§7.2球的切、接問(wèn)題

【重點(diǎn)解讀】球的切、接問(wèn)題是歷年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，一般以客觀題的形式出現(xiàn)，考查空間想象能力、計(jì)

算能力.其關(guān)鍵點(diǎn)是利用轉(zhuǎn)化思想，把球的切、接問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題或特殊幾何體來(lái)解決或轉(zhuǎn)化為特殊幾

何體的切、接問(wèn)題來(lái)解決.

一、正方體與球

1.內(nèi)切球：內(nèi)切球直徑2穴=正方體棱長(zhǎng)久

2.棱切球：棱切球直徑2代正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)在a

3.外接球：外接球直徑2R=正方體體對(duì)角線長(zhǎng)百”

二、長(zhǎng)方體與球

外接球：外接球直徑2R二體對(duì)角線長(zhǎng)VQ2+>+/（a,乩c分別為長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高）.

三、正棱錐與球

1.內(nèi)切球：丫正梭檢邛表?桔S底力（等體積法），「是內(nèi)切球半徑，，為正棱錐的高.

2.外接球：外接球球心在其高上，底面正多邊形的外接圓圓心為E,半徑為r,代二（/?。?/（正棱錐外接

球半徑為R,高為〃）.

四、直棱柱的外接球

球心到直棱柱兩底面的距離相等，直棱柱兩底面外心連線的中點(diǎn)為其外接球球心.R2=C）+/（直棱柱的

外接球半徑是R,高是力，底面外接圓半徑是「）.

五、圓柱的外接球

是圓柱外接球的半徑，〃是圓柱的高，「是圓柱底面圓的半徑).

六、圓錐的外接球

R2=SR)2+/(R是圓錐外接球的半徑，/Z是圓錐的高，;?是圓錐底面圓的半徑).

■探究核心題型.

題型一外接球

命題點(diǎn)1補(bǔ)形法

例1(1)古代數(shù)學(xué)名著《九章算犬?商功》中，將底面為矩形，且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為

“陽(yáng)馬”.若四棱錐P/WC。為“陽(yáng)馬”，P4_L平面A8CO,AB=BC=4,PA=3,則此“陽(yáng)馬”外接球的

表面積為()

A.回B.—

24

C.\Z417rD.417T

(2)己知三棱錐SA8C的四個(gè)頂點(diǎn)都在球0的球面上，旦SA=8C=2,SB=AC=fi,SC=AB=病,則球。

的表面積是.

思維升華滿足下列條件的可以補(bǔ)成長(zhǎng)方體

(1)(墻角模型)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，如圖①.

(2)三凄錐的四個(gè)面均是直角三角形，如圖②.

(3)(對(duì)棱模型)三棱錐的對(duì)棱兩兩相等，則每條對(duì)棱為長(zhǎng)方體的面對(duì)角線，如圖③.

跟蹤訓(xùn)練1在三棱錐PA4C中，PAJ_平面A8C,AB=BC=CA=2&,且三棱錐PA4C的體積為/若三

棱錐PARC的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一-球面上，則該球的表面積為()

A.4兀B.—

3

C.8TID.167：

命題點(diǎn)2定義法

例2（2024?六盤水模擬）如圖，在四面體ABCO中，NAC8=乙408=9（）。，AB=2,則四面體A8CD外接

球的表面積為（）

A.2TIB.4TIC.8n

思維升華到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則

球心一定在垂線上，再根據(jù)到其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系式求解即可.

跟蹤訓(xùn)練2已知菱形A8CO的邊長(zhǎng)為2,N8=60。.將AABC沿AC折起，折起后記點(diǎn)3為P,連接

PD,得到三棱錐PACD,如圖所示,當(dāng)三棱錐PACO的表面積最大時(shí)，三棱錐PAC。的外接球體積為

.5\5nn4\^3-rr

A-B—

C.2島D.學(xué)

命題點(diǎn)3垂面法

例3（2024?雙鴨山模擬）已知四面體A8CO的各頂點(diǎn)均在球。的球面上，平面48C_L平面BCD,

AB=BC=AC=CD=2,BCA-CD,則球0的表面積為（）

思維升華找兩個(gè)三角形的外接圓的圓心，過(guò)圓心分別作這兩人三角形所在平面的垂線，兩垂線的交點(diǎn)就

是球心.

跟蹤訓(xùn)練3在三棱錐PA8C中，NBAC=90°,PA=PB=PC=8C=2,則三棱錐/<48。外接球的表面積為

（）

4n8n?llnr\16n

AATnBTC-D—

(2)兩灤Oi和。2在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-4囪GQ的內(nèi)部，且互相外切，若球Oi與過(guò)點(diǎn)A的三個(gè)面相

切，球02與過(guò)點(diǎn)G的三個(gè)面相切，則球。和5的表面積之和的最小值為()

A.3(2-V3)HB.4(2-遮)兀

C.6(2-V3)HD.12(2-V3)n

答案精析

探究核心題型

例1(1)D［由于PA_L平面A8C0,48,4Qu平面A8C。，

所以PA1AR,PA1AD,

由于四邊形48co是矩形，

所以A3-LA。，

所以A8,AD，抬兩兩互相垂直，

所以四棱錐PABC。可補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，且長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為PC=V32+42+42=V41,

所以外接球的直徑27?=同，

所以外接球的表面積為4兀汽=41兀］

⑵8兀

解析將三棱錐SA8C放入長(zhǎng)方體中，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a,b,c,如圖所示，則

(a2+爐=5,

ja24-c2=7,

\b24-c2=4,

則4+〃+C2=8,因?yàn)榍?。的直徑即為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，

則球。的半徑為號(hào)史二企，

所以球0的表面積是4兀X(&)2=8兀

跟蹤訓(xùn)練1D「??三棱錐PAAC的體積為?，

.?JX^X(2V2)2XPA=1,

???PA:竽，將三棱錐補(bǔ)成三棱柱，可得球心為三棱柱外接球的球心，球心到底面的距離d等于三棱柱的高

PA的一半竽，

?二△4BC是邊長(zhǎng)為2或的正三角形，

???△ABC外接圓的半徑『手，

???球的半徑為R=>/d2+r2

4(呻+(等=2,

???該球的表面積為47rX22=167i.］

例2B［設(shè)。是A8的中點(diǎn)，

連接0C,0D,如圖所示，

由4cB

=ZADB=90°,

得OA=OB=OC=OD,

所以。是四面體外接球的球心，且半徑為OA=OB=OC=OD=^AB=\,

所以外接球的表面積為4兀X12=4兀］

跟蹤訓(xùn)練2D［由題意可得，△4C。，A4CP均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，△氏/),△PC。為全等的等

腰三角形，則三棱錐R4CZ)的表面積

S=2SAACD+2SAPCD=2X：X2X2Xy+2x|x2X2sin/尸。。=2百+4sinNPCQW26+4,

當(dāng)且僅當(dāng)sinZPCD=\,

即八二LCO時(shí)，

三棱錐PACO的表面積取最大值，

此時(shí)△P4。，△PC。為直角三角形，

PD=yiPC2+CD2=2yf2,

取夕。的中點(diǎn)。，連接。4,。。(圖略)，由直角三角形的性質(zhì)可得O4=0C=0Q=0P=&,

即三棱錐PACD的外接球的球心為0,半徑R=V2,故外接球體積丫三兀X(&>=學(xué).]

例3C|如圖，取8c的中點(diǎn)E,8。的中點(diǎn)尸，所以尸為△BCQ的外心，

連接AE,EF,設(shè)△A8C的外心為G,

因?yàn)锳B=BC=AC=2,

即△ABC為等邊三角形，

所以點(diǎn)G在AE上，連接0G,OF,

貝ijOGJ?平面ABC,。/，平面BCD,

囚為平面/WC_L平面BCD,

所以O(shè)G±OFt

因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，E為8c的中點(diǎn)，

所以AE_L8c,

因?yàn)槠矫鍭8C_L平面BCD,平面A8CC平面BCD=BC,

AEu平面ABC,

所以AE_L平面BCD,貝ljAE//OF,

又“u平面BCD,所以AE1EF,

同理En1_平面ABC,所以EF//OG,

故四邊形OGE尸是矩形.

由BCA.CD,

可得BL)=y/BC2+CD2=2y/2,

故DF=>/2,

又0尸二反沼460°=v,

333

設(shè)球。的半徑為R,

貝IjR2=O￡）2=O產(chǎn)+松],

J

所以球O的表面積5=4兀六二等.]

跟蹤訓(xùn)練3D|如圖，設(shè)Oi是BC的中點(diǎn)，連接GA,OF,由于NB4C=90。,

所以。|是△ABC的外心，0iA=0iB=0C

由于PA=PB=PC=BC=2,0i是BC的中點(diǎn)，

貝ljPOxLBC,POi=V3,O]A=\,

貝"鬣+O#=PA?,

則POxLOyA.

又OiADBC=Oi,

OxA,BCu平面ABC,

所以P?！蛊矫鍭BC,

而POiU平面PBC,

所以平面P8C_L平面ABC.

由于△P8C是等邊三角形，設(shè)。是△PBC的外心，連接0A,OB,OC,

貝ljOP=OB=OC,

又因?yàn)?。在POi上，

所以O(shè)B=OC=OA,

則。也是三棱稚P44C外接球的球心.

設(shè)外接球的半徑為廠，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知尸。片|。/=手,

2

所以外接球的表面積為4兀7=4兀X（等）二等.]

例4B[如圖所示，根據(jù)題意可知OiA=2,OiB=\2,。。2=10百.

設(shè)圓臺(tái)容器內(nèi)能放置的最大球的球心為0,且與下底面和母線八A分別切于。2,C,

因?yàn)閘anZ/4^O2=T7^|=V3,

12-2

所以/A8O2=60。，所以NO3O2=30。，

所以可知球的半徑R=OO2=O2Bian30°=I2X^=4V3,

J

此時(shí)球的直徑為2H=8V5<OIO2=10\/5,

即此時(shí)球與圓臺(tái)容器上底面不相切，因此圓臺(tái)容器內(nèi)能放置的最大球的表面積5=4兀收=192兀J

例5B［如圖所示，因?yàn)檎睦忮F底邊邊長(zhǎng)為2,高為迎，

所以O(shè)B=y/2,

SB=2,

。到S8的距離為公三#=1,

SB

同理O到SC,SD,SA的距盅為1,易知。至l|A8,8C,，OA的距宙也為1,

所以。為球的球心，所以球的半徑為1,

所以球的表面積為4兀］

跟蹤訓(xùn)練4(1)D［設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,則6/=24,解得。二2.

又球與正方體的每條棱都相切，則正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)即為球的直徑長(zhǎng)，所以球的半徑長(zhǎng)是虎,所以此球

的體枳為、X(魚尸=5磬」

?3*5

(2)A［原問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求該圓錐的內(nèi)切球表面積，該內(nèi)切球的半徑與該圓錐軸截面的內(nèi)切圓半徑相等，

畫出該軸截面如圖，

由母線長(zhǎng)為3cm,底面半徑為1cm可得該圓錐的高/?=V32-12=272(cm),

設(shè)內(nèi)切球的半徑為r,則有S拍紙面§X2X2或