暑假鞏固復(fù)習(xí)二次根式

一.選擇題（共10小題）

1.（2025?織金縣三模）將強(qiáng)化為最簡二次根式是（）

A.V8B."4C.272D.V2

2.（2025?廣州）下列運(yùn)算正確的是（）

A.。3?1=/5B.(-2ab)3=8-。

C.y[a-yjb=\/a-b(a2b20)D.2y/a+5-/a=7\[a(a20)

3.（2025?磁縣校級(jí)四模）已知一個(gè)長方形面積是兩，寬是魚，則它的長是（）

A.2V3B.4V2C.3A/2D.4V3

4.（2025?長沙模擬）下列計(jì)算中，結(jié)果錯(cuò)誤的是（）

A.V2+V3=A/5B.5A/3-2/3=3A/3

C.遙+近=V5D.(-&產(chǎn)=2

5.（2025?孝義市三模）下列運(yùn)算正確的是（)

A.V2+V3=V5B.>/2-V8=-V2

C.(V3+2)(V3-2)=1D.(V6+V2)V2=V3

6.（2025?沙坪壩區(qū)校級(jí)三模）估算3x（本-遍）的值在：）

A.4和5之間B.5和6之間C.6和7之間D.7和8之間

7.（2025?銅山區(qū)三模）若二次根式7^與有意義，則x的取值范圍是（）

A.xV3B.田3C.xW3D.G3

8.（2025?碧江區(qū)模擬）下歹J計(jì)算正確的是（）

A.V4+V2=V6B.2V5+后=2通

C.V6+2=V3D.x/2x5/6=2A/3

9.（2025?衡陽校級(jí)模擬）下列計(jì)算中，正確的是（）

A.a8-ra4=?2B.(3。)2=6?2C.V2+V5=V7D.V2-V5=ViO

10.(2025?邯鄲模擬)若a=V5,b=V5,則V5肅廬=()

A.15B.5V3C.3代D.3V5

二.填空題（共5小題）

11.（2025?昌邑區(qū)校級(jí)三模）計(jì)算：J|xV8-V2=.

12.（2025?靜寧縣校級(jí)三模）若x,y為實(shí)數(shù)，且y==7++2,則四二

13.（2025?武安市二模）計(jì)算：J（-2V3）2xV3=.

14.（2025?鐵鋒區(qū)二模）若三W在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍為.

15.（2025?綿竹市模擬）已知〃是遍的小數(shù)部分，則］「2++-2的值為.

三.解答題（共5小題）

16.（2025?旬邑縣校級(jí)模擬）計(jì)算:（-1）2025_76x^+（-1）-2.

17.（2025?蓮池區(qū)校級(jí)模擬）如圖，現(xiàn)有兩塊同樣大小的長方形木板①，②，甲木工采用如圖1所

示的方式，在長方形木板①上截出三個(gè)面積分別為4平方分米、8平方分米和18平方分米的正方

形木板A,B,C.

（1）正方形木板A的邊長為分米，B的邊長為分米，。的邊長為

分米；

（2）求木板①中陰影部分的面積；

（3）乙木工想采用如圖2所示的方式，在長方形木板②上截出兩個(gè)面積均為16平方分米的正方

形木板，請(qǐng)你判斷能否撤出，并說明理由.

①②

圖1圖2

18.（2025?新城區(qū)校級(jí)三模）計(jì)算：（6+I）2+（-1）-2-（-3）x（-5）.

19.（2025?瓊山區(qū)校級(jí)二模）綜合與實(shí)踐：

【問題情境】

某班同學(xué)以“已知三角形三邊的長度，求三角形面積”為主題開展了數(shù)學(xué)活動(dòng).

【操作發(fā)現(xiàn)】

第一小組的同學(xué)想到借助正方形網(wǎng)格解決問題.如圖1是6X6的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊

長均為I，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).在其中畫出△A8C,其頂點(diǎn)A,B,C都是格點(diǎn)，同時(shí)

構(gòu)造正方形CQER使它的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，且它的邊。E,EF分別經(jīng)過點(diǎn)A,B,他們借助此圖

求出了△ABC的面積.

圖1圖2

(1)在圖1中，所畫的△A8C的三邊長分別是AB=,BC

=,AC=,AABC的面積為；

(2)在圖2所示的正方形網(wǎng)格中畫出△GHQ(頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上)，使GH=聲，GQ=2企，HQ=

并求出△GH。的面積；

【繼續(xù)探究】

第二小組的同學(xué)想到借助曾經(jīng)閱讀的數(shù)學(xué)資料來解決問題.“已知二角形的二功長分別為〃.江G

求其面積”，古今中外的教學(xué)家曾經(jīng)對(duì)此問題進(jìn)行過深入的研究.古希臘幾何學(xué)家海倫和我國南

宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶都給出過計(jì)算的公式：

海倫公式：S=Jp(p-a)(p—b)(p—c),其中Ca+b+c)；

秦九貂公式：5=九2_(02+?a)2].

(3)一個(gè)三角形的三邊長依次為門，連，V7,請(qǐng)你從上述材料中選用適當(dāng)?shù)墓角筮@個(gè)三角形

的面積(寫出計(jì)算過程).

20.(2025?肥城市三模)按要求完成下列各題.

(1)計(jì)算：(V2+I)-1+4cos45。+|V3-2|-(3.14-TT)°；

(2)化簡：(魯―a+D+滔黑/

【考點(diǎn)】二次根式的應(yīng)用.

【專題】二次根式；運(yùn)算能力.

【答案】A

【分析】依據(jù)題意，由一個(gè)長方形面積是V2配寬是四，則它的長為：V244-V2=V12=2\/3,

進(jìn)而得解.

【解答】解：由題意，:一個(gè)長方形面積是舊，寬是企，

?'它的長為：V244-V2==273.

故選：4.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次根式的應(yīng)用，解題時(shí)要熱練掌握并能根據(jù)題意列出關(guān)系式是關(guān)鍵.

4.（2025?長沙模擬）下列計(jì)算中，結(jié)果錯(cuò)誤的是（）

A.V2+V3=V5B.5^3-273=373

C.V6^V2=V3D.（-V2）2=2

【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算.

【專題】計(jì)算題；二次根式；運(yùn)算能力.

【答案】A

【分析】利用二次根式的加減法的法則，二次根式的乘除法和乘方法則對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算即可.

【解答】解：A、&與百不屬于同類二次根式，不能運(yùn)算，故A符合題意；

B、5V3-2V3=373,故3不符合題意；

。、V6-V2=V3,故C不符合題意；

。、（-V2）2=2,故。不符合題意；

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握.

5.（2025?孝義市三模）下列運(yùn)算正確的是（）

A.V2+V3=V5B.V2-V8=-V2

C.（V3+2）（V3-2）=1D.（＞/6+V2）4-V2=V3

【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算；平方差公式.

【專題】二次根式；運(yùn)算能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)二次根式的加法，減法，乘法，除法法則進(jìn)行計(jì)算，逐一判斷即可解答.

【解答】解：A、&與百不能合并，故A不符合題意；

8、V2-V8=V2-2V2=-V2,故8符合題意；

C、（73+2）（6—2）=34=1,故C不符合題意；

。、（V6+V2）-V2=V3+L故。不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，平方差公式，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

6.（2025?沙坪壩區(qū)校級(jí)三模）估算3x（同-花）的值在1）

A.4和5之間B.5和6之間C.6和7之間D.7和8之間

【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算；估算無理數(shù)的大小.

【專題】二次根式；運(yùn)算能力.

【答案】C

【分析】利用二次根式的運(yùn)算法則計(jì)算后利用無理數(shù)的估算即可求得答案.

【解答】解：原式=3義（2V5-V5）

=3V5

=V45,

V36<45<49,

A6<V45<7,

即原式的值在6和7之間，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，無理數(shù)的估算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

7.（2025?銅山區(qū)三模）若二次根式花與有意義，則x的取值范圍是（）

A.x<3B.xW3C.xW3D.x23

【考點(diǎn)】二次根式有意義的條件.

【專題】二次根式；運(yùn)算能力.

【答案】C

【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)得出3-尤的取值范圍，進(jìn)而求出答案.

【解答】解：???二次根式后耳有意義，

???3-在0,

解得：xW3.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確把握二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

8.（2025?碧江區(qū)模擬）下列計(jì)算正確的是（）

A.V4+A/2=V6B.2\/34-V3=2x/6

C.x/64-2=\/3D.>/2x\/6=2>/3

【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算.

【專題】二次根式；運(yùn)算能力.

【答案】D

【分析】根據(jù)二次根式的加法運(yùn)算對(duì)"A、4選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的除法運(yùn)算對(duì)C選項(xiàng)進(jìn)

行判斷；根據(jù)二次根式的乘法法則對(duì)。項(xiàng)進(jìn)行判斷.

【解答】解：A.V4+V2=2+>/2,所以八選項(xiàng)不符合題意；

B.2V3+V3=373,所以B選項(xiàng)不符合題意；

C.遙+2=孚，所以C選項(xiàng)不符合題意；

D.V2XV6==273,所以。選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法法則和除

法法則是解決問題的關(guān)鍵.

9.(2025?衡陽校級(jí)模擬)下列計(jì)算中，正確的是()

A.?8-?tz4=d2B.(3a)2=6/c.或+遮二夕D.V2-V5=V10

【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算；塞的乘方與積的乘方；同底數(shù)幕的除法.

【專題】二次根式；運(yùn)算能力.

【答案】。

【分析】分別根據(jù)同底數(shù)基的除法運(yùn)算、積的乘方運(yùn)算、二次根式加法和乘法運(yùn)算法則逐項(xiàng)計(jì)算

即可.

【解答】解：A、原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

3、(3a)2=%J,原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

C、不是同類二次根式，不可相加，原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

。、V2-V5=>/10,正確，符合題意，

故選：

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳了同底數(shù)哥的除法、哥的乘方與積的乘方法則、二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌

握相關(guān)運(yùn)算法則解題的關(guān)鍵.

10.(2025?邯鄲模擬)若Q=V5,b=V5,則7^滔心=()

A.15B.5V3C.3V15D.375

【考點(diǎn)】二次根式的化簡求值.

【專題】二次根式；運(yùn)算能力.

【答案】B

【分析】首先求出/=3,從=5,然后代入病帶化簡即可.

【解答】解：由條件可得，2=3,戶=5,

；?V5a2b2=，5x3x5=5V3.

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次根式的化簡，熟練掌握該知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵.

二.填空題（共5小題）

11.（2025?昌邑區(qū)校級(jí)三模）計(jì)算：Rx聰+&=_&_.

【考點(diǎn)】二次根式的乘除法；二次根式的性質(zhì)與化簡.

【專題】二次根式；運(yùn)算能力.

【答案】V2.

【分析】根據(jù)二次根式的乘除運(yùn)算求解即可.

【解答】解：根據(jù)二次根式的乘除運(yùn)算法則可得：

故答案為：V2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握其運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

12.（2025?靜寧縣校級(jí)三模）若x,y為實(shí)數(shù)，且y=+瘍方+2,則后=4.

【考點(diǎn)】二次根式有意義的條件.

【專題】二次根式；運(yùn)算能力.

【答案】4.

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件求出x的值，即可得出y的值，再根據(jù)算術(shù)平方根的定義計(jì)

算即可.

【解答】解：根據(jù)題意得《二；

解得x=8,

.".yfxy=78x2=-/16=4.

故答案為：4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式有意義的條件，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

13.（2025?武安市二模）計(jì)算：J（-2技2=6.

【考點(diǎn)】二次根式的乘除法；二次根式的性質(zhì)與化簡.

【專題】二次根式；運(yùn)算能力.

【答案】6.

【分析】根據(jù)二次根式的乘法法則計(jì)算即可.

【解答】解：J(-26)2xV3=V12xV3=V36=6,

故答案為：6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的乘除法，二次根式的性質(zhì)與化簡，正確計(jì)算是解題的關(guān)雛.

(x-2^0

14.(2025?鐵鋒區(qū)二模)若土在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍為Q-1且x#2.

【考點(diǎn)】二次根式有意義的條件：分式有意義的條件；零指數(shù)累.

【專題】二次根式；運(yùn)算能力.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】零指數(shù)幕有意義的條件是底數(shù)不為0,二次根式有意義的條件是被開方數(shù)大于等于0,分

式有意義的條件是分母不為0.據(jù)此求解即可.

X—2裝0

【解答】解：由條件可知x+lZO,

Vx+1*0

.*.x>-1且x#2,

故答案為：x>-I且x#2.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了零指數(shù)幕有意義的條件，分式和二次根式有意義的條件，熟練掌握以上

知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵.

15.(2025?綿竹市模擬)己知相是遍的小數(shù)部分，則小*++-2的值為4.

【考點(diǎn)】二次根式的性質(zhì)與化簡；完全平方公式.

【專題】二次根式；運(yùn)算能力.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】先估算得到m=y/5-2,則工==y/s+2,即工>m,利用完全平方公式得到原式

mVJ5-2m

=J(m-i)2,再根據(jù)二次根式的性質(zhì)得到原式=依-±1，去絕對(duì)■值得原式=-〃?+=，然后把〃?

和工的值代入計(jì)算即可.

m

【解答】解：是6的小數(shù)部分，

m—V5—2,

原式=-=[〃L]|

,:m=x/5—2,

11/-1

—=——=y5+2?UJ—>m,

mV5-2m

.??原式=_（/n—m—）

=-m+—m

=-（V5-2）+V5+2

=4.

故答案為：4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，估算無理數(shù)的大小，完全平方公式，熟知以上知識(shí)

是解題的關(guān)鍵.

三.解答題（共5小題）

16.（2025?旬邑縣校級(jí)模擬）計(jì)算:（―1）2。25一巫X宇+[—3-2.

【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算.

【專題】二次根式；運(yùn)算能力.

【答案】3-V2.

【分析】先進(jìn)行乘方運(yùn)算，再根據(jù)二次根式的乘法法則在負(fù)整數(shù)指數(shù)制的意義計(jì)算，然后合并即

可.

【解答】解：原式=-1-應(yīng)x百x苧+4

=-1V2I4

=3-夜.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法法則和乘

法公式是解決問題的關(guān)鍵.

17.（2025?蓮池區(qū)校級(jí)模擬）如圖，現(xiàn)有兩塊同樣大小的長方形木板①，②，甲木工采用如圖1所

示的方式，在長方形木板①上截出三個(gè)面積分別為4平方分米、8平方分米和18平方分米的正方

形木板A,B,C.

（1）正方形木板A的邊長為2分米，B的邊長為」企—分米，C的邊長為二分米;

（2）求木板①中陰影部分的面積；

（3）乙木工想采用如圖2所示的方式，在長方形木板②上截出兩個(gè)面積均為16平方分米的正方

形木板，請(qǐng)你判斷能否截出，井說明理由.

①②

圖1圖2

【考點(diǎn)】二次根式的應(yīng)用.

【專題】二次根式；運(yùn)算能力.

【答案】⑴2,2V2,3日

(2)不能截出.理由見解答.

【分析】(1)根據(jù)正方形方面積公式求解；

(2)根據(jù)題意列出代數(shù)式，再計(jì)算求解：

(3)比較無理數(shù)的大小.

【解答】解：(1)???在長方形木板①上截出三個(gè)面枳分別為4平方分米、8平方分米和18平方分

米的正方形木板人，B,C,

??.正方形木板A的邊長為2分米，4的邊長為2四分米，C的邊長為3e分米，

故答案為：2,2V2,3企；

(2)(272+3V2)X(24-2^2)-4-8-18=1072+20-30=(IOA/2-IO)平方分米；

(3)不能截出.

理由：正方形木板的邊長為4分米，

V2+2>/2>4,5V2<8,

???不能截出.

【點(diǎn)評(píng)】本題考存了二次函數(shù)的應(yīng)用，掌握矩形的面積公式和二次根式的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

18.(2025?新城區(qū)校級(jí)三模)計(jì)算：(西+17+(-2一(_3)x(-5).

【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算.

【專題】二次根式；運(yùn)算能力.

【答案】2通.

【分析】原式先計(jì)算平方和負(fù)整數(shù)指數(shù)暴，再計(jì)算乘法，最后進(jìn)行加減運(yùn)算即可.

【解答】解：+(-1)-2-(-3)x(-5)

=5+275+1+9-(-3)X(-5)

=5+275+1+9-15

—2\/5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.

19.(2025?瓊山區(qū)校級(jí)二模)綜合與實(shí)踐：

【問題情境】

某班同學(xué)以“已知三角形三邊的長度，求三角形面積”為主題開展了數(shù)學(xué)活動(dòng).

【操作發(fā)現(xiàn)】

第一小組的同學(xué)想到借助正方形網(wǎng)格解決問題.如圖I是6X6的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊

長均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).在其中畫出△ABC,其頂點(diǎn)A,B,C都是格點(diǎn)，同時(shí)

構(gòu)造正方形CQER使它的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，且它的邊。E,E尸分別經(jīng)過點(diǎn)A,B,他們借助此圖

求出了△ABC的面積.

圖1圖2

(1)在圖1中，所畫的△ABC的三邊長分別是人8=V5,BC=V10,AC=713,

△A8。的面積為3.5；

(2)在圖2所示的正方形網(wǎng)格中畫出△G”。(頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上)，使GH=A/5,GQ=272,HQ=

717,并求出△G”Q的面積；

【繼續(xù)探究】

第二小組的同學(xué)想到借助曾經(jīng)閱讀的數(shù)學(xué)資料來解決問題.“已知三角形的三邊長分別為。，

求其面積”，古今中外的數(shù)學(xué)家曾經(jīng)對(duì)此問題進(jìn)行過深入的研究.古希臘幾何學(xué)家海倫和我國南

宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶都給出過計(jì)算的公式：

海倫公式：5=Jp(p-a)(p—l)(p—c),其中〃=*(a+b+c)；

秦九韶公式：S=J/W爐一住±交2)2].

(3)一個(gè)三角形的三邊長依次為行，瓜,夕，請(qǐng)你從上述材料中選用適當(dāng)?shù)墓角筮@個(gè)三角形

的面積(寫出計(jì)算過程).

【考點(diǎn)】二次根式的應(yīng)用.

【專題】二次根式；運(yùn)算能力；應(yīng)用意識(shí).

【答案】（1）正，CU,回，3.5；（2）作圖見解析；△GHQ的面積為3；（3）亨.

【分析】（1）依據(jù)題意，根據(jù)勾股定理分別求出48、BC、AC,根據(jù)正方形的面積公式、三角形

的面積公式求出AABC的面積；

（2）依據(jù)題意，根據(jù)勾股定理畫出△G/7Q,根據(jù)矩形的面積公式、三角形的面積公式求出△G/7Q

的面積；

（3）依據(jù)題意，把三邊長代入秦九韶公式，根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可.

【解答】解：（1）由題意，AB=Vl2+22=V5,BC=V32