第4講空間向量與距離、探究性問題

［考情分析］1.以空間幾何體為載體，考查利用向量方法求空間中點(diǎn)到直線以及點(diǎn)到平面的距

離，屬于中等難度2以空間向量為工具，探究空間幾何體中線、面的位置關(guān)系或空間角存在

的條件，計(jì)算量較大，一般以解答題的形式考杳，難度中等偏上.

考點(diǎn)一空間距離

【核心提煉】

⑴點(diǎn)到直線的距離

直線/的單位方向向量為%A是直線/上的任一點(diǎn)，P為直線/外一點(diǎn)，設(shè)淳=氏則點(diǎn)P

到直線/的距離d=yla2—(au)2.

(2)點(diǎn)到平面的距離

平面a的法向量為〃，A是平面a內(nèi)任一點(diǎn)，P為平面a外一點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面a的距離為4

\AP-n\

=I心

考向1點(diǎn)到直線的距離

例1(1)(2022?廣州模擬)如圖，在四棱錐P-48CD中，PBJ_平面4BC。，ABLBC,PB=AB

=2BC=2,則點(diǎn)C到直線PA的距離為()

D

A.小B.小

C.^2D.2

答案A

解析因?yàn)槠矫?8CO,A8U平面A8C。，8CU平面A3C。,

所以P8JLA8,PB1BC,

如圖，以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，

則C(1,O,O),A(0,2,0),

P(0,0,2),

斤=(1.0,-2),或=(02-2),

即正麗=4.

正在畫上的投影向量的長度為

生戶=*=g，故點(diǎn)C到直線以的距離為、/|麗］2—(啦)2=小

\PA\272

(2)如圖，已知正方體ABCD-AIBIG。的棱長為1,則線段AOi上的動(dòng)點(diǎn)P到直線4。的距

離的最小值為()

A.I

C亞

。4

答案D

解析如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則4(1,01)，G(04,l),

設(shè)P(x,0,1-x),OWxWl,

則用=。一1,0,-x),^Ci=(-1,1,0),

???動(dòng)點(diǎn)P到直線AG的距離為

?，??1?

APAG

I4PF-2

IA1C1I

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，如線段4n上的動(dòng)點(diǎn)P到直線4G的距離的最小值為坐.

考向2點(diǎn)到平面的距離

例2（1）（2022.湖北聯(lián)考）在底面是菱形的四棱錐P—A8CO中，ZABC=60°,PA=PC=\,

PB=PD=p,點(diǎn)E為線段夕。上一點(diǎn)，且PE=2ED,則點(diǎn)。到平面ACE的距離為.

答案喑

解析如圖，連接AC,8。交于點(diǎn)。，連接OP,以O(shè)B,OC,OP所在直線分別為x,y,z

軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)A8=2a,貝ijOA=〃，OB=y[3a,

因?yàn)镻A2-OA2=PB2-OB\

所以I—『=2—3/,

解得。=乎，則乎，

所以A（0,一乎，0），《。，乎，0）,

《0,0,號(hào)），0（-當(dāng),0,0）,《邛,0,喻

則/=（0,?0）,

金（邛,察陰，

亦=（o,察孝），

設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量為〃=（/,y,z）,

取x=l,得〃=(1,0,25),

f2x+2y=0,

即＜.r

⑵+5z=0,

令犬=小，得y=一小，z=2,

故〃=（小，一小,2）,

所以點(diǎn)4到平面EAC的距離

,|而川4s2而

d=1?1=后手工=5'

故4G到平面E4C的距離為2爭.

規(guī)律方法（1）求直線到平面的距離的前提是直線與平面平行.求直線到平面的距離可轉(zhuǎn)化成

直線上任一點(diǎn)到平面的距離.

（2）求點(diǎn)到平面的距離有兩種方法，一是利用空間向量點(diǎn)到平面的距離公式，二是利用等體積

法.

跟蹤演練I（1）（2022.邢臺(tái)聯(lián)考）以，PB,PC是從點(diǎn)夕出發(fā)的三條線段，每兩條線段的夾角

均為60°,P/\=PB=PC=\,若M滿足麗=濟(jì)+2而+3元1，則點(diǎn)M到直線AB的距離為（）

A#B.3

C.2小D.3^2

答案D

解析病=麗一直=2麗+3元*,

則?詡=q（2而+3心2

=勺4稱+12而?元+9市

=yj4+l2X1X1X）+9=回，

則病病=（2崩+3陌?（麗一成）

=2成2一2通.或+3元?麗一3元.①

=2-2X1X1x1+3XlX1x1-3XIX1x1=I,

|茄|=4（而一無）2=4而2-2麗.麗+詼2

=^1-2X1X1X1+1=1,

則點(diǎn)M到直線48的距離

(2)(2022?茂名模擬)如圖，正方體A3CO-AB6Z)i的棱長為1,中心為O,BF=^BC,ME=

則四面體OEB產(chǎn)的體積為(

B±C.表D表

A12

答案D

解析如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)A,DC,。。所在直線為4,y,z軸建立空間直角

坐標(biāo)系,

3

4

貝ijoQ,]8(1,1,0),

1

一

2'

礪=(o,—1?券

則I麗=點(diǎn)|麗=坐，I闔=今

6B6E

cosNBOE=

\OB\\OE\

???N80EE?,兀)，則sin/BOE=萼.

t?6

；?Sz)EB=mOB,OE?sinNBOE=ix.

設(shè)平面0E8的一個(gè)法向量為〃=（x,），，z）,

由＜取z=l,

得n=Q,4,0,又濟(jì)=（—V°，0），

???尸到平面OEB的距離力二也知二騫，

1〃1°乙

???四面體OEBF的體積T）＜曙義警=點(diǎn)

考點(diǎn)二空間中的探究性問題

【核心提煉】

與空間向量有關(guān)的探究性問題主要有兩類：一類是探究線面的位置關(guān)系：另一類是探究線面

角或兩平面的夾角滿足特定要求時(shí)的存在性問題.處理原則：先建立空間直角坐標(biāo)系，引入

參數(shù)（有些是題中已給出），設(shè)出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，然后探究這樣的點(diǎn)是否存在，或參數(shù)是否滿

足要求，從而作出判斷.

例3（2022?汕頭模擬）如圖，。為圓錐的頂點(diǎn)，。是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，AE=

AD,/XABC是底面的內(nèi)接止三角形，且。0=6,P是線段。。上一點(diǎn).

⑴是否存在點(diǎn)P，使得%_L平面04C,若存在，求出P。的值；若不存在，請(qǐng)說明理由;

（2）當(dāng)PO為何值時(shí)，直線EP與平面P8C所成的角的正弦值最大.

解（1）存在，由題意得八。==4￡=/4。，

因?yàn)锳Z^MOON+AO2,

所以4》=36+%￡＞2,

所以40=44，AO=2小，

因?yàn)椤鰽BC是底面圓的內(nèi)接正三角形,

所以;if^=2X2小,

所以A8=6,

又由題意得以2=12+。。2,

假設(shè)以平面。8C,則朋_LPB,

所以/44=以2+尸產(chǎn)，

所以BGnlZ+P^+lZ+PO2,所以PO=加,

此時(shí)以_LPC,PAVPB,PBCPC=P,

PB,尸CU平面PBC,

所以當(dāng)尸。=#時(shí)，必JL平面PBC.

（2）如圖所示，建立以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)PO=x,0&W6,

所以尸(0,0,x),E(-小,3,0),B(4,3,0),

。(一2小，0,0),

所以前=（小,-3,x）,而=（小,3,-X）,

PC=（—2y[3,0,—A）,

設(shè)平面04c的法向量為〃=（〃，b,。），

〃/8=小。+3/?—cx=0,

所以1

n-PC=—2小a—cr=0,

所以〃=（x,一小x,—2^3）.

設(shè)直線石尸與邛面尸6c所成的角為仇

|小1+3限一2后2sxV3

由題意得sin0=MV

、3+9+P、x2+3『+12,12+e?14.?+12/7^36

當(dāng)且僅當(dāng)尸O=x=#時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)直線EP與平面P8C所成的角的正弦值最大.

規(guī)律方法解決立體幾何中探索性問題的基本方法

（1）通常假設(shè)問題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在或結(jié)論成立，再在這個(gè)前提下進(jìn)行推理，如果能推出與條

件吻合的數(shù)據(jù)或事實(shí)，說明假設(shè)成立，并可進(jìn)一步證明，否則假設(shè)不成立.

(2)探索線段上是否存在滿足條件的點(diǎn)時(shí)，一定注意三點(diǎn)共線的條件的應(yīng)用.

跟蹤演練2(2022?武漢質(zhì)檢)如圖，在四棱錐P-/WCO中，四邊形4BC。為平行四邊形，PA

=PD=巾,A8=l,40=2,PDLAB.

(1)證明：平面PC。_L平面%8；

的夾角的余弦值為￥.

(2)若小，試在棱尸。上確定一點(diǎn)E,使得平面例8與平面E4C

(1)證明因?yàn)?1=?。=<5,人。=2,

所以朋2+尸》=4》，所以

又因?yàn)镻Q_LA8,AB,%匚平面%&

S.ABCim=A,

所以PO,平面PAB,

又因?yàn)镻QU平面PCD,

所以平面PCO_L平面PAB.

⑵解因?yàn)楸?6，AB=\tPB=p

所以附2+AB2=P/，所以AB1B4,

又因?yàn)镻QLAB,PA,PQU平面出。，

且PQGE4=A,

所以AB_L平面PAD,

因?yàn)锳OU平面PAD,

所以A8_LAO,

所以四邊形ABC。為矩形.

以人為原點(diǎn)，AB,而分別為x軸、1y軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,

則40,0,0),5(100),C(l,2,0),0(020),P(0,l,l),

所以啟=(1,2,0),AP=(04,l),而=(0,I,-1),

由平面%B,可得向量而=(0,1,—1)是平面的一個(gè)法向量.

設(shè)麗=2的，0W2W1,

則E(0,2—九2),

所以檢=(0,2—九z).

設(shè)平面E4C的一個(gè)法向量為〃=(x,ytz),

〃AE=0,(2—2)y+/n=0,

貝小所以

x+2)，=0,

ji-AC=(),

令)，=—1,可得x=2,z=Y^,

所以〃=(2,—i,

所以|cos(PI),n>|=IP^nI

IlWdl

可得12A2-8/.+l=0,

解得或2=：,

即當(dāng)點(diǎn)E滿足應(yīng)而或而=：而時(shí)，平面以3與平面￡4C的夾角的余弦值為乎.

4U/

專題強(qiáng)化練

1.(2022?山東聯(lián)考)如圖，在正四棱柱AZJCD—AMiCQ中，AD=\,E為CG的中點(diǎn).

(1)當(dāng)AA]=2時(shí)，證明：平面平面A山|E

⑵當(dāng)人4=3時(shí)，求4到平面BDE的距離.

⑴證明當(dāng)4A尸2時(shí)，BiE=也,BE=也

所以巴爐+8爐=8醉，所以&ELBE.

又4助_1_平面BCC81,則A|3i_L3￡

因?yàn)槿擞胕CB|E=Ai,人用，BiEU平面481E,

所以BE上平面AIBIE,

又8EU平面BDE,

所以平面平面AiBiE.

⑵解以。為原點(diǎn)，QA,DC,。。所在直線分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系，

則。(0,0,0),8(11。)，

Ai(l,0,3),《0,1，I)

所以加=(1,1,0),D￡=(0,1,漏=(1,0,3).

設(shè)平面HOE的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),

?而=0,卜+產(chǎn)°，

則<即L3

〔〃無=0,卜十下一0,

不妨令z=2,則)，=—3,x=3,

得i=(3,-3,2).故4到平面BDE的距離

《二陪卜/噂

2.(2022?聊城質(zhì)檢)如圖，在正四楂柱ABC。-48iGQi中，AAi=2AB=2,E,F分別為棱A4,

CG的中點(diǎn)，G為棱。d上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求證：B,E,Dit產(chǎn)四點(diǎn)共面；

(2)是否存在點(diǎn)G,使得平面GEr_L平面BEF?若存在，求出DG的長度；若不存在，說明理

由.

⑴證明如圖所示，連接。i￡GF,取8當(dāng)?shù)闹悬c(diǎn)為M,連接MG,ME,

因?yàn)镋為A4i的中點(diǎn)，

所以EM//AiBi//CiDit

且EM=A\B\=C}Dif

所以四邊形EMGQi為平行四邊形，所以。歸〃

又因?yàn)槭瑸镃G的中點(diǎn)，

所以BM〃GF,且BM=GF,

所以四邊形8MG尸為平行四邊形，

所以所以

所以&E,Di,產(chǎn)四點(diǎn)共面.

(2)解以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,。。分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖

所示，

假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)GQO,/)(0W/W2),

由巳知3(1,1,0),頊1,0,1),F(0,l,l),

則濟(jì)=(一1,1,0),E5=(0,1,-1),

由=(一1,0,/-I),

設(shè)平面3於r的一個(gè)法向量為〃]=(為，>'1，2|),

則,即八

鼠標(biāo)=0,E-Z尸0，

取3=1,則〃1=(1,1,1)；

設(shè)平面GE產(chǎn)的一個(gè)法向量為〃2=(X2,>2,Z2),

]〃2?濟(jì)=0,

(一%2+丁2=0,

則即,

—X2+。—1)Z2=O,

niEG=Ot

MX2=t—1,則〃2=(r—1,/—1,1).

因?yàn)槠矫鍳E/tL平面BEF,

所以?1?2=0,

即f—1+l—1+1=0,解得/=1.

所以存在滿足題意的點(diǎn)G,使得平面GE產(chǎn)_L平面BE凡DG的長度為

3.(2022?湖北七市聯(lián)考)如圖所示，在四棱錐P-ABC。中，底面ABC。為正方形，以1底面

ABCD,PA=AB,E,尸分別為線段PB,8C上的動(dòng)點(diǎn).

⑴若￡為線段總的中點(diǎn)，證明：平面平面P4C：

⑵若BE=y[2BF,且平面AM與平面PBC夾角的余弦值為去，試確定點(diǎn)F的位置.

⑴證明由%_L底面ABCO,可得附_LBC,

又在正方形ABC。中，8C_LAd

且小nA8=A,PA,A8U平面布反

則BCJ_平面PAB,

又AEU平面PAB,

所以I3CJ-AE.

由%=A&E為PE中點(diǎn),可得AE_LPB,

又PBCBC=B,PB,8CU平面P8C,

則A￡_L平面P8C,又4EU平面AEV,從而平面J_平面。8c.

(2)解以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，/IB,AD,A尸分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)

AB=\f

則A(0,0,0),8(1,0,0),C(1J,O),D(0,l,0),P(0,0,l).

由（1）可知〃i=6，o,g為平面OB。的一個(gè)法向量.

由BE=y^BF,可知EF//PC,

設(shè)濟(jì)=2證，BE=）.BP.

則濟(jì)=(0,2,0),礪=(7,0,1),

可得能=矗+泳=(1,2,0),

AE=AB+BE={\~^0,2).

設(shè)平面AfT7的一個(gè)法向量為〃2=(x,y,z),

〃2?A尸=0,%+孫=0,

?即

(1-2'ir+xz=0,

,fi2-AE=0,

取y=l,則x=-i,z=l—A,

即〃2=(—2,1,1—%).

川?同

從而,由|cos<W|,〃2〉|=I

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~yj2^2A2-2A+2~14>

12

解得2=?或/=§,即r在BC的三等分點(diǎn)處.

4.（2022?長沙十六校聯(lián)考）如圖，在四棱錐中，△兩。是以A。為斜邊的等腰直角三

角形，RC//AD,