重難點突破03原函數(shù)與導函數(shù)混合還原問題

目錄

題型一:利用短7Q)構(gòu)造型

題型二：利用構(gòu)造型

xn

題型三：利用構(gòu)造型

題型四：用喟■構(gòu)造型

題型五：利用sinx,tanx^jf(x)構(gòu)造型

題型六：利用cosi與/(1)構(gòu)造型

原函數(shù)與導函數(shù)混合還

原問題題型七：復雜型：陵與a/Q)+bg㈤等構(gòu)造型

I題型八：復雜型：(生r+b)與/(k)型

題型九：復雜型：與ln(依r+b)結(jié)合型

題型十：麓雜型：基礎型添加因式型

題型十一：復雜型：二次構(gòu)造

題型十二：綜合構(gòu)造

題型十三：找出原函數(shù)

方法技巧總結(jié)

1、對于xff(x)+/(x)>0(<0),構(gòu)造g(x)=x?/(x),

2、對于xf\x)+kf(x)>0(<0),構(gòu)造g(x)=xk-f(x)

3、對于“(幻-/*)>0(<0),構(gòu)造以外=幺

x

4、對于—4(x)>0(<0)，構(gòu)造且(幻=綽

X

5、對于廣⑶+/(%)>o(<0),構(gòu)造g(x)=e「/(x),

6、對于/'(x)+0(x)>0(vO)，構(gòu)造&(?=*?/(x)

7、對于r(x)-/O0(<0),構(gòu)造g(x)=券,

(V。)，構(gòu)造身。)二等

8、對于/'。)-4。)>0

9、對于sinX?/'(?￥)+cosx-f(x)>0(<O),構(gòu)造g(x)=f(.r)-sinx,

10、對于sin.r.f\x)—cosx-f(.r)>0(V0).構(gòu)造g(x)=

sinx

11、對于cosrf'(x)-sinx-/(x)>0(<0),構(gòu)造g(x)=f(x)-cosx，

12、對于8srr(x)+sinx?/(x)>0(<0),構(gòu)造身(x)=3

cosx

13、對于八力一/0)>&(<0),構(gòu)造g(x)=e'"(x)-燈

14、X'JTf\x)Inx+>0(<0),構(gòu)造g(%)=lnx/(x)

x

15、r(X)+C="(X)+G￥f；r(x)+g'(x)="(x)+g(x)]'；r(x)-g'(x)="(x)-g(x)]'；

16、r(x)g(x)+/(x)g'(x)=[f(x)g*)]';/'⑴』)7(x)g3=[陰]，.

g~(x)g(x)

必考題型歸納

題型一：利用x”/(x)構(gòu)造型

例1.(安徽省馬鞍山第二中學2022-2023學年高三上學期10月段考數(shù)學試題)已知人工)的定義域為(0,+?),

/'(%)為/*)的導函數(shù)，且滿足/⑺則不等式〃]+1)>(X-1)/卜2-1)的解集是()

A.(0,1)B.(2,+?)C.(1,2)D.(1,+?)

【答案】B

【解析】根據(jù)題意,構(gòu)造函數(shù)y=步意),xe(0,-boo),則.y'=/(x)+V(K)<0,

所以函數(shù)y=V(-v)的圖象在(o,+/)上單調(diào)遞減.

又因為/(x+l)>(x—1),所以為+l)”x+l)>￥T/y—l),

所以Ovx+lcf-i,解得x>2或XV-1(舍).

所以不等式/(x+l)>(x-的解集是(2,y).

故選:B.

例2.(河南省溫縣第一高級中學2022-2023學年高三上學期12月月考數(shù)學試題)已知函數(shù)/(%)的定義域

為(0,xo),且滿足/'(刈+礦(x)>0(/彳可是/(x)的導函數(shù))，則不等式的解集

為()

A.(-<?,2)B.(1,-KO)C.(1,2)D.(-1,2)

【答案】C

【蟀析】令g(%)=」a),則g'(")=/a)+")>o,即鼠刈在(o,長。)上遞增,

又上+1>0,則(x—等價干(丁_1)/(\2_])<*+1)/*+1),即g(f—Dvg*+D.

x2-l>0

所以「+1>0,解得lvx<2,原不等式解集為(1,2).

x2-I<x+l

故透:C

例3.(黑龍江省大慶實驗中學2023屆高三卜學期5月考前得分訓練(三)數(shù)學試題)已知函數(shù)/(x)的定

義域為(0,+8),/(力為函數(shù)/(工)的導函數(shù)，若f為(力+功(力=1,/(1)=0,則不等式/Q-3)>0的解

集為()

A.(0,2)B.(log23,2)C.(log23,+^o)D.(2,+oo)

【答案】D

【解析】由題意得，.『aH/ah,，

X

即(.叫'=(lnx+c)\

所以與(%)=hu+c,即外力=叱+￡,

*XX

又"1)=0,所以c=0,故/(力=皿，

X

(。)=匕牡=0,可得x=e,

x~

在(oe上，八幻>0,〃x)單調(diào)遞增；

在(e,?Q)上，/'(x)<0,/(幻單調(diào)遞減，

所以fM的極大值為/(e尸-.簡圖如下:

所以f(x)>。，2V-3>1,x>2.

故選：D.

變式1.(2023屆高三第七次百校大聯(lián)考數(shù)學試題(新高考))已知定義在R上的偶函數(shù)y=/(x)的導函數(shù)

為y=/'(x),當x>0時，且"2)=1,則不等式/(2x-l)<3的解集為()

x2x-1

B.(同

【答案】C

【解析】當x>0時，")+小)>0,所以當x>0時，4'(*+/(力>0,

x

令尸(X)=M(X),則當x>0時，/(力=靖(工)+)(">。，

故F")=.爐⑴在(0,轉(zhuǎn))上單調(diào)遞增，

乂因為y=/(x)在R上為偶困數(shù)，所以外刈=獷(可在R上為奇困數(shù)，

故尸(x)=MXx)在R上單調(diào)遞增，因為“2)=1,所以尸(2)=2f(2)=2,

1O

當工時，/(2工一1)<—可變形為(2x-l)/(2x-l)<2,即尸(21-1)<尸(2),

因為尸(同二葉(同在R上單調(diào)遞增，所以2工一1<2,解得x<"|,^1<x<|；

2

當時，〃2x—1)<彳—可變形為(2x-l)/(2x-l)>2,即尸(2x-l)>尸(2),

22x—1

因為*x)=4(x)在R上單調(diào)遞增，所以2x-l>2,解得故無解.

綜上不等式/(2x-—2的解集為,1亍3；、.

ZfX-111乙)

故選:C.

變式2.(四川省綿陽市鹽亭中學2023屈高三第二次模擬考試數(shù)學試題)已知定義在(0,+00)上的函數(shù)“力滿

o3

足2V(“+//，(力〈0,/(2)=4,則關于x的不等式■的解集為()

4x

A.(0,4)B.(2,-HX))C.(4,-KO)D.(0,2)

【答案】D

【解析】令力(x)=x7(x),則〃㈤=2V(x)+fr(x)<0,所以〃(力在(0,長。)單調(diào)遞減,

不等式/(力>5可以轉(zhuǎn)化為/〃力>4、：=22/(2),即〃(”>旗2),所以0<x<2.

故選:D.

變式3.(河南省豫北重點高中2022-2023學年高三下學期4月份模擬考試文科數(shù)學試題)已知函數(shù)””的

定義域為(。，+司，其導函數(shù)是門x),且2〃力+礦(x)>x.若"2)=1,則不等式3〃x)7—二>0的解

X

集是()

A.(0,2)B.(2,+oo)

C?傳)D.你杵)

【答案】B

【解析】構(gòu)造函數(shù)雙力=//(到4%3,其中%>0,

,

則/(工)=26工)+打3一f=x^2f(x)+^(.x)-x~\>0,

|QA

故函數(shù)g(x)=xRx)-y3在(0,+句上為增函數(shù)，且g(2)=”⑵J",

因為x>0,由3/(x)-x-g>0可得即g(x)>g(2),解得X>2.

AJJ

故選:B.

變式4.(廣西15所名校大聯(lián)考2023屆高三高考精準備考原創(chuàng)模擬卷(一)數(shù)學試題)已知/(x)是定義在

R二的偶函數(shù)，其導函數(shù)為r*)J(—1)=4,且3/(X)+4'W>3,則不等式/(x)<1+2的解集為()

x

A.(^o,-l)u(l,+oo)B.(-l,0)U(0,l)C.(0,1)D.(l,+oo)

【答案】C

【解析】設g(X)=//(x)一總

則g(x)在R上為奇函數(shù)，且晨0)=0.

又g'(x)=3x\f(x)+x3f\x)-3x2=x2[3f(x)+礦(x)-3],

當x>()時，g'(x)>0,所以g(x)在(0,+?)上為增函數(shù),

因此g(x)在R上為增函數(shù).

3

又f(-l)=/⑴=4,當x>0時，不等式/(x)vl+弓?化為“3/(肘一，<3,

即g(x)<g⑴，

所以0<柒v1；

當”<0時，不等式+j化為只/3>丁+3,即g(x)>3=g(l),

解得K>1,故無解，

故不等式f(x)<1+j的解集為((),1).

故選:C

【解題方法總結(jié)】

1、對于#'(x)+f(x)>0(vO),構(gòu)造g(x)=x/(x),

2、對于xf\x)+kf(x)>0(<0),構(gòu)造g(%)=/?/(x)

題型二：利用出構(gòu)造型

例4.(河南省信陽市息縣第一高級中學2022-2023學年高三上學期9月月考數(shù)學試題)已知定義在(0,+?)

的函數(shù)“X)滿足：V.re(O,-Kx)),/(x)-^(.r)<O,其中.盟1)為了⑴的導函數(shù)，則不等式

⑵—3)/(x+1)>(x+l)/(2x—3)的解集為()

A.■1,4)B.(4,”)

C.(-1,4)D.(F4)

【答案】A

【解析】設==f(”,

因為Vx?0,+oo)J(x)-礦(x)<0,

所以在(0,+?)上蛆x)>0,

所以g(x)在(0,+?)上單調(diào)遞增,

由已知，/(x)的定義域為(0,+?),

所以x+l>0,2x-3>0,

所以(2x—3)〃x+l)>(x+l)/(2x—3)等價于巫由>坐

x+12x-3

即g(x+l)>g(2x—3),

x+1>0

3

所以2x-3〉0,解得六4<4,

x+l>2x-3

所以原不等式的解集是.

IZ/

故選：A.

例5.已知定義域為⑶后期的偶函數(shù)心),其導函數(shù)為f(x)f對任意正實數(shù)x滿足療(戈)>2仆),若gix)="，

X

則不等式g(X)Vg(D的解集是()

A.(—8,1)B.(-1,1)

C.(-co,O)U(OJ)D.(-|,0)U(0,l)

【答案】D

【解析】因為/&)是定義域為｛中子0｝的偶函數(shù)，所以次—x)=/U).對任意正實數(shù)x滿足

所以十

因為&*)=」詈，所以g(%)也是偶函數(shù).

當i￡(0,+oc)時，g，(x)=/'(x)；2/(x)>o

X

所以g(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增,在(一8,0)單調(diào)遞減,

若g(x)vg(l),則MV1(*O),解得04V1或一14<0,

故g(x)vg⑴的解集是(一l,0)U(0,l),

故選：D

例6.(江蘇省蘇州市2023屆高三下學期3月模擬數(shù)學試題)已知函數(shù)“X)是定義在R上的奇函數(shù)，/⑵=0,

當工>0時，有M"(x)-/(x)>0成立，則不等式MX">。的解集是()

A.(―oo,—2)u(2,+8)B.(―2,0)<J(2,+8)

C.(―oo,—2)D(0,2)D.(2,+8)

【答案】A

【解析】才⑺>0成立設屋力=四,

=r(x)L)>o,即x>。時&(外是增函數(shù),

則/(%)=

X2

當H>2時，g(x)>g⑵=0,此時〃x)>o；

0cx<2時，g(%)vg⑵=0,此時/(x)<0.

又f(x)是奇函數(shù)，所以一2Vx<0時，/(%)=-/(-%)>0；

XV-2時/(x)=>0

則不等式x/(x)>0等價為"吃°或?

可得x>2或x<-2,

則不等式.礦3>()的解集是(y,-2)52,+8),

故選：A.

變式5.(西藏昌都市第四高級中學2023屆高三一模數(shù)學試題)已知函數(shù)/(x)是定義在(-卜,0)(0,+?)的

奇函數(shù)，當xe(0,+8)時，才(x)</(x),則不等式V(2T)+(X—2)/(5)V0的解集為()

A.(-oo,-3)v(3,+oo)B.(一3,0)5。，3)

C.(-3,O)cy(O,7)D.(f-3)0(2,7)

【答案】D

【解析】令g(x)二以立，

X

,:當?！?0,+8)時，婷(x)v/(x),

???當K?0,+8)時，go"：；"%,

g(x)在(0,4-00)上單調(diào)遞減;

又FW為(-卜，0)(0，+?)的奇函數(shù)，

.：g(T尸&D=2H=/LD=g(x),即g(x)為偶函數(shù)，

f-AX

??.g(x)在(70,0)上單調(diào)遞增;

又由不等式3(2T)+(X-2)/⑸<0得3(2-X)V(2T)/(5),

當2—x>0,即xv2時，不等式可化為‘」一“〈"1,即g(2—x)vg(5),

2-x5

由g(x)在(0，+8)上單調(diào)遞減得2-x>5,解得x<-3,故人<-3；

當2-“。，即、>2時，不等式可化為‘G-X)>絲1，即g(2—x)>g(5)=g(—5),

2-x5

由8(”在(f，。)上單調(diào)遞增得2-/>一5,解得x<7,故2Vx<7；

綜上所述，不等式T(2-x)+(x—2)〃5)<0的解集為：(—―3)〃2,7).

故選：D.

【解題方法總結(jié)】

1、對于x-/'(x)—/(x)>0(<0),構(gòu)造g(x)二九2,

2、對于x?r(x)—?V)>0?0),構(gòu)造g(x)=華

題型三：利用*/(x)構(gòu)造型

例7.(河南省2022-2023學年高三上學期第五次聯(lián)考文科數(shù)學試題)已知定義在R上的函數(shù)/(力滿足

/5)+r(x)>。，且有43)=3,則”x)>3e3T的解集為()

A.(3,+cc)B.C.(f3)D.(-oo,l)

【答案】A

【解析】設/(x)=/(x"x,則門x)=r(”C+/(x).e、=e[/a)+r(x)]>0,

???/(x)在R上單調(diào)遞增.

又"3)=3,則/(3)=/⑶看=城.

If(x)>3e=等價于/(x)ex>3e3,即F(x)>F(3),

???義>3,即所求不等式的解集為(3,+8).

故選:A.

例8.(河南省2022-2023學年高三上學期第五次聯(lián)考數(shù)學試題)已知定義在R上的函數(shù)/(“滿足

1/W+rw>o,且有/⑴=g,則2〃力>苫的解集為()

A.(y,2)B.(l,+oo)

C.(-oo,l)D.(2,-KO)

【答案】B

【解析】設外力則尸3=r(x)+1(x)A=Ai/(x)+r(x)>o,

所以函數(shù)尸(X)在K上單調(diào)遞增，又"1)=5,所以F⑴=./"⑴

[一x與12.

又2/")■等價于即尸(">產(chǎn)⑴，所以x〉l，

即所求不等式的解集為(1,+8).

故選：B

例9.(廣東省佛山市順德區(qū)北洛鎮(zhèn)莘村中學2023屆高三模擬仿真數(shù)學試題)已知尸(“是函數(shù)

)，=/("(xeR)的導函數(shù)，對于任意的xeR都有f'(x)+f(x)>l,且"0)=2023,則不等式

e'/(x)>e，+2022的解集是()

A.(2022,田)B.(t,0)52023,+。)

C.(-co,0)u(0,4oo)D.(O,+8)

【答案】D

【解析】法一：構(gòu)造特殊函數(shù).令，(x)=2O23,則r(x)+/(x)=2023>l滿足題目條件，把/(力=2023代

入ev/(x)>ex+2022得2023eT>er+2022解得x>0,

故選：D.

法二：構(gòu)造輔助函數(shù).令g(x)=eY(x)—e*,則<(x)=e、(/(x)+r(x)T>0,

所以g(x)在R上單調(diào)遞增，

又因為g(0)=/(0)-l=2022,所以e"(x)>e'+2022og(x)>g(0),所以x>0,

故選：D.

變式6.(寧夏吳忠市2023屆高三一輪聯(lián)考數(shù)學試題)函數(shù)/(X)的定義域是R,"0)=2,對任意xwR,

y(x)+r(x)>i,則不等式:的解集為()

A.{小>0}B.{x\x<0}

C.{x|x<-lngx>1}D.{x|x<-lng()<X<l}

【答案】A

【解析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=e/(x)-e，T,則g(0)=/(0)-2=0,

，(x)=e[/(x)+rW-l]>0,則函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增，

由eJ/(x)>e'+l可得g(x)=e，/(x)-e，-l>0=g(0),可得x>0,

因此,不等式ev?/W>er+l的解集為{x\x>0).

故選：A.

【解題方法總結(jié)】

1、對于八x)+/(x)>。(<0),構(gòu)造g(x)=e，/(x),

2、對于廣(力+33>0(<0),構(gòu)造g(x)=*./(x)

題型四：用等構(gòu)造型

例10.(安徽省六安市第一中學2022-2023學年高二下學期期末數(shù)學試題)定義在(-2,2)上的函數(shù)/(%)的導

函數(shù)為廣(6,滿足：/(x)+?r/(-x)=0,41)=/,且當4>0時，八x)>2/(x),則不等式//(2一幻〈/

的解集為()

A.(1,4)B.(-2,1)C.(1,-KO)D.(0,1)

【答案】A

【解析】令田”=紳，則/g(x)+*e2g(r)=()可得g(x)+g(T)=()

e~

所以8("=呈是(一2⑵上的奇函數(shù)，

/⑴=尸⑺--2/"3=/叫2/3

*e~x

當工>0時，/")>2/(x),所以g'(x)>0,

川耳=絢是(0,2)上單調(diào)遞增，

所以g(x)=q?是(-2,2)上單調(diào)遞增，

因為4)=鳥4=1，

由rV(2-幻</可得e2xe2(2~x)g(2-^)<e4gpg(2-x)<1=g(1),

f(\[_2<2—x<2

由g")=4上r是(-2⑵上單調(diào)遞增，可得解得：1VXV4,

vre2-x<\

所以不等式*/(27)</的解集為(1,4),

故選：A.

例11.(廣東省汕頭市2023屆高三三模數(shù)學試題)已知定義在R上的函數(shù)/(x)的導函數(shù)為/"),且滿足

/'(x)-/(x)>0,〃2021)=62，則不等式/gln.r卜爪的解集為()

A.(片叫+8)B.(。,/⑶)c.(*2：位)D.(。，泮%)

【答案】D

【解析】令，=1lnx,則工=產(chǎn)，

e

所以不等式上加x卜G等價轉(zhuǎn)化為不等式/")vQ="，即*<I

構(gòu)造函數(shù)g(z)=40,則g，⑴J。)：/"

ee

由題意，g")=/⑴：")〉0,所以g(r)為R上的增函數(shù)，

e

又f(2021)=e202l所以g(2021)J(督If,

所以4/)=半<1=8(2021),解得f<2021,BP^lnX<2021,

所以

故選：D.

例12.(陜西省安康市2023屆高三下學期4月三模數(shù)學試題)已知函數(shù)的定義域為R,且對任意xeR,

/。)一/，(“<0恒成立，則e'/G+lAeVQx—)的解集是()

A.(4,+co)B.(-1,4)

C.(f,3)D.(f4)

【答案】D

【解析】設雇“卜斗。，該函數(shù)的定義域為R,

則$(x)=f(x)：〃x)〉o,所以g(x)在R上單調(diào)遞增.

e

由<f(x+l)>e4/(2x—3)可得^Bp^(x+i)>^(2x-3),

又g(x)在R上單調(diào)遞增，所以x+l>2x—3,解得x<4.

所以原不等式的解集是(9,4),

故選：D.

變式7.(新疆克拉瑪依市2023屆高三三模數(shù)學試題)定義在R上的函數(shù)/*)的導函數(shù)為,'。)，f(-l)=,

對干任意的實數(shù)x均有In3/x)〈廣@)成立，且，=/(T)+i的圖像關于點(梟1)對稱，則不等式

小)-31>0的解集為()

A.(1,+oo)B.(-1,+oo)C.(一8,—I)D.(-oo,I)

【答案】A

【解析】因為y=f(x-；)+i的圖像關于點(g,I)對稱，

所以丁=/(x)是奇函數(shù)，

因為對任意的實數(shù)”均有加3./(x)<f\x)成立，

所以對任意的實數(shù)%均有l(wèi)n3/x)-r(x)<0成立，

令雇了人孥，

“八」'(")3'-仆)373/”)-/(機3

則一河"r，

所以g(x)在R上遞增，

因為g(l)=孚=/,

又f（x）-37＞0o*_g＞0=攀＞gg（x）＞g（］）,

所以X＞1,

故選:A

變式8.（浙江省紹興市新昌中學2023屈高三下學期5月適應性考試數(shù)學試題）若定義在R上的函數(shù)/（%）的

導函數(shù)為八幻，且滿足了'（X）＞/（。/（2022）=呼，則不等式0向＜五的解集為（）

A.（0,產(chǎn)）B.（0產(chǎn)）

C.仔叱+句D.（e6066,鈣）

【答案】A

【解析】由題可設由勸=券,因為/'（力一/（幻＞0,

貝ijF（,v）=r（x）e'："x）e'二八幻-/⑸＞。，

e~xer

所以函數(shù)網(wǎng)幻在R上單調(diào)遞增，

乂產(chǎn)（2022）=\警）=1,不等式Jn［〈近可轉(zhuǎn)化為心1，

eIJ/l|..r

e3

（1、

F-Inx＜1=F（2022）,

（3）

所以glnx＜2022,解得Ovxved66,

所以不等式嗚Inx）〈五的解集為（。產(chǎn)）.

故選：A.

變式9.（吉林省長春市吉大附中實驗學校2022-2023學年高三上學期第四次摸底考試數(shù)學試題）設尸（“是

（\\

函數(shù)的導函數(shù)，且/'（x）＞3f（x）（xcR）,/-=e（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則不等式/（lnx）＜V的

解集為（）

A.（0,；）B.（；,+8）C.（0,臟）D.（泥,+oo）

【答案】C

【解析】令g（x）=室，則g'（.x）=’（Lx"）'

ee

因為r(x)>3/(x)(xeR),

所以g，3J(x)：V(』)>o,

e

所以函數(shù)g(x)在R上為增函數(shù)，

/(ln.r)

不等式即不等式<

x>0

又加)=岑2等，

所以不等式/(lnx)<V即為g(ln.r)<gR

即Inxvg,解得Ovx<正，

所以不等式/(lnx)<V的解集為(0.%).

故逃；C.

變式10.(四川省綿陽市南山中學2022-2023學年高三二診熱身考試數(shù)學試題)已知定義在R上的可導函數(shù)

/(x)的導函數(shù)為/'(力，滿足門力<〃力,K/(-x)=/(2+x),/(2)=1,則不等式/㈤的解集為

()

A.(f2)B.(2,+co)C.(l,+oo)D.(0,-H?)

【答案】D

【解析】因為/(—x)=/(x+2),所以y=/(x)的圖像關于直線」=1對稱，所以/(())=/⑵=1,

設g(x)=華，則g(x)/⑴?、?因為/")</(幻，所以gG)='⑸：<0,所以晨幻在R上

eee

為減函數(shù)，

又8(。)=/建=1，因為/(x)ve1所以g(x)vl,,g(x)vg(。)，所以x>0.

e

故選：D.

變式11.(山東省煙臺市2023屆高三二模數(shù)學試題)已知函數(shù)的定義域為R,其導函數(shù)為((力，且

滿足r(x)+/(x)=cL/(0)=0,則不等式(e2，-l)f(x)<e」的解集為().

e

(.\\(\\

A.-1,一B.e

\e)

C.(-1J)D.(Te)

【答案】C

【解析】由r(x)+/3=e7得e/(x)+e"(x)=l,即卜"(刈'=1,

可設e"(力=x+m,

當x=0時，因/(。)=0得，〃=0，

所以f(力=疣-',

(e」—l),f(x)ve—"J化為xe-,(e5—1)ve—,

ce

即-xe~x<e--,

e

設展力=把'一人?-",

因g(T)=-ve-'+朧，=g(x),故g(x)為偶函數(shù)

g'(x)=ev+Aev+xe~x-。，

當“20時，因xe'+AcfNO,ev-e'*>0,

故/("=er+疣'+疣r-e-x>0,所以g(力在區(qū)間［0,+e)上單凋遞增，

因膜1)=€-葭，

所以當時93=k-刀尸<0-g的解集為［0,1),

又因g(x)為偶函數(shù),故g(x)<e」的解集為(T1).

e

故選:C

變式12.(江西省九江十校2023屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學試題)設函數(shù)/*)的定義域為R，其導函數(shù)為

且滿足/(幻>/'*)+1，"0)=2023,則不等式eU)>eT+2022(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))的解集是

()

A.(2022,+oo)B.(-oc,2023)C.(0,2022)D.(—,0)

【答案】D

【解析】設g(x)=￡"，

e

???J\x)>/")+>即/V)-/(x)+KO,

?"=以上3<。，

c'

???g㈤在R上單調(diào)遞減,又如(0)=2023,

/.不等式eT/(x)>e-+2022o>2022=/(0)-1="°一,

e'e

即g(x)>g(0),：.x<0,

???原不等式的解集為(-8,0).

故選：D

【解題方法總結(jié)】

1、對于小f叱°?0）,構(gòu)造g”,，

2、對于八x）-V（x）>。?0）,構(gòu)造以工）=綽

e

題型五：利用sinx、tanx與/（x）構(gòu)造型

例13.（江西省2023屆高三教學質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題）定義在區(qū)間上上的可導函數(shù)/（X）關于）'軸對稱，

當￥《0,"時，/'（x）cou>/（x）sin（—x）恒成立，則不等式?/15一11.0的解集為（）

taiiv

n兀

A.

【答案】C

【解析】因為f'（x）8Sx>f（x）sin（T），化簡得f'（x）8Sx+/（x）sinx>0,

構(gòu)造函數(shù)"“=四,⑴=re?！沸?

cosxcos-x

即當Kd0,yl時,F（A）>0,F（X）單調(diào)遞增,

\乙）

即尸（力嗚-4）.因為尸（X）為偶函數(shù)且在1￡（0弓）上單調(diào)遞增,

九兀、

兀n

所以—<—

22（42）

故選：C.

例14.（天津市南開中學2023屆高三下學期統(tǒng)練二數(shù)學試題）已知可導函數(shù)上的奇

函數(shù).當。彳|時，則不等式x+^()的解集為(

xw/(x)+/'(x)tanx>0,8sx?/+sinx-.fT>0)

IN，I//

【答案】D

【解析】當xe(0,/)時，/(x)+/,(x)tanx>0,則cos見x)+/'(.T)sinx>0

則函數(shù)sinM(x)在(0制上單調(diào)遞增，又可導函數(shù)小)是定義在卜卦，上的奇函數(shù)

則sinmx)是卜會9上的偶函數(shù)，且在(-")單調(diào)遞減，

可得XW，則X+gw

;乙)乙\L)

(

則XW-*。時,不等式cosx-/J++sinx/(-x)>0

可化為sin|x+勺./卜+卷卜由㈠?/㈠)

又由函數(shù)sin蟲x)在(0,上單調(diào)遞增，且*(0,￡|,丹梟卜技

則有］>X+'|>T>0,解之得常<X<0

故選：D

例15.函數(shù)》=/*)對任意的”T滿足x+2/(?+/(x)sin2x=爐"(其中f\x)是函數(shù)八#的導函數(shù)),

乙乙)

則下列不等式成立的是()

A./用>扃圖

c分/圖

【答案】D

【解析】令尸(x)=/(x)tanx,

如)=小嗡+小)熹/f(A)sinACOSX+/(A)/*(x|sin2x+2/(x)

cos"x2cos^x

xl

又由已知可得,2f(x)+f(x)sin2x=e--x>0f所以尸(x)20,

所以/")在xe上單調(diào)遞增

上的奇函數(shù).當工€卜），5時，f（K）+r（x）tanx>0,則不

等式COS.L/fx+1+sinx./（一）>0的解集為（）

<71T[\7T7Cb%。

A.B.C.2^4,D.

【答案】D

【解析】當馬時,/(.r)+/,(x)taii.r>0,則cos4(x)+r(x)sinx>0

嗚）上單調(diào)遞增，乂口」導出數(shù)?。┦嵌x在

上的奇困效

nn

則上的偶函數(shù)，且在卜會0）單調(diào)遞減,

sin~2f2,

nn7t

——<x+—<—

2227t71

由，,可得xc卜泉oj,則X+

7t71222

——<-X<—

22

f-pO時，小等式cos"x+n

貝1殷4-sinx/(-A)>0

2>

可化為sin1%+5?/1+京>sin(-x)/(-x)

嗚）上單調(diào)遞增，且一e）'x+^e[°寸）,

則有]>x+]>-k>0，解之得一：<工<。

故選：D

【解題方法總結(jié)】

1、對于sinx?ff(x)+cosx-f(x)>0(<0),構(gòu)造g(x)=f(x)-sinx,

2、對于sinx?/”(x)-cosx*/(x)>0(<0),構(gòu)造g(x)="^

sinx

3、對于正切型，可以通分（或者去分母）構(gòu)造正弦或者余弦積商型

題型六：利用cosX與f(x)構(gòu)造型

例16.(重慶市九龍坡區(qū)2023屆高三二模數(shù)學試題

當0"苫時，有r(x)cosx+/(x)sinx>0成立，則關于x的不等式/⑺>2/⑶.cosx的解集為(

)

/\

兀71

B.3,

【解析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=3，0?x<1，

cosx2

f(x)cosX-f(x)(cosx)rf\x)cosx+/(x)sinx

gCO=；=；>U

COS-XCOS-X

所以函數(shù)在［°封單調(diào)遞增'

因為函數(shù)”力為偶函數(shù)，所以函數(shù)g*)=/3也為偶函數(shù)，

COSX

且函數(shù)g(x)=3在!單調(diào)遞增，所以函數(shù)g(x)=△*在(-鼻。〕單調(diào)遞減,

cosxL2/cosx\2J

因為/e所以cosx>0,

f(x)佃

關干x?ccsx可變?yōu)殓邸?gt;、),也即g(x)>

71

COSXcoccs—

3

匕IIn

所以g(IN)>嗚)，則，解得々-W或

nn3223

—<x<

22

故選:C

例17.已知偶函數(shù)f(x)的定義域為，宗9，其導函數(shù)為/"),當0<x<］時，有r(x)cosx+/(x)sinx<0

/\

成立，則關于X的不等式/⑴<亞/7?cosx的解集為()

【答案】B

【解析】由題意，設g*)=3,則g'(x)=/(v)8sv4/("smr,

cosxcosX

當0<x后時，因為r(x)cosx+/(x)sinx<。，則有g(t)<0.

所以g(?在(0段)上單調(diào)遞減，

又因為/(外在上是偶函數(shù)，可得g(r)=上「d=d2=g(x),

I22)cos(-x)cosx

所以g(x)是偶函數(shù)，

由fM<應/(g］cosX,nJ得""<x/2/(-y),即<..-,即g(x)<)

k47COSX4COSX714

LU〉

4

又由g(%)為偶函數(shù)，且在上為減函數(shù)，且定義域為則有1封>￡,

解得一］<x<一5或；■VXV］，

即不等式的解集為(-1,-?卜仔,'

故選:B.

例18.設函數(shù)/(X)在R上存在導數(shù)廠(不)，對任意的xtR,有/(匯)+/(-x)=28SX,且在［0,”)上有

f'(x)>-sinx,則不等式/(X)-/?—xNcosx-sinx的解集是()

7T兀7T

A.Y,~7B.C.D.—,+co

46

【答案】B

【解析】設尸(6=〃x)—cosx,

V/(x)+/(-x)=2cosx,gp/(x)-cosx=cosx-/(-x),gpF|x)=-F(-x),故尸(x)是奇函數(shù),

由于函數(shù)f(力在R上存在導函數(shù)f'(H，所以，函數(shù)/“)在R上連續(xù)，則函數(shù)尸(可在R上連續(xù).

;在［0,+oo)上有/*(x)>-sinx,/.Fr(x)=/*(x)4-sinx>0,

故尸(x)在［(),”)單調(diào)遞增，

又???尸(X)是奇函數(shù)，且尸(力在/?上連續(xù)，.??尸(X)在R上單調(diào)遞增,

>cosx-sinx,

/./(x)-cosx>f----x-sinx=

即尸（司2戶（、-x）Ax>|-x,故

故選:B.

【解題方法總結(jié)