第04講空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

國練基礎(chǔ)

一、單選題

1.如圖所示，若正方體ABC。-A片GA的棱長為小體對角線AG與8R相交于點(diǎn)o,則

有（）.

222

A.484￡=2片B.ABACqCaC.AB-AO=-aD.BCDAi=a

2

【答案】c

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系.利用向最坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)最積運(yùn)算性質(zhì)即可判斷出結(jié)論.

【詳解】如圖所示，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以7）4、DC、OR分別為X、5、Z建立空間直角

坐標(biāo)系：

由上圖以及已知條件可知，0(0,0,0),A(a,0,0),即,a,0),Ai(a,0,a),0(0,a,

a),C(0,a,°),°修多3

因?yàn)榘?=(0，a，0),4G=(-a,a,0),AB=a2,故人錯(cuò)誤;

因?yàn)锳C；=（-。，a,a）,所以A6AG=/,故B錯(cuò)誤；

因?yàn)锳O=（—R1￡）,所以A8.A0=C,故c正確；

\222J2

因?yàn)?c=（-a，0,0）,必=5，0,a）,所以8CD4,=-/,故D錯(cuò)誤.

故選：C.

2.已知向量。=（3,-1,2）,U（-l,3,-2）,c=（6,2,A）,若a，b，c三向量共面，則實(shí)數(shù)2=

（）

35

A.-B.2C.-D.3

22

【答案】B

【分析】根據(jù)共面向量定理列等式，解方程即可.

【詳解】???￡,b＞）三向量共面，

，存在實(shí)數(shù)〃?，〃，使得c=ma+，而，即（6,2,丸）=（3〃7,-〃?,2"7）+（-〃,3〃,一2〃），

3m-/?=6

53

/.3n-in=2,解得m=二，?=—,A=2.

22

2ni-2/2=A

故選：B.

3.如圖，在平行六面體ABC。-ABC"中，E,產(chǎn)分別在棱和。"上，且。尸=；。。一

1BE

i^EF=xAB+yAD+zAAif若x+），+z=；,則麗=（）

【答案】B

【分析】設(shè)器=%，由空間向量的線性運(yùn)算可得￡〃=-AB+AO+（；-/l）M，由空間向

量基本定理即可求解.

BE、——————一

【詳解】設(shè)麗二%，因?yàn)槠摺?仍+孫+4。+。產(chǎn)=一/154一48+4。+3。。］

=—/MA-A8+AQ+gA4=一"+80+仁一/A%,

所以工=-1,y=i,z=；-2.

因?yàn)閤+y+z=7—2=:，所以4="7.故選：8.

244

4.在我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的棱柱

稱為塹堵.已知在塹堵A8C-AqG中，ABC=90,A4=2,BC=2日若直線CR與

直線他所成角為60,則AA=()

A.73B.2C.272D.2>/3

【答案】B

【分析】以8為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量方法求出CA和A8夾角余弦值即可求

出A豎坐標(biāo)，從而得到答案.

【詳解】如圖，以用為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則8（0,0,0）,A（2,0,0）,C（0,2>/2,0）,設(shè)A（2,0,z）,

則班二（2,0,0）,CA=（2-2x/2,z）,

cos（BA,C4,，=——j2=cos60,

解得z=2,故4A=?.改選：B.

二、填空題

5.如圖所示，在四棱錐P/8CQ中，AB//CD,且NA1P=NC￡>P=9O。，若

PA=PD=AB=DC,4尸0=90。，則二面角A-P8-C的余弦值為.

［和：C冬一冬=0,可取局=（w）

則"S/U"尸\而n?mf-7Ts，

由圖可知二面角A-PB-C的平面角為鈍角，

所以二面角A—9一。的余弦值為-立.

3

故答案為：-立.

3

6.下列結(jié)論中，正確的序號是.

①若a、b、c共面，則存在實(shí)數(shù)x、y,使得4=人力+yc；

②若a、b、2不共面，則不存在實(shí)數(shù)X、卜使得a=x〃+yc；

③若〃、b、c共面，匕、c不共線，則存在實(shí)數(shù)X、使得a=x"+），c；

④若a=人力+yc,則〃、b、c共面.

【答案】②③④

【分析】根據(jù)共面向量的基本定理逐一判斷即可.

【詳解】對于①，若5，2共線，且〃，方不共線，

則不存在實(shí)數(shù)x,y,使a=xb+yc,故①錯(cuò)誤；

由共面向量的基本定理可知②、③、④均正確，

故正確的個(gè)數(shù)是②③④.

故答案為：②③④.

三、解答題

7.如圖，在三棱柱ABC-A4G中，4Al?平面4BC,A4_LAC,A8=AC=A4,=1,M為線段

AG上的一點(diǎn).

(1)求證：BM±AB.；

⑵若M為線段AG上的中點(diǎn)，求直線A31與平面BCM所成角大小.

【答案】⑴證明見解析，⑵:

4

【分析】(1)由題意可得A8，AC,AA兩兩垂直，所以以A為原點(diǎn)，分別以A8,AC,AA所在

的直線為xy，z建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明即可，

(2)先求出平面8cM的法向量，然后利用空間向量的夾角公式求解即可.

(1)

證明：因?yàn)?，平面ABC,A8,4Cu平面48C,

所以A411A及例_LAC,

因?yàn)锳8J.4C,所以AB,AC,A4,兩兩垂直,

所以以A為原點(diǎn)，分別以A6,ACAA所在的直線為建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,

則A(O,O,O),B(1,O,O),C(O,1,O)，A(O,O,1),3?,O,1)，G(OJ1).

設(shè)M(O,a,D,

所以8M=(-1,?1),AB}=(1,0,1),

所以?做=-14-0+1=0,

所以8M_LA4,

所以

(2)

因?yàn)镸為線段AG上的中點(diǎn)，所以

所以8W=(—BC=(-l,10),

設(shè)平面BCM的法向量為ni=(x,y,z),則

rn-BM=-x+—y+z=0/."1、

<2，令x=l,則tl機(jī)=

wBC=-.r+y=0I2)

設(shè)直線4片與平面8cM所成角為巴則

sin0=8s(，"="72=①

因?yàn)橄?.仁］所以夕=?,

所以直線叫與平10cM所成角的大小%

8.如圖，已知圓錐的頂點(diǎn)為P,點(diǎn)C是圓。上一點(diǎn)，N8OC=45,A4=2OP=4,點(diǎn)D是

劣弧4c上的一點(diǎn)，平面PC/）平面PW=/,且/〃A&

（2）求點(diǎn)。到平面PC。的距離.

【答案】（1）證明見解析⑵空

3

【分析】（1）由線面平行的判定和性質(zhì)，推得A8〃CD,再由NBOC=45。和圓的對稱性，

求出相關(guān)的角的大小，即可得證；

（2）建立空間宜.角坐標(biāo)系，求出平面PCD的法向量，利用點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算可得所

求值.

（1）

證明：因?yàn)?〃A及/u平面PCZXA8（Z平面PCQ,

所以A8J平面PCD

因?yàn)锳8i平面ABC。，且平面ABC。1平面PCD=CD,

所以/W〃CD

因?yàn)镹8OC=45"，所以/30。=/08=/0。。=45,

所以NOOC=90,即OC_LOD.

(2)

解：如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)DOCOP的方向分別為MFZ軸的正方向，建立空間直角

坐標(biāo)系O-冷2,如圖所示：

則。(020),0(2,0,0),P(0,0,2),PC=(0,2,—2),P￡)=(2,0,—2),OC=(0,2,0).

設(shè)平面PCD的法向員為n=(乂)，,z),

h-PC=2y-2z=0,/、

則令二=1,得“=(1,1,1).

nPD=2x-2z=0,

OCn二2二G

因?yàn)閏os(OC,〃

OC||n|~2x>/3-3

所以點(diǎn)。到平面PCD的距離為|OC|cos(0C,〃卜平?

9.如圖所示，已知空間四邊形A8CO的每條邊和對角線長都等于1,點(diǎn)E,F,G分別是

A4,ADfCZ)的中點(diǎn).設(shè)A3=a，AC=h?AD=c.

(I)求證石G_L/13

(2)求異面直線AG和CE所成角的余弦值.

【答案】(1)證明過程見解析；

*

【分析】(1)作出輔助線，利用三線合?證明出從而得到線面垂直，進(jìn)

而證明線線垂直；

(2)用a,b,c表達(dá)人G與EC，利用空間向量夾角公式求解異面直線AG和CE所成角的余弦

值.

(1)

證明：連接DE,

因?yàn)榭臻g四邊形44co的每條邊和對角線長都等于1,且E,G分別是A8,C。的中點(diǎn)，

所以AC=3C,4O=AO,

故CE_LAAQE_L4?,

又因?yàn)镃EDE=E,CE,OEu平面。E,

所以AA_L平面CD￡,

因?yàn)镋Gu平面CQE,

所以A81.EG.

(2)

由題意得：！ABC：.ACDJA4。均為等邊三角形且邊長為1,

所以AG=EC=^

2

AG=g僅+c),￡C=g(BC+AC)=：(AC-A4+AC)=〃-；〃,

所以AG?EC=—(/?+€)?/?-—=—/?--ab+—cb--ac

2^f{2)2424

=---p/|?|/?|cos60°+；|(?|?|/?|cos600--pz|?卜cos60°

2424

11x11_1

-2-8+4-8-2J

設(shè)異面直線AG和CE所成角為0,

1

—2—^1

663

——x——

22

10.如圖，在四棱柱48CD-中，44_1平面48。。，底面A8C。滿足4D//8C,且

⑴求證：8。//平面4cR；

(2)求直線AB與平面B}CD}所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵修

6

【分析】C)由四楂柱的性質(zhì)得到四邊形是平行四邊形.得到故證明出

線面平行；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解線面角.

(1)

證明：在四棱柱48CQ-A隹CQ中，BB\〃DD\,故四邊形BBQ。是平行四邊形

所以B?！ㄓ肦,

因?yàn)槠矫媾cCR,BRU平面BCR,

所以8?！ㄆ矫?cA

(2)

因?yàn)锳4,_L平面ABC。，AB,AOu平面A8C。，

所以"_LA8,A4,_LA。，

因?yàn)锳3=AO=2,8D=2五所以+4。？=AD?，

所以ABJ_AO,

故A6,ARAV兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以A及ADA4,為人軸，y軸,z軸建立空間直角

坐標(biāo)系,

則A(O.O.O).^(2.0.0),C(Z4.0X與(2.0.2),R(0,2.2)

所以48=(2,0,0),B[C=(0.4,-2),4D)=(一2,2,0)

設(shè)平面B\C。的法向量為八=（x,y,z）

nB.C=04y-2z=0

—即《)。令1則y=l,z=2,.n。[,2)

=oS+2=

設(shè)直線A3與平面BCR所成角為0,

?—9.研湍#1品邛?

所以直線A8與平面8c。所成角的正弦值是在.

國練提升

一、單選題

I.在棱長為1的正方體ABCD-A/B/C/Q中，尸為正方體內(nèi)一動點(diǎn)（包括表面），若4P=x.

+.VAQ+Z4A，且OVxVyVzVl.則點(diǎn)尸所有可能的位置所構(gòu)成的幾何體的體積是（）

A.1B.；C.-D.—

236

【答案】D

【分析】利用平面線性規(guī)劃的方法，我們類比推理.，可得若0VXVJY1,則P點(diǎn)只能再現(xiàn)

在三棱柱ACO-AGD中.若"Z<1,則尸點(diǎn)只能再現(xiàn)在三棱柱84G中，進(jìn)而確

定出滿足條件的尸點(diǎn)只能再現(xiàn)在三棱徘4-AGA中，代入棱錐體積公式，即可得到答案.

【詳解】解：若0<x<y〈i,則尸點(diǎn)只能再現(xiàn)在三棱柱4co-ACA中，

若kZ<1,則P點(diǎn)只能再現(xiàn)在三棱柱A4Q-因C中，

又三棱錐A-ACQ的體積v=94xixi)=J.

32o

故選：D.

2.如圖，在直三棱柱ABC-ABC中，A8_L8C,8A=8C=84=2,3AE=AC,點(diǎn)尸在棱CQ

上，點(diǎn)。在棱A片上.若8b_1_。七，則6=()

I93

A.JB.jC.1D.-

【答案】B

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可得.

【詳解】以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以8A3c64所在直線為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系，則3(0,0,0),展.0.

設(shè)。(〃?,0,2)(噫紅2),尸(0,2,〃)(怎加2),"=(0,2,2).

因?yàn)?尸_1_/汨，

一4?2

所以B尸?式＞=一一+2/7=0,解得〃=二，即。/=二.

333

故選：B

3.有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊

形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，

這是一個(gè)棱數(shù)為24,棱長為近的半正多面體，它的所芍頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上,

可以看成是由一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體所得.若點(diǎn)石為線段8C上的動點(diǎn)，則直線

OE與直線/1F所成角的余弦值的取值范圍為()

【答案】C

【分析】將半正多面體補(bǔ)成正方體并建立空間直角坐標(biāo)系，確定相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)

6后=2以7=(-440),/1目0,1],利用向量夾角的坐標(biāo)表示及二次函數(shù)性質(zhì)求所成角的余弦

值的取值范圍.

【詳解】將半正多面體補(bǔ)成正方體，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

z

因?yàn)榘胝嗝骟w的棱長為故正方體的棱長為2.

所以A(2L0),尸口2,1),B(l,O,2),C(O,l,2),D(l,2,2),AF=(O,l,l),BC=(-lJ,O).

設(shè)BE=/IBC=(-Z40),2G[0.I],則石(1-442),?！?(一九％-2,0).

所以cos（AF,O￡）=AFDE_A2

|AF||Z)E|~V27A2+(A-2)2

=-lI(—2—=111

2

2^(2-2)+2(/l-2)4-221+22.

X1^2(02)2

令/=―!—e_1,一!，則costA/^OE)=.=

4-2L2」''2y]2r+2t+\

因?yàn)?-十2i十l￡g,l

「16

故直線OE與直線所所成角的余弦值的取值范圍為

故選：C

4.如圖，在四棱錐P-A8C￡）中，?A_L平面A8CO,ZBAD=90°,PA=AB=BC=-AD=1,

2

BC//AD,已知。是四邊形ABC。內(nèi)部一點(diǎn)（包括邊界），旦二面角Q-PD-A的平面角大

小為￡,則△AOQ面積的取值范圍是（）

4

p

【答案】B

【分析]建立空間宜角坐標(biāo)系，利用向量求得Q運(yùn)動軌跡，進(jìn)而求得△AR2面積的取值范

圍

【詳解】以4為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

由二面角。-9-A的平面角大小為工，可知。的軌跡是過點(diǎn)D的?條直線，

4

又。是四邊形48CD內(nèi)部一點(diǎn)（包括邊界），則Q的軌跡是過點(diǎn)D的一條線段.

設(shè)Q的軌跡與），軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為G（0,加0）。＞0），由題意可知＞4（0,0,0）,D（2,0,0）,*0,0,1）,

ULM113

所以O(shè)P=（-2,0,1）,DG=（—2也0）,AQ=（2,0,0）.

易知平面4P。的一個(gè)法向量為4=（0,LO）,

設(shè)平面PDG的法向量為也=（W，/2，Z2），

,.fn,-DP=0[-2%，4-z=0

則4"，即42,

|/22DG=O[-2/+分2=0

令4=2,得”1,必=|，所以［=1，Q）是平面尸DG的.個(gè)法向量,

則二面角G-叨-八的平面角的余弦值為

V2

解得力;之叵或力=_述（舍去），

55

所以。在。G上運(yùn)動，所以△AOQ面積的取值范圍為［，平］故選：B.

二、填空題

5.化學(xué)中，晶體是由大量微觀物質(zhì)單位（原子、離子、分子等）按一定規(guī)則有序排列的結(jié)

構(gòu).構(gòu)成晶體的最基本的幾何單元稱為晶胞.已知鈣、欽、氧可以形成如圖所示的立方體晶

胞（其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在頂點(diǎn)位置，O原子位于棱的中點(diǎn)），則圖中

原子連線4F與eE所成角的余弦值為

【分析】構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，確定相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)并求BF、gE的坐標(biāo)，利用空間向量夾角

的坐標(biāo)表示求BF與8g所成角的余弦值.

【詳解】如圖示，以。為原點(diǎn)，OA,DC,所在直線分別為x,y,z軸，建匯空間直

角坐標(biāo)系，

設(shè)立方體的棱長為〃，則8("0),尸(Oga)BNa,a,a),

???8尸二卜/一號〃}B/=(()V，o}

2

.3B/BE―Bi:J

’H時(shí)/不再飛，

，原子連線BF與用七所成角的余弦值為g.

故答案為：!

6.正多面體也稱柏拉圖立體，被譽(yù)為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，是所有面都只由一種正多邊形

構(gòu)成的多面體(各面都是全等的正多邊形).數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，

即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.已知一個(gè)正八面體48CQEF

的梭長都是2(如圖)，尸，。分別為極A6,AD的中點(diǎn)，貝l」CP/Q=.

【答案】1

【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量的?個(gè)基底表示CP,/Q,再利用數(shù)量積運(yùn)算律計(jì)算

作答.

【詳解】正八面體ABCQE/中，CAC6,。。不共面，而RQ分別為極A8,4。的中點(diǎn)，

有C4CO=G4C8=|C4||C8|cos60=2,CBCO=0，則CP=；CA+1C8,

--1.

FQ=FC+CD+-DA=EA+CD+-(CA-CD)=CA-CB-CD+CD

1--3--1

+-(CA-CD)=-CA-CB——CD,

222

CPFQ=(-CA+-CB)(-CA-CI3--CD)=-C^--CB+-CACB--CACD--CBCD

222242444

=-X22--X22=1.

42

故答案為：1

三、解答題

7.如圖所示，在四棱錐尸-人BCD中，24_1底面人8。。，45,4),AB+AD=4,CD=母,

ZCZM=45°.

(I)求證：平面平面Q4。；

(2)設(shè)A8=AP,直線qB月平面PCQ所成的角為30。，求線段AB的長.

4

【答案】(1)證明見解析(2)A3

【分析】(1)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)與判定證明AZ>_L'F面尸/包即可；

(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)A4=AP=/(O</<4),再根據(jù)直線與平

面尸CD所成的角為30°,結(jié)合線面角的向量求法求解即可.

(1)

因?yàn)?_1_底面48。。，AOu平面ABCD,故必_L4O,又AB_LAD,PAAB=A,PA,ABu

平面￡45,故AD_L平面弘

又AOu平面Q4￡>，故平面E4Z)_L平面E4B

作CEJ_AD于E,因?yàn)镃D=X/5，NCD4=45°,故。七=VLCOS450=1.

由(1)可得ARAB,A。兩兩互相垂直，故以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)

AB=AP=f(O<f<4),依題意有B(Z,O,O),尸(0,0/),E(0,3-/,0),C(l,3-/,0),

UUlUIU

D(0,4-/,0),故P4=(/,0,T),CD=(-1J,O),PQ=(0,4T,T).

設(shè)平而PCD的一個(gè)法向量為〃=(HRz),

n-CD-0-x+y=0

則1Jl（4-；）y-/z=0設(shè)x=f貝!|刀=（，",4T）,

n-PD=0

n-PB2r-4ri,

由8s60OU-P_=>/I_1I—=:，即4（2/—4）=2/（3/—81+16）,收

聞PB/+/+（4T）2.仔2V7V）

A4

2（2—4）-9=3/—8/+16,即5/-24f+16=0,解得f=g或/=4（舍去）.所以48=三.

JJ

8.如圖.在四棱錐P-/WC7）中.底面ABC。為平行四邊形,以I平面包/?。。.M為PC中

點(diǎn).

（1）求證：抬〃平面M8D：

（2）^AB=AD=PA=2,ZBAD=\20%求二面角8-4M-。的正弦值.

【答案】（1）證明見解析⑵亞

7

【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理，結(jié)合中位線的性質(zhì)，可得答案；

（2）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，得到對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求的兩平面的法向量，由向量

夾角的計(jì)算公式，可得答案.

（1）連接AC交8。于點(diǎn)0,連接0M,可知。為AC中點(diǎn)，"為PC中點(diǎn)，所以0M〃以，

且OMu平面PA0平面MBD,所以附〃平面歷BD

(2)由題意可得平行四邊形ABC。為菱形，建立如圖坐標(biāo)系，如下圖:

在菱形ABCQ,AH=AI)=2fZ/M/>!20°,:.AC=2、0B=6

所以：B(x/3,0,0),C(0,l,0),D(-^,0,0),A(O,-1,O),M(O,O,1)

所以8A=(-后-1,0),BM=(-x/3,0,l),。4=(6-1,0),威=(60,1),

>/3x-y=0y=-y/3x

設(shè)平面MBA的法向量而=(x,y,z),則，信得

"瓜x'

)'=一￡則面MM的法向量〃?=(1,-6,6),

令x=l,則

z=v3

同理可得：平面MD4的法向量〃=(1,6-G),

所以8s5/川、=i麗n?ft=京1-3"-=3一15所以sin〈〃?,〃)=平n/Z

故二面角5-AM-O的正弦值為生5.

7

9.如圖所示，多面體A3CDEV中，AO〃E/〃8C,平面4)M_L平面8CE/"ADA.EC,

且A￡)=CL>=2,CB=EF=\,/BCD」.

3

DA

(1)證明：BFA.DE；

Q)若FB=?,求直線OC與平面A3”所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)好.

10

【分析】⑴由題意可得四邊形EFBC為平行四邊形，利用即〃￡C,由AD//EF,AD1EC,

可得8尸JLEF,平面4無產(chǎn)JL平面BCM,得8/JL平面AOE尸，即可證明所_LZ)￡.

(2)由題意可證明故771FE，陽兩兩垂直，建立坐標(biāo)系，利用空間向顯求解即可.

(1)

證明：???石尸〃8。且所=8。，所以四邊形由。為平行四邊形，

所以BF〃EC,

又AO〃E廠，AD1EC,

BF工EF,

又平面4)所J_平面BCEF,且平面ADEFi|平面BCEF=EF,

工BF1平面ADEF,DEu,PifilADEF,

FBIDE.

(2)

解：連接80.DF，

7T

因?yàn)镃D=2CB=2,ZBCD=-,

所以4O=G，

又CD'CB'BD?,所以BC上BD,

因?yàn)锽C_L8b,WBD\}BF=B,

所以8C_L平面8H)，

因?yàn)樯狻?C,所以'L平面8E￡),

又因?yàn)開L平面ADEF,

所以反)_Lm,

故FD,FE,尸8兩兩垂直，

因?yàn)?FR=人,所以尸￡)=1.

如圖所示建系，“(0,0,0),>4(-2,0,1),B(0,V2,0),C(l,V2,0),。(0,0,1),

DC=(l,5/2,-l),M=(-2,0J),FB=(0,V2,0),

設(shè)平面八3廠的法向量為〃=(x,y,z),

+z=0

取〃=。,0,2),

U=0

直線。C與平面/所成角正弦值為:

10.如圖，在四棱錐P—/SC。中，底面48co為菱形，^DCB=60.ABLPB.

(1)證明：為等腰三角形.

⑵若平面雙，平面48四48=2,求二面角A-心-。的余弦值的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析(2(-1,一￡|

【分析】(1)取。C的中點(diǎn)E，連接PE,8E,B。，由題意可得8E_LOC,C0_LP8,根據(jù)

線面垂直的判定定理可得。CJ■平面夕初，再由線面垂直的性質(zhì)定理可得答案；

(2)設(shè)尸E=/">0),以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以EB,EC,EP所在直線為x,y,z軸建立空間直

角坐標(biāo)系，求出平面R$、平面P8C的法向量，由二面角的向量求法和x的范圍可得答案.

（1）

如圖，取。C的中點(diǎn)E,連接PE,BE,BD,

因?yàn)樗倪呅蜛8c。為菱形，ZDCZ?=60%所以△BCD為等邊三角形，則8E_LOC,

因?yàn)樗訡QJ.P3.

因?yàn)镻8BE=B,PB、BEu平面PEB,

所以。C_L平面尸￡8,尸Eu平面莊8，所以。CJ?尸E,

故△PDC為等腰三角形；

（2）

設(shè)PE=?經(jīng)0）,以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以EAECEP所在直線為MFZ軸建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系，則/（0,0/）,A（6-2,0）,3（G0,0）,C（0J,0）,

>4fi=(0,2,0),BP=(-V3,Ci/),BC=(->/3J,0),

mBP=0-\/3x+/z=0

設(shè)平面尸AB的法向量為〃?=（x,y,z）,則?

m-AB=02y=0

令x=5則機(jī)=瓜o；

-VJx*+廳=0

設(shè)平面P8C的法向量為〃=（E設(shè)z）,則〃

n-BC=0-V3/+y=o

二面角的人小等于二面角A-P/S—七與二面角的人小之和,

因?yàn)槎娼菫橹苯?，所以二面?一尸8-。為鈍角，

故二面角A-PB-C的余弦值的取值范圍為.

11.如圖多面體A3。。律中，四邊形A8CD是菱形，ZABC=60°,￡4_L平面ABC。，EA//BF,

AB=AE=2BF=2

(I)證明：平面E4CJ■平面￡/C；

⑵在棱EC上有一點(diǎn)M,使得平面M8D與平面A8CO的夾角為45。，求點(diǎn)M到平面3c尸的

距離.

【答案】(1)證明見解析⑵且

4

【分析】(1)取EC的中點(diǎn)G,連接80交AC于N,連接GN,G/7,證明G產(chǎn)〃8N,利用BN_L

平面以C,證明GFJ■平面E4C,從而平面EFCJL平面以C；

(2)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)EM=2EC，求出二面角，再求得義的值，即可得到M的坐

標(biāo)，再利用空間向量法求出點(diǎn)到面的距離.

(1)

證明：取EC的中點(diǎn)G,連接8。交AC『N,連接GN,GF,

因?yàn)锳BC。是菱形，所以ACJL3D,且N是AC的中點(diǎn)，

所以G/W/AE且=XAE//BF,AE=2BF=2,

所以GNHBF且GN=陰"所以四邊形BNGF是平行四邊形，

所以GF/1BN,

又E4_L平面A8CQ,BNu平面A8CQ,所以E4_L8N,

又因?yàn)锳C'|E4=A,AC,￡4u平面E4C,

所以N8_L平面"C,所以GF_L平面"C,

又GFu平面EFC,所以平面EFCJ?平面E4C；

(2)

解：取CD的中點(diǎn)〃，由四邊形48co是菱形，ZABC=60°,則N4DC=60。,

AQC是正三角形，.?.47_LCO,.d""LAB,乂4T_L平面A8CO.

所以以A為原點(diǎn)，A”,AB,AE為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)在棱EC卜.存在點(diǎn)M使得平面M8O與平面A8CO的夾角為45。，

則。(G,-叫，5(0,2,0),C(瓜1,0),E(0,0,2),F(0,2,1),A((),(),0),

貝IJ設(shè)￡M=4EC=/l(8J—2：|=(石九尢一2%),.,.M(&./l,2—24，

所以0M=(75/1—6+1.2-2/i),6例=(75兒4-2,2—22),Z?C-(>/5,-1,0),=(0,0,1),

設(shè)平面D8W的?個(gè)法向晝?yōu)椤?。，y，z),

n-DM=0(&-石)x+(%+l)y+(2-2%)z=0

即《令x=6y=i,

nBM=0&x+(2-2)y+(2-2Z)z=0

得〃=(可得)

平面A8CD的法向量可以為〃7=(0,0,1),

2%-1

繇下語「多解得4T

所以M(苧則CM1-曰,

設(shè)平面反才的一個(gè)法向量為〃=(〃力,C),

it-BC=O6"b=0,取〃=],得“=（],△（））,

則-,即

u-BF=Oc=0

\U-CM\J3

所以點(diǎn)M到平面BCF的距離d=^-rr^=^-.

H4

國練真題

一、解答題

1.（2022?天津?高考真題）直三棱柱ABC-A4G中，A4,=A8=AC=2,A4,_LAB,AC1AB,

。為A片的中點(diǎn)，石為AA的中點(diǎn)，尸為。的中點(diǎn).

⑴求證：律〃平面43C；

⑵求直線的與平面CG。所成角的正弦值;

⑶求平面4C。與平面CC.D所成二面角的余弦值.

（解析】（I）證明：在直三棱柱ABC—A4G中，AAJ?平面44G，且AC_LA8,則AG，44

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AA、4瓦、AG所在直線分別為上、5\z軸建立如下圖所示的空間

則A（2,0,0）、8（2,2,。）、C（2,0,2）、4（0,0,0）、鳥（0,0,2）、C,（0,0,2）,O（OJO）、E（l,0,0）、

（I,；,）則￡戶=（0,：,1）,

2

易知平面ARC的一個(gè)法向依為m=（1.0,0）,則E尸.〃?=（）.故后/_!_〃?，

?.所a平面ABC,故EF〃平面48c.

(2)

解：C,C=(2,0.0),CQ=(0,l,-2),班=(1,2,0),

設(shè)平面CG。的法向量為“=(和y,zj,則〃?二=2升；0

[U'C}D=y]-2zj=0

iEBu4

取y=2,可得”=(0,2,1),c°s<EB,〃>=^pp=k.

因此，直線跖與平面CG。夾角的正弦值為

(3)

解：*=(2,0,2),人。=(0,1,0),

v-A^C=2X+2Z=0

設(shè)平面4C。的法向最為>=(&,%,zj,則,22

v-A,D=y2=0

uv1\/u)

取Xg,可得X(U)I),則cos—麗“行一而，

因此，平面AC。與平面CCQ夾角的余弦值為巫.

10

2.(2022?全國?高考真題(理))如圖，四面體ABCD中，AO_LCD,AD=CD,ZADB=NBDC,

E為AC的中點(diǎn).

A

(1)證明：平面BED_L平面AC。；

(2)設(shè)AB=BD=2,NAC8=60。，點(diǎn)?在8。上，當(dāng)△APC的面積最小時(shí)，求C尸與平面人也

所成的角的正弦值.

【解析】(1)因?yàn)锳O=CD,E為AC的中點(diǎn)，所以ACLDE；

在△48。和，CBO中，因?yàn)锳D=CD,ZADB=/CDB,DB=DB,

所以△ABZ注△C8。，所以4B=C8,又因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以AC_L3石；

乂因?yàn)?。E.AEu平面BED,DECBE=E,所以ACL平面BED.

因?yàn)锳Cu平面ACD,所以平面陰”>_L平面ACD.

（2）

連接石/，由（1）知，ACJ?平面8EO,因?yàn)樗鵸平面8EO,

所以4CJ.砂，所以工布日斗^防，

當(dāng)?_1_加時(shí)，E/最小，即△4FC的面積最小.

因?yàn)椤鰽8Z注△C5D,所以C8=A8=2,

又因?yàn)?8=60。，所以，A8C是等邊三角形，

因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以AE=EC=1,BE=g,

因?yàn)锳O_LCQ,所以DE=』AC=1,

2

在二OEB中，DE?+BE2=BD，所以

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E-xyz,

則A（l,0,0）,B（0,"0）Q：0,0,l）,所以A￡>=（-1,0,1）,AB=（—1,6。）,

設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量為〃=（x,y,z）,

n-AD=-x+z=（）--/l\

r，取y=G,則〃=（3,瘋3）,

{nAB=-x+xl3y=0'7

又因?yàn)閏（-l,o，（"（o。：），所以CF=卜亨,

3.(2022?浙江?高考真題)如圖，已知八5c。和。瓦'都是直角梯形，AB//DC,DC//EF,

AB=5,DC=3,EF=\,/班。=NCDE=60。，二面角產(chǎn)一。。一8的平面角為60。.設(shè)

M,N分別為AE,BC的中點(diǎn).

(1)證明：FN工AD；

(2)求直線BM與平面AOE所成角的正弦值.

【解析】(1)過點(diǎn)E、。分別做直線。。、的垂線EG、OH并分別交于點(diǎn)G、H,由

平面知識易得FC=BC,再根據(jù)二面角的定義可知，NBb=60,由此可知，F(xiàn)N工BC，

FNA.CD,從而可證得五NJL平面ABCD,即得在N_LAD；

(2)由(I)可知FN_L平面ABCD，過點(diǎn)N做人4平行線NK,所以可以以點(diǎn)N為原點(diǎn)，NK,

NB、NF所在直線分別為％軸、V軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系N-方2,求出平面AOE的

一個(gè)法向量，以及8M，即可利用線面角的向量公式解出.

(1)

過點(diǎn)E、。分別做直線A8的垂線EG、OH并分別交于點(diǎn)G、H.

???四邊形A8CO和瓦CD都是直角梯形，ABUDC,CD"EF、AB=5,DC=3,EF=\,

NBAD=NCDE=0)。,由平面幾何知識易知，

DG=AH="EFC=NDCF=NDCB=Z4BC=90。，則四邊形EFCG和四邊形DCBH是矩

形，???在Rl.EG。和RhD/M，EG=DH=26

?.?OC_LC￡OCJ_C8,且CFcC4=C,

???￡>CJ_平面BCENBC尸是二面角尸-DC-B的平面角.則NBC尸=60,

???△BCF是正三角形，由。Cu平面ABCQ,得平面平面BC產(chǎn)，

〈N是8C的中點(diǎn)，「.EV_L8C,又DC_L平面3CF\FNu平面BCF,用得FN工CD,

而3CcCD=C,???/W_L平面A8CD，而/Wu平面/W_LAO.

(2)

因?yàn)榫W(wǎng)_L平面4BCO,過點(diǎn)N做AB平行線NK,所以以點(diǎn)N為原點(diǎn)，NK,NB、NF所

在直線分別為x軸、丁軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系N-.，

設(shè)A[5,75,0),8(0,也,0),D(3,-x/3,0),￡(1,0,3)，則M[3,g,

BM=,A。=(-2,-2>/3,0),DE=(-2,瓜3)

22

設(shè)平面AOE的法向量為〃=a,y,z)

n-AD=0-2x-2>]3y=0

由，,得取〃=(G,-1,G),

n-DE=0-2x+V3y+3z=0

設(shè)直線BM與平面AOE所成角為0，

3&E

sin0=卜os〈小BM)|=53_5出

~V7-25/3~14

V3TTT3.

4.(2022?全國?高考真題)如圖，PO是三棱錐P—A8C的高，PA=PB,ABVAC,E走PB

的中點(diǎn).

(1)證明：OE//平面尸AC；

(2)若NA8O=NC8O=30。，P0=3,PA=5,求二面角C—4E—A的正弦值.

【解析】(I)連接8。并延長交4c于點(diǎn)。，連接。4、PQ,根據(jù)三角形全等得到。4=。8,

再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AO=DO,即可得至IJ0為BD的中點(diǎn)從而得到OEHPD,即可

得證；

(2)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦的絕對值，再根據(jù)同

角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得.

(1)

證明：連接3。并延長交AC于點(diǎn)。，連接PD,

因?yàn)槭?是三棱錐P-A8C的高，所以201.平面ABC,AO,8Ou平面48C,

所以尸O_LAO、POLBO,

又PA=PB、所以△PQ43△POB,即。4=04,所以NOW3=NO4A.

又A8_LAC,即ZBAC=90。，所以NQ4B+N01D=90"N03A+NOQA=90。，

所以NOZM=NOA。

所以AO=DO,即4O=DO=OB,所以。為8。的中點(diǎn)，乂E為m的中點(diǎn)，所以O(shè)E//PO,

乂OE(Z平面PAC,PDu平面PAC,

所以O(shè)E〃平面尸AC

（2）

解：過點(diǎn)A作上〃0P,如圖建立平面直角坐標(biāo)系，

2

因?yàn)镻0=3,AP=5f所以O(shè)4=JA2-QO=4,

又NO8A=NO8C=30。，所以80=20A=8,則AD=4,AB=40

所以AC=12,所以0（2布,2,0）,B（4x/3,0,0）,尸（2百,2,3）,C（0,12,0）,

所以七（3石』,日｝

則AE=，G』,|）,48=（46,0,0）,4C=（O,12,O）,

a

n-AE=3>/3x+y+—z=O

設(shè)平面的法向量為〃=（x,y,z）,則<"2，令z=2,則丁=一3,刀=0,

n-AB=4Gx=0

所以〃=(O,-3,2)：

3

.,mAE=3\/3a+