ZHUANTISI

專題四立體幾何

第1講空間幾何體

［考情分析］空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征是立體幾何的基礎(chǔ)，空間幾何體的表面積和體積是高考

的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，多以選擇題、填空題的形式考查，難度中等或偏上.

考點(diǎn)一空間幾何體的折展問題

【核心提煉】

空間幾何體的側(cè)面展開圖

1.圓柱的側(cè)面展開圖是矩形.

2.圓錐的側(cè)面展開圖是扇形.

3.圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是扇環(huán).

例1(1)“莫言下嶺便無淮，賺得行人空喜歡.”出自南宋詩人楊萬里的作品《過松源晨炊

漆公店》.如圖是一座山的示意圖，山大致呈圓錐形，山腳呈圓形，半徑為40km,山高為

40/15km,B是山坡SA上一點(diǎn)，且A8=40km.為了發(fā)展旅游業(yè)，要建設(shè)一條從A到月的環(huán)

山觀光公路，這條公路從A出發(fā)后先上坡，后下坡，當(dāng)公路長度最短時(shí)，下坡路段長為()

A.60kmB.12^6km

C.72kmD.12VBkm

答案C

解析該圓錐的母線長為寸(40巫)2+4()2=160,

所以圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為二［藍(lán)4°=］的扇形,

如圖，展開圓錐的側(cè)面，連接A'B,

4；

P

SBA

由兩點(diǎn)之間線段最短，知觀光公路為圖中的A'B,AfB=ylSA'2+SB2=^I6O2+12O2=200,

過點(diǎn)S作A'8的垂線，垂足為H,

記點(diǎn)產(chǎn)為A'8上任意一點(diǎn)，連接尸S,當(dāng)上坡時(shí)，尸到山頂S的距高PS越來越小，當(dāng)下坡

時(shí)，尸到山頂S的距離PS越來越大，

則下坡段的公路為圖中的”用

由RtZ\SA'BsRtdHSB,

SB212（戶

得HB=A<8=200=72（km）.

（2）（2022?深圳檢測(cè)）如圖，在三棱錐P-ABC的平面展開圖中，AC=\[3,AB=\,AD=\,

n

A6_LAC,A6_LAO,ZCAE=3（）f則cosN尸C3等于（）

答案D

解析由題意知，AE=AD=AB=],BC=2,

在aACE中，由余弦定理知，

CE2=AE1+AC2-2AEACCOSZCAE

=l+3-2XlX小義乎=1,

：,CE=CF=\t而BF=BD="BC=2,

???在ABCr中，由余弦定理知，

Bd+c產(chǎn)一B產(chǎn)4+1—23

CQSZ.FCB=2BCCF=2X2X1=4'

規(guī)律方法空間幾何體最近距離問題，一般是將空間幾何體展開成平面圖形，轉(zhuǎn)化成求平面

中兩點(diǎn)間的最短距離問題，注意展開后對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)和邊.

跟蹤演練1（1）（多選）如圖是一個(gè)正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，則下列說法中

正確的是（）

A

A.CGGH

B.C。與E廠是共面直線

C.AR//F.F

D.G”與E尸是異面直線

答案ABD

解析由圖可知，還原正方體后，點(diǎn)。與G重合，

即CQGH、

又可知CO與￡尸是平行直線，即CO與￡r是共面直線，A8與所是相交直線(點(diǎn)8與點(diǎn)產(chǎn)

重合)，G”與EF是異面直線，故A,B,D正確，C錯(cuò)混.

(2)如圖，在正三棱錐P-/1AC中，N人P8=N8PC=NC出=3()。，PA=PB=PC=2,一只蟲

子從A點(diǎn)出發(fā)，繞三棱錐的三個(gè)側(cè)面爬行一周后，乂【可到4點(diǎn)，則蟲子爬行的最短距離是()

A.3\[2B.3小

C.2小D.2啦

答案D

解析將三棱錐由附展開，如圖所示，則/川知=90。,

所求最短距離為的長度，=2,

???由勾股定理可得

方法二設(shè)兩圓錐的母線長為/,甲、乙兩圓錐的底面半徑分別為

側(cè)面展開圖的圓心角分別為H],H2

?S/冗一/27r-

則nil由c-I=-29

S乙uni〃2心

2兀

吃爆=2.

由題意知〃1+〃2=2兀，

所以n\=寸，〃2=空*

所以2加門=爭，27n*2=竽/,

得「=|/,r2=|/.

由勾股定理得，力1=針一彳=監(jiān),

5花鼻平/,

（2）（多選）（2022?新高考全國H）如圖四邊形ABCD為正方形，￡D_L平面ABCD,FB//ED,

A4=EO=2F8.記三棱錐E-ACD.F—ABC,〃一ACE的體積分別為％,匕，3，則（）

A.匕=23B.V3=Vi

C.V3=Vi+V2D.2V3=3V,

答案CD

解析如圖，連接交AC于O,連接OE,OF.

A

B

設(shè)A8=EQ=2/，B=2,

則AB=8C=CQ=AO=2,

FB=\.

因?yàn)镋D，平面ABCD,FB〃ED,

所以FB_L平面48CQ,

所以％=Vt-ACD=1^4CzrXCDED=^X1X2X2X2=1,

11111?

V2=VF-ABC=^S^ABCFB=^XyABBCFB=^X-X2X2X1=不

因?yàn)镋O_L平面44cO,ACU平面A4C。，

所以EDA.AC,

又AC_L8O,

且EOGBD=。，ED,BDU平面BDEF,所以AC_L平面8OEF.

因?yàn)镺E,OU平面BDEF,

所以4C_LOE,ACLOF.

易知AC=8D=V^A8=25，

OB=OD=3BD=?

。產(chǎn)=、。爐+/加2=小，

OE=順河麗=麗

EF=\BU+(ED—FB)2

=、(2商+(2_1)2=3,

所以E產(chǎn)=0七2+。尸，所乂OALOE.

又O￡：n4C=O,OE,ACU平面4CE,

所以平面ACE,

所以V3=VF-ACE=^S^ACEOF

=；X；X2pX,x/=2,

所以g六2%,匕六匕，V5=V|+V2,2V3=3VH

所以選項(xiàng)A,B不正確，選項(xiàng)C,D正確.

規(guī)律方法空間幾何體的表面積與體積的求法

(1)公式法：對(duì)于規(guī)則的幾何體直接利用公式進(jìn)行求解

(2)割補(bǔ)法：把不規(guī)則的圖秒分割成規(guī)則的圖形，或把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，不

熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體.

（3）等體積法：選擇合適的底面來求體積.

7

跟蹤演練2（1）已知圓錐的頂點(diǎn)為S,母線SA,S3所成角的余弦值為鼻SA與圓錐底面所成

O

角為45。，若△SA3的面積為5正，則該圓錐的側(cè)面積為（）

A.8即兀B.40

C.40V2nD.4O\/57C

答案C

7

解析由圓錐的頂點(diǎn)為S,母線SA,S3所成角的余弦值為《，

O

可得可/458=。1—?2=誓,

又aSAB的面積為5回，

可得會(huì)%2§由NASB=5仃，

即專以2乂隼一5行，可得S/A—44，

由SA與圓錐底面所成角為45。，

可得圓錐的底面半徑為乎X44=2也，

則該圓錐的側(cè)面積為兀X2亞X4小=42兀

⑵（2022.連云港模擬）如圖是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖，若兩個(gè)半圓的半徑分別是1和2,則該

圓臺(tái)的體積是（）

答案B

解析如圖，設(shè)上底面的半徑為尸，下底面的半徑為R,高為兒母線長為/,

則2?！?兀",2兀/?=冗?2,

解得「=＜，R=1,

/=2-1=1,

上底面面積S'

下底面面積S=nl2=n,

則該圓臺(tái)的體積為以S+S，+小于~）h=

（171ny[3ly[3n

l卜+尹1力

3Xx2=24.

考點(diǎn)三多面體與球

【核心提煉】

求空間多面體的外接球半徑的常用方法

⑴補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)饩嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方體或長

方體中去求解；

⑵定義法：到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓同心,

找其垂線，則球心一定在毛線上，再根據(jù)到其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系式求解即可.

例3（1）（2022?煙臺(tái)模擬）如圖，三棱錐V-ABC中，區(qū)_L底面ABC,NB4C=90。，AB=AC

=VA=2,則該三棱錐的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為（）

A.（2一?。?B.（2小一3）：1

C.（小一1）：3D.（小一1）：2

答案C

解析因?yàn)椋L底面ABC,AB,ACU底面ABC,

所以VALAB,VA1AC,

又因?yàn)镹84C=90。，

所以48_LAC,AB=AC=VA=2,

所以三條互相垂直且共頂點(diǎn)的棱，可以看成正方體中共頂點(diǎn)的長、寬、高，因此該三棱錐外

接球的半徑

/?=^X-\/22+22+22=V3,

設(shè)該三棱鞋的內(nèi)切球的半徑為r,

因?yàn)镹ZMC=90。，

所以BC=^AB2+AC2=yj22-i-22=2^/2,

因?yàn)?_LA8,VAA.AC,AB=AC=VA=2t

所以VB=VC=yJvA2+AB2=yl22^-22=2y/2,

由三棱錐的體積公式可得，

3x|x|x2X2-r+|x|x2V2X2V2X^.r=|x|x2X2X2=>r=^y^,

3—\/5

所以廣：:小=［小一1）:3.

⑵（2022?新高考全國H）已知正三棱臺(tái)的高為1,上、下底面邊長分別為35和4小，其頂點(diǎn)

都在同一球面上，則該球的表面積為（）

A.10（）71B.128兀

C.144兀D.192兀

答案A

解析由題意，得正三棱臺(tái)上、下底面的外接圓的半徑分別為|x坐X35=3,坐X4小

=4.

設(shè)該棱臺(tái)上、下底面的外接圓的圓心分別為0”。2,連接。。2（圖略），則。1。2=1,其外接

球的球心O在直線上.

設(shè)球。的半徑為R,當(dāng)球心。在線段。。2上時(shí)，2=32+00仁42+（1-00）2,

解得0。=4（舍去）；

當(dāng)球心。不在線段。。2上時(shí)，/?2=42+OO5=32+（l+OC>2）2,解得002=3,

所以R2=25,

所以該球的表面積為4冗2=I（）0兀.

綜上，該球的表面積為10。兀

規(guī)律方法（1）求錐體的外接球問題的一般方法是補(bǔ)形法，把錐體補(bǔ)成正方體、長方體等求解.

（2）求錐體的內(nèi)切球問題的一般方法是利用等體積法求半徑.

跟蹤演練3（1）（2022.全國乙卷）已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點(diǎn)為O,底面的四個(gè)頂點(diǎn)

均在球。的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（）

A.|B.；

C坐D*

答案c

解析該四棱錐的體積最大即以底面截球的圓面和頂點(diǎn)。組成的圓錐體積最大.

設(shè)圓錐的高為〃(0</?<1),底面半徑為廣，

則圓錐的體積丫=；兀/2力=；兀([—a2)〃，

則S=|n(l-3A2),

令V'=￡兀(1—3力2)=0,得/?=坐，

所以V=|TI(1-h2)h在(0,坐)上單調(diào)遞增，

在(乎，1)上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)力=乎時(shí)，四棱錐的體積最大.

(2)(2022?衡水中學(xué)調(diào)研)將兩個(gè)一模一樣的正三棱錐共底面倒扣在一起，已知正三棱錐的側(cè)棱

長為2,若該組合體有外接球，則正三棱錐的底面邊長為,該組合體的外接球的體

積為,

答案76%

解析如圖，連接布交底面8C。于點(diǎn)。，則點(diǎn)。就是該組合體的外接球的球心.

設(shè)三棱錐的底面邊長為

則CO=PO=R=冬，

得啦又坐〃=2,

所以。=#,R=啦，

所以，=條(啦)3=理].

專題強(qiáng)化練

一、單項(xiàng)選擇題

1.（2022?唐山模擬）圓柱的底面直徑與高都等于球的宜徑，則球的表面積與圓柱的側(cè)面積的比

值為（）

A.1：1B.I：2

C.2：1D.2：3

答案A

解析設(shè)球的半徑為r,依題意知圓柱的底面半徑也是r,高是2r,圓柱的側(cè)面積為2nr-2r

=4兀3，球的表面積為4兀戶，其比例為1:I.

2.（2021?新高考全國I）已知圓錐的底面半徑為小，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的

母線長為（）

A.2B.2^2C.4D.46

答案B

解析設(shè)圓錐的母線長為〃因?yàn)樵搱A錐的底面半徑為，L所以2冗義陋=內(nèi),解得/=2吸.

3.某同學(xué)為表達(dá)對(duì)“新冠疫情”抗疫一線醫(yī)護(hù)人員的感激之情，親手為他們制作了一份禮物,

用正力體紙盒包裝，并在正力體六個(gè)面上分別寫了“致敬最美逆行”六個(gè)字.該正力體紙盒

水平放置的六個(gè)面分別用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示.如圖是該正方體

的展開圖.若圖中“致”在正方體的后面，那么在正方體前面的字是（）

A.最B.美C.逆D.行

答案B

解析把正方體的表面展開圖再折成正方體，如圖，面“致”與面“美”相對(duì)，若“致”在

正方體的后面，那么在正方體前面的字是“美”.

4.已知正方體/WC。一ABCiG的棱長為2,則三棱錐A-BCQi的體積為（）

48

--C46

A.3B.3D.

答案B

解析如圖，三棱錐A-BCOi是由正方體A5CD—4向GA截去四個(gè)小三棱錐

C-BiCiDi,Bi-ABCfC-ACD形成的,

又匕BCZf81GQ=23=8,

VvV-V&-ABC-^Df-ACD

C-BlClDl

114

-X-X23-

32=V

48

所

以匕84X-

-一

-33

5.（2022?河南聯(lián)考）小李在課間玩耍時(shí)不慎將一個(gè)籃球投擲到一個(gè)圓臺(tái)狀垃圾簍中，恰好被上

底口（半徑較大的圓）卡住，球心到垃圾簍底部的距離為5#6小垃圾簍上底面直徑為2面，下

底面直徑為18小母線長為13a,則該籃球的表面積為（）

A.1547U/2B.與％?

C.308M2D.616M2

答案D

解析球與垃圾簍組合體的軸截面圖如圖所示.根據(jù)題意，設(shè)垃圾簍的高為〃，則

h=y］（l3a>—（12a—94=4也&

所以球心到上底面的距離為木5”.

設(shè)籃球的半徑為「，

則J=10a2+（i2〃）2=i54〃.

故籃球的表面積為4n戶=616兀/.

6.（2022?湖北聯(lián)考淀義：24小時(shí)內(nèi)降水在平地上積水厚度（mm）來判斷降雨程度.其中小雨（〈10mm）,

中雨（10mm?25mm）,大雨（25mm?50mm）,暴雨（50mm?100mm）,小明用一個(gè)圓錐形容

器接了24小時(shí)的雨水，如圖，則這天降雨屬于哪個(gè)等級(jí)（）

H—20()mm—*i

3()()mm

15()mm

A.小雨B.中雨

C.大雨D.暴雨

答案B

解析由題意知，一個(gè)半徑為等=100(mm)的圓面內(nèi)的降雨充滿一個(gè)底面半徑為等X^=

50(mm),高為150(mm)的圓錐,

|7rX5O2X15O

所以積水厚度d=----乂［心—=12.5(mm)，屬于中雨.

71A1UU

7.(2022?八省八校聯(lián)考)如圖，已知正四面體A3CQ的棱長為1,過點(diǎn)6作截面。分別交側(cè)棱

AC,AQ于E,尸兩點(diǎn)，且四面體ABEr的體積為四面體A8CO體積的;，則破的最小值為()

B乎C.lD.申

當(dāng)4J，

答案D

解析由題知VB-AEF=\vR-ACDy

)亞=亞

所以S^AEF—3^AACZ~3XX1X1X2—12'

記AE=htAF=c,

則［jcsin60°=害，即/?c=T.

則tr=Z72+c2—2Z?ccos60022bc—bc=bc=g,

當(dāng)且僅當(dāng)〃=c=當(dāng)時(shí)取等號(hào),

所以。即￡尸的最小值為乎.

8.（2022?新高考全國I）已知正四棱錐的側(cè)棱長為/,其各頂點(diǎn)都在同?球面上.若該球的體

積為36兀，且3W/W3小，則該正四棱錐體積的取值范圍是（）

A[18,朗B母y]

c[%y]D.[18,27]

答案C

解析方法一如圖，設(shè)該球的球心為。，半徑為七正四棱錐的底面邊長為4,高為力,

4

依題意，得367r

解得H=3.

由題意及圖可得[14狗:

"二淀=不

解得1廠

1/=2尸一至

所以正四棱錐的體積V=\a2h

=歌0梟&-知3WW34）,

所以仆=$3_（=/（4一。“笈3S）.

令9=0,得/=2%，

所以當(dāng)3〈/<2加時(shí)，V,>0；

當(dāng)2%</W3小時(shí)，V'<0,

所以函數(shù)V=￡（2一知3<々35）在[3,2佝上單調(diào)遞增，在（2#,3小]上單調(diào)遞減,

77

又當(dāng)/=3時(shí)，V=—：

當(dāng)/一2加時(shí)，V—3；

當(dāng)/—3餡時(shí)，V—曾，

所以該正四棱錐的體積的取值范圍是

方法二如圖，設(shè)該球的球心為0,半徑為R,正四棱錐的底面邊長為〃，高為/?,

4

依題意，得36兀=?兀

解得R=3.

由題意及圖可得1

[7?2=（/f2+（半￥

〃-2RF

解得J/

卜=2-一同，

又34/￡3點(diǎn),

所以該正四棱錐的體積V=ja2h

=歌一品=柒焉

-72X36-36-（218）

W72X36&+（2is）答

（當(dāng)且僅當(dāng)會(huì)=2—*,即/=2加時(shí)取等號(hào)），

64

所以正四棱錐的體積的最大值為中，排除A,B,D.

方法三如圖，設(shè)該球的半徑為R,球心為0,正四棱錐的底面邊長為。，高為九正四棱錐

的側(cè)棱與高所成的角為0,

依題意，得36%=）/?3,

解得及一3,所以正四棱錐的底面邊長a—港/sin0,高/L/COS。

在△OPC中，作OEUC,垂足為E,

1_

則可得85<9=於是陰,

所以/=6cos

所以正四棱錐的體積

V=\a2h=1(V2/sin/9)2-/cos0

DJ

=j(6cosepsi/Ocos0=144(sin^cos2^)2.

設(shè)sin夕=/,易得￡x,￥,

■乙J.

則)，=sin<9COS2^=r(1—r2)=r—?,

則)/=1-3產(chǎn).令)/=0,得—噂,

所以當(dāng);</<乎時(shí)，_/>0；

當(dāng)當(dāng)琴時(shí),〈°，

所以函數(shù)尸一戶在&明上單調(diào)遞增，在惇,明上單調(diào)遞減.

又當(dāng)尸當(dāng)時(shí)，尸挈；當(dāng)時(shí)，y=|；

當(dāng)/=孚時(shí)，y=平，

所以*WyW手，所以與WVW號(hào).

所以該正四棱錐的體積的取值范圍是厚y].

二、多項(xiàng)選擇題

9.（2022.武漢模擬）一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑2R相等,

下列結(jié)論正確的是（）

A.圓柱的側(cè)面積為4兀/?2

B.圓錐的側(cè)面積為2兀/?2

C.圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等

D.球的體積是圓錐體積的兩倍

答案ACD

解析對(duì)于A,???圓柱的底面直徑和高都等于2R,

，圓柱的側(cè)面積SI=2TCR-2R=4T班2,故A正確；

對(duì)于B,???圓錐的底面直徑和高等于2凡

，圓錐的側(cè)面積為

S2=TTR7R2+4R2=小兀R2,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,圓柱的側(cè)面積為SI=4TCR2,

球的表面積S3=4兀R2,即圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等，故C正確；

4

對(duì)于D,球的體積為—=開/?3,

圓錐的體積為Vo=1n/?2-2/?=yn/?3,

即球的體積是圓錐體積的兩倍，故D正確.

10.設(shè)一空心球是在一個(gè)大球（稱為外球）的內(nèi)部挖去一個(gè)有相同球心的小球（稱為內(nèi)球），已知

內(nèi)球面上的點(diǎn)與外球面上的點(diǎn)的最短距離為1,若某正方體的所有頂點(diǎn)均在外球面上且所有

面均與內(nèi)球相切，貝U（）

A.該正方體的棱長為2

B.該正方體的體對(duì)角線長為3+小

C.空心球的內(nèi)球半徑為小一1

D.空心球的外球表面積為（12+6?。┴?/p>

答案BD

解析設(shè)內(nèi)、外球半徑分別為r,R,則正方體的棱長為2〃體對(duì)角線長為2R.,???=小r,

又由題知R-r=l,

.小+19S+3

??/-2,K-29

???正方體棱長為5+1,體對(duì)角線長為3+小，

???外接球表面積為4兀收=（12+6?。┴?/p>

11.如圖，已知四棱臺(tái)48CQ-A山1CQ的上、下底面均為正方形，其中AB=2啦，4山產(chǎn)，L

AAl=BBi=CC\=DDl=2,則下列敘述正確的是（）

..一.JLB....

A.該四棱臺(tái)的面為小

B.M_LCG

C.該四棱臺(tái)的表面積為26

D.該四棱臺(tái)外接球的體積為瞥

答案AD

解析將四棱臺(tái)補(bǔ)為如圖所示的四棱錐尸一A8CO,分別取8C,SG的中點(diǎn)E,E1,

記四棱臺(tái)A8CO—43iGn的上、下底面中心分別為Oi,O,連接ACA1C1,BDi,叢?！?/p>

40,OE,OP,PE,

由條件知4,Bi,CH。分別為四棱錐的側(cè)棱陽，PB,PC,PD的中點(diǎn)，

則以=2AA|=4,OA=*AB=pAiBi=2,

所以O(shè)O\=^PO=^\jPA2—OA2=y）3,

故該四棱臺(tái)的高為小，故A正確；

由%=PC=4,AC=4,得△B4C為正三角形,

則AAi與CG所成角為60、故B錯(cuò)誤；

四棱臺(tái)的斜高/=^PE=^PO2+OE2

=卻（2小產(chǎn)+（近”年,

所以該四棱臺(tái)的表面積為

(26)2+(啦)2+4X小半皿X華

=10+677,故C錯(cuò)誤；

由△RAC為正三角形，易知O4=CM=OC=OG,OBi=ODi=OB=OD,

47r

所以。為四棱臺(tái)外接球的球心，且外接球的半徑為2,所以該四棱臺(tái)外接球的體積為了義23

3

12.（2022?聊城模擬）用與母線不垂直的兩個(gè)平行平面截一個(gè)圓柱，若兩個(gè)截面都是橢圓形狀,

則稱夾在這兩個(gè)平行平面之間的幾何體為斜圓柱.這兩人截面稱為斜圓柱的底面，兩底面之

間的距離稱為斜圓柱的高，斜圓柱的體積等于底面積乘以高.橢圓的面積等于長半軸長與短

半軸長乘積的兀倍，已知某圓柱的底面半徑為2,用與母線成45。角的兩個(gè)平行平面去截該圓

柱，得到一個(gè)高為6的斜圓柱，對(duì)于這個(gè)斜圓柱，下列選項(xiàng)正確的是（）

A.底面橢圓的離心率為學(xué)

B.側(cè)面積為24班兀

C.在該斜圓柱內(nèi)半徑最大的球的表面積為36兀

D.底面積為4限兀

答案ABD

解析不妨過斜圓柱的最高點(diǎn)。和最低點(diǎn)B作平行于圓柱底面的截面圓，夾在它們之間的幾

何體是圓柱，如圖，矩形八BCD是圓柱的軸截面，平行四邊形8FQE是斜圓柱的過底面橢圓

的長軸的截面，

由圓柱的性質(zhì)知ZABF=45°,

貝ijBF=^AB,

設(shè)橢圓的長軸長為2”，短軸長為2A,

則2〃=5-2仇即〃=讓＞

所以離心率為0=?=乎，A正確；

作EG1.BF,垂足為G,則EG=6,

易知/E/?G=45°.則

又C￡=AF=A3=4,

所以斜圓柱側(cè)面積為S=2HX2X（4+6啦）一2兀X2X4=24，5mB正確；

由于斜圓柱的兩個(gè)底面的距離為6,而圓柱的底面直徑為4,所以斜圓柱內(nèi)半徑最大的球的半

徑為2,球的表面積為47rx2?=16兀，C錯(cuò)誤；

易知28=4,則人=2,a=2也，

所以橢圓面積為=4巾兀，D正確.

三、填空題

13.（2022.湘潭模擬）陀螺是中國民間的娛樂工具之一，也叫做陀羅.陀螺的形狀結(jié)構(gòu)如圖所示,

由一個(gè)同底的圓錐體和圓柱體組合而成，若圓錐體和圓柱體的高以及底面圓的半徑長分別為

h\,hi，r,且hi=hi=r,設(shè)圓錐體的側(cè)面積和圓柱體的側(cè)面積分別為Si和S）,則自=，

答案坐

解析由題意知，

圓錐的母線長為/=5汗下

則圓錐的側(cè)面積為Si=7trl=y[27ir,

根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式，可得圓柱的側(cè)面積為

S2=2Tirli2=2nr,所以*二堂