微重點(diǎn)5三角函數(shù)中“，°的范圍問(wèn)題

三角函數(shù)中①，（P的范圍問(wèn)題，是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，主要考查由三角函數(shù)的最值（值域）、

單調(diào)性、零點(diǎn)等求口，伊的取值范圍，難度中等偏上.

考點(diǎn)一三角函數(shù)的最值（值域）與物3的取值范圍

例I（1）若函數(shù)府尸血（心一目（3乂））在［。，?上的值域是一挈1,貝IJ3的取值范圍是

3一r3-

-3

?B"

A.2t

■-

7一r57

-D-

,一

2It72

-

答案B

解析因?yàn)棰?gt;0,所以當(dāng)聞0,于時(shí)，

冗「nconn

s一片］一不T-4j-

又因?yàn)楹瘮?shù).凡0=$而（口.丫一?（60>0）在

0,Ml上的值域是一筆1,

所烤W(wǎng)等-臺(tái)季

3

解得^WQ）W3.

（2）已知函數(shù)/U）=sin/x+acoscox（a>0,加>0）的最大值為2,若使函數(shù)_/U）在區(qū)間［0,3］上至少

取得兩次最大值，則①的我值范圍是.

答案［畸+8）

解析J（x）=sincox+4cosox

=414-?2sin（（yx+^）,

因?yàn)閥u）max=、1+/=2,Q>0,

故a=小，

原式為府）=2sin（（ox+W）,

當(dāng)yu）取到最大值時(shí)，①x+W=W+2E,kez,

當(dāng)xG［0,3］,?v）取得兩次最大值時(shí)，々分別為。和1,當(dāng)％=1時(shí)，cox+3當(dāng)+2兀，x=腎，

此時(shí)需滿足寥或3,

解得①2噂.

規(guī)律方法求三角函數(shù)的最值（值域）問(wèn)題，主要是整體代換cox±s，利用正、余弦函數(shù)的圖象

求解，要注意自變量的范圍.

跟蹤演練I已知函數(shù)以尸/（5+伊）（30,磔4）的圖象與直線尸1的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距

離為冗,若對(duì)任意的不等式恒成立，則8的取值范圍是（）

A話,flB.借3

n匹

CDJ82.

答案A

解析因?yàn)楹瘮?shù)y=/U）的圖象與直線），=1的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為兀，所以函數(shù)），=/3）的最

小正周期為7=兀，所以①=竿2兀=2,

所以=sin（2x+伊）.

怯,號(hào)時(shí)，專+”2x+9§+a

當(dāng)

因?yàn)橐欢鄥n專

出，、,5nit,litn2n,In

所以一適〈五+8<73,

又因?yàn)椴坏仁轿Ｆ瑢?duì)任意的怎，§恒成立,

吉+8吟

所以

2n.__5兀

4+盧不

解得恐索哮

JT冗

因此9的取值范圍是五，石.

考點(diǎn)二單調(diào)性與e0的取值范圍

（1）（2022?張家口模擬）已知函數(shù)."）=sin（Qjx+9）j30,⑷4）,A0）=乎且函數(shù)%）在區(qū)

例2

間依，目上單調(diào)遞減，則口的最大值為

答案10

解析因?yàn)樨?fù)O）=sin8=坐,

又所以8=；,

所以八丫）=sin（s+：）,

當(dāng)倩，且⑦印時(shí)，

neo.n.nncu.n

記+1<5+胃+不

因?yàn)榉瞃）在區(qū)間低，目上單調(diào)遞減，

所以償+：'管+f）q?+2E,￥+2E）（&￡Z）,

衿+2E“ez）,

即<；

［詈+于《學(xué)+2&兀（氏（=Z）,

解得4+32AW①<10+16*A￡Z),

則產(chǎn)，

因?yàn)榍?gt;0,

'[32A+4W16Z+I0,

則OWAw］且&￡Z,故k=0,從而4W①W10,

O

因此，（O的最大值為10.

（2）（2022?柳州模擬）若直線x=：是曲線.y=sin（（yx-］（Q?0）的一條對(duì)稱軸，且函數(shù)y=

sin（c?-；）在區(qū)間［o,制上不單調(diào)，則①的最小值為（）

A.9B.7C.IID.3

答案C

解析因?yàn)橹本€x=￡是曲線y=sin（car—g（s>0）的一條對(duì)稱軸，貝格o—々=E+與，HZ,即

口=4攵+3,k^Z,

由一卜。"一￡耨一焉粉,則函數(shù)尸sin（（y.L?在,一券上單調(diào)遞增,

而函數(shù)產(chǎn)sin（s-：）在區(qū)間［。，制上不單調(diào)，則券自解得39,

所以co的最小值為II.

規(guī)律方法若三角函數(shù)在區(qū)間團(tuán)，加上單調(diào)遞增，則區(qū)間⑶加是該函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間的子集,

利用集合的包含關(guān)系即可求解.

區(qū)間[0,1]上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）

A[—1,*B.1-1,73）

C.[-1,4+1）D.[0,小+1）

答案C

解析因?yàn)?（X）關(guān)于點(diǎn)（4,I）對(duì)稱，所以6=1.

所以7U）=2sin（cox—今）+l（o>>0）,

令於）=0,貝ij2sin（/x—看）+1=0,

即sin（?T）=_=

因?yàn)閤￡[0,l],

所以①^一^6[―不幻—不

因?yàn)槲＃┰趨^(qū)間[0,1]上有且僅有3個(gè)零點(diǎn),

姓「JI兀一n19兀

所以飛十

又/（l）=2sinC①_§+1,

所以與或.4月.

則-iWsin（苧一浮坐

所以一1W2sin（^—g+1<小+1,

即一1〈小+1.

規(guī)律方法已知函數(shù)的零點(diǎn)、極值點(diǎn)求3，8的取值范圍問(wèn)題，一是利用三角函數(shù)的圖象求

解；二是利用解析式，直接求函數(shù)的零點(diǎn)、極值點(diǎn)即可，注意函數(shù)的極值點(diǎn)即為三角函數(shù)的

最大值、最小值點(diǎn).

跟蹤演練3（2022.湛江模擬）已知函數(shù)yU）=sin（cox+9）（G>。，1。區(qū)3），/住+,=/住一,，

/（一號(hào)=0,且於）在區(qū)間倩,9

上有且只有一個(gè)極大值點(diǎn)，則切的最大值為.

答案?

—予o+g=Zm,

解析由題意知，1ki,k?ez.

三①+°=公冗+3,

3(24+1)

(0=^~

則<k,k'ez,

k冗.7i

9=丁+0

其中％=&一舟,￡=k2+ki=2k?—k,

當(dāng)k'=-I時(shí)，0=一?&=2幻+1,依￡Z；

當(dāng)I=0時(shí)，k=2k）,辰三瓦.

又府）在區(qū)間體，9上有且只有一個(gè)極大值點(diǎn),

所烤一導(dǎo)染274

得0<sW10,即O<3Q，)WIO,

\37

所以一科至§

39n

當(dāng)女=6時(shí)，/=丁，8=0

此時(shí)墨+：￡（絮，等）此時(shí)有2個(gè)極大值點(diǎn)，舍去;

337T

當(dāng)2=5時(shí)，co=丁,9=一不

UnJ_337t「（第，學(xué)），此時(shí)有1個(gè)極大值點(diǎn)，成立，所以①的最大值為學(xué)

此時(shí)彳二一4金

專題強(qiáng)化練

1.（2022?開(kāi)封模擬）已知函數(shù)/U）=sin（Q）x十勿）（30,0<8<?的圖象過(guò)點(diǎn),。，；），現(xiàn)將1y=/四

的圖象向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到的函數(shù)圖象也過(guò)點(diǎn)P，則（）

A.①的最小值為2

B./的最小值為6

C.①的最大值為2

D.①的最大值為6

答案A

解析依題意的）=sin3=],Ov片，（p=*

,"）=sin（s+§的圖象向左平移號(hào)個(gè)單位長(zhǎng)度得到

月Q)=sin[①(工+號(hào)+季=sin(<

GZT+卻+到

(it?冗\(yùn)1

g(O)=sin(科+5尸菱,

所以條”+*=2km+會(huì)或%+￡=2癡+系

***VzJvzV_z

即①=6七或①=6公+2,其中木，依WZ,

由于S>0,所以①的最小值為2.

2.（2022?湖南六校聯(lián)考）將函數(shù)—:）=3$山。:一言）的圖象向右平移媯0<8〈兀）個(gè)單位長(zhǎng)度后得到

g（x）的圖象.若儀工）在自引上單調(diào)遞增，則8的取值范圍為（

)

B[「不7172t]l

「兀2兀~|

D[MTJ

答案B

解析g（x）=3sin（L之一。

山五5兀4712兀

當(dāng)時(shí)，一0't一己一,五一小

由0<9<兀，得一夕￡（一兀，0）,

3.已知/>=,函數(shù)及尸sin（23x+3在區(qū)間停當(dāng)）內(nèi)沒(méi)有最值，則力的取值范圍為（>

_一5H

_

B_

J12-24

5

-<-

12-

答案C

4…一,,7T，兀4攵+1

解析由2cox+w=E+',kRZ,得x=.§兀,kRZ,

因?yàn)楹瘮?shù)/）=sin（2s+；）在區(qū)間住芝）內(nèi)沒(méi)有最值,

所■以對(duì)任意&EZ,都有4：：/你引，

—

當(dāng)①--

2攵=1時(shí)，OM1=竽4￡停,4X）7，故選項(xiàng)A,D不正確;

當(dāng)。。=天時(shí)，存在2=1使得若==譽(yù)￡你當(dāng)），故選項(xiàng)B不正確.

24GCO11\ZZ7

4.（2022?邵陽(yáng)模擬）設(shè)函數(shù)危）=5巾（3+款5>0）,己知人處在一會(huì)哥上單調(diào)遞增，則%）

在（0,2兀）上的零點(diǎn)最多有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)

C.4個(gè)D.5個(gè)

答案A

解析由-4+2EW5>+*wg+2E,kRZ,

2oZ

27i.2kli--TC,2依、

得za一丁+—WxW丁+—,kez,

3coco3coco

取左=0,可得一守"WxWf.

3（o3（y

若加）在［一去用上單調(diào)遞增，

4

-

3

若Xw（0,2瓦）,則GZ￥+*（春，2（on+|j.

設(shè)f=cox+看，

則Y備2口兀十年），

因?yàn)?物+行.制，

所以函數(shù)〉=$訪/在6，2①兀+§上的零點(diǎn)最多有2個(gè).

所以7U）在（0,2兀）上的零點(diǎn)最多有2個(gè).

5.已知函數(shù)yU）=sin（s+8）（M>0,儂<9,/（一1）=。，/U）W/（4二）恒成立，且凡0在區(qū)間

（一有給上單調(diào)，那么二列說(shuō)法中正確的是（）

①存在9,使得/（x）是偶函數(shù)；

勤。）=啟）；

③3是奇數(shù)；

④①的最大值為3.

A.①②③B.

C.②④D.②③

答案D

解析由照9）1，知*=竽為函數(shù)八*）圖象的一條對(duì)稱軸，

所以負(fù)o）=/（芝）.

又/（一）=。,

所以空.7=*（/）或3），

即然唔=加班

即to=2〃+1（〃WZ）.

因?yàn)樨愅庠冢ㄒ唤穑?）上單調(diào)，

所以匯拉/_（一云）弋，

所以Q）W8,所以①max=7.

因?yàn)镮d專

所以9考+E伏￡Z）,

所以不存在8，使得九1）是偶函數(shù).

6.（2022?萍鄉(xiāng)模擬）設(shè)函數(shù)?r）=sin（2r+：）在區(qū)間a,上的最大值為M，最小值為加，

則M—m的最小值為（）

A.日B.1

C.L乎D.號(hào)

答案B

解析當(dāng)不￡4,時(shí),

兀n_c.兀c.兀［

-t2a+不2。+々+小,

4

令2x+：=f,2〃+：=力,

則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g(f)=sin詞心"+用上的最大值是W,最小值是

in,

由正弦函數(shù)性質(zhì)，可知g?)=sinr的周期是2兀，要使得M，〃最小，則g⑺的最大值或最小

值點(diǎn)是區(qū)間h,〃+口點(diǎn),

由周期性，不妨取〃+/?+空=兀或〃+〃+鋁=3兀，即〃=/或仁普,

JJUU

當(dāng)"=看時(shí)，M=I,/〃=si吟=J,M—〃7=T，

當(dāng)h=〃-inaT"T

7.已知函數(shù)?幻=小3皿3：—8$5：(6?0)在0,內(nèi)有且僅有1個(gè)最大值點(diǎn)和3個(gè)零點(diǎn)，則

口的取值范圍是.

答案厚最

解析人》=小sincox-coscox

=2sin(s—",

71-兀一CO兀71

彳Ws