§8.6雙曲線

【考試要求】1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程2掌握雙曲線的幾何性質(zhì)（范圍、對

稱性、頂點、漸近線、離心率）.3.了解雙曲線的簡單應(yīng)用.

【知識梳理】

1.雙曲線的定義

把平面內(nèi)與兩個定點K，B的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)（小于IQBI）的點的軌跡叫做雙

曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點,兩焦點間的距離叫做雙曲線的隨.

2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)

，一方=1(4>0,/?>0)5-%=1S>O，b>0)

標(biāo)準(zhǔn)方程

圖形

焦點一!(—C,0),尸2(C,0)—1(0,-c),B(0,c)

焦距IFiF2l=2c

范圍.xW-a或y￡R）W一?；騲￡R

對稱性對稱軸：電標(biāo)軸;對稱中心：原點

頂點A(一40),，2(40)4(0,—a),4(0，a)

性質(zhì)

實軸：線段&迤，長：％；虛軸：線段臺］處，長：獨，實半

軸

軸長：金虛半軸長：b

漸近線產(chǎn)導(dǎo)

離心率e號(1,+8)

4,b,C的關(guān)系>=?+?((,>”>(),c>b>0)

【常用結(jié)論】

I.雙曲線的焦點到其漸近線的距離為A

2.若尸是雙曲線右支上一點,Fl，尸2分別為雙曲線的左、右焦點,則|PR|min=〃+c,IPBImin

3.同支的焦點弦中最短的為通徑（過焦點且垂直于實軸的弦），其長為岑.

5.與雙曲線攝一￡=13>0,力>0）有共同漸近線的方程可表示為攝一￡=々#0）.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確（請在括號中打“J”或“X”）

（1）平面內(nèi)到點Fi（0,4）,F2（0,一4）的距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線.（X）

?2

⑵方程\一｝=1（〃心0）表示焦點在％軸上的雙曲線.（X）

⑶雙曲線心0）的漸近線方程是1=0.（V）

（4）等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于<1（J）

【教材改編題】

1.已知曲線C的方程為擊+￡=1伏￡R）,若曲線。是焦點在），軸上的雙曲線，則實數(shù)

K-I1DAC

出的取值范圍是（）

A.—1<k<5B.k>5

C.k<-\D.kr-l或5

答案C

解析若曲線。是焦點在），軸上的雙曲線，

k+lvO,

則解得K—1.

5—Q0,

2.雙曲線2/一/=1的漸近線方程是（）

A.y=±1,vB.y=±2x

CvADy-而

C?y一工AD.y--tyZA

答案c

解析依題意知，雙曲線￥―/=1的焦點在y軸上，實半軸長。=乎，虛半軸長8=1,

2

所以雙曲線2），2—金=1的漸近線方程是），=串.

3.設(shè)P是雙曲線缶一天=1上一點，F(xiàn)i,B分別是雙曲線的左、右焦點，若|戶人|=9,則IP乃|

答案17

解析根據(jù)雙曲線的定義得||「內(nèi)|一|尸產(chǎn)211=8,

因為|PB|=9,

所以仍刊=1或17.

又|PB|2c—a=2,故|P尸R=17.

題型一雙曲線的定義及應(yīng)用

例1(1)(2022?洛陽模擬)在平面直角坐標(biāo)系中,已知△A8C的頂點A(-3,0),8(3,0),其內(nèi)切

圓圓心在直線x=2上，則頂點C的軌跡方程為()

y2

A.eq-亍=l(x>2)

F

B.eq—彳=1(A>3)

C.eq十號=1(0<￥<2)

D.eq+片=1(0<x<3)

答案A

解析如圖，設(shè)△44C與圓的切點分別為。，E,F,

則有|ADj=|AE]=5,\BF]=\BE\=\,\CD\=\CF]t

所以|CA|—|C8|=5—1=4.

根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A,3為焦點，實軸長為4的雙曲線的右支(右頂點除外),

即C=3,4=2,又/=/+力2,所以力2=5,

所以頂點C的軌跡方程為號一方=1(.>2).

(2)已知Fi，B為雙曲線C./一)2=2的左、右焦點，點P在。上，ZF|PF2=60°,則△戶上尸2

的面積為.

答案26

解析不妨設(shè)點尸在雙曲愛的右支上，

則1PBi—|尸B|=2a=2也，

在△QP3中，由余弦定理，得

222

/3|PFI|+|PF2|-|FIF2|1

-

COSZF1PF2-2|PFI||PF2|2,

???|吶?|PB|=8,

思維升華在“焦點三角彩”中，常利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合||PF||一儼&||=2〃，運用

平方的方法，建立與IPQMPBI的聯(lián)系.

2

跟蹤訓(xùn)練1(1)已知圓G：(X+3)2+)2=I,c2：(x-3)+r=9,動圓M同時與圓G和圓

。2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為()

A.不=1B.eq-/=1

v2v2

C.JV2=1(后一1)D.F=1(x21)

答案C

曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）（2023?連云港模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線￡一8=13＞0,力＞0）的右焦點為F,

點A在雙曲線的漸近線上，AOA/是邊長為2的等邊三角形，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.cq-p=lB.eq_]=]

C.eq—?2=1D.x2—與=1

J

答案D

解析由方程，一樂=I,

得雙曲線的漸近線方程為、,=%

不妨設(shè)A在直線），=/上，

由△以戶是邊長為2的等邊三角形，

可得。=2,直線）=%的快斜角為60°,

哈方，

〃=小々，〃=木,

聯(lián)立＜可得

_a2-\-b2=c2=4,。=1，

故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為f-

思維升華求雙曲線的標(biāo)淮.方程的方法

（1）定義法：由題目條件判斷出動點軌跡是雙曲線，確定252?；?c,從而求出爐，業(yè)

（2）待定系數(shù)法：“先定型，再定量”，如果焦點位置不好確定，可將雙曲線方程設(shè)為奈

=x（z^0）,再根據(jù)條件求2的值.

跟蹤訓(xùn)練2⑴已知雙曲線，一￡=1（“＞（）,/?0）的離心率為2,左焦點到漸近線的距離為2小,

則雙曲線的方程為（）

V2

A.eq—^=1Beq_]=l

C.eq-g-=lD.eq—y=l

答案A

22

解析易知雙曲線a一方=比＞0）的漸近線方程為”=±必，由C的左焦點（一c,0）到其

be

漸近線的距離是2小，可售b=2小,則從=12,

由雙曲線也一點=15＞0,歷＞（））的離心率為2,得e=：2,又/=/+〃,

解得4=2,c=4,

則雙曲線的方程為亨一:=1.

（2）（2023?廊坊模擬）江西景德鎮(zhèn)青花瓷始創(chuàng)于元代，到明清兩代達到了頂峰，它藍白相映怡然

成趣，晶瑩明快，美觀雋永.現(xiàn)有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦點在x軸上的雙曲線的一

部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面，如圖所示，若該花瓶的瓶身最小的直徑是4,瓶口和底面

的直徑都是8,瓶高是6,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）

A.eq—甘=1B.eq-＞,2=1

V2V2

C.eq-g=1D.eq-=1

答案D

解析由題意可知該雙曲線的焦點在x軸上，實軸長為4,點（4,3）在該雙曲線上.

設(shè)該雙曲線的方程為^一方=1（。＞0，0＞0），

24=4,‘4=2,

則《4232

解得

力=木,

故該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是。一

題型三雙曲線的幾何性質(zhì)

命題點1漸近線

例3（1）（2022?北京）已知雙曲線）2+\=1的漸近線方程為＞，=瑪;，則加=.

答案一3

解析方法一依題意得皿＜0,雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為）2—七=|,此時雙曲線的漸

近線的斜率為々^==埠，解得〃?=—3.

yj—mn

方法二依題意得加＜0,令y2—f，=。，得則解得〃?=一3.

（2）（2022.連云港模擬）若雙曲線經(jīng)過點（1,小），其漸近線方程為），=±2r,則雙曲線的方程是

答案4.P一尸=1

解析方法一由題意可知，①若雙曲線的焦點在工軸上，則可設(shè)=1（〃＞0,?。?）,則十

—*=］且§=2,聯(lián)立解得a=，，b=I,則雙曲線的方程為4f—）?=］；

②若雙曲線的焦點在），軸上，則可設(shè)，一7=13＞0,比＞0）,則了一中=1,且1=2,此時無解，

綜上，雙曲線的方程為4/一爐=1.

方法二由題可設(shè)雙曲線方程為4A--/=；.（A^0）,

???雙曲線經(jīng)過點（1,小）,

.*.X=4X12-（V3）2=1,

???雙曲線方程為4?—）2=］.

?292

思維升華⑴漸近線的求法：求雙曲線，一方=1（〃＞0,力＞0）的漸近線的方法是令也一方=0,

即得兩漸近線方程衿=。卜=等）

22

（2）在雙曲線的幾何性質(zhì)中，重點是漸近線方程和離心率，在雙曲線，一營=1（。＞0,》＞0）中，

離心率C與雙曲娛的漸近線的斜率&=*，滿足關(guān)系式c2=l+R.

命題點2離心率

例4（1）（2021?全國甲卷）已知尸1，巳是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點、,且/尸產(chǎn)&=

60°,|尸網(wǎng)=3|尸尸2］，則C的離心率為（）

A.eqB.eqC.eqD.eq

答案A

解析設(shè)|PB尸小，則儼Fi|=3”

在△FiP&中，

EBI=^r+9m2-2X3wX/HXcos600

=幣"1,

所以C的離心率e=A方品浮可

巾〃】巾

-2m-2?

（2）（2022?全國甲卷）記雙曲線。，一￡=l（a>。，b>0）的離心率為e,寫出滿足條件“直線y

=2x與。無公共點”的e的一個值________.

答案2（（1,小］內(nèi)的任意值均可）

解析雙曲線。的漸近線方程為丁=號，若直線y=2x與雙曲線C無公共點，

則2名?噂W4,???/=，=1+?W5,

又e>l,???eE（l,小1，

???填寫（1,小］內(nèi)的任意值均可.

思維升華求雙曲線的離心率時，將提供的雙曲線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線基本量出〃，

。的方程或不等式，利用^=/+從和轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程（或不等式），通過解方程（或

不等式）求得離心率的值（或范圍）.

二2

跟蹤訓(xùn)練3（1）（多選）（2023?聊城模擬）已知雙曲線C：三十占=1（04<1）,則下列結(jié)論正

yKKI

確的是（）

A.雙曲線。的焦點在x軸上

B.雙曲線C的焦距等于叭R

C.雙曲線C的焦點到其漸近線的距離等于尸i

D.雙曲線C的離心率的取值范圍為（1,挈）

答案ACD

解析對于A,因為04vl,所以9一心>0,LY0,

,2

所以雙曲線C：表7一占=1（（）<A<1）表示焦點在工軸上的雙曲線，故選項A正確；

對于B,由A知〃2=9一左，方=1一匕所以。2=42+辰=10—22，所以0=.10—2火,

所以雙曲線C的焦距等于2c=2y［i0^2k（0<k<l）t故選項B錯誤；

92

對于C,設(shè)焦點在X軸上的雙曲線C的方程為a一次=1（。>0，〃>0），焦點坐標(biāo)為（tC,O）,則漸

近線方程為y=±^.v,即bx±ay=0,

所以焦點到漸近線的距離d=J；，=b

所以雙曲線C：占一三=1（04<1）的焦點到其漸近線的距離等于，1口，故選項C正確;

yK\K

對于D,雙曲線C的離心率6=

9一女

因為OvKl,所以1＜2一言^猾，所以6=\/2一五方￡（1，3J,故選項D正確.

（2）（2022?懷化模擬）已知F是雙曲線C：，一方=1（。＞0,方＞0）的右焦點，過點F的直線/與雙

曲線C的一條漸近線垂直，垂足為人，且直線/與雙曲線C的左支交于點8,若3|剛=|/W|,

則雙曲線C的漸近線方程為.

答案j=+1x

解析設(shè)C的左焦點為人，連接H從過居作QO_Lm于點。，如圖所示，易知QQ//OA,

在雙曲線。中，易知|用=C

又3|阿=|AB|,

則|OB|=2b,

則。為線段F8的中點，

所以/為等腰三角形，

.又尸樹=4〃.|F田|=4〃-2〃=|居用=2。.

即c+a=2b,

又/=/-a2=（c+〃）（c-“），

將6=字代入得用=（c+a）（c—a）,

得c+a=4（c—。），

則c=^a,

又c2=a1-\-b1,

所以〃=,a,則漸近線方程為），=±1x.

課時精練

丐基礎(chǔ)保分練

（?宜昌模擬）雙曲線乃＞）的離心率為（）

1.20224r0

A.eqB.eqC.eq或坐D.eq

J

答案B

解析因為Z＞0,所以方一為=1，所以雙曲線焦點在x軸上，所以4=2以后=42,cL=（r

+廬=6九所以離心率為5=、區(qū)=、修=S

2.是“方程〃/+"=1表示雙曲線”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案C

解析因為方程〃浸+〃）?=I表示雙曲線，所以小〃<0,

又當(dāng)mn<0時，方程"后+〃>2=1表示雙曲線，

因此“粗〃<0”是“方程〃?/+〃尸=1表示雙曲線”的充要條件.

3.已知雙曲線的漸近線方程為實軸長為4,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

V2

A.eq-,=l

D.eq—^=1或W=]

答案D

解析設(shè)雙曲線方程為另一3=l（mW0）,

,**lei=4,；?a?=4,

當(dāng)/?7>0時，2/〃=4,77?=2；

當(dāng)m<0時，一陽=4,in=—4.

故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為?一號=1或9一1=L

4.（2022.南通模擬）方程/+（85。）廿=1,。￡（0,兀）表示的曲線不可能為（）

A.兩條直線B.圓

C.橢圓D.雙曲線

答案B

解析因為夕￡（0,71）,所以cos0￡（—l,l）,

所以當(dāng)cos6^（—1,0）時，方程.F+（cos，）），=1表示雙曲線；

當(dāng)cos〃=0時，方程.F+（cos0））2=1表示兩條直線x=±l；

v2

當(dāng)cos（0,1）時，方程（cos9））2=1可化為f+——=1,

cos6

因為:禽＞1，所以方程表示焦點在y軸上的橢圓?

5.（多選）（2023?唐山模擬）已知Q,F?為雙曲線C^-？=1的兩個焦點，P為雙曲線C上

任意一點，則（）

A.|PQ|一|尸尸￥=2小

B.雙曲線C的漸近線方程為），=白殳

C.雙曲線C的離心率為平

D.|麗+而|22小

答案CD

2_____

解析雙曲線C：,一.~=1焦點在y軸上，。=小，〃=1,c=y[a^H?=2.

對于A選項，||PPi|—|P/；2ll=2a=2小，而。點在哪支上并不確定，故A錯誤；

對于B選項，焦點在1y軸上的雙曲線。的漸近線方程為y=±fx=/x，故B錯誤；

對于C選項，6=；=哀=￥，故C正確；

對于D選項，設(shè)P（x,y）（x三R）,則|PO|=d?巧=4?不壽司=小不了？2小（當(dāng)且僅當(dāng)x

=0時取等號），

因為。為RF2的中點，所以|函+密|=|2歷|=2|兩|22小，故D正確.

6.（多選）（2023?湖南長郡中學(xué)模擬）R,B分別為雙曲線C：方一E=1（。＞0,。＞0）的左、右焦

點，P是。右支上的一點，PR與C的左支交于點Q.已知所=2函，且|PQ|=|PBI，貝心）

A.△尸QB為直角三角形

B.△PQ6為等邊三角形

C.C的漸近線方程為｝，=6同工

D.c的漸近線方程為），=Hit

答案BC

解析因為|PQ|=|P22l，

所以由雙曲線定義知，IPF1ITP尸2|=|。尸1|=2m10局一|QR|=2a,

所以IQBI=4m

又麗=2函，

所以|PQ|=|P3|=4”，

故△尸。尸2是等邊三角形.在△尸B尸2中，

22236片+16/一4/

|PFI|+|PF2|-|FIF2|1

由余弦定理得，cosNQP乃=48標(biāo)2,

2\PFI\\PF2\

則]=

~^^=7

即於迎

故。的漸近線方程為y=±^x.

7.（2021.新高考仝國II）已知雙曲線C：￡一g=1（々7）,力X））的離心率c=2,則該雙曲線C

的漸近線方程為.

答案y=±\[3x

j22

解析因為雙曲線￡一方=1（〃>0,歷>0）的離心率為2,

所以e=、/S='偉E=S?=2,所以紜3,

所以該雙曲線的漸近線方程為y=±rx=±\[3x.

*22

8.（2022?晉中模擬）已知雙曲線，一1=13>0,">0）的左'右焦點分別為K，巳，P在雙曲線

的右支上，|PQ|=4|PBI，則雙曲線離心率的取值范圍是.

答案■f

田氏|=4儼

解析設(shè)NFIPF2=H,由’

[\PFA-\PF2\=2a,

”Q

「人|=三,

得<

.2

產(chǎn)局尸-

<3

,：\PF^c-at

.2

.,?？a2c-a,

即2c,

*

即c鴻5，

???雙曲線離心率的取值范圍是1<應(yīng).

2

9.己知雙曲線C：f一5=1（歷>（））.

（I）若雙曲線C的一條漸近線方程為y=2x,求雙曲線C的標(biāo)掂方程;

(2)設(shè)雙曲線C的左、右焦點分別為B，B，點尸在雙曲線C上，若PFi_LPB，且△PFiB

的面積為9,求〃的值.

解(1)因為雙曲線C：f一g=1(〃＞0)的漸近線方程為y=±hx,而它的一條漸近線方程為y

=2x,

所以b=2,

所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為f—：=1.

⑵因為PQ_LP3,

因為△PF1F2的面積為9,

所以|尸尸小曰同=18,

又因為||PB|一|P尸dl=2a=2,

所以仍尸1|2-2伊川.仍尸2|+儼同2=4,

所以|PaF+|p尸2F=40,

又因為甲為「十尸產(chǎn)2『=|為死「=4c\

所以6?=10,

由，+護=/,得1+護=10,

所以〃=3.

10.如圖，已知雙曲線的中心在原點，F(xiàn)i，尸2為左、右焦點，焦距是實軸長的爬倍，雙曲線

過點(4,—y[io).

⑴求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若點M(3,〃。在雙曲線上，求證：點M在以臼尸2為直徑的圓上；

(3)在(2)的條件下，若點M在第一象限，且直線MB交雙曲線于另一點N,求△FiMN的面

積.

⑴解設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為也一%=1(。＞0,比＞0),

雙曲線焦距為2c,實軸長為2a,

貝|12c，=2Via,EPc=y/2a,

b2=c2—a2=a2,

???雙曲線方程為x2—)2=〃，

將(4,一皿)代入得，/=16—10=6,

?2

???雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1+=1.

（2）證明由（1）知，尸|（一2小，0）,F?（2小,0）,

???M（3,6）在雙曲線上，

，9一病=6,即加2=3,

以尸尸2為直徑的圓為/+產(chǎn)=12,

將"（3,，〃）代入得9+3=12,

???M在以QB為直徑的圓上.

（3）解由（2）知，點/坐標(biāo)為（3,6）或（3,一?。?

???點M在第一象限，

21^3—3)=-(2+A/5)(X-3),

???M的坐標(biāo)為（3,5），直線的方程為）一小=

即），=（-2—小口+（6+4\務(wù)，

代入雙曲線方程整理可得（6—4小》2—4小（2一?。﹜+6=0,

???M的縱坐標(biāo)為小，

???△的縱坐標(biāo)為4―4、%）X小=號=一（小+2）,

??.△QMN的面積為S=%&F2卜(小+小+2)=2小XQ+2小)=12+4小.

q綜合提升練

11.中心在原點，焦點在坐標(biāo)軸上的雙曲線C與橢圓若+?=1有相同的焦距，一條漸近線

方程為x—小y=0,則C的方程為（）

A.eq一9=1或）?一手=］

B.f一弓=1或>,2—y=1

C.eq—/=1或勺-/=1

D.『一］=1或］—f=l

答案A

解析在橢圓片+尢=1中，c=N10—6=2,

:.焦距2c=4.

???c的一條漸近線方程為了一?。?，=0,

???設(shè)C的方程為^■一），2="2工0）,化為標(biāo)準(zhǔn)方程為專一A1.

當(dāng)A>0時，c=W+3%=2,解得2=1,則C的方程為與一）2=1；

當(dāng)2<0時，c=y]-A-3A=2,解得人=-1,則C的方程為）2一5=1.

12.（2022?徐州模擬）已知Fi，B分別是雙曲線C：5一$=lQ>0,b>0,e>坐）的左、右焦

點，以線段為直徑的圓與雙曲線及其漸近線在第一象限分別交于48兩點，若A,8

兩點的橫坐標(biāo)之比是?。簯?yīng)，則該雙曲線的離心率為（）

A.eqB.eqC.eqD.eq

答案C

解析過點A作AF_Lx軸，垂足為F,過點8作軸，垂足為E,如圖所示.

設(shè)yi）.R（n,y2）.則|。用=|。&|=小

由漸近線的方程）=3可知”=乳，

序

在RlZ\08七中，強+肅?=。2，解得X2=〃（舍負），

由已知得X1:12=?。?，即Xl=2即依尸|2=，一（坐，2=/一孤，

因為離心率e>坐，

所以c2—1?2>0,

則點A的坐標(biāo)為（坐a

3

3,-

2a'2

代入雙曲線方程可得R77化簡得2〃=/,即《=也.

以拓展沖刺練

13.（2022?棗莊模擬）已知雙曲線￡一方=1（〃>0,力>0）的右頂點為A,右焦點為凡8為雙曲線

在第二象限上的一點，8關(guān)于坐標(biāo)原點（）的對稱點為C,直線CA與直線BF的交點M恰好

為線段的中點，則雙曲線的離心率為（）

A.2B.3C.eqD.eq

答案B

解析如圖，設(shè)〃）,

則C(~m,—〃),

易知A（a,O）,F（c,O）,

由M為線段8/的中點得M（吟，5）,

又M在直線CA上,

故俞共線,

又CA=(〃+/m〃),

故（。+加＞5=〃?

整理得c=3〃，

故