。一43=20°,

\'AB\\CD,

：.AB\\FK,

Az5=z4=20°,

Az2=180°-Z5-60°=100°,

故選:D.

【變式23】（2425八年級(jí)下?重慶巴南?期末）如圖，在正方形A8CD的外側(cè)，作等邊三角形CDE,連接力E,

則/4EC的大小為（）

A.60°B.52.5°C.45°D.37.5°

【答案】C

【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，由正方形性質(zhì)得力。=CDSADC=90。，由^CDE

是等邊三角形性質(zhì)得CD=ED,Z-CDE=^CED=60°,進(jìn)而得力。=DE,則NDE4=N。區(qū)4,再根據(jù)三角形

內(nèi)角和定理求出乙。區(qū)4=15。，繼而根據(jù)44EC=MED-ZOEA即可得出答案.

【詳解】解：二?四邊形A8C0是正力?形，

：.AD=CD,"DC=90°,

???ACOE是等邊三角形，

：.CD=ED,乙CDE=Z.CED=60°,

??AD=DE,

：.￡DEA=Z.DEA,

在AADE中，Z.ADE=Z.ADC+Z-CDE=150°,

'：LDEA+Z.DEA+LADE=180°,

：,2LDEA+150°=180°,

：.LDEA=15°,

：.^AEC=Z-CED-4DEA=45°.

故選：C.

【題型3根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證明】

【例3】(2425八年級(jí)下?遼寧本溪?期中)如圖，△48C為等邊三角形，點(diǎn)。為BC延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接力D,

將線段力。繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得到力E,直線”與48交于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)E作EGII力。交力8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

(1)求證：4D=4BAE；

(2)求證：BD=2AF.

【答案】(I)見(jiàn)解析；

⑵見(jiàn)解析.

【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)由等邊三角形的性質(zhì)得乙A8C=60。，再由乙D+NB力。=120。，LEAD=/.BAD+/.BAE=120°,可得

乙D=乙BAE.

(2)先根據(jù)AAS證明△力EG三△DAB,即可得到EG=AB,然后證明△尸EGNAF&4即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)MABC是等邊三角形

4ABe=60°,

vZ.ABD++/.BAD=180°,

:.Z.D+ABAD=120°

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得乙E40=120°

：,LEAD=乙BAD4-LBAE=120°

乙D=Z-BAE.

(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得力E=4D,

???△/IB。是等邊三角形,

:./.ABC=Z.BAC=60°,AB=AC,

???EG||AC

:.LG=Z.BAC=60°

???LG=Z.ABD

???Z.EAG=Z.D,AE=AD

???△AEGmaDAB

:.BD=AGtAB=EG

vAC=AB

:.AC=EG

vZ.EFG=Z.CFA

*'<△FEG=△FCA

:.AF=FG

AG=AF+FG=2AF

BD=AG=2AF

【變式31］如圖，。。是4/IBC的中線，將△ABC沿CD折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，連接BE.若N/DC60。，48=8,

求BE的長(zhǎng).

【答案】4

【分析】本題考查的是折疊變換，等邊三角形的判定與性質(zhì)；解題的關(guān)鍵是利用折疊的性質(zhì),得出△EUE是

等邊三角形.根據(jù)折疊的性質(zhì)可得力0=OE,/.ADC=Z.EDC=60°,根據(jù)點(diǎn)力是的中點(diǎn),得出△BDE是

等邊三角形，據(jù)此即可解得BE的長(zhǎng).

【詳解】解：是△力的中線，AB=8,

/MD=BD=14F=lx8=4,

???△A8C沿CD折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，

：,AD=DE,^.ADC=AEDC=60°,

：.DE=DB,

?:乙BDE=1800-Z,ADC-乙EDC=60°,

是等邊三角形，

???BE=BD=4.

【變式32](2425七年級(jí)下?四川成都?期中)已知：如圖，點(diǎn)E是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且E4=EB,LABC

外一點(diǎn)D滿足BD=AC,BE平分4DBC.

(1)求證：△DBE=△CBE；

(2)求48DE的度數(shù).

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)30°

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、角平分線的定義，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)

并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵.

(1)由等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合題意可得8。=BC,由角平分線的定義可得=利用SAS得出△

DBE=△CBE\

(2)證明三△CBE(SSS),由全等三角形的性質(zhì)結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)可得乙力CE=々8CE=30。，最

后再由全等三角形的性質(zhì)即可得解.

【詳解】(1)證明：為等邊三角形，

：.BC=AC,

'：BD=AC,

：,BD=BC,

〈BE平分乙DBC,

:?乙DBE=乙EBC,

*：BE=BE,

=^CBE(SAS^

（2）解：△ABC為等邊三角形,

：.BC=AC,LACB=60°,

,:CE=CE,EA=EB,

：,LCAE三△CBE（SSS）,

：.LACE=cBCE,

*：LACB=Z.ACE+4BCE=60°,

：.LACE=乙BCE=30°,

,:公DBE三&CBE,

：.LBDE=乙BCE=30°.

【變式33】（2425七年級(jí)上?山東東營(yíng)?期末）【問(wèn)題初探】

如圖1,已知為等邊三角形，點(diǎn)。為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)。不與點(diǎn)8,點(diǎn)C重合）.以力。為邊向右側(cè)作

等邊△/4DE,連接CZ?.

圖1圖2

（1）求證：△ABD^AACEt

（2）猜想并證明①48與CE的位置關(guān)系；②線段EC、AC.CO之間的數(shù)量關(guān)系.

【類比探究】

（3）如圖2,若點(diǎn)。在邊8C的延長(zhǎng)線.匕其它條件不變，隨著動(dòng)點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)位置不同，猜想（2）的兩個(gè)結(jié)

論是否還成立？若成立，說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出正確的結(jié)論，并說(shuō)明理由.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①48IICE；②CE=4C-CD；（3）①4BIICE成立；②不成立，應(yīng)為EC=4C+CD,

見(jiàn)解析

【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)：

（I）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到48=4C,AD=AE,ABAC=LDAE=60°,進(jìn)而得到NB4O=N&4E,根

據(jù)“SAS”即可證明;

（2）由4ABD三4ACE（SAS）得到48=LACE=60°,CE=BD,從而乙BAC=Z-ACE=60°,即可得到4BIICE,

根據(jù)線段的和差可得CE=BD=BC-CD=AC-CD；

(3)同(1)可證△ABDd/ICE(SAS),得到28=Z-ACE=60°,CE=BD,從而Nb4c=Z-ACE=60°,即

可得至必8IICE,根據(jù)線段的和差得到CE=BD=BC+CD=AC+CD,即可解答.

【詳解】(1)證明：???△人員:和△力DE是等邊三角形

：,AB=AC,AD=AE,LBAC=Z.DAE=60°

：.z.BAC-"AC=/.DAE-乙DAC

即/BAD=/.CAE

在A/IBD和△4CE中

(AB=AC

\^BAD=Z.CAE

(AD=AE

：.LABD三△ACE(SAS)

(2)?AB\\CE；②CE=AC-CD.

理由：由(1)WAABD=△/ICF(SAS)

ACE=60°,CE=BD

：.LBAC=LACE=60°

：.AB\\CE

：,CE=BD,AC=BC

：,CE=BD=BC-CD=AC-CD；

(3)①平行成立②不成立，應(yīng)為EC=AC+CD

理由：???△48。和4力0￡是等邊三角形

/.AB=AC,AD=AE,Z.BAC=Z.DAE=60°

*：LBAC=乙DAE

：.LBAC+^DAC=/-DAE+Z-DAC

^LBAD=Z-CAE

在A71BD和△4CE中

\z.BAD=^.CAE

IAD=AE

：.LABD=△/ICE(SAS)

：.LB=LACE=60°,CE=BD

：.LBAC=LACE=60°

：.AB\\CE

?：CE=BD,AC=BC

：,CE=BD=BC+CD=AC+CD.

【題型4證明是等邊三角形】

【例4】（2425八年級(jí)下?河南鄭州?階段練習(xí)）在等腰△ABC中，AB=AC,點(diǎn)。是AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在8D的

延長(zhǎng)線上，目.48=4占，AN平分/&4七.父〃占于點(diǎn)“，連接”二

（2）如圖2,當(dāng)乙48c=60。時(shí)，在BE上取點(diǎn)M,使8M=E",連接力M.求證：ZkA/M是等邊三角形.

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）見(jiàn)解析

【分析】本題考查了全等一:角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵

是拿握相關(guān)知識(shí).

（1）根據(jù)角平分線的定義可得乙氏4尸=4&4F,根據(jù)題意可推出月E=47,證明△ACF三△4EF,即可證明；

（2）由△ACF三△%￡12,結(jié)合題意可推出CF=8M,乙4CF=乙49時(shí)，證明A/WM三△4CF,得到力M=4F,

乙BAM="AF,證明△48c是等邊三角形，得到乙&4C=60°,準(zhǔn)出乙MAF=Z.BAC=60°,結(jié)合AM=AF,

即可證明.

【詳解】（1）證明：???力?平分NCAE,

Z.EAF=Z.CAF

vAB=AC,AB=AE,

AE=AC

AC=AE

在Zi/1CF和△力E尸中，l^CAF=LEAF,

,AF=AF

???△4CF三△力EF(SAS)

EF=CF；

(2)如圖，在BE上截取BM=EF,連接AM,

EF=CF=BM/E=Z.ACF=LABM

在八力8”和44。尸中，

(AB=AC

N4BM=Z.ACF,

(BM=CF

???△A8M￡Zk4CF(SAS),

AM=AF,^BAM二^CAF

'：AB=AC,Z-ABC=60°

??.△ABC是等邊三角形，

???/.BAC=60°,

Z.MAF=Z.MAC+Z-CAF=Z-MAC+4BAM=Z.BAC=60°,

AM=AF

??.△AMF為等邊三角形.

【變式41】(2425八年級(jí)下.陜西咸陽(yáng)?期中)如圖，已知點(diǎn)4、F、E、8在同一條直線上，CE與DF交于點(diǎn)、M,

AE=BF,AC=BD,CE=DF,若乙FME=600,求證：是等邊三角形.

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定，先根據(jù)三邊分別相等的三角形是全等三

角形，MzCE/1=ZDFB,故FM=ME,再結(jié)合有一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊三角形，即可作答.

【詳解】解：*：AE=BF,AC=BD,CE=DF,

:.LACE=△BDF,

：,^CEA=乙DFB,

:,FM=ME,

.:乙FME=60°,

???AM"E是等邊三角形.

【變式42］如圖，在aABC中，LBAC=90°,LC=30°,4。JLBC于D,乙48c的平分線分別交AD,AC于點(diǎn)

F,E,求證：是等邊三角形.

【答案】見(jiàn)解析

【分析】此題考查了等邊三角形的判定、直角三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì).由在△A8C中，^BAC=

90°,AD1BC,易彳導(dǎo)乙BAD=LC=30°,/.CAD=60°,又由BE平分/ABC,LAFE=4ABF+乙BAD,LAEF=

zCSF+zC,即可證得乙4FE=〃EF,繼而證得：△HE廣為等邊三角形.

【詳解】證明：???在△ABC中，ABAC=90°,AD1BC,

Z.BAD+Z.CAD=90°,/.CAD+zC=90°,

:./.BAD=Z.C=30°,Z-CAD=60°,

???EE平分zARC,

:.乙ABF=乙CBE,

vZ.AFE=乙ABF+乙BAD,Z.AEF=Z.CBE+乙C,

???Z.AFE=Z.AEF,

：.AF=AE,

???Z.CAD=60°,

??.△AEF為等邊三角形.

【變式43］（2425八年級(jí)上?陜西渭南?期末）如圖，在△48C中，AB=AC,^ACB>60°,在4c邊上取點(diǎn)D,

連接使80=8C以40為一邊作等邊△ADE,且使點(diǎn)E與點(diǎn)8位于直線4c的同側(cè)，^EAB=2^BAC.

A

(1)求乙/；〃后的度數(shù)；

(2)點(diǎn)尸在力8上，連接尸=BD,請(qǐng)判斷△BOF是否是等邊三角形，并說(shuō)明埋由.

【答案】(1)40。

⑵等邊三角形，理由見(jiàn)解析

【分析】本題考杳等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí).靈活運(yùn)用等邊三角形的判定與性質(zhì)

是解答本題的關(guān)鍵.

(1)利用等邊三角形的性質(zhì)求出/8AC的度數(shù)，然后利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求出

"BC="=乙BDC=80%從而根據(jù)NBDE=180°-LBDC-2ADE求解即可；

(2)利用等腰三角形的性質(zhì)求出NABD=60。，然后根據(jù)DF=B。證明ABD"是等邊三角形即可.

【詳解】(1)解：在等邊AADE中，Z.EAC=/-ADE=60°,

vZ.EAB=2Z.BAC,

:.Z.BAC=20°,

vAB=AC,

???/.ABC=/.ACB=80°,

???BD=BC,

/.BDC=/-ACB=80°,

:.乙BDE=180°-乙BDC-LADE=40°.

(2)解：LBDF是等邊三角形.理由如下：

由(1)可得乙BDC=LACB=80°,

:.Z.CBD=180°-Z,BDC-4ACB=20°,

???Z.ABC=80°,

???乙FBD=Z.ABC-cCBD=60°,

vDF=BD,

是等邊三角形.

【題型5與等邊三角形有關(guān)的折疊問(wèn)題】

【例5】如圖，將等邊△A3c折疊，使得點(diǎn)及恰好落在AC邊上的點(diǎn)。處，折痕為EF,O為折痕后尸上一動(dòng)

點(diǎn),若AO=1,AC=3,△OCO周長(zhǎng)的最小值是.

【分析】如圖，連接3。，0B,由折疊的性質(zhì)可得是8。的對(duì)稱軸，可■得08=0。，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)。，點(diǎn)C

共線時(shí)，△OCO周長(zhǎng)最小值=2+805.

【詳解】解：如圖，連接8。，0B，

???將等邊448c折疊，使得點(diǎn)3恰好落在AC邊上的點(diǎn)。處，

???￡/是8。的對(duì)稱軸，

/.OB=OD,

VXD=1,4c=3,

??CD=2,

△OC。周長(zhǎng)=C/)+OD+OC=2+8O+OC,

工當(dāng)點(diǎn)B、O、C共線時(shí)，△OCD周長(zhǎng)最小值=2+BC=5,

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題考杳了翻折變換，考查了折疊的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練運(yùn)用

折疊的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

【變式51］如圖是一個(gè)等邊△ABC紙片，點(diǎn)石在71C邊上，點(diǎn)尸在力8邊上，沿E尸折疊后使點(diǎn)A落在BC邊上

的點(diǎn)。位置，若此時(shí)482。=80。，則4=

A

【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和等知識(shí)，先由等邊三角形的性質(zhì)可知乙A=

60°,利用/8/0=80。，求出41FE,從而利用三角形的內(nèi)角和求出也就是NDE尸的角度，掌握折置

的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解.：:△ABC是等邊三角形,

???Z.A=60°,

由折疊的性質(zhì)可知：^AFE=/-DFE,乙4E『=zZ)EF,

又?；Z,BFD=80°,

18Q°-￡BFD

：,LAFE=Z.DFE==50%

，乙DEF=Z-AEF=180°-Z.A-LAFE=70°,

故答案為：70°

【變式52］如圖，已知等邊△A8C中，點(diǎn)Q,E分別在邊AB,8c上，把ABDE沿直線翻折，使點(diǎn)8落在

點(diǎn)夕處，DB',E9分別交邊AC于點(diǎn)尸，G.^LADF=80°,則NGEC的度數(shù)為度.

【答案】40

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，得到乙4=乙e==60。，結(jié)合4A/)F=80。，根據(jù)三角形

內(nèi)角和定理，對(duì)頂角的性質(zhì)得乙A/D=4GFB'=40。，根據(jù)/EG。=得NGEC==40°,計(jì)算

即可.

【詳解】?:等邊AABC,△8DE沿直線0E翻折，使點(diǎn)8落在點(diǎn)力處,

Z.A=乙B'=Z.C=60°,

??ZDF=80。，

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，對(duì)頂角的性質(zhì)得

：.LAFD=Z.GFB'=40°,

?:乙EGC=Z-FGB'y

：,LGEC=Z-GFB'=40°,

故答案為：40.

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)用和定理，對(duì)頂角的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

【變式53]如圖，在一個(gè)等邊二角形紙片中取二邊的中點(diǎn)，以虛線為折痕折疊紙片，圖中陰影部分的面積是

整個(gè)圖形面積的.

【答案】;

O

【分析】根據(jù)中點(diǎn)和等邊三角形的性質(zhì)得到AF1BC,S^ABF=S“CF=：SAABC，再求出SARDF=ShADF=

==SA.BC，根據(jù)直角二角形斜邊中線的性質(zhì)和二線合一求出S-DO=S^FDO==^SAABC，從

而根據(jù)S陰影=S&BDF+S^PDO口丁得結(jié)果.

【詳解】解：如圖，分別為中點(diǎn)，A/1BC是等邊三角形，

.,“F1BC,SDABF=SMCF=QSHABC,

???。為4B邊中點(diǎn)，

??S&BDF=S&ADF=]S&ABF=[SAABC，40=BD=DF,

???￡為力C中點(diǎn),

:,D,E關(guān)于”對(duì)稱,

垂直平分OE,

???AO=FO,

??SAADO=S^FDO=3s△.￡)/=gS“BC，

.113

'S陰影=S&BDF+SMDO=Z$M8C+g^A/lBC=QS^ABC，

故答案為：

o

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直常三角形斜邊中線，三角形面積，解題的關(guān)

鍵是掌握基本定理，用邊的關(guān)系找出面積的關(guān)系.

【題型6等邊三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題】

［例6］如圖，等邊△48c的邊長(zhǎng)為4cm,點(diǎn)。是4C的中點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P以2cm/秒的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿4->B->/I

方向運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒，連接PQ.當(dāng)A/PQ是等腰三角形時(shí)，則，的值為秒.

【答案】1或3/3或1

【分析】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定.此題屬于動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，難度適中，注意掌握分類討論思想與數(shù)

形結(jié)合思想的應(yīng)用.

由等邊△/WC的邊長(zhǎng)為4cm,點(diǎn)Q是/1C的中點(diǎn)，可求得AQ的長(zhǎng)，然后4/1=60。，可得△/PQ為等邊三角形,

分析為等邊三角形即可求得答案.

【詳解】解：???等邊△48C的邊長(zhǎng)為4cm,點(diǎn)Q是4C的中點(diǎn)，

:.AQ—34c=2cm,Z.A=60°,

???當(dāng)AAPQ是等腰三角形時(shí)，可得三角形4PQ為等邊三角形,

：,AP=AQ=PQ,

'：AQ=2,

：,AP=2,

???動(dòng)點(diǎn)P的速度為2cm/秒，

???當(dāng)P從AT8時(shí)，￡=2+2=1,當(dāng)P從時(shí)，t=(4+2)+2=3.

故答案為：1或3.

【變式61］如圖，在△ABC中，乙4=90。,NB=30。,4c=6厘米，點(diǎn)。從點(diǎn)A開(kāi)始以1厘米/秒的速度向點(diǎn)C運(yùn)

動(dòng)，點(diǎn)E從點(diǎn)C開(kāi)始以2厘米秒的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，40EC是等邊

三角形.

A

【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒，則AD=tcm,CE=2tcm,則CD=

(6-t)cm,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到CE=CD,則6—t=2t,解方程即可得到答案.

【詳解】解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒，

由題意得，AD=tcm,CE=2tcm,則CD=-40=(6—t)cm

???△DEC是等邊三角形，

:.CE=CD,

.*.6—t=2t?

解得t=2,

J當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2秒時(shí)，△DEC是等邊三角形.

故答案為：2.

【變式62］如圖，等邊三角形48。的邊長(zhǎng)為2cm,電子螞蟻P從點(diǎn)A以1cm/秒的速度沿等邊三角形的邊順時(shí)

針運(yùn)動(dòng)，同時(shí)電子螞蟻Q從點(diǎn)4以5cm/秒的速度沿等邊三角形的邊逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，則電子螞蟻P和Q第2023次

相遇在.

A

【分析】根據(jù)題意可得當(dāng)電子螞蟻P和Q第1次相遇時(shí)，相遇點(diǎn)在AC的中點(diǎn)處，當(dāng)電子螞蟻P和Q第2次相遇

時(shí)，相遇點(diǎn)在點(diǎn)。處，當(dāng)電子螞蟻P和Q第3次相遇時(shí)，相遇點(diǎn)在8c的中點(diǎn)處，當(dāng)電子螞蟻P和Q第4次相

遇時(shí)，相遇點(diǎn)在點(diǎn)8處，當(dāng)電子螞蟻P和Q第5次相遇時(shí)，相遇點(diǎn)在的中點(diǎn)處，當(dāng)電子螞蟻P和Q第6次

相遇時(shí)，相遇點(diǎn)在點(diǎn)A處，當(dāng)電子螞蟻P和Q第7次相遇時(shí)，相遇點(diǎn)在AC的中點(diǎn)處，……，由此可得每六個(gè)

一循環(huán)，即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意得：每間隔1秒，電子螞蟻P和Q相遇，

當(dāng)電子螞蟻尸和Q第1次相遇時(shí)，相遇點(diǎn)在力C的中點(diǎn)處，

當(dāng)電子螞蟻P和Q第2次相遇時(shí)，相遇點(diǎn)在點(diǎn)C處，

當(dāng)電子螞蟻P和Q第3次相遇時(shí)，相遇點(diǎn)在的中點(diǎn)處，

當(dāng)電子螞蟻P和Q第4次相遇時(shí)，相遇點(diǎn)在點(diǎn)B處，

當(dāng)電子螞蟻P和Q第5次相遇時(shí)，相遇點(diǎn)在48的中點(diǎn)處，

當(dāng)電子螞蟻P和Q第6次相遇時(shí)，相遇點(diǎn)在點(diǎn)4處，

當(dāng)電子螞蟻尸和Q第7次相遇時(shí)，相遇點(diǎn)在7IC的中點(diǎn)處，

???每六個(gè)一循環(huán)，

V2023^6=337-l,

???電子螞蟻P和Q第2023次相遇在4c的中點(diǎn)處.

故答案為：AC的中點(diǎn)處

【變式63］（2425八年級(jí)上?浙江臺(tái)州?期末）如圖，在等邊中，點(diǎn)。是BC邊上一點(diǎn)（點(diǎn)。不與端點(diǎn)重

合）.作點(diǎn)。關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)E,連接4E,在射線。力上取一點(diǎn)F,使NEFO=60。，EF與AC所在直線交

于點(diǎn)G.

AA

(1)求證：￡.CAD=^AHG；

(2)若=2,求EG的長(zhǎng);

(3)當(dāng)D在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)?，判斷△4BC,AARD,a/IEG面積之巨的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【答案】(I)證明見(jiàn)解析；

(2)EG的長(zhǎng)為2；

(3)$MBC=2s4ABD+SAAEG，理由見(jiàn)解析：

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等

知識(shí)，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用及正確添加輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

(1)由等邊三角形的性質(zhì)和已知可得NB力C==60。，從而+=NH4F+z4，G,從而得

出/C40=匕AHG；

(2)設(shè)N84E=乙BAD=a,從而得出NE\4G=^BAC+/-BAE=60°+a,Z.FAG=^BAC-/-BAD=60。-a,

從而得出

Z.AGF=180°-/.AFG-"AG=180°-60°-(60°-a)=60°+a,進(jìn)而得出N￡;4G=/.AGF,進(jìn)一步得出

結(jié)果；

(3)在8c上截取CQ=8D,設(shè)=可證得△△力CQ,從而得出4。4Q==%,

AD=AQ,可證得乙/lEG=/￡MQ=60。一2%,從而得出△EAG三△2DQ,進(jìn)一步得出結(jié)果.

【詳解】(1)證明：???△ABC是等邊三角形，

J.LBAC=60°,

VZ.EFD=60。，

：./.BAC=乙EFD,

：,LHAF+Z.CAD=Z.HAF+匕AHG,

：.LCAD=^AHGx

(2)解：???點(diǎn)。關(guān)于直線88的對(duì)稱點(diǎn)E,

:.AE—AD=2,Z.BAE=Z.BAD>

設(shè)，8/E=/.BAD=a,

：,LEAG=乙BAC+LBAE=60°+a,LFAG=LBAC-乙BAD=60°-a,

：.LAGF=1800-LAFG-/.FAG=180°-60°-(60°-a)=60°+a,

：.LEAG=Z.AGF,

：.EG=AE=2,

???EG的長(zhǎng)為2；

(3)解：SMBC=2s+ShAEG,理由如下,

如圖，在BC上截取CQ=8D,'&LBAE=/.BAD=x,

：.LABD工A4CQ(SAS),

**^^ABD=S^ACQ*4CAQ=/.BAD=x,AD=AQ?

：,LDAQ=60°-2x,

同(2)理得N￡;4G=N/G產(chǎn)=60。+工.

：.LAEG=180°-2(60°+a)=60°-2x,

J.LAEG=乙DAQ,

'：AE=AD=EG=AQ,

：.AEAG三△ADQ(SAS),

??SAAEG=S^ADQ，

??SAABC=SdBAD+ShACQ+S&ADQ=2S&ABD+^bAEG?

【題型7等邊三角形中的多結(jié)論問(wèn)題】

【例7】如圖，已知等邊△A8C,43=2,點(diǎn)。在48上，點(diǎn)廠在4c的延長(zhǎng)線上，BD=CF,DE工BC于E,

FG1BC于G,DF交BC于點(diǎn)、P,則以下結(jié)論：①BE=CG；②4EDP三GFP；③乙EDP=60°；④EP=1中,

一定正確的是（）

A

A.①③B.@@C.①②③D.①②④

【答案】D

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明三角形全等.

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以得出ABOE三△CFG,得BE=CG,DE=FG,可用AAS得△EOP三AG/T,得出

PE=PG,根據(jù)邊之間的關(guān)系即可得EP=1,綜上，即可得.

【詳解】解：???△A8C是等邊三角形，

=AC=BC,￡.A=Z.B=Z.ACB=60°.

?：LACB=Z.GCF,DE1BC,FGIBC,

：.LDEB=乙FGC=乙DEP=90°.

&LDEB^^FGC^p,

(LDEB=Z.FGC

LB=LGCF,

(BD=CF

：.ADEBWAFGC(AAS),

:,BE=CG,DE=FG,故①正確；

在ADEP和△FGP中，

(/LDEP=LFGP

ZDPF=乙FPG,

(DE=FG

???ADEPw△rGP(AAS),故②正確;

；,EP=PG,

△EDP不一定等于60。，當(dāng)PO_L/1B時(shí)，Z.EDP=60°,故③錯(cuò)誤；

*：PG=PC+CG,

:.PE=PC+BE,

\'PE+PC+BE=2,

???PE=1.故④正確.

正確的有①②④,

故選：D.

【變式71］（2425八年級(jí)下.江西撫州?期中）己知，如圖，△A8C是等邊三角形，AE=CD,即140于。，

BE交于點(diǎn)P,下列說(shuō)法：①乙4PE="，?BQ=AQ,@BP=2PQ,@BA=AE+BDf其中正確的是

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

【答案】C

【分析】本題考查J'等邊二角形的性質(zhì)和全等二角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)等邊二角形的性質(zhì)證明

△ABE=△CAD,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)逐個(gè)判斷即可.

【詳解】解：是等邊三角形，

：,AB=AC,Z-CAB=乙ACB=60°,

'：AE=CD,

??AABE=△CAD?

：,LABE=4。力c,

：,LAPE=4ABE+乙BAD=Z-CAD+Z-BAD=乙BAC=60°,

：.LAPE=ZC,①正確：

J.LAPE=乙BPQ=60°,

■:BQ1AD,

：,LBQP=90°,/.PBQ=30°,

：.BP=2PQ,③正確；

*：AB=BC,AE=CD.

：,BA=AE+BD,④正確；

只有當(dāng)4/MQ=45。時(shí)，BQ=AQ,②不一定正確；

故選：C.

【變式72】（2425八年級(jí)上?北京海淀?期中）如圖，對(duì)于△4BC,若存在點(diǎn)D,E,F分別在AB,BC,47上，使得

匕1=42,匕3=44,△5=乙6,則稱為△718。的“反射三角形”.下列關(guān)于?“反射三角形''的說(shuō)法中，①

若A48。的“反射三角形”存在，KU4BC必為銳角三角形：②等邊三角形的“反射三角形”必為等邊三角形;

③直角三角形的“反射三角形”必為直