第5講函數(shù)的極值、最值

［考情分析?］利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、最值是重點考查內容，多以選擇題、填空題壓軸考

查，或以解答題的形式出現(xiàn)，難度中等偏上，屬綜合性問題.

考點一利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

【核心提煉】

判斷函數(shù)的極值點，主要有兩點

(I)導函數(shù)/的變號零點,即為函數(shù)段)的極值點.

(2)利用函數(shù)/'(x)的單調性可得函數(shù)的極值點.

例1(2022?百師聯(lián)盟聯(lián)考)已知函數(shù)凡￥)=務2—(2。2—〃+1.+(24—1)1g+2,其中4Ho.

⑴當。=1時，求人幻的單調區(qū)間；

⑵當。>0且aWI時，火幻存在一個極小值點若xo>3.求實數(shù)a的取值范圍.

解(1次萬的定義域為(0,+8),

當a=l時，/(.v)=2A-2-2v4-lnx4-2,

1/-2x+l(x~\)

(x)=x-2+-=----------二20,

X

當且僅當x=l時，f(x)=0,

所以當。=1時，氏丫)的單調遞增區(qū)間為(0,+8),無單調遞減區(qū)間.

(2)f(x)—^x2—(2a2—?+1)A+(2￡7—l)lnx+2,

ar2—(2。2-4+|)x+(2a-I)

x

3-l)[x—(加一])]

二x'

由/(x)=0.解得x=5或x=2a—1.

①若Ovawg,則2a—1WO,：22,

故當x￡(0,0時，/Cv)<0,./U)在(。，5)上單調遞減:

當xwR+8)時，/(x)>0,

./U)在弓，+8)上單調遞增.

所以7U)有一個極小值點7即刈=7

所以!>3,解得

②若I,則0<2tz—14，

故當x￡(o,2a-l)時，/(.t)>0,/)在(0&-1)上單調遞增;

當X￡(2G—1,￡)時，/(x)<0,

/(處在(2〃一1,3上單調遞減；

當+8)時，/(石>0,

次幻在弓，+8)上單調遞增.

所以./U)有一個極小值點1,即KO=:，

所以!>3,解得0々<1,沒有符合題意的”

③若a>1,則0<：<2a-1,

故當x￡(0,5時，f(x)>0,人處在(0,5)上單調遞增；

當1￡弓，2〃-1)時，f(f)<(),

兒0在g,2a—1)上單調遞減；

當大￡(2。-1,+8)時，/(幻>0,4v)在(2。-1,+8)上單調遞增.

所以火外有一個極小值點為一I，

即x()=2a—\.

所以為一1>3,解得a>2.

綜上，?！?0,§U(2,+R).

易錯提醒(1)不能忽略函數(shù)的定義域.

(2/(xo)=0是可導函數(shù)7U)在工=的處取得極值的必要不充分條件，即/。)的變號零點才

是人助的極值點，所以判斷4r)的極值點時，除了找/(x)=()的實數(shù)根刈外，還需判斷4r)

在xo左側和右側的單調性.

(3)函數(shù)的極小值不一定比極大值小.

跟蹤演練I(1)(2021?全國乙卷)設“W0,若x=a為函數(shù)凡￥)=a(x—a)?。一份的極大值點，則

A.a<bB.a>b

C.ah<a2D.ab>cr

答案D

解析當eo時，根據(jù)題意畫出函數(shù)yu)的大致圖象，如圖所示，觀察可知比>〃.

當KO時，根據(jù)題意畫出函數(shù)./U)的大致圖象，如圖所示，觀察可知

綜上，可知必有而成立.

(2)(2022?安康模擬)若函數(shù)/")=^一底一2以有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍為()

A.(T0)

C.(o，￡)D.&+8)

答案D

解析由J[x}=e^—ajc2—lux,

得/'(x)=e-2ax-2a.

因為函數(shù)fix)=eK—ax2—2(LX有兩個極值點，

所以f(x)=eK—2ax—2a=0有兩個不同的解，

It+1X~\~11

即±=于有兩個不同的解，轉化為觀幻==一與y=土的圖象有兩個交點，

設則屋。)=一、'

X

令g'(x)=0,即一:=0,解得x=0,

當.00時，8U)<o；

當x<0時，g'(x)>0；

所以g(?在(一8,0)上單調遞增，在(0,+8)上單調遞減.

x+11

分別作出函數(shù)g(x)=F-與的圖象，如圖所示，

v乙a

C.2D，V2

答案C

x+1,xWO,

解析由於)=

Inx,x>0,

可得函數(shù)圖象如圖所示.

令人盯)=/1及)=八

?'?fWl且xi+」=ln彳2=f,

?*X|--1,X2=e',

，及―xi=c'—(1—1)=(?一,+1).

令伊")=M—r+l(rWl),

，")=1—1,

當，￡(一8,o)時，“⑺<0,

當/￡(0,1]時，,⑺>0,

???8⑺在(一8,0)上單調遞減,在(0,1]上單調遞增，

:.8(f)min=。(0)=2,

?.X2—XI的最小值為2.

易錯提醒(1)求函數(shù)最值忖，不可想當然地認為極值就是最值，要通過比較大小才能下結論.

(2)求的數(shù)無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值，不僅要研究其極值，還需研究單遇性，結合單調性

和極值情況，畫出函數(shù)圖象，借助圖象得到函數(shù)的最值.

跟蹤演練2(1)(2022.全國乙卷)函數(shù)7U)=cosx+(x+l)sinx+l在區(qū)間|0,2汨的最小值、最大

值分別為()

7171-3兀兀

/>?2，2工)?2，2

一兀兀ICc371711c

C.-]+2D.--2~,]+2

答案D

解析7(x)=cosx+(.v+I)sinx+I,X￡[0,2TT],

貝ijf(x)=—sinx+sinx+(x+1)-cosx

=(x+l)cosx,xG[0,2元].

令ra)=o,

解得X=-1(舍去)，1=5或1=產.

n.

=COS2+5+1戶in畀1

=2+],

/用=cosy+(y+l)siny+l=-y，

又/0)=cos0+(0+1)sin0+1=2,

y(27r)=cos2兀+(2兀+1)sin2兀+I=2,

所以.")max=咯)=2+全

.Ax)min=/(y)=-y.

(2)(2022?蕪湖模擬)己知關于x的不等式如一aF21nx恒成立，則實數(shù)〃的取值范圍為()

A.(一8,|]B.(0,1]

C(0,D.(-OO,0]

答案A

解析因為不等式如一or221nx恒成立，

所以不等式aWx—譬在(0,+8)上恒成立，

人，、Inx.,Xs—1+21nx

令8。)=彳一￥，則nil/(力=----p----，

令力。)=/-1+2111廠則a)=3f+*>0,

所以人(x)在(0,+8)上單調遞增，又以i)=o,

所以當0W1時,/?(.r)<0,即g'(x)<0,g(x)單調遞減;

當心>1時，/z(.r)>0,即g'(x)>0,g(x)單調遞增；

所以當工=1時，g(.r)取得最小值g(l)=l,所以“W1.

考點三極值、最值的簡單應用

例3(2022?杭州模擬)已知函數(shù),")=at2—zt+lnx有兩個不同的極值點即，必若不等式逃即)

+大必)<7恒成立，則實數(shù)，的最小值為.

答案一3

解析由>(.v)=av2—2.r+lnx(x>0),

,.12ar2-2x+1

得ZPJ/(x)=2or—2+;=-----------(.v>0),

AA

若函數(shù)yU)=c1—2x+lnx有兩個不同的極值點xi,xi,

則方程2“P—級+1=0有兩個不相等的正實根，

2=4—8。>0,

所以卜+及=%°，

叫士。,

解得

所以)+,/U2)=ar?—2即+In片+av?—2.V2+Inxi

=a[(x\+12)2-2X\X2]—2(xi+不)+ln(x|X2)

=—~—1—In2a,

令h(d)=—1—In2/(o<avg),

ri,1~ci

則力'3)=F->0，

所以h(a)=—^―1—Inla在(0,§上單調遞增，

所以〃(4)</娟=-3,

所以12—3.

故實數(shù)/的最小值為-3.

易錯提醒方程、不等式恒成立，有解問題都可用分離參數(shù)法.分離參數(shù)時，等式或不等式

兩邊符號變化以及除數(shù)不能等于0,易忽視.

跟蹤演練3若函數(shù)/(x)——+42+83x(0,力GR)有極小值，且極小值為0,則“2—〃的最小

值為()

A.eB.2e

答案B

解析由./U)=/+a2+/?]nx3，〃￡R),

可得/(x)-2x+p

因為因)有極小值，記為期,

則2演)+§=0,

A0

即人=—2屆(而>0),

又由五項)=0,

所以石+4+方門Ao=O,

即〃=一.訪一》inxo=-.詔+2x8lnxo》O,

所以xo2Ve.

設a2—b=^(%o)=AS+2AJ1n,

當xo2正時，

g'(xo)=4xo+4xolnx()>0,

所以g(xo)=屈+2加nxo在［五，+8)上單調遞增,

當xo=加時，

可得^Uo)min=^(Vc)=2c,

所以(r—h的最小值為2e.

專題強化練

一、選擇題

1.下列函數(shù)中，不存在極值的是（）

A.）,=x+]B.y=xQx

C.y=x\nxD.y=-2x3~x

答案D

解析顯然ABC中的函數(shù)存在極值.

對于D,函數(shù)y=-2?一人

則），'=-6^-1<0,

所以函數(shù),，=一2口一工在R上單調遞減，沒有極值點.

2.下列關于函數(shù)人工）=（3一/把'的結論，正確的是（

A.火-3）是極大值，JU）是極小值

B../U）沒有最大值，也沒有最小值

C.4I）有最大值，沒有最小值

D.火幻有最小值，沒有最大值

答案C

解析由兒6=（3一爐）e\

得/（幻=（一/-2x+3）e\

令/。）=0,則一/一21—3=0,

解得x=-3或x=1,

當A<—3或Qi時，f（X）<O,

當一30yl時，/（A-）>0,

所以大一3）是極小值,./（I）是極大值，

所以A錯誤；

因為.八一3)是極小值，且當工<一3時，凡6<0恒成立，所以人l)=2e>0是極大值，也是最大值.

而當X-*+8時，fix)—'—8,

所以_/u)有最大值，沒有最小值，所以c正確，B,D錯誤.

3.已知函數(shù)凡1)=/—3x—1,若對于區(qū)間［—3,2］上的任意汨，12，都有|/Ui)—/(X2)|W/,則實

數(shù)/的最小值是()

A.20B.18C.3D.0

答案A

解析對于區(qū)間［—3,2］上的任意汨，尤2都有l(wèi)/Ui)—/(X2)|W/,

等價于對于區(qū)間［-3,2］上的任意x,

都有y(X)max__/(X)minW/,

'*flx)=xi—3x—1,

:?/。)=3?-3=3(工一l)［x+l),

??”引一3,2］,

???函數(shù)在［-3,—1］,［1,2］上單調遞增，在上單調遞減，

??小以皿=/(2)=/(—1)=1,

/(X)min=/(-3)=-l9,

*,y(-^)max-y(-V)min=20,

1220,

??.實數(shù)，的最小值是20.

4.(2022?南充檢測)已知函數(shù).")=T」3〃1+幾i+〃F在工=一1處取得極值0,則加+八等于

()

A.2B.7

C.2或7D.3或9

答案B

解析/(x)=x3—3g2+依+m2,

f(x)=3AT—6/??x+n,

根據(jù)題意，f(—l)=34-6m+n=0,

/(-1)=-1-3m-n4-m2=0,

〃?=-1,［/??=—2,

解得r或c

〃=3［〃=9,

m=—\,

當c時，

〃=3

f(A)=3x2+6A+3=3(.r+1)2>0,函數(shù)人r)單調遞增，無極值點，舍去.

\m=-2,

當八時，

[〃=9

f(x)=3x2+12x+9=3(x-1)(x+3),

當X￡(-8,一3)和工￡(一],+8)時，/(外>0,函數(shù)貝X)單調遞增；

當工￡(-3,—1)時，/(戈)<0,函數(shù)40單調遞減，故函數(shù)K。在x=-l處有極小值，滿足

條件.

綜上所述,〃?+〃=9—2=7.

5.(2022?晉中模擬)已知函數(shù)Kr)=2Alnx+x2—ar+3m>0),若人幻2()恒成立，則。的取值范

圍為()

A.[4,+°°)B.(4,+°°)

C.(0,4)D.(0,4]

答案D

解析因為yu)eo恒成立，

即凡￥)=2日11x+.F—ax+3X)(x>0)恒成立，

.2xln%+^+3—??3=3、

即nnaW---------：-------=21n.r+x+二怛成M,

.X

設/?(x)=21nx+x+*x>0),

曲丁，、3Q+3)(x—l)

則h(x)=-+15\

人人yv

當x￡(0,l)時，/?'(x)v0,Ki)在(0,1)上單調遞減，

當xe(l,十3)時，爪(*>o,〃x)在(1,十3)上單調遞增，

所以/l(Jf)min=A(l)=4,則MW4.

6.(2022?新高考全國I改編)已知函數(shù)人力=/一1+1,則下列結論正確的是()

①/U)有兩個極值點：

②/U)有三個零點；

③點(0,1)是曲線產危)的對稱中心；

④直線y=2x是曲線)，=/U)的切線.

A.①②③B.??

C.③④D.??

答案D

解析因為兒0=入3—x+1,所以/。)=3?—1.令/(萬=35-1=0,得工=金§.

由/(x)>0,得xQ單或x<一坐;

由/(x)<0,得一坐令等.

所以人工)=r-X+1在(-8,一坐)(坐，+8)上單調遞增，在(一乎，當)上單調遞減，

所以7U)有兩個極值點，故①正確；

因為7U)的極小值/(里)=(￥)一坐+1=1一耳鼻>0,y(—2)=(—2)3—(—2)4-1=—5<0,所

以函數(shù)Ar)在R上有且只有一個零點，故②錯誤；

因為函數(shù)g(x)=.F—x的圖象向上平移一個單位長度得函數(shù)?r)=V—x+1的圖象，函數(shù)g(x)

=V-x的圖象關于原點(0,0)中心對稱且g(0)=0,所以點(0』)是曲線—x+1的對稱中

心，故③正確；

假設直線y=2t是曲線y=/(x)的切線，切點為5>,>>()),則/(川))=3.詔-1=2,解得x()=±l;

若xo=l,則切點坐標為(1,1),但點(1,1)不在直線y=2x上；若出=—1,則切點坐標為(一1,1),

但點(一1,1)不在直線)，=2r上，所以假設不成立，故④錯誤.

7.(2022,昆明模擬)若函數(shù)_/(x)=W-4x+aln%有兩個極值點，設這兩個極值點為不，足，且

X1<X2，則()

A.即￡(1,2)B.col

C.火川)〈一3D.八川)>一3

答案D

解析??：仆)=f—4x+“l(fā)nx,

~.a2.x2—4x+a

:(x)=2x-4+-=---------(Q0),

令/(x)=。，則方程2Al-dx+au。的兩根為X|,X2，且0<￥|<￥2，

AJ=42-4X2d>0,解得”2,

,a,

X］十X2=2,XVX2=2<1，

:.0<VI<1,1<V2<2,

又XI為凡t)的極大值點，故於1)次1)=一3.

8.(2022?運城模擬)若存在實數(shù)x,y滿足111工一1+32a'+0一，，則x+y等于()

A.—IB.0C.1D.e

答案C

1|—x

解析令函數(shù)yu)=lnx—工+3,可得/(x)=--1=—^(.r>0),

人人

當x￡(0,l)時，f(x)>0,JU)單調遞增；

當x￡(l,+8)時，/(X)<O,段)單調遞減,

所以當x=I時，可得J(x)nax=/U)=ln1—1+3=2,

令函數(shù)g(y)=e'+e、'，則~'+廣，22,當且僅當y=0時取等號,

又hix—%+32&'+?y,所以Inx—工+3=9+?一y=2,

所以x=l,y=0,所以x+y=l.

二、填空題

9.函數(shù)./(x)=x—lnm的極值點為

答案1

解析①當x>0時，f(x)=x-\nx,

.1X-1

f()；

X=[-人=Ax

，當x￡(O,D時,f(x)<0；

當x￡(l,+8)時，/(x)>0,

???於)在(0,1)上單調遞減,在(1,+8)上單調遞增，???%=1為於)的極小值點.

②當.r<0時，J[x)=x-1n(-x),

,1x~1

fU)=l--=——>0,

人人

??JU)在(-8,0)上單調遞增，無極值點.

綜上，火幻的極值點為1.

10.已知函數(shù)yu)=xln工一工+2〃+2,若函數(shù))，=")與J=A"))有相同的值域，則實數(shù)。的

取值范闈是.

答案(一8,0]

解析f(x)=lnx,

當x>l時，/(幻>0,

當0<x<l時，f(x)<0,

???凡1)在(0.1)上單調遞減，

在(1,+8)上單調遞增，

?\/(x)的最小值為/U)=2a+1.

即大工)的值域為[2〃+1,+?>),

,/函數(shù)y=/U)與y=A/U))有相同的值域,

???2a+lWl,解得aWO.

11.(2021?新高考全國I)函數(shù)/)=3一1|-21nx的最小值為.

答案1

解析函數(shù),/(x)=|2x—l|-21nx的定義域為(0,+8).

①當人>3時，J(x)=2x—1—21nx,

所以/(刈=2—==4曰

當時，/(幻<0,當Q1時，/(為〉0,所以久r)min=/U)=2—l—21n1=1；

②當Ov%W時，危)=1—lr—21nx在(0,g上單調遞減：所以,/U)mm=/(1)=-21n；=21n2

=ln4>lnc=1.

綜上，y(X)min=l.

12.(2022?全國乙卷)已知】=X|和X=X2分別是函數(shù)/(x)=2d—ex2m>0且〃W1)的極小值點和

極大值點.若內<立，則"的取值范圍是.

答案(?0

解析方法一由41)=2"—ex2,

得f(X)=2^'lna—2ex.

令f(x)=(),得a'lna=er.

因為a>0且I,

所以顯然xr0,所以。=空衛(wèi).

人

/arlna

令g(“)=一

,ar(lnt/)2x-a'lna

則g'(%)=二~七------

iz'lna(xlna—\)

=P?

令/(x)=0,得

故當七時，/(x)>°，g(x)單調遞增；

當時，g(A)<0,g(x)單調遞減.

I

-、iin。

所以g(x)校小值=g(E%)=-j-

Ina

i

=戶(1!)0)2,也是最小值.

因為人工)有極小值點X=X1和極大值點X=X2,

故/(工)=。有兩個不同的根X=Xl,X=X2,

故g(x)的圖象與直線y=e有兩個交點，

所以舊人，

即"n"(In〃)2<e,又"n"="no='og“e=e,

所以(Ina)2<1.

由題意易知當工￡(—8,川)，(x2,+8)時，

/(x)<0；

當x￡(xi,X2)時，/(x)>0.

若公>1,則當入一+8時，/(x)一+8,不符合題意，

所以0<4<1,則一1Vin67<(1,

所以“wQ，1)

方法二由題意，/(x)=2avlna—2ex,

根據(jù)火X)有極小值點X=X1和極大值點％=X2可知，X=X|，X=X2為/'(X)=O的兩個不同的根，

又X|<X2,所以易知當x￡(—8,X|),(必+8)時，/(x)<0；

當x￡(xi,X2)時，f(x)>0.

由/'(x)=。，可得a"na=ex.

①若。>1,則當X一+8時，/Q)一+8,不符合題意，舍去.

②若0<?<1,令g(x)=〃lna,/?(.￥)=er,在同一平面直角坐標系中作出函數(shù)g(x)和h(x)的大致

圖象，如圖所示.

)((x)=al\na

'h(x)=cx

因為/'(x)=0有兩個不同的根，

所以雙幻與人。)的圖象有兩個交點，

則過原點且與g(x)的圖象相切的直線/的斜率Re.

不妨設直線/與g(x)的圖象的切點坐標為(Xo,4"In?),

因為g'(%)=。'(111〃)2,

In

所以A=4%(Ina)2=-----

%

1

可得的=竟，從而（ln”ve,

1Ine

又4/=。小=。啕c=

所以e-（lntz）2<e,則（In?）2<1,

又0<?<1,所以一1vlna<0,

所以1）.

三、解答題

13.（2022-西安交大附中模擬）己知函數(shù)兒r）=V-3or+ameR）.

（I）討論函數(shù)yu）的單調性；

⑵求函數(shù)次幻在區(qū)間。3］上的最大值與最小值之差g（a）.

解（1）因為兒0=2—3ar+a（〃￡R）,

所以/