母題突破2恒成立問(wèn)題與有解問(wèn)題

【母題】(2020?全國(guó)I舊知函數(shù)於尸?十五一工.

(1)當(dāng)。=1時(shí)，討論/U)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x20時(shí)，+求〃的取值范圍.

(2)思路分析一

?y(x)2；.F+i

I

?分離參數(shù)〃2g(.r)

I

?42g(X)max

I

?求g(X)max

思路分析二

I

?等價(jià)變形

I

?構(gòu)造新函數(shù)

I

?求新函數(shù)的最值

解(1)當(dāng)。=1時(shí)，/x)=ev+.?-x,

f(x)=et4-2r—1,令姒討戶^+力：-1,

由于“(x)=ev+2>0,

故/。)單調(diào)遞增，注意到/(0)—0,

故當(dāng)(—8,0)時(shí),f(x)<o,兒v)單調(diào)遞減，

當(dāng)x￡(0,+8)時(shí)，f(x)>0,凡0單調(diào)遞增.

(2)方法一由得，

e'+ax2—1,其中x20.

①當(dāng)x=0時(shí)，不等式為121,顯然成立，符合題意;

②當(dāng)心＞0時(shí)，分離參數(shù)a得,

e-^-x-x

1..

v*-1

記g(x)=~-----p-----,

(X—2)(^er——x—1)

g'。)=―---------人?---------，

令/?(.r)=er-^.v2-x-1(x^0),

則/?'(1)=3一工一1,

令/(%)=力'(x),“20,則〃(?二^一120,

故力。)單調(diào)遞增，hf(x)^h'(0)=0,

故函數(shù)以外單調(diào)遞增，〃(心2/?(())=0,

由/?(A)^0可得e*一夕2—x—120恒成立，

故當(dāng)x￡(0,2)時(shí)，gf(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;

f

當(dāng)x￡(2,+8)時(shí),g(x)<0,g(%)單調(diào)遞減;

7-e2

因此，g(X)max=g(2)=——,

綜上可得，。的取值范圍是寧，+8)

方法二1等價(jià)于

伊一加+1+11飛1.

設(shè)函數(shù)g(x)=Gp—4『+x+l)era20),

則/(x)

=-&?-aF+x+1-11，2+2冰—]}r

=-JrLr2—(2a+3)x+4a+2]er

——^{x—la—l)(x—2)e<

①若2?+1WO,即aW—7,

則當(dāng)x￡(0,2)時(shí)，g'(x)>0,

所以g(x)在(0,2)上單調(diào)遞增,而g(0)=l,

故當(dāng)x￡(0,2)時(shí)，8(工)>1,不符合題意.

②若0<2?+1<2,即一

1

則當(dāng)x￡(0,24+l)U(2,+8)時(shí)，g(x)<0；

當(dāng)x￡(2a+l,2)時(shí)，g'(幻>0,

所以g(%)在(0,2。+1),(2,+8)上單調(diào)遞減,

在(2。+1,2)上單調(diào)遞增.

由于g(O)=l，

所以g(x)Wl,當(dāng)且僅當(dāng)g(2)=(7-4a)e"Wl,

7—e2

即a^—.

*72?

所以當(dāng)，4C-Waq時(shí),g(x)Wl.

③若2a+122,即。2M

則g(x)wgr3+x+

由于。￡p?段)，

故由②可得償3+1+1)二￡1.

故當(dāng)。2^時(shí)，g(x)WL

綜上，。的取值范圍是寧，+8).

[子題1]已知函數(shù)yu)=F一依-1.若在工￡(0,+8)上有解，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

解因?yàn)?/(x)Wx2在(0,+8)上有解，

所以e1'—x2—or—1W0在(0,+8)上有解，

當(dāng)x>0時(shí)，莊(0,+8)上有解，

令如)=弓一(%+￡),

.e\x-1)x2—1

則M18(%)=g——~

(x-l)[eK-(x+l)]

=？.

顯然當(dāng)x>0時(shí)，er>x+1,

即eA-(x+l)>0,

當(dāng)0*1時(shí)，g'(x)<0；

⑴求曲線)，=/5)在點(diǎn)(1,川))處的切線方程；

(2)當(dāng)1,/(x)War2—a,求a的取值范圍.

解(1^(x)=lnx+l,f(1)=1,又＞1)=0,

故逐幻在點(diǎn)(1,WD)處的切線方程為y=x-l.

(2)當(dāng)1時(shí),令g(x)=xlnx—a(x2—1),

得g(l)=0,g'(x)=lnx+l—2ax,

令/?(x)=lnx+1—2aXy

則/?'(x)=：—2a=\-2ax

①若aWO,得若(x)>0,則屋(x)在［1,+8)上單調(diào)遞增,

故g'a)2g'⑴=1一2。20,

所以g(X)在［1,+8)上單調(diào)遞增，

所以g(x)2g(1)=0,

從而xlnx—“v2—1)20,不符合題意；

②若a>0,令力’(x)=0,得x==.

(i)若0<W，則力匕

當(dāng)"電，勿時(shí)’

h'(x)>0,g'(x)在［1,會(huì)上單調(diào)遞增,

從而g'a)>g'(1)=1—2a>o,

所以g(x)在［l,方)上單調(diào)遞增，

此時(shí)g(x)》g(l)=O,不符合題意；

(讓)若〃2：,則0<5Wl,

力'(x)W0在［1,+8)上恒成立，

所以g'(x)在［1,+8)上單調(diào)遞減,

g'(x)Wg'(1)=1—2aW0,

從而g(X)在［1,+8)上單調(diào)遞減,

所以g(%)Wg(l)=O,

所以xlnx—Mv2—1)WO恒成立.

綜上所述，。的取值范圍是代，+8)

2.(2022?榆林模擬)已知函數(shù)yU)=oe，+l,g(x)=lnx.

(1)討論函數(shù)力(x)=g(x)+吟二的單調(diào)性；

V

⑵若xfix)<一g(x)+1,求4的取值范圍.

xf(x)-x

解(1)因?yàn)榱?x)=g(x)+—V7一=lnx+or,x>0,

所以力'(x)=：+a,

人

若。20,則/?'(x)>0在(0,+8)上恒成立，

故〃(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

若。<0,則當(dāng)x￡(0,一時(shí))時(shí)，h1(A)>0；

當(dāng)+8)時(shí)，hf(x)<0.

故/?(“)在(0,—上單調(diào)遞增，在%+8)上單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，/G)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)〃<0時(shí)，力(外在(0,一$上單調(diào)遞增，

\a，

在(一!，+8)上單調(diào)遞減.

(2)由MU)<—g(x)+1等價(jià)于

—In%一丁+1-13叼+1

a<x?-xex，

令/=xe'(/>0),

-In1+1

夕⑺=；，

ri,Inf—2

則3")=一~S.一

由伊,。)=0,可得f=e2,

當(dāng)/e(0,e?)時(shí)，(pr(0<0,夕⑺單調(diào)遞減:

當(dāng)Y(c?,十8)時(shí),(p'(/)>0,以/)單調(diào)遞增.

故M0min=e(e2)=一最，

所以a的取值范圍為(一8,一5)

專題強(qiáng)化練

1.(2022?河北聯(lián)考)已知函數(shù)火x)=adhix與g(x)=/一次.

(1)若凡丫)與g(x)在x=l處有相同的切線，求。，力的值.

(2)若對(duì)e],都號(hào)|使凡x)2g(x)恒成立，求。的取值范圍.

解(1)fU)=2avlnA-hax,g'(x)=2x~b,

:函數(shù)_/U)與g(x)在％=1處有相同的切線，

.火l)=g(l)，

(l)=g'⑴，

[0=1-/?,

即《

a=2-b,

。=1,

???<

b=\.

(2)欲使7U)2g。)恒成立，

即ax2lnx^x^—bx成立，

即avlnx—x^—b成立，

1,目使<x)2g(x)恒成立，

e—

:.arln%—2恒成立，

當(dāng)x=l時(shí)，有一12一]成立，

??a￡R,

c

x-2

當(dāng)句時(shí)，心赤，

e

2x~2

令G(X)F，

^lnx-

則G'(x)=~3?

(xlnx)

ee

令〃?(x)=51nx-x+5，

則〃?'(x)=^—1,且/“'仔)=0,

當(dāng)I<A3時(shí)，in'(x)>0,

e

當(dāng)1ave時(shí)，m'(A)<0,

???〃3在(1，號(hào)上單調(diào)遞增，便e)上單調(diào)遞減，

加⑴=-1+，>0,=目n1>0,，〃⑹=0,

???當(dāng)x￡(l,e］時(shí)，m(x)20,

即G'(x)20,G(x)在(I,e］上單調(diào)遞增，

當(dāng)x=e時(shí)，G(x)有最大值，且G(e)=1,

綜上所述，a的取值范圍是仕，+8)

2.(2022?呂梁模擬)已知函數(shù)府)=ln(x+1)—6

(1)討論函數(shù)_/(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x20時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

解(1)由題意得上>—1,f(幻=丫；1一"

當(dāng)aWO時(shí)，/(x)>0,

故函數(shù)及。在區(qū)間(-1,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)4>0時(shí)，

在區(qū)間(-1,-1+5)上，ra)>o,

在區(qū)間(-1+十，+8)上，/(A-)<0,

所以函數(shù)火X)在區(qū)間(-1,—1+0上單調(diào)遞增，

在區(qū)間(-1+5，+8)上宜調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)