重難點突破03立體幾何中的截面問題

目錄

題型一：截面作圖

題型二：截面圖形的形狀、面積及周

長問題

題型三：截面切割幾何體的體積問題

題型七：截面圖形有關(guān)面積、長度及

周長范圍與最值問題

題型八：截面有關(guān)的空間角問題

方法技巧總結(jié)

解決立體幾何截面問題的解題策略.

1、坐標(biāo)法

所謂坐標(biāo)法就是通過建立空間直角坐標(biāo)系，將幾何問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運算問題，為解決立體幾何問

題增添了一種代數(shù)計算方法.

2、基底法

所謂基底法是不需要建立空間直角坐標(biāo)系，而是利用平面向量及空間向量基本定理作為依托，其

理論依據(jù)是：若四點&F、G、”共面，P為空間任意點，削有:

結(jié)論1：若EG與不共線，那么￡〃=/1忖G+//EH：

結(jié)論2：尸￡=/IPF+"PG++7/4-77=1）.

3、幾何法

從幾何視角人手，借助立體幾何中的線線平行、線面平行、面面平行的性質(zhì)與判定定理以及平面

幾何相關(guān)定理、結(jié)論，通過論證，精準(zhǔn)找到該截面與相關(guān)線、面的交點位置、依次連接這些點，從而

得到過三點的完整截面，再依據(jù)題意完成所求解答或證明.

必考題型歸納

題型一：截面作圖

例1.（2023?全國?高一專題練習(xí)）如圖，正方體ABCO-ASG4的棱長為6,M是的中點，點N在棱

CG上，且CN=2NG.作出過點。，“，N的平面截正方體ABC。-A4GA所得的截面，寫出作法：

例2.（2023?江蘇?高一專題練習(xí)）如圖，棱長為2的止方體人BCD-A4/C/。/中，E,尸分別是棱A4/,CC/

的中點，過E作平面a,使得?！ㄆ矫鍮DF.

（1）作出a截正方體4BCQ-A由/。力所得的截面，寫出作圖過程并說明理由;

⑵求平面夕與平面BDF的距離.

例3.（2023?全國?高一專題練習(xí)）（1）如圖，楂長為2的正方體A8CQ-A4CQ中，M,N是棱4心，AQ

的中點，在圖中畫出過底面A3CZ）中的心。且與平面人仞*平行的平面在正方體中的截面，并求出截面多邊

（2）作出平面PQR與四棱錐ABC"的截面，截面多邊形的邊數(shù)為

變式1.（2023?全國?高一專題練習(xí)）如圖①，正方體ABCO-A6GA的棱長為2,P為線段BC的中點，。

為線段CG上的動點，過點A、P、。的平面截該正方體所得的截面記為S.

（1）若1<CQ<2,請在圖①中借出截面S（保留尺規(guī)作圖痕跡）;

（2）若CQ=1（如圖②），試求截面S將正方體分割所成的上半部分的體枳匕與下半部分的體積匕之比.

變式2.（2023?全國?高一專題練習(xí)）如圖，已知正方體ABCO-a4CQ,點七為楂CG的中點

（1）證明：AG〃平面用況:.

（2）證明：AC,1BD.

（3）在圖中作出平面截正方體所得的截面圖形（如需用到其它點，需用字母標(biāo)記并說明位置），并說明理

由.

變式3.（2023?江蘇?高一專題練習(xí)）已知正方體A8CO-AAGA是棱長為1的正方體，M是棱的中點,

過C、A、M三點作正方體的截面，作出這個截面圖并求出截面的面積.

題型二：截面圖形的形狀、面積及周長問題

例4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，正方體A8CO-ABCQ的棱長為I,尸為KC的中點，Q為線段CG

上的動點，過點4,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題中正確命題的個數(shù)為（）

G

②當(dāng)CQ=；時，S為等腰梯形；

③當(dāng)CQ=3時，5與GR的交點與滿足C內(nèi)1

43

④當(dāng):vCQ<1時，S為六邊形；

4

A.1B.2C.3D.4

例5.（2023?四川成都?高二雙流中學(xué)?？计谥校┮阎襟w相。。-4罔6。的棱長為1,",'為線段席,”1

上的動點，過點A，M,N的平面截該正方體的截面記為S,則下列命題正確的個數(shù)是（）

①當(dāng)3M=0且OvCNcl時，S為等腰梯形；

②當(dāng)M,N分別為8CCG的中點時，幾何體A-RMN的體積為《；

③當(dāng)“為區(qū)C中點旦CN-g時，S與GA的交點為R，滿足G&-1；

46

④當(dāng)M為8C中點且0WCNW1時，S為五邊形.

A.1B.2C.3D.4

例6.（2023?全國?高一專題練習(xí)）如圖正方體ABCQ-AgGA,棱長為1,P為BC中點，。為線段上

的動點，過A、P、Q的平面截該正方體所得的截面記為復(fù).若&=義&；,則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.當(dāng)時，Q為四邊形B.當(dāng)4=g時，Q為等腰梯形

C.當(dāng)時，C為六邊形D.當(dāng)2=1時，。的面積為當(dāng)

變式4.（2023?江蘇鎮(zhèn)江?高二揚中市第二高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，在樓長為夜的正方體

ABCO—A'B'CT）'中，點E、F、G分別是棱ATT、BC.CD的中點，則由點E、F、G確定的平面截正

方體所得的截面多邊形的面積等于.

變式5.（2023?河南信陽?高二信陽高中?？茧A段練習(xí)）在一次通用技術(shù)實踐課上，木工小組需要將正方體木

塊截去一角，要求截面經(jīng)過面對角線AC上的點尸（如圖），且與平面BCR平行，已知A%=10cm,”=6cm,

則截面面積等于cnr.

變式6.（2023?江蘇泰州?高一泰州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）正方體的棱長是“，其中E是C。中

點，廠是4A中點，則過點ERK的截面面積是.

變式7.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知直三棱柱ABC-ABC的側(cè)棱長為2,AB1BC,AB=BC=2,

過AB,8耳的中點石，尸作平面。與平面AAC。垂直，則所得截面周長為.

變式8.（2023?全國?高三專題練習(xí)）棱長為1的正方體A3。。-中，點E為棱8c的中點，則過四,

E,￡）三點的平面截正方體的截面周長為.

變式9.（2023?四川瀘州?四川省瀘縣第二中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在樓長為2的正方體ABC。-A4CA,

中，點E為CQ的中點，則過點C且與片￡垂直的平面a被正方體A8CQ-44CQ截得的截面周長為

題型三：截面切割幾何體的體積問題

例7.（2023?廣東廣州?高一統(tǒng)考期末）在棱長為〃的正方體A8CD-A4CQ中，E,尸分別為棱BC,CG的

中點，過點兒凡廠作一個截面，該截面將正方體分成兩個多面體，則體積較小的多面體的體積為.

例8.（2023?遼寧錦州??？家荒＃┰谡睦忮FS-A8CD中，例為SC的中點，過AM作截面將該四棱錐分成

上、下兩部分，記上、下兩部分的體積分別為匕，匕，則看的最大真是.

例9.（2023?浙江?高二競賽）在正四棱錐S-/WCO中，M在棱SC上且滿足SM=2MC.過4M作截面將此

y

四棱錐分成上，下兩部分，記上，下兩部分的體積分別為匕，V,,則同的最大值為.

變式10.（2023?上海?高二專題練習(xí)）如圖，正方體A8CO-ASGA,中，及尸分別是棱48、BC的中點，

過點A、反廣的截面將正方體分割成兩個部分，記這兩個部分的體積分別為匕匕，記K＜匕，則M:匕=

變式11.（2023?全國?高一專題練習(xí)）如圖所示，在長方體A8CQ-AB'C'D中，用截面截下一個三棱錐

C-AQ7）,則三棱錐C-AD'D的體積與剩余部分的體積之比為.

變式12.（2023.貴州貴陽?貴陽六中?？家荒＃┰谌庵薃C-中，AA，底面A8C,

/15=8。=。4=3的，點尸是棱AA上的點，AP=2PAit若截面80G分這個棱柱為兩部分，則這兩部分

的體積比為.

變式13.（2023?廣東揭陽?高一普寧市華僑中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，正方體ABCO-ABCA中，反尸分別

是棱44、CR的中點，則正方體被截面BEFC分成兩部分的體積之比匕：％=.

題型四：球與截面問題

例10.（2023?湖南長沙?高三長沙一中?？茧A段練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體ABCO-A4c.中，M,N

分別為棱4A，DR的中點，過作該正方體外接球的截面，所得截面的面積的最小值為（）

例”.（2023?福建福州?福建省福州第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）在矩形ABC。中，AB=3,AD=4f將△48。沿

對角線8。翻折至二A8D的位置，使得平面48。_L平面8cO,則在三棱錐4-38的外接球中，以A'C為

直徑的截面到球心的距離為（）

V435

RN/239Vn3

10

例12.（2023?海南?高三校聯(lián)考期末）已知某球的體積為〒，該球的某截面圓的面積為3元，則球面上的點

到該截面圓圓心的最大距離為（）

C.2+73

變式14.（2023?江西南昌?江西師大附中校考三模）已知正方體48。。-4印"［的校長為2,E為棱CG上

的一點，且滿足平面平面380,則平面A/。截四面體A8C石的外接球所得截面的面積為（）

變式15.（2023?四川內(nèi)江?四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知球O是正三棱錐A-BCD（底面是正

三角形，頂點在底面的射影為底面中心）的外接球，BC=6>，八8=夜，點E是線段8C的中點，過點￡

作球O的截面，則所得截面面積f勺最小值是（）

A.史B.如C.色D.色

4324

變式16.（2023?福建原門?廈門外國語學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知半徑為4的球。，被兩個平面截得圓。卜。?，

記兩圓的公共弦為A8,且QQ=2,若二面角Q-A5-U的人小為］兀，則四面體Ab。。?的體積的最人值

為（）

A.8\/3B.—\/2C.—>/2D.—\/3

變式17.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知球。和正四面體4-8CO,點&C、。在球面上，底面8C。過球心

O,棱4區(qū)4cA。分別交球面于匹G、A，若球的半徑R=g，則所得多面體8cQ-8C。的體積為（）

A9&R9夜r23夜n13>/2

84126

變式18.（2023?天津紅橋?統(tǒng)考二模）用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為兀，則球的體枳

為（）

AR4x/2

A.------71B.------jt

33

r8x/3n8>/2

33

題型五：截面圖形的個數(shù)問題

例13.（2023?全國?高三專題練習(xí)）過正四面體P-AAC的頂點P作平面a,若a與直線外，PR,PC所

成角都相等，則這樣的平面的個數(shù)為（）個

A.3B.4C.5D.6

例14.（2023?陜西榆林?陜西省榆林中學(xué)?？既＃┻^正方體ABCQ-AAGA的頂點A作平面”，使得正方

體的各棱與平面。所成的角都相等，則滿足條件的平面。的個數(shù)為（）

A.1B.3C.4D.6

例15.（2023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)四棱錐P-/WC。的底面不是平行四邊形,用平面a去截此四棱錐，使得

截面四邊形是平行四邊形，則這樣的平面夕

A.有無數(shù)多個B.恰有4個C.只有1個D.不存在

變式19.（2023?浙江?模擬預(yù)測）過正四面體A8CZ）的頂點A作一個形狀為等腰三角形的截面，且使截面與

底面BCO所成的角為75。，這樣的截面有（）

A.6個B.12個C.16個D.18個

變式20.（2023?上海楊浦?高二上海市控江中學(xué)?？计谥校┛臻g給定不共面的A,B,C,短四個點，其中任

意兩點間的距離都不相同，考慮具有如下性質(zhì)的平面a：A,B,C,。中有三個點到的距離相同，另一個點

到a的距離是前三個點到。的距離的2倍,這樣的平面a的個數(shù)是___________個

題型六：平面截圓錐問題

例16.（多選題）（2023?廣東?高二統(tǒng)考期末）圓錐曲線為什么被冠以圓錐之名？因為它可以從圓錐中截取獲

得.我們知道，用一個垂直于圓錐的軸的平面去截圓錐，截口曲線（截而與圓錐側(cè)面的交線）是一個圓，用

一個不垂直于軸的平面截圓錐，當(dāng)截面與圓錐的軸的夾角9不I可時，可以得到不問的截口曲線，它們分別是

橢圓、拋物線、雙曲線.因此，我們將圓、橢圓、拋物線、雙曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線.截口曲線形狀與。和圓錐

軸截面半頂角。有如下關(guān)系當(dāng)夕〉。時，截口曲線為橢圓；當(dāng)e=a時，截口曲線為拋物線：

當(dāng)時，截口曲線為雙曲線.（如左圖）

現(xiàn)有一定線段A8與平面夕夾角。（如上右圖），3為斜足，/上一動點P滿足N序=設(shè)P點在/的運

動軌跡是「，則（）

7T7F

A.當(dāng)'=時’「是橢圓B.當(dāng)8=^,7=［時，「是雙曲線

36

c.當(dāng)°=￡,7=￡時，「是拋物線D.當(dāng)夕=￡,7=￡時，「是橢圓

4434

例17.（2023?遼寧阜新?校考模擬預(yù)測）比利時數(shù)學(xué)家丹德林（GerminalDandelin）發(fā)現(xiàn)：在圓錐內(nèi)放兩個大小

不同目.不相切的球使得它們與圓錐的側(cè)面相切，用與兩球都相切的平面截圓錐的側(cè)面得到的截線是橢圓.這

個結(jié)論在圓柱中也適用，如圖所示，在一個高為20,底面半徑為4的圓柱體內(nèi)放兩個球，球與圓柱底面及

側(cè)面均相切.若一個平面與兩個球均相切，則此平面截圓柱側(cè)面所得的截線為一個橢圓，則該橢圓的短軸

A.12B.4C.25/5D.8

例18.（2023?安徽安慶?安徽省桐城中學(xué)校考一模）.如圖是數(shù)學(xué)家GenninalDandelin用來證明一個平面截圓

錐得到的截口曲線是橢圓的模型（稱為“Dandelin雙球”）；在圓錐內(nèi)放兩個大小不同的小球，使得它們分別

與圓錐的側(cè)面、截面相切，設(shè)圖口球球。2的半徑分別為4和1,球心距四。2|=6,截面分別與球。一

球。2切于點E，“，（E,尸是截口橢圓的焦點），則此橢圓的離心率等于（）

A叵B.如C.—D.-

9326

變式21.（2023?上海?高二專題練習(xí)）如圖①，用一個平面去截圓錐得到的截口曲線是橢圓.許多人從純幾何

的角度出發(fā)對這個問題進行過研究，其中比利時數(shù)學(xué)家G"加加也（1794-1847）的方法非常巧妙,

極具創(chuàng)造性.在圓錐內(nèi)放兩個大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面、截面相切，兩個球分別與截面相切

于瓦尸，在截II曲線上任取一點A,過A作圓錐的母線，分別與兩個球相切于C,4,由球和圓的幾何性質(zhì)，

可以知道，AE=AC,AF=AB,于是AE+4/=A8+AC=8C.由優(yōu)C的產(chǎn)生方法可知，它們之間的距離

8C是定值，由橢圓定義可知，截口曲線是以反尸為焦點的橢圓.

如圖②，一個半徑為2的球放在桌面上，桌面上方有一個點光源尸，則球在桌面上的投影是橢圓，已知A4

是橢圓的長軸，尸從垂直于桌面且與球相切，9=5,則橢圓的焦距為（）

A.4B.6C.8D.12

變式22.（2023?全國?高三對口高考）如圖，定點A和B都在平面。內(nèi)，定點、P金a.PBLa,C是。內(nèi)異于

4和B的動點，且PCJLAC.那么，動點C在平面。內(nèi)的軌跡是（）

B

a

A.一條線段，但要去掉兩個點B.一個圓，但要去掉兩個點

C.一個橢圓，但要去掉兩個點D.半圓，但要去掉兩個點

變式23.（2023?全國?學(xué)軍中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知空間中兩條直線4、/?異面且垂直，平面?！?且6ua,

若點P到乙、4距離相等，則點P在平面。內(nèi)的軌跡為（）

A.直線B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

變式24.（2023?寧夏銀川?校聯(lián)考二模）已知線段4B垂直于定圓所在的平面，伉。是圓上的兩點，H是點8

在AC上的射影，當(dāng)C運動，點”運動的軌跡（）

A.是圓B.是橢圓C.是拋物線D.不是平面圖形

變式25.（2023?四川廣安?高二廣安二中?？计谥校┟缹W(xué)四大構(gòu)件是：史詩、音樂、造型（繪畫、建筑等）

和數(shù)學(xué).素描是學(xué)習(xí)繪畫的必要一步，它包括明暗素描和結(jié)構(gòu)素描，而學(xué)習(xí)幾何體結(jié)構(gòu)素描是學(xué)習(xí)索描的重

要一步.某同學(xué)在畫切面圓柱體（用與圓柱底面不平行的平面去截圓柱，底面與截面之間的部分叫做切面圓

柱體，原圓柱的母線被截面所截剩余的部分稱為切面圓柱體的母線）的過程中，發(fā)現(xiàn)“切面”是一個橢圓，若

切面圓柱體的最長母線與最短母線所確定的平面截切面圓柱體得到的截面圖形是一個底角為6。。的直角梯

變式26.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，正方體AC-。為平面與內(nèi)一動點，設(shè)二面角4—P的

大小為a，直線與平面4田。所成角的大小為夕.若cos//=sin。，則點P的軌跡是（）

A.圓B.拋物線C.橢圓D.雙曲線

變式27.（2023?四川廣安?高二統(tǒng)考期末）己知四棱錐尸-A3CQ,AOJL平面附8,平面以B,底面

ABC。是梯形，AB=AD=2,BC=4,NAPD=NCM,滿足上述條件的四棱錐的頂點P的軌流是（）

A.橢圓B.橢圓的一部分C.圓D.不完整的圓

變式28.（2023?全國?校聯(lián)考模擬預(yù)測）用一個不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當(dāng)微面與圓錐的軸央角不

同時，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、拋物線、雙曲線.我們通常把I員I、橢圓、拋物線、雙

曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線.已知某圓錐的軸截面是正三角形，平面”與該圓錐的底而所成的銳二面角為則

平面a截該圓錐所得橢圓的離心率為.

題型七：截面圖形有關(guān)面積、長度及周長范圍與最值問題

例19.（2023?西藏林芝?統(tǒng)考二模）在三棱錐A-8CQ中，AB=AC=BD=CD=BC=4,平面i經(jīng)過AC的

中點E,并且與6C垂直，當(dāng)a截此三棱錐所得的截面面積最大時，此時三棱錐A-68的外接球的表面枳

為（）

80G70八人“80

AA.------7TBD.—,兀C.20兀D.—7C

333

例20.（2023?貴州?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓錐的母線長為2,其側(cè)面展開圖的中心角為&心則過圓

錐頂點的截面面積最大值為（）

A.1B.75C.2D.2x/3

例21.（2023?全國?高一專題練習(xí)）若球。是正三楂錐A-BCD的外接球，3c=3,=26，點E在線段84

上，BA=3BE,過點E作球。的截面，則所得的截面中面積最小的截面的面積為（）

A.粵B.2兀C.?D.兀

33

變式29.（2023?高一課時練習(xí)）在三棱錐A-8C。中，AB=BC=CD=DA=2>l2^ADC=^ABC=90,

平面ABC/平面AC。，三棱錐A-8C。的所有頂點都在球。的球面上，反廠分別在線段。及8上運動（端

點除外），/?/?=也U從當(dāng)三棱錐E-AB的體積最大時，過點尸作球。的截面，則截面面積的最小值為（）

「3

A.兀B.V3nC.-JiD.27r

2

變式30.（2023?江西?高一寧岡中學(xué)?？计谀├忾L為1的正方體ABCO-AAGA的8個頂點都在球。的表

面上，E,尸分別為棱AB,AR的中點，則經(jīng)過￡”球的截面面積的最小值為（）

A.-7tB.-C.一五D.-K

8288

變式31.（2023?全國?高三對口高考）如圖，正方體ABCQ-AMC。的楂長為2石，動點尸在對半線上，

過點P作垂直于8。的平面a,記這樣得到的截面多邊形（含三侑形）的周長為y,設(shè)=則當(dāng)xe[l,5]

時，函數(shù)）'=/（"的值域為（）

A.[3倔6伺B.[瓜2悶C.（0,伺D.僅,3卡]

變式32.（2023?全國?高一專題練習(xí)）如圖所示，在長方體中，點E是棱CG上的一個動點,

若平面8E0與棱AA交于點產(chǎn)，給出下列命題：

①四棱錐B「BEZ）廠的體積恒為定值;

②四邊形BE。尸是平行四邊形；

③當(dāng)截面四邊形BEQ尸的周長取得最小值時，滿足條件的點E至少有兩個；

④直線。港與直線OC交于點P,直線。尸與直線OA交于點Q,則尸、B、。三點共線.

其中真命題是（）

A.①②③B.②③?C.①②④D.①③④

變式33.（2023?高一課時練習(xí)）正方體48CQ-A4GA中作一截面與AC垂直，且和正方體所有面相交,

如圖所示.記截面多邊形面積為S,周長為C,則（）

A.S為定值，C不為定值B.S不為定值，C為定值

C.S和C均為定值D.S和C均不為定值

變式34.（2023?四川內(nèi)江?高二統(tǒng)考期末）如圖所示，在長方體中，BB產(chǎn)BR,點E是棱CQ

上的一個動點，平