第1講二次根式與勾股定理（12大核心考點(diǎn)）

內(nèi)容導(dǎo)航

成串講知識：思維導(dǎo)圖串講知識點(diǎn)，有的放矢

:重點(diǎn)速記：知識點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺

舉一反三：核心考點(diǎn)能舉一反三，能力提升

n復(fù)習(xí)提升：真題感知+提升專練，全面突破

???思維導(dǎo)圖串知識<<<

1

廣二次根式的概念

，一二次根式有意義的條件

二次根式的概念與性質(zhì)飛一二次根式的性質(zhì)

I最簡二次根式

一二次相式的乘法

一二次根式的除法

一二次根式的加減

二次根式的計(jì)算

一二次根式的混合運(yùn)算

一二次根式的求值

一二次根式的應(yīng)用

用勾股定理解三角形

/弦圖問題

樹形圖面枳問題

廠勾股XE理（平方關(guān)系的計(jì)算與證明

折磬問題

最短距離問題

.勾股定理的證明

滑梯間趨

勾股定理[-忘度問器

1勾股定理的應(yīng)用；選址問題

航海問越

水中筷子間送

/-判定直角三角形

勾股定的逆定理勾股數(shù)

???重點(diǎn)速記<<<

知識點(diǎn)1二次根式的概念與性質(zhì)

1.二次根式的有關(guān)概念

一般地，我們把形如&(a〉0)的式子叫做二次根式，“J-”稱為二次根號.

注意：

(1)必須含有二次根號的根指數(shù)為2,即“廠”，我們一般省略根指數(shù)2,寫作.

(2)被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，如Q和后二5都不是二次根式.

(3)二次根式中的被開方數(shù)既可以是一個數(shù)，也可以是一個含有字母的式子.

(4)式子a表示非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根，因此a20,620.二次根式具有雙重非負(fù)性.

2.二次根式的性質(zhì)：

(1)y/a>0(6/>0).

(2)=a(a>0).一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個非負(fù)數(shù)

a(a>0)

(3)V7=|d|=<0(d=0).一個數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個數(shù)的絕對值

-a(a<0)

(4)J拓=JZ.揚(yáng)(。20力20).積的算術(shù)平方根，等于積中各因式的算術(shù)平方根的積

(5)和呼(心6b>0).兩個數(shù)的算術(shù)平方根的商'等于這兩個數(shù)的商的算術(shù)平方根

3.最簡二次根式

被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.我們把滿足上述兩個條件的二次根式，

叫做最簡二次根式.

最簡二次根式的條件；(1)被開方數(shù)的因數(shù)是里數(shù)或字母，因式是整式；(2)被開方數(shù)中不含有可化

為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式.

知識點(diǎn)2二次根式的有關(guān)計(jì)算

1.二次根式的乘法：

(1)\/a-\/b=\[ab(a>0,b>0).

(2)逆用：\[ab=4a>0,b>0)

(3)推廣：@\[a-y/b?y/c=>/ahc(a>0,/?>0,c>0)

Jabed=yfa?\[b-\/c?\[d(6/>0,Z?>0,c>0,d>0)

②a4b?c4d=acy/bd(/?>0,d20)

\[a^=a(a>0)

2.二次根式的除法:

[a_4a

（2）逆用:(<7>0,Z?>0)

(3)推廣：?yfa4-y/b4-yfc=y[a^b^c(a>0,/?>0,c>0)

②（〃zG）+（〃揚(yáng)）=（〃2+〃）《6+揚(yáng)），其中。之0,/2>0，〃。0.

3.二次根式的加減

（1）法則：二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)

行合并.

（2）步驟:

①將各個二次根式化成最簡二次根式；

②找出化簡后被開方數(shù)相同的二次根式；

③合并被開方數(shù)相同的二次根式一一將系數(shù)相加仍作為系數(shù)，根指數(shù)與被開方數(shù)保持不變.

（3）注意:

①化成最簡二次根式后被開方數(shù)不相同的二次根式不能合并，但是不能丟棄，它們也是結(jié)果的一部分.

②整式加減運(yùn)算中的交換律、結(jié)合律、去括號法則、添括號法則在二次根式運(yùn)算中仍然適用.

③根號外的因式就是這個根式的系數(shù)，二次根式的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的要化為假分?jǐn)?shù)的形式.

4.二次根式的混合運(yùn)算

（1）二次根式的混合運(yùn)算順序與整式的混合運(yùn)算順序一樣：先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先

算括號里面的（或先去掉括號）.

（2）在二次根式的運(yùn)算中，有理數(shù)的運(yùn)算律、多項(xiàng)式乘法法則及乘法公式（平方差公式、完全平方公

式）仍然適用.

（3）二次根式混合運(yùn)算的結(jié)果一定要化成最簡二次根式或整式.

知識點(diǎn)3勾股定理

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方如圖：直角三隹形ABC的兩直角邊長分別為ab,斜邊長

為c,那么儲+力2=。2.

注意：（1）勾股定理揭示了一個直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.

（2）利用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長可以建立方程求解，這

樣就將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來，達(dá)到了解決問題的目的.

2222222

（3）理解勾股定理的一些變式:a=c-btb=c-afc=（a+b^-2ab

知識點(diǎn)4勾股定理證明

方法一：將四個全等的直角三明形拼成如圖（1）所示的正方形.

n2

A.x/一B.A->—C.玲D.x<—

323

【答案】D

【分析】本題主要考查了二次根式和分式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式被開方數(shù)為非負(fù)

數(shù)，分式分母不等于0.根據(jù)二次根式和分式有意義的條件進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：???二次根式有意義,

六對即23〉0,

2—3x工0

2

解得

故選：D.

【變式訓(xùn)練】

考點(diǎn)二：二次根式的性質(zhì)

例2.（24-25八年級下?全國?課后作業(yè)）若xv2,則2）1|37|

【答案】5-2%

【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，絕對值，掌握二次根式的性質(zhì)即而=|4是解題的關(guān)鍵；根據(jù)二次根

式的性質(zhì)及絕對值的意義即可求解.

【詳解】解：???xv2,

/..r-2<0,3-x>0,

?*,-2)"+|3-x|

="(x-2)+3-x

=5-2x；

故答案為：5-2x.

【變式訓(xùn)練】

考點(diǎn)三：二次根式的計(jì)算

例3.（2025八年級下?湖北?專題練習(xí)）計(jì)算:

(Dx/12-3

⑵《484-5/3—x\/\2,+424.

【答案】(i)G-i

(2)4+76

【分析】本題主要考查了二次根式混合運(yùn)算，二次根式性質(zhì)，

(1)先根據(jù)二次根式乘法及性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)二次根式加減運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可;

(2)根據(jù)二次根式乘法和除法進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)二次根式加減運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】⑴解：原式=26-3?*(2-3)

=2x/3-x/3+2-3

=x/J-1;

(2)原式=J48+3—&X12+2遍

=4—>/6+2后

=4+#.

【變式訓(xùn)練】

考點(diǎn)四：二次根式的求值

例4.(24-25八年級下?江蘇蘇州?階段練習(xí))已知：〃=2+石，b=y[5-2.

(1)求〃2+〃—訪的值；

(2)若〃?為。整數(shù)部分，〃為。小數(shù)部分，求場的值.

n

【答案】(1)17

(2)4石+8

"a"

【分析】本題主要考查了二次根式的化簡求值，分母有理化，無理數(shù)的估算，熟知二次根式的相關(guān)知識是

解題的關(guān)鍵.

(1)先求;Ha+〃，"的值，再根據(jù)/+〃一面=(〃+4_3而代值計(jì)算即小

(2)根據(jù)無理數(shù)的估算方法分別求出。、〃的范圍，進(jìn)而求出小、〃的值，最后代值計(jì)算即可得到答案.

【詳解】⑴解：???。=2+6,b=&2,

：?a+b=2+小+標(biāo)-2=2行,昉=(2+6)(6-2)=1,

a2+b2-ab

=(/+〃+2ab)-3ab

=(i/+Z>)2-3ab

=(2x/5)2-3xl

=20-3

=17；

(2)解：?:C<加<M,

，2<若<3，

???4<2+石<5,0<^-2<b

為。整數(shù)部分，〃為〃小數(shù)部分,

m=4,n=6-2?

m4_4(石+2)_4石+8

.?n-V5-2-(V5+2)(N/5-2)~3

【變式訓(xùn)練】

考點(diǎn)五：二次根式的應(yīng)用

F例5.(24-25八年級下?甘肅蘭州?期中)閱讀材料:

若兩個正數(shù)則有下面不等式等之必,當(dāng)〃二/，時取等號,我們把手叫作正數(shù)〃'〃的算術(shù)平

均數(shù)，把，石叫作正數(shù)”，〃的幾何平均數(shù)，于是上述不等式可以表述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于(即

大于或等于)它們的幾何平均數(shù).它在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，是解決最大(小)值問題的有力工具.不等式

等2而可以變形為不等式〃+)之2而，當(dāng)且僅當(dāng)，”=b時取到等號.(。，b均為正數(shù))

例：已知x>0,求x的最小值.

解：由a+bN2\^得工」之2卜工=2x7?=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=[,即x=l時，有最小值，最小值為2.根

據(jù)上面材料【可答下列問題：

(1)5+626荔；6+6_____2反K；(用―填空)

9

(2)當(dāng)工>0,則工+—的最小值為-------，此時工=_；

x

9

(3)當(dāng)x>2,貝+-^的最小值為______；

x-2

(4)用籬笆圍一個面積為lOOnf的長方形花園，問這個長方形花園的長、寬各為多少時，所用的籬笆最短,

最短籬笆是多少？

【答案】⑴〉,=

(2)6,3

(3)8

(4)這個長方形的長、寬為10m時：所用的籬笆最短，最短的籬笆是40m

【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，理解題意是解題的關(guān)鍵；

（1）根據(jù)4+力22而，當(dāng)且僅當(dāng)。=人時取到等號.（。，人均為正數(shù)）即可求解.

（2）根據(jù)例題的方法，a+b22而,即可求解.

（3）將4一2看成整理，即Z=x-2,進(jìn)而根據(jù)a+b之2疝，代入即可求解；

（4）設(shè)這個矩形的長為x米，根據(jù)寬=面積?長，可得寬為當(dāng)為，則所用的籬笆長等于長加寬的和乘以2,

根據(jù)閱讀材料即可求解；

【詳解】（1）解：???〃+8之2疝，5>0,6>0,5#6

A5+6>2>/5^6；

V6=6

**?6+6=2yl6x6

故答案為：>，=.

（2）解：Vx>0,

9I~~9

/.x+->2Jxx-=6

xVx

9

?,?當(dāng)工=一，即x=3時，有最小值，最小值為6

x

故答案為：6,3.

（3）解：：x>2

A.r-2>0

設(shè)/=x-2

99I~9

?。+——=r+-+2>2Jrx-+2=2x3+2=8

x-2tVt

9

當(dāng)/=一時，即［=3時，有最小值，最小值為8

故答案為：8.

（4）設(shè)這個矩形的長為xm,所用的籬笆總長為），m,

;圍一個面積為100m2的長方形花園,

，寬為⑼m,

X

,6200

..y=2x+-----

x

??T>0,

.。+迎22

=40.

x

當(dāng)且僅當(dāng)2x=——時，即x=10時y有最小值，最小值為40.

x

x=10時，”^二10,

x

???當(dāng)這個長方形的長、寬為10m時：所用的籬笆最短，最短的籬笆是40m.

【變式訓(xùn)練】

考點(diǎn)六：勾股定理的有關(guān)計(jì)算

［一、2)例6."4-25八年級下?遼寧營口.期中)在VA3C中，=3c二16,點(diǎn)。是4C的中點(diǎn),

點(diǎn)E是線段8。上的動點(diǎn)，過點(diǎn)E作砂交A8于點(diǎn)F,連接AE，若NAEF=NB.

(2)求OE的長.

【答案】(1)見解析

(2)4.5

【分析】本題考查的是勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟知勾股定理是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到N8=NC,證明NE4c=90。，根據(jù)垂直的定義即可得證；

⑵根據(jù)勾股定理可得4爐+4。2=°爐，再由三線合?定理得到AD_Z8C,則可利用勾股定理求出AO的

長，進(jìn)而得到4爐=4。2+。爐=62+。七2,據(jù)此建立方程求解即可.

【詳解】(1)證明：AB=AC,

...N8=NC,

EFVBD,

:.ZAEF+ZAED=9(r,

?.?Z4￡F=4,/B=NC,

.?.NC+Z4EO=90°,

.-.ZE4C=90°,

/.AE_LAC：

(2)解：?.ZE4C=90°,

：.AE2+AC2=CE2,

.AB=AC,點(diǎn)。是8C的中點(diǎn)，

:.BD=DC=-x\6=SAD上BC,

2f

/.AD=yjAC2-CD1=>/102-82=6*

CE=CD+DE=DE+3,

AE2=CE2-AC2=（DE+8）2-102,

在Rt.AOE中，AE2=AD2+DE2=62+DE2,

,-.（D￡：+8）2-102=62+DE2,

解得：DE=4.5.

【變式訓(xùn)練】

考點(diǎn)七：勾股定理與平方關(guān)系

例7.（23-24八年級下?安徽蚌埠?期中）如圖，在VABC中，AD1BC.

A

⑴求證：AB1-AC-=BD--CD-x

⑵當(dāng)A8=8,BC=6,AC=2jlI時，求4D的值.

【答案】(1)證明見解析；

(2)AO=4A/L

【分析】本題考查了勾股定理和平方差公式的相關(guān)證明和計(jì)算及解二元一次方程組，熟練掌握和運(yùn)用勾股

定理是解決問題的關(guān)鍵.

(1)在RtZ\48O和RiAOC中，分別運(yùn)用勾股定理可得AB?二4獷+以月AC2=AD2+CD\利用A力邊

相等，聯(lián)立兩式移項(xiàng)即得證.

(2)根據(jù)第一問的結(jié)論，可求出BOI8?的值，利用平方差公戈結(jié)合BC=BD+CD=6,可求得8。-8,

而8。+。。=6,由此可求得B。、CD,由勾股定理即可求出4).

【詳解】(I)證明：AD1BC,

二?在RtAAB。和Rt-ADC中,根據(jù)勾股定理得,

AB2=AD2+BD2^AC2=AD2+CD2.

???AB2-BD1=AD2=AC2-CD2,

移項(xiàng)得：AB2-AC2=BD2-CD2.

故AB2-AC2=BD2-CD2.

⑵解：.AB2-AC2=BD2-CD\A8=8,AC=2^

二.BD2-CD2=AB2-AC2=82-(2X/13)2=64-52=12,

...BD1-CD2=(BD+CD)(13D-CD)=12,

BC=6,^BD+CD=6,

BD-CD=2,

BD+CD=6180=4

"BD-CD=2,刎得|cO=2'

AD2=AB2-BD2=82-42=64-16=48，

.--40=46

【變式訓(xùn)練】

考點(diǎn)八：勾股定理與翻折問題

(、］例8.8.(24-25八年級下?遼寧沈陽?期中)如圖，將矩形紙片ABC。沿對角線8。對折，點(diǎn)。落在

點(diǎn)E的位置，A。與的相交于點(diǎn)

⑴求證：VBDF是等腰三角形；

(2)若A8=8,4。=10,求Sv8F0.

【答案】(1)見解析

【分析】本題考查的是翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理，熟知圖形翻折不變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

(1)證明=得出BF=DF,則結(jié)論得證；

(2)設(shè)3/=不，則￡>/=%，AF=10-x,在Rt_4B/中，根據(jù)勾股定理有乎+(10-幻2=/，解方程得出力F

41

的長為進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式，即可得解.

【詳解】(I)證明：由折疊可知NE8D=NC3O.

AD//CB,

:.NADB=4CBD,

:"EBD=ZADB,

;.BF=DF,

.?uB￡＞尸是等腰三角形.

(2)設(shè)8/=工，則。尸=x,AF=\0-x,

在RtABF中，根據(jù)勾股定理有8：+(10-4=A-2.

41

解得：x=￡

/的長為三，

J

1i41164

-'-S=-DFxAB=-x—xS=——

V5RFl)2255

【變式訓(xùn)練】

考點(diǎn)九：勾股定理的證明

例9.（24-25八年級下?內(nèi)蒙古烏蘭察布?期中）直角三角形的三邊關(guān)系：如果直角三隹形兩條直角

邊長為a、b,斜邊長為c,則"+〃=。2.

⑴圖1為美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請你利用圖I推導(dǎo)上面的關(guān)系式.利用以上所得的直

角三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行解答；

⑵如圖2,在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C,河邊原有兩個取水點(diǎn)A、B,其中=由于某種

原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點(diǎn)”（A、H、B在一條

直線上），并新修一條路C"，且測得C”=6千米，"3=4千米，求新路C”比原路C4少多

少千米？

（3）在第（2）問中若ABwAC時，CH工AB,AC=8,8c=10,AB=12,設(shè)4H=x,求x的值.

【答案】（1）見解析

（2）新路C"比原路C4少0.5T?米

【分析】本題考杳的是勾股定理的證明方法以及勾股定理的應(yīng)用；

（1）梯形的面積可以由梯形的面積公式求出，也可利用三個直用三角形面積求出，兩次求出的面積相等列

出關(guān)系式，化簡即可得證；

（2）設(shè)C4=x千米，則4"=（x-4）千米，根據(jù)勾股定理列方程，解方程即可得到結(jié)果；

（3）在RJ.4C”和中，由勾股定理得求出C〃2=C42-A"2=C82-W72,列出方程求解即可得到結(jié)

果.

【詳自帛】（1）解：AB±AD,BC±AB,DE±CE,

???梯形A8CO的面積為g(a+b)S+b)或g/+時,

^(a+b)(a+b)=^c2+ab

:.ab+—c2=-a2+ab+-b2,

222

即小+尸=c2,

(2)解：設(shè)C4=x千米，則AH=(x-4)千米,

在Rt.AC〃中，CA2=CH2+AH\

即』2=62+(.E—4)2,解得：x=6.5,即C4=6.5,

CA-CH=6.5-6=0.5(千米)，

答：新路C”比原路C4少0.5千米，

(3)解：由題得，BH=\2-x,

在RtAC”中，CH2=CA2-AH2,

在RtZ\8C〃中，CH2=CI32-BH2,

:.CA2-AH2=CB2-BH2,

,9

BP82-X2=102-(I2-X)',解得：x=-.

【變式訓(xùn)練】

考點(diǎn)十：勾股定理的應(yīng)用

例10.(24-25八年級下?河南三門峽?期中)八年級11班松松同學(xué)學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測量

如圖的風(fēng)箏的高度CE,測得如下數(shù)據(jù)：

①測得的長度為8米：(注：BD工CE)

②根據(jù)手中剩余線的長度計(jì)算出風(fēng)箏線8C的長為17米；

③牽線放風(fēng)箏的松松身高1.6米.

⑴求風(fēng)箏的高度CK.

(2)若松松|可學(xué)想風(fēng)箏沿方向下降9米，則他應(yīng)該往回收線多少米？

【答案】（1）16.6米

⑵？米

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟悉勾股定理，能從實(shí)際問題中抽象出勾股定理是解題的關(guān)鍵;

（1）利用勾股定理求出CO的長，再加上OE的長度，即可求出CE的高度；

（2）根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論：

【詳解】（1）解：在中，

由勾股定理得，。。2=8。2一802=172-82=225

所以，。。=15（負(fù)值舍去），

所以，CE=CD+DE=\5+\.6=\6.6（米），

答：風(fēng)箏的高度CE為16.6米；

（2）如圖：由題意得，CM=9米，???r）M=6米，

/.BM2=DM2+BD2=82+62=100,

，8M=10米，

ABC-BM=7（米），

???他應(yīng)該往回收線7米.

【變式訓(xùn)練】

考點(diǎn)十一：勾股定理的逆定理

例11.（24-25八年級下?重慶長壽?期中）如圖，長壽某住宅小區(qū)在施工過程中留下了一塊空地（圖

中的四邊形A8CO）,經(jīng)測量，在四邊形A3C。中，ZACB=90°,AB=15m,BC=9m,AO=5m,DC=l3m.

（1）.AC力是直角三角形嗎？為什么？

（2）小區(qū)為美化環(huán)境，欲在空地.上鋪草坪，已知草坪每平方米80元，試間鋪滿這塊空地共需花費(fèi)多少元?

【答案】(1),58是直角三角形，理由見解析

(2)6720元.

【分析】本題考查勾股定理、勾股定理的逆定理的應(yīng)用、三角形的面積公式.判斷三角形是否為直角三角

形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可.

(1)先在中，利用勾股定理可求AC=12cm,在.AC。中，易求AC?+AO?=12?+5?=13?=8?,

再利用勾股定理的逆定理可知是直角三角形，且ND4C=90。；

(2)分別利用三角形的面積公式求出即是四邊形力4c。的面積，再乘以80,即可求總花費(fèi).

【詳解】(1)解：以8是直角三角形,理由如下:

如圖，在RtZ\A8C中，ZAC8=90。，AB=15m,BC=9m,

?*-AC=」AB?-BC?=V152-92=12cm

在"CO中，AD=5m,DC=13m,AC=l2cm

???AC2+AD2=122+52=132=CD2，

???，AC￡>是直角三角形，〃4C=90。；

2

(2)VS./Aif<{>vC+S4/Aifr)c=—2x/42CxBC+—xAC2xAD=—x212x9+—x12x5=84cm,,

?*,S四亞fMBCC二84cm2,

費(fèi)用=84x80=6720(元).

答：鋪滿這塊空地共需花費(fèi)6720元.

【變式訓(xùn)練】

考點(diǎn)十二：勾股定理與最值問題

例12.(24-25八年級上?甘肅蘭州?期中)綜合與實(shí)踐

背景介紹：勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力.千百年來，人們對它的證明趨之若鷲，其中有著名

的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者.向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法.

(1)把兩個全等的直角三角形如圖I放置，其三邊長分別為。、〃、J顯然，ND48=N8=90"，ACA.DE.用

含a、b、c的式子分別表示出梯形448、四邊形A￡C￡>、-fBC的面積，再探究這三個圖形面積之間的

關(guān)系，可得到勾股定理.上述圖形的面枳滿足的關(guān)系式為,經(jīng)化簡，可得到勾股定理/+從=。2.

⑵如圖2,鐵路上A、8兩點(diǎn)(看作直線上的兩點(diǎn))相距40千米，C、。為兩個村莊(看作兩個點(diǎn))，ADJ.AB,

BCLAB,垂足分別為A、B,AP=24千米，8C=lb千米，則兩個村莊的距離為千米(直接填

空）；

（3）在（2）的條件下，要在A8上建造一個供應(yīng)站，，使得=求出AP的距離.

（4）借助上面的思考過程與幾何模型，求代數(shù)式G7?+J（16-x『+81的最小值（。＜工＜16）.

【答案】⑴m〃+M=g（ab_〃）+gc2

（2）8726

⑶16千米

（4）20

【分析】（1）根據(jù)ND43=N4=90?？傻盟倪呅蜛4C。為直角梯形，則

S^ABCD=^（AD+BC）AB=^a2+ab）,根據(jù)心=〃，AE=6可得3E=AB-=,則

目

Sc=；BCBE=；（ab_b2）,由AC_LOE,可得S八班=:。日4/，SCDE=^-DECF,進(jìn)而可得

S四邊形AECO=SADE+S,CDE=萬DE-AC=萬C?，再根據(jù)S悌形八8CO=SSBC+S四邊形AECO川得

l（？+^）=l（^-/r）+1c2,據(jù)此即可得出答案；

（2）連接CO,過點(diǎn)。作CE_LADJ二點(diǎn)E,根據(jù)ADSAB，8CJ.AA可得四邊形A8CE是矩形，進(jìn)而可得

4E=BC=I6千米，CE=A8=40千米，于是可得力E=AO-AE=8千米，然后利用勾股定理即可求得C、

。兩個村莊之間的距離：

（3）由題意可知，點(diǎn)P在C。的任直平分線上，連接CO,作CD的垂直平分線交A3于點(diǎn)尸，則點(diǎn)P即為

所求；設(shè)AF=x/米，則5P=（40r）T?米，在RtaAP。和RtZ\%C中，分別利用勾股定理表示出PD和尸C，

然后通過PC=電＞建立方程，解方程即可求出AP的距離；

（4）根據(jù)軸對稱一最短路線的求法即可求出：先作出點(diǎn)C關(guān)于AB的對稱點(diǎn)F,連接DF，過點(diǎn)/作FEJ_ZM

交D4延長線于點(diǎn)E，則。A就是個數(shù)式獷歷+“16-x）2+81的最小值;然后利用軸對稱的性質(zhì)、矩形的

判定與性質(zhì)及勾股定理求出。尸的長即可.

【詳解】（1）解：依題意得：AD=Al3=a,AE=BC=b,AC=DE=c,ZADE=NBAC,

ZDAB=ZB=90°,

..AD//BC,