大題優(yōu)練7

例1.如圖所示，xO)?平面上以坐標原點。為圓心的四分之■圓形區(qū)域MON內(nèi)，分布著磁感應(yīng)強度4=2.0x10

一31的勻強磁場，其中M、N點距坐標原點。為地m,磁場方向垂直紙面向甲，坐標原點O處有一個粒子

源，不斷地向平面發(fā)射比端=5x|()7C/kg的帶正電粒子，它們的速度大小都是v=lxl05m/s,與其軸正

方向的夾角分布在0?90。范圍內(nèi)，不計粒子重力。

(1)求平行于x軸射入的粒子，射出磁場的位置及在磁場中的運動時間；

(2)求恰好從M點射出磁場的粒子，從粒子源。發(fā)射時的速度與工軸正向的夾角；

(3)若粒子進入磁場前經(jīng)加速使其動能增加為原來的2倍，仍從。點垂直磁場方向射入第一象限，求粒子在磁

場中運動的時間r與射入時與x軸正向的夾角3的關(guān)系。

【解析】(1)平行于X軸射入的粒子，軌跡如圖甲所示，設(shè)出射點為P，由0心=〃片

得R=1m。

由幾何關(guān)系可知QP=OiO=1m,OP=pm,則△OOP為等腰直角三角形，x=y=\m,a吾

故P點坐標為(1m，1m)

運動時間為h=券鬻=和。-5s。

甲乙丙丁

(2)如圖乙所示，由幾何關(guān)系可知：02M=O2O=lm,OM=@m

則△QOM為等腰直角三角形，/。2。知=45。

則。=/。2。"=45。。

⑶住火=翁區(qū)=品，可知火=*醇，專=噩二取

則R-=y[2nu

粒子從M點出射時OM=R,如圖丙所示，Z\030M為正三角形，圓心角〃=?出射角夕=]

若粒子從弧MN上射出時，弦長均為&m,圓心角均為〃=當

運動時間均為/4?鬻=31(尸s,故g若時」=*10%

若粒子從邊0M出射時，如圖丁所示，?r,=2^—2^

運動時間產(chǎn)=5縹=(L20)xl(Ts,故"濾時，/=(兀-20)x10%。

例2.如圖所示，在爛。的范圍內(nèi)，存在方向沿)，軸負方向的勻強電場，電場強度大小為從在%＞。的范圍

內(nèi)，存在圓心為(230)、半徑為2￡、垂直xQv平面向里的圓形勻強磁場。一個氣核(H)和一個簫核(怕)先后從

電場中的P(一236L)點、平行紙面沿x軸正方向以相同的動能射出，己知〃從坐標原點。進入磁場，且射

出磁場時速度方向與y軸正方向平行，，的質(zhì)量為〃h電荷量為力不考慮重力，求：

oXX8Xj*

E二工二J，'

(I)|H從P點射出時的動能；

(2)磁場磁感應(yīng)強度的大??；

(3)汩射出磁場時速度的方向。

【解析】(1)設(shè)點核從尸點射出時的速度大小為即、動能為40,在電場中運動的時間為/,則：

?l.=vof,5人=5〃3，qF=nui

￡公k()—」2

解得：氏)=坐加。

(2)設(shè)笈;核進入磁場時速度的大小為八方向與x軸夾角為仇沿)，軸負方向分速度大小為?則:

氣核進入磁場后做勻速圓周運動，設(shè)磁感應(yīng)強度的大小為從軌跡半徑為,?，則有:

射入點0、磁場圓心。、射出點C、軌跡圓心。2構(gòu)成菱形，由幾何關(guān)系有:

解得：B二陛屋。

V3qL

(3)設(shè)篩:核射出時速度為vo；到)，軸時間為八該過程沿y軸負方向位移大小為到達y軸時速度的大小為

/、方向與x軸正方向夾角為夕，則：

2Z2

^VO=2(3W)VO

qE,2L

〃1,2人徵3〃？0

y0=一倉『(—)=y,tan-----v-=tan6^

23m噓v/

v0=-^-=且y

cos施3

即筑核也從坐標原點o進入磁場，設(shè)爾;核在磁場中做圓周運動的半徑為，，，則有:

qvli=m——

r0

解得：產(chǎn)=2小L

由幾何關(guān)系可知，射入點0、射出點。、軌跡圓心。3構(gòu)成等邊三角形，且。3。垂直x軸，所以於核離開磁場

時速度方向與X軸正方向平行。

1.如圖所示為平面直角坐標系X0平面的俯視圖，在第一象限存在方向沿)，軸正方向的勻強電場，電場強度

4二一

在第一象限，粒子做類平拋運動，加速度加

在y軸負方向根據(jù)運動學公式有用=2卬

耳=皿

聯(lián)立解得2qd

與X軸的夾角a=45。，根據(jù)運動特點可知0C=2d

2d

f\=—

運動時間%

由題意有

根據(jù)題意和以上分析知，粒子在第四象限受的電場力方向和火的方向垂直，加速度

cos459=—sin45

C、。在同一條平行于y軸的直線上，在x軸方向位移為()，有2

皿

聯(lián)立解得qd。

(3)粒子在O點的速度大小%=二砧產(chǎn)+吆=瓜。

W=-—mv1

從A點到。根據(jù)動能定理可得電場力做的功22

W=-mvl

聯(lián)立解得2

2.如圖所示，在平面直角坐標系的I、2象限內(nèi)有等腰三角形AOA,/AOB=120。，。點為人〃邊中點，

0C=\rn,OCYAB,在三角形范圍內(nèi)有垂直平面向里的勻強磁場，磁感應(yīng)強度8=坐T。在I、2象限其他

4

區(qū)域有與X軸正方向成60。角斜向上的勻強電場，電場強度E=qXl()2v/m,取y軸負半軸上一點。，沿OD

建立電場使得U。/產(chǎn)仇，把一群比荷*=3XIO?C/kg的負電荷在0D間靜止釋放，所有的負電荷都沒有從AB

邊射出磁場，不計電荷的重力，不考慮電荷間的相互作用，求:

(1)5的最大值;

（2）負電荷離開x軸的可能范圍。

【解析】（1）所有的負電荷都沒有從AB邊射出磁場的臨界如圖所示，根據(jù)幾何知識可得，此時的半徑為

R=OC=1m

y/cm

q%B-m—

帶電粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)，由洛倫茲力提供向心力，則R

〃12

2。=彳加%

帶電粒子在電場中加速，根據(jù)2

代入數(shù)據(jù)解得"o=5°V。

（2）帶電粒子離開磁場時，速度方向與電場方向垂直，粒子做類平拋運動，其中

匕）=\=石x10?m/s

Vin

a==4x104m/s~

加速度為m

粒子做類平拋運動在垂直電場方向的位移為％二%’

K=—ar

在沿電場方向的位移為2

根據(jù)幾何關(guān)系可得ON=1m

tan60=.X'----QQ-內(nèi)

又因為°F-八,sin60

聯(lián)立各式，代入數(shù)據(jù)解得°'G=lm

則x=OO+OG=2m

所以負電荷離開x軸的可能范圍為°〈五02m。

3.在如圖所示的xOy平面內(nèi)，邊長為2R的正方形區(qū)域中存在方向垂直xQ｝，平面向外、磁感應(yīng)強度大小為B

的勻強磁場，沿x軸放置一長為2R的探測板，與磁場下邊界的間距為凡質(zhì)量為〃?、電荷量為q的正離子源

從正方形一邊（位于），軸上）的中點P向垂直于磁場方向持續(xù)發(fā)射離子，發(fā)射速度方向與水平方向夾角范圍為

0?60。且均勻分布，單位時間發(fā)射N個離子，其發(fā)射離子速度大小隨發(fā)射角變化的關(guān)系為a為發(fā)

cosa

射速度方向與水平方向夾角，其中當a=0。的離子恰好從磁場下邊界的中點沿），軸負方向射出。不計離子間的

相互作用和離子的重力，離子打在探測板即被吸收并中和，已知R=0.05m,B=\T,vy）=5xiasm/s,sin37°

=0.6,cos37°=0.8o

(1)求離子的比荷A；

(2)求單位時間內(nèi)能打在探測板上的離子數(shù)小

(3)要使從磁場下邊界射出的所有離子都打不到探測板上，需要在磁場與探測板間加上沿y軸正方向的勻強電

場，求所加勻強電場的電場強度最小值反(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)

【解析】(1)。=0。的離子恰好從磁場下邊界的中點沿)，軸負方向射出，做出離子的軌跡如圖所示，根據(jù)幾何關(guān)

系可得離子運動軌跡半徑r=R

根據(jù)洛倫茲力提供向心力得：W8=〃邛

解得離子的比荷'=10?C/kgo

R，==旦

(2)發(fā)射角為?的離子運動軌跡半徑為qBcosacosa

如果第一、四象限都有磁場，根據(jù)幾何關(guān)系可得離子在磁場中運動時在)，軸上的弦長

L=2R'cosa=2R

即所有粒子都打到0點；實際只有邊長為2R的正方形區(qū)域存在磁場根據(jù)對稱性可得從P向磁場發(fā)射的離子

均垂直磁場下邊界射出，根據(jù)幾何關(guān)系可得離子出磁場下邊界的位置橫坐標為

,

xa=R'+Rs\na

離子要打在探測板最右邊時，需滿足Xa=R,+R'sina=2R

將運動軌跡半徑H'代入上式得l+sina=2cosa

解得a=37°

因為離子速度u=」一

cosa

所以當a>37。時離?子軌跡半徑變大，粒子從磁場右邊界射出磁場不能打到探測板上，并沿0—60。范圍均勻分

37

n=——N

布，單位時間發(fā)射N個離子，則單位時間內(nèi)能打在探測板上的離子數(shù)60。

(3)只要從磁場下邊界射出的速度最大的粒子打不到探測板上，則所有離子都打不到探測板上，離子最大的速

v=-----=—v

度為ncos37040n

當最大的速度的離子恰好達不到探測器時，此時電場強度為最小值￡,根據(jù)動能定理有

_qER=0_；力吟

解得￡=3.9x10^^］。

4.如圖甲所示，在水平地面上有一個口徑為蟲深為〃的漏斗形旱井。井的左邊側(cè)壁豎直，距其水平距離s處

有一個高為”的水平平臺，平臺上裝有絕緣彈射器，可以將質(zhì)量為，〃、電荷量為p可看作質(zhì)點的小球以速度

即彈射出去，W的方向跟井口直徑在同一豎直平面M內(nèi)。當小球水平向右彈出后，小球從井口上方掠過。忽

略空氣阻力，重力加速度為g。

(1)為了使小球能打進井中，可在地面上方平行于平面M加水平方向的勻強電場，求此電場的電場強度瓦的取

值范圍和方向；

(2)若在地面上方加一平行于平面M的勻強電場，小球可以無碰撞地落到井底，求小球從開始運動至落到井底

的過程中機械能的變化量；

(3)若在地面上方加豎直向上的勻強電場，電場強度大小E=等,同時加一個勻強磁場，改變彈射器的彈射方

向為斜向右上方，也恰能讓小球無碰撞地落到井底，求勻強磁場的磁感應(yīng)強度的大小以及物與水平方向的夾

角夕的正切值；

(4)若在地面上方加豎直向上的勻強電場，電場強度大小E節(jié),再加上磁感應(yīng)強度大小相等的有理想邊界的

兩個并列勻強磁場，如圖乙所示，以同(3)一樣的方向?qū)⑿∏驈椛涑鋈?，也能讓小球無碰撞地落到井底，求所加

磁場的磁感應(yīng)強度大小。

【解析】(1)在豎直方向小球做自由落體運動，有"二gg『

i楞

在水平方向上小球做勻減速運動，加速度大小為4,設(shè)小球從井口左側(cè)進入井中，有

2

qEl=ma^s=vot-^ait

12gH-mgs

解得g=

qH

同埋可得，當小球從井口右側(cè)進入井中，所加電場的電場強度大小為

叫《2gH-mg(s+d)

E2-

電場強度方向水平向左，4的取值范圍為

my再二mg吐d）工工嗎呵二,蹩

qHqH

（2）由題意可知，若小球可以無碰撞地到達井底，則小球需從井口的左側(cè)豎直進入。設(shè)小球從彈射出去到運動

井口的過程中，歷時為,，則水平方向s=

%2'

v

豎直方向

由動能定理得叱打+mgH=g〃八彳一；inv1

機械能的增加量為△￡二叱g

聯(lián)立解得\E=叫（”「）_nigH。

2s~

（3）在于利8=4七,所以小球在洛倫茲力的作用下在復(fù)合場中做勻速圓周運動，圓心在如圖甲所示的。點，設(shè)

半徑為R

甲

由幾何關(guān)系可知浦="2+（S-R）2

由牛頓第二定律得夕%3=加以

R

解得八科

由幾何關(guān)系可知彈射速度與水平方向的夾角°=/°AC,則

2sH

(4)由于兩個并列磁場的磁感應(yīng)強度大小相等，小球運動軌跡如圖乙所示，半徑為4

由題意得%=———(〃=1,2,3,…)

2〃一1

2

設(shè)磁場的磁感應(yīng)強度為夕,由牛頓第二定律得=fn—

q

解得B'=2笑1)丁。(〃=1,2,3,…)。

5.如圖所示，某粒子分析器由區(qū)域I、區(qū)域II和檢測器。組成。兩個區(qū)域以垂百z軸的平面P為界，其中區(qū)

域I內(nèi)有沿著z軸正方向的勻強磁場和勻強電場，區(qū)域II內(nèi)只有沿著z軸正方向的勻強磁場，電場強度大小為

￡,兩個區(qū)域內(nèi)的磁感應(yīng)強度大小均為以當粒子撞擊檢測器。時，檢測器被撞擊的位置會發(fā)光。檢測器中心

。在z軸上，在檢測器所在平面上建立與X。)，坐標系平行的坐標系廣?！?。一質(zhì)量為機、帶電荷量為的帶正

電粒子從人點沿x軸正方向以初速度血射入，若區(qū)域I內(nèi)只存在勻強磁場，其軌跡圓圓心恰好是。點，平面

(1)求A點的位置，用坐標(x,)，)表示；

(2)若區(qū)域I只有勻強電場E,當檢測器Q置于平面P處時，求檢測器上發(fā)光點的位置，用坐標(-/)表示:

(3)當檢測器距離。點的距離為d時，求檢測器上發(fā)光點的位置，用坐標(.r\/)表示。

【解析】⑴由洛倫茲力提供向心力有G"二m?

A

解得心也

qB

故4點的位置為(0,篝］

(2)粒子做類平拋運動，有L二絲坐，叫;