§8.2兩條直線的位置關(guān)系

【課標要求】1.能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直2能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標3掌握平

面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離.

1.兩條直線的位置關(guān)系

直線/i：y=k\x+b\f12：、=左加+。2，h：Aix4-Biy+Ci=0,/4：42工+82)，+。2=()(其中八與A是同一條

直線，/2與是同一條直線)的位置關(guān)系如下表：

位置關(guān)系/2滿足的條件k，，4滿足的條件

-/4261=0,且A1C2-C2C1WO（或R1C2一

平行1|=。2且」芋岳

82GWO）

垂直k也2二-1A1A2+3I82=0

相交k\#k2A限——WO

2.三種距離公式

(1)兩點間的距離公式

①條件：點尸1(汨，力),尸2(X2，J2).

②結(jié)論：|尸122|=］(工2—工1)2+(力一力乃.

③特例：點P(x,切到原點。(0,0)的距離|0P|=J/+y2.

(2)點到直線的距離

點P(.to,刃)到直線/：Ax+8v+C=O的距離小=的望ia

卜+B2

(3)兩條平行直線間的距離

兩條平行直線小Ax+8.v+G=O與b：Ax+8y+C2=0間的距離

［解十丁

1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打7'或“X”)

(1)當(dāng)直線/］和斜率都存在時，一定有ki=k2nh〃/2.(X)

⑵若兩條直線人與/2垂直，則它。的斜率之積一定等于一L(X)

(3)直線外一點與直線上點的距離的最小值就是點到直線的距離.(4)

（4）若點A,B關(guān)于直線/：,，=區(qū)+伙AWO）對稱，則直線AB的斜率等于一],且線段AB的中點在直線/

上.（7）

2.若直線2x+"?y+1=0與直線3x+6y—I=0平行，則等于（）

A.4B.-4

C.lD.-1

答案A

解析因為直線2x+〃曠M=O與直線3丫+6），-1二0平行，所以;=：。二,解得切=4.

3.兩平行直線6x-2y~y/W=0,/2：4），一2八-3715=0之間的距離為（）

A.—B.3

2

C.V5D.2V2

答案A

解析直線/]：x—2y—A/1U=0可化為2t—4y-2V1U=O,

直線12:4y-2r-3V10=0可化為

2x-4），+34U=0,

所以兩平行直線之間的距離為

|3國-（-2屈）|_5V2

2

4.已知直線2_v+3），+l=0和x—3j+4=0相交，則這兩條直線的交點坐標為,過交點并且垂

直于直線3x+4），-7=0的直線方程為.

答案（號’D4x—3y+9=0

解析由方程組『”+3y+i=°，

/-3y+4=0,

（x=-l

解得73,即交點坐標為（一（，

9-3，

因為所求直線與直線M+4），-7=0垂直，

所以所求直線的斜率為k=l

由點斜式得所求直線方程為廠戶沁+|）,

即4x-3y+9=0.

1.三種常見的直線系

(1)與直線Ax+與十C=0平行的直線系方程為Ax+砂+G=O(C/G)；

(2)與直線Ax+8)，+C=0垂直的直線系方程為Bx—A)，+G=0；

(3)過直線Ax+8i)，+G=0與直線A2x+&y+C2=O交點的直線系方程為A/+S)，+G+，AM+B2y+G)=

0(不包括直線人勿+82)，+。2=0).

2.謹防四個易誤點

(I)兩條直線平行時，不要忘記它們的斜率有可.能不存在的情況.

(2)兩條直線垂直時，不要忘記一條直線的斜率不存在、另一條直線的斜率為零的情況.

(3)求點到直線的距離時，應(yīng)先化直線方程為一般式.

(4)求兩平行線之間的距離時，應(yīng)先將方程化為一般式且x,)，的系數(shù)對應(yīng)相等.

題型一兩條直線的平行與垂直

例1(1)(多選)已知直線/i：Ax+Sy+G=。和直線'A冰+&y+C2=0，則下列說法正確的是()

A.若%=0，則，2表示與x軸平行或重合的直線

B.直線A可以表示任意一條直線

C.若4]&-48]=0,則/i〃，2

D.若.4也+6歸2=0,則/山2

答案ABD

解析當(dāng)42=0時，的斜率為0,與x軸平行或重合，故A正確；

當(dāng)用=0時，乙的斜率不存在，當(dāng)Bi關(guān)0時，八的斜率存在，能表示任意直線，故B正確；

若A由2—4囪=(),且4c2—A2GWO或81c2—&GW0,則1\//12,故C錯誤;

若8出2^0，則由4A2+B歸2=0可得斜率之積為一1,故/i±/2,若8]=0(&=0),可得A2=0(Ai=0),此

時滿足4A2+8歸2=0,此時兩條直線一條斜率為0,一條斜率不存在，故/I_L/2，故D正確.

(2)數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學(xué)》一書中有這樣一個定理：三角形的外心、垂心和重

心都在同一直線上.這條直線被后人稱為三角形的歐拉線.己知△ABC的頂點分別為A(0,2),9一1,0),

C(4,0),則6c的歐拉線方程為()

A.4x—3}?—6=0B.3x+4y+3=0

C.4x+3y—6=0D.3x+4y—3=0

答案C

解析因為△ABC的頂點分別為4(0,2),僅一1,0),C(4,0),

所以△ABC的重心為G(l,,

例2(1)過兩條直線Z工+2)，-4=0,，2：2人一)，-3=0的交點，且與直線工+3)，+1=0垂直的直線的

方程為()

A.3x—y—5=0B.6x—2y—3=0

C.x-3y+3=0D.3x+y—7=0

答案A

x+2y-4=0,得x=2,

解析由

.2%-y—3=0,、y=i，

設(shè)與直線x+3y+1=()垂直的直線的方程為3x—y+〃7=0，則3X2—1+〃?=(),得〃z=-5,

所以所求直線方程為3x-y-5=0.

(2)當(dāng)點尸(-2,一1)到直線/：(1+3/1口+(l+2)y—2—4A=()awR)的距離最大時，其最大值以及此時的

直線方程分別為()

A.V13；3x+2y—5=0

B.V1T；3x+2y-5=0

C.V13；2L3)，+1=0

D.V11；2%—3)，+1=0

答案A

解析將直線I:(1+33+(1+力廠2—42=0(4SR)變形得x+y—2+，3工+)，-4)=0,

由f+y-2=0,解得『=1，因此直線/過定點,1),

(3x+y-4=0,(_y=l,

當(dāng)AP_L/時，點P(—2,一1)到直線/:(l+32)x+(l+4).v-2-42=0awR)的距離最大，

最大值為|AP|=J(-2-1)2+(-1-1)2=V13,

又直線4P的斜率心「=三三=[,

則直線/的斜率為一|,

所以此時直線/的方程為y—1=—j(x—1),即3x+2y—5=0.

思維升華利用距離公式應(yīng)注意的點

(1)點尸(沏，死)到直線x=a的距離仁島一,到直線y=b的距離d=\y()—b\.

(2)使用兩條平行線間的距離公式前要把兩條直線方程化為一般式且x,y的系數(shù)對應(yīng)相等.

跟蹤訓(xùn)練2已知兩條平行直線分別過點A(6,2)和次一3,-1),并且各自繞點A,B旋轉(zhuǎn),兩平行線

之間的距離的最大值為,此時兩平行直線方程分別

為.

答案3<103.r+.y-20=0和十)，+10=0

解析兩條平行直線分別過點46,2),僅一3,-1),并且各自繞點A,8旋轉(zhuǎn)，

當(dāng)與兩平行直線垂直時，兩平行線之間的距離最大，|/W|=J(6+3)2+(2+l)2=3"U,

這兩條平行直線之間的距離有最大值，最大值為3m,

???直線A8的斜率公8=%=：,

6十33

故這兩條平行直線的斜率為-3,

則兩平行直線方程分別為y—2=-3。-6),y+l=-3(x+3),

即3%+y—20=0和31+)，+10=0.

題型三對稱問題

例3已知直線/：x+2y—2~0?試求；

(1)點P(—2,—1)關(guān)于直線/的對稱點坐標；

(2)直線/.：y=x-2關(guān)于直線/對稱的直線，2的方程；

(3)直線/關(guān)于點M(l,1)對稱的直線廠的方程.

解⑴設(shè)點P(—2,—1)關(guān)于直線/的對稱點為Q(x,y),

所以對稱點。的坐標為(I，y).

(2)由」+2)'-2=0,解得『二2,即直線/與的交點為A(2,0),

y=x-2,(y=0,

點E(0,一2)是直線/i上的點，設(shè)它關(guān)于直線/的對稱點為8(為,y1)，

*2,一2二。解得屋

則

.尹2?第

即喉冷)，

14

所以直線的方程為＞,=7(x—2),

即7x-y-l4=0.

(3)方法一在直線/：葉2廠2=0上任取兩點，

如A(2,0),C(O,1),則A,C關(guān)于點M(1,1)的對稱點A'，。均在直線/'上，

易得A"),2),C'(2,1),

所以直線1的方程為＞一2=宗,

HPx+2y—4=0.

方法二設(shè)直線/關(guān)于點M(1,1)對稱的直線〃的方程為x+2y+〃?=0,"1中一2,

由喋-2|=,解得〃?二一2(舍去)或〃?二一4,所以直線廠的方程為x+2y-4=0.

思維升華對稱問題的求解策略

(1)解決對稱問題的思路是利用待定系數(shù)法將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系求解.

(2)中心對稱問題可以利用中點坐標公式解題，兩點軸對稱問題可以利用垂直和中點兩個條件列方程組解題.

跟蹤訓(xùn)練3已知直線/：2K—3y+l=0,點A(—1,—2).求:

(1)點4關(guān)于直線/的對稱點A的坐標；

(2)直線〃?：3x—2y—6=0關(guān)于直線/對稱的直線M的方程；

⑶直線/關(guān)于點力的對稱直線，'的方程.

解(1)設(shè)AG,)，)，由已知條件得

y+22

-----x-=—1,

x+13

x—1y-2

2X---3X-+1=0,

乙2

解得

(2)在直線m上取一點，如M(2,0),則M(2,0)關(guān)于直線/的對稱點M必在直線〃「上.

設(shè)對稱點M\a,b),則

CQ+2,b+0?y八

既可;丁’得必目汾

.a-23

設(shè)直線〃，與直線/的交點為Q,

2x-3y+l=0,_

由得zQ(4,3).

.3%—2y—6=0,

又m經(jīng)過點Q(4,3),所以直線加的方程為墨=卦，即9.L46)，+102=0.

13-3布-4

(3)方法一在I：2x—3y+1=0上任取兩點，

如P(1,I),0(4,3),貝Q關(guān)于點4一1,-2)的對稱點尸，Q均在直線廠上,

易得產(chǎn)(-3,-5),Q'(-6,-7),

y+5_x+3

所以「的方程為,即2r-3>-9=0.

-7+5-6+3

方法二因為/〃J

所以設(shè)/'的方程為2x—3y+C=0(CWl).

因為點4一1,—2)到兩直線/,/的距離相等,

所以由點到直線的距離公式，

得了6"|=1「+1|,得c=_9,

卜+(_3)2J22+(-3)2，

所以「的方程為2x~3y-9=0.

課時精練

［分值:85分］

閾知識過關(guān)

一、單項選擇題(每小題5分，共40分)

1.已知直線八：x+(a—l)y—3=0與直線,2：x+2y+3=0相互垂直，則〃的值為()

A.-B.1

2

C.3D.-i

2

答案A

解析?../I_L/2,，1X1+3—1>2=0=。="

2.。刀=一3"是"直線2x+(m+l)y+4=0與直線〃tv+3y—2=0平行”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析由直線2x+(〃?+l)y+4=0與直線心+3廠2=0平行，得蕓=巴臺￥白且,解得〃?=2或in=

-3,所以“〃?二一3”是“直線2x+(〃7+l)y+4=0與直線以+3)，-2二()平行”的充分不必要條件.

3.與直線2x+3y+l=0平行且過點(0,1)的直線方程是()

A.2x-3y-3=0B.3x+2y-2=()

C.2x-3y+3=0D.3x-2y+2=0

答案A

解析設(shè)所求直線方程為2x+3y+C=0(CNl),

又過點(0,1),則可得3+C=0,解得C=-3,

則所求直線方程為2入+3)，-3=0.

4.已知從點(5,2)發(fā)出的一束光線，經(jīng)x軸反射后，反射光線恰好過點(1,2),則入射光線所在的直線方程

為()

A.x-y-3=0B.xB+y-7=()

C.x-y+3=()D.xD+y-3=()

答案A

解析運用點關(guān)于直線對稱，求出(1,2)關(guān)于x軸的對稱點為(1,-2),又(1,—2)與(5,2)在同一條直線

上，

運用兩點式得到入射光線所在的直線方程為堂=三，整理得X—)，-3=0.

—2—21—5

則入射光線所在的直線方程為x—y—3=0.

5.若曲線)，=yW=2sinx+2025在點停，f(粉處的切線與直線)，=or+2025垂直，則實數(shù)〃等于()

A.lB.-1

C.2D.-2

答案B

解析函數(shù)./U)=2sinx+2()25,求導(dǎo)得八x)=2cosx,因此曲線在點g,f?))處的切線斜率為&=/'《)=

1,而切線與直線y=ar+2U25垂直，所以。=—*=—1.

K

6.已知直線/：x-\-my—2m—1=0,則點P(2,—1)到直線/距離的最大值為()

A.x/5B.V10

C.5D.10

答案B

解析直線/:x-^my-2m-\=0,

即x-l+m(y-2)=0,

由『一『,得產(chǎn)1,

(y-2=0,ly=2,

所以直線/過定點A(1,2),

當(dāng)直線/垂直于直線AP時，距離最大，此時最大值為|AP|=J(2T)2+(-1^2)2=aU.

7.(2025?大同模擬)已知實數(shù)a,b,c,d滿足3a—4〃+3=0,3c—4"-7=0,則(。一^+仍一療的最小值為

A.1B.2

C.3D.4

答案D

解析由題意得，點A(a，勿在直線3A—4y+3=0上，點B(c,d)在直線3工一4廠7=0上，兩直線平行，

所以(a—c)2+S—d)2的最小值為兩平行線間距寓的平方，即J+7I=4

[j32+(-4)2j

8.過定點A的動直線”+6=0和過定點B的動直線區(qū)一廠2k+l=0交于點M,則IM4I+IM用的最大值是

()

A.2V2B.3

C.x^ToD.V15

答案C

解析由題意知x+b，=O過定點40,0),

動直線船一)，一2攵+1=0,即攵。-2)—)，+1=0過定點8(2,1),

對于直線x+Ay=O和動直線依一y—2攵+1=0滿足1XL+kX(—1)=0,

故兩直線垂直，

因此點M在以為直徑的圓上(除去點(2,0)),|4B|=j22+M=V5,

貝IJ|MAF+|M8|2=5,

所以(|MA|+L)2=|M4|2+|M8|2+2|MA||M8|W2(|MA|2+|M引2)=10,

當(dāng)且僅當(dāng)|AM|=|MB|=當(dāng)時，等號成立，

故1MAi十兇的最大值為JIU.

二、多項選擇題(每小題6分，共18分)

9.已知直線/：V3x-y+l=0,則下列結(jié)論正確的是()

A.直線/過第一、三、四象限

B.過點(V5,1)與直線/平行的直線的方程是V5x-y-2=0

C.直線四L)，+2=0到直線/的距離為1

D.若直線〃?：X—V3y+1=0,則/±m(xù)

答案BC

解析直線/過第一、二、三象限，故A錯誤；

設(shè)過點(百，1)且與直線/平行的直線的方程為信一,，+/=0(叱1),由于點(V5,1)滿足該直線，代入得t=

-2,所以所求的直線方程為恁一)，-2=0，故B正確；

由于直線/：岳一)，+1=0與直線岳一)，+2=0平行，故兩直線間的距離d=/12Tl=；,故c正確；

J(V3)2+(-l)2

直線！的斜率為k尸網(wǎng),直線機的斜率為心=停，因為kky—\,所以直線/和直線〃?不垂直，故D錯誤.

?5

10.對于直線6or+2y+3a=0,/2：34+(。-1))，+3—々=0,則()

A.h〃/?的充要條件是。=3或a=~2

B.當(dāng)時,Zi±/2

C.直線/2經(jīng)過第二象限內(nèi)的某定點

D.點P(l,3)到直線1的距離的最大值為3A泛

答案ABC

解析若h//l2,則a(4—1)—6=0,解得4=3或。=-2,經(jīng)檢驗，符合題意，所以67=3或a=-2,所以

/】〃/2的充要條件是。=3或。=一2，故A正確；

當(dāng)〃.時，3〃+2(〃-1)=3—>0,所以/山2，故B正確；

2

v—1=0x=—3.

由12：3工+3—1))，+3—〃=0,得()，-1)“+3工一>+3=0,令已解得所以直線12經(jīng)過

.3x-y+3=0,(y=l,

定點(一|,1)，位于第二象限，故C正確；

(x~\~3=0(x=—3

由h：or+2y+3a=0,得(x+3)a+2y=0,令‘解得‘所以直線1\過定點揚(-3,0),當(dāng)

12y=0,ly=0,

PM_L/i時，點?(1,3)到直線人的距離最大，最大值為|PM|=J(—3—1)2+(0—3)2=5,故D錯誤.

11.(2025?眉山模擬)已知直線/：2A-)，+3=0,點R(0,2),P(l,1),Q(1M，〃{R,下列說法正確

的是()

A.點P到直線/的距離為手

B.若點P與點。位于直線/的兩側(cè)，貝

C.點P與點Q之間距離的最小值為企

D.|Q?|+|。丹的最小值為2

答案ABD

解析點P到直線/的距離"二|2-1+3|=釁，A選項正確；

/2+(-1)2

將點P(1,1)代入直線方程得2—1+3=4>。，又點尸與點Q位于直線/的兩側(cè)，則將點Q(1—〃2,,〃)代入直

線方程得2—2/〃一機+3<0,即,B選項正確；

|PQI=J[1-(1-?n)]2+(l_m)2=J2m2_2m+]=J2(巾-J+,C選項錯誤；

???1—〃?+〃?=l,.??點。在直線/i:x+y—1=0上，斜率攵=一1,過點尸作直線/LU于點。，如圖所示，

解得工=y=]即。3,

???點P關(guān)于直線八的對稱點為原點。(0,0),OR與人的交點為Q,此時|QR|+|QP|最小，

則(IQR|+IQP|)min=|OR|=2,D選項正確.

三、填空題(每小題5分，共15分)

12.經(jīng)過點P(l,0)和兩直線八：x+2y—2=0,Z2：3x—2y+2=0交點的直線方程為.

答案x+y—1=0

解析設(shè)所求直線方程為x+2)，-2+“3x-2y+2)=0，點P(1,0)在直線上，

???1-2+2(3+2)=0,解得，=：,

???所求直線方程為x+2y-2+，X(3x—2y+2)=0,即1=0.

13.若八：級+@—2=0與'L)，+a=()平行，則兩直線之間的距離為.

答案y

解析???直線人與/2平行，

=三工二，解得a=—2,

1-la

，直線l\x—y—1=0,直線h:A—y—2=0,

一一(-

直線(與，之間的距離112)|=主

???2d=2°

14.請運用數(shù)形結(jié)合的思想，得出函數(shù))，=]/—軌+53—J%2—8%+25的最大值為.

答案2居

解析因為y=Jx2-4x+53—Jx2-8x+25=

所以它表示點P（x,0）到點42,7）和8（4,3）的距離之差，如圖所示，

所以y=J/-4x+53-J%