第1講直線與圓

［考情分析］1.和導(dǎo)數(shù)、圓錐曲線相結(jié)合，求直線的方程，考查點(diǎn)到直線的距離公式，多以選

擇題、填空題的形式出現(xiàn)，中低難度2和圓錐曲線相結(jié)合，求圓的方程或弦長(zhǎng)、面積等，中

高難度.

考點(diǎn)一直線的方程

【核心提煉】

1.已知直線（：4x+8iy+G=0（4,當(dāng)不同時(shí)為零），直線/2：4K+B2），+C2=0（42,見(jiàn)不

同時(shí)為零），則/|〃/204&-4囪=0,且AiCz-AzGWO,20AA2+B山2=0.

|Avo+Ry'o+C|

2.點(diǎn)尸（項(xiàng)，），o）到直線/:從t+8.v+C=0（4,2不同時(shí)為零）的距離d=

y)A2+B2

3.兩條平行直線/i：Ar+By+G=0,/?：Ar+gy+C2=0（A,B不同時(shí)為零）間的距離d=

IG-C￥

W+聯(lián)

例1（1）（2022?常德模擬）已知直線小?-4y—3=0,/2：X-緲+1=0,則“。=2”是“1。”

的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析若h〃h,

則有一/+4=0,解得〃=±2,

當(dāng)4=2時(shí)，/i：2x-4y-3=0,

/2：A—2>-+1=0,

當(dāng)《=—2時(shí)，A：2t+4），+3=0,

x+2y+I=0,1\///a>

所以若［〃，2,則。=±2,

u，f

所以“0=2”是h//l2的充分不必要條件.

（2）（2022?濟(jì)寧模擬）已知直線八：米+y=0過(guò)定點(diǎn)A,直線勿x—竹+2啦+2k=0過(guò)定點(diǎn)從

Zi與h的交點(diǎn)為C，則|AC|+|BC|的最大值為.

答案2班

解析由小區(qū)+y=0,得八過(guò)定點(diǎn)A（0,0）,

由Z2:x+2也+42—y)=0,

得，2過(guò)定點(diǎn)僅一2吸，2),

顯然％X1+1X(一因=0,即/],/2相互垂直，

而人與12的交點(diǎn)為C,

即AC_LBC,又|八用=2小，

.?.|i4q2+|BQ2=12,

/.(|AQ4-歸q)2=12+2|4。0q

W12+(|AC|2+|8C|2)=24,

???|AC|+|Bq的最大值為2、R,

當(dāng)且僅當(dāng)14cl=|8C|=加時(shí)，等號(hào)成立.

??.|AC|+|Bq的最大值為2衽.

易錯(cuò)提醒解決直線方程問(wèn)題的三個(gè)注意點(diǎn)

(1)求解兩條直線平行的問(wèn)題時(shí)，在利用4a-42^=0定立方程求出參數(shù)的值后，要注意代

入檢驗(yàn)，排除兩條直線重合的可能性.

(2)要注意直線方程每種形式的局限性，點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜板式要求直線不能與x軸垂直，

而截距式方程既不能表示過(guò)原點(diǎn)的直線，也不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線.

(3)討論兩直線的位置關(guān)系時(shí)，要注意直線的斜率是否存在.

跟蹤演練1(1)已知直線I：ax+y—2+a=0在工軸與>軸上的截距相等，則實(shí)數(shù)。的值是

()

A.1B.-1

C.一2或1D.2或1

答案D

解析當(dāng)。=0時(shí)，直線y=2,此時(shí)不符合題意，應(yīng)舍去；

當(dāng)。工0時(shí)，由直線/：以+)，-2+。=0可得，橫截距為與里，縱截距為2—4.

2—ci

由一廠=2—〃，解得。=1或。=2.

經(jīng)檢驗(yàn)，4-1,2均符合題意，

故。的值是2或1.

(2)若直線6%—2)，+1=0與直線人2x+wy+l=0平行，則直線h與，2之間的距離為

答案來(lái)

解析由直線/i：x—2y+l=0與直線上：2%+/%y+1=0平行,

可得1><〃?一2X(—2)=0,即加=-4,

匕一II

故兩直線可化為/i：2A—4>+2=0,/2：2工一4)，+1=0,故直線/I與L之間的距離為d=

考點(diǎn)二圓的方程

【核心提煉】

1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

當(dāng)圓心為(凡b),半徑為，?時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)方程為。一。)2十°，一切2=尸.

2.圓的一般方程

f+)，2+Dr+￡y+F=0,其中》+序一44>0,表示以(一景一宮為圓心為半

徑的圓.

例2(1)已知圓C與直線y=x及x—y—4=0都相切，圓心在直線.丫=—x上，則圓C的方程

為()

A.(x+l)2+(y-l)2=2

B.(x+1)2+0+1)2=2

C.(X-1)2+(J-1)2=2

D.(X-1)2+G，+1)2=2

答案D

解析因?yàn)閳A心在直線)，=—x上，

設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,—a),

因?yàn)閳AC與直線y=x及x—y—4=0都相切，

*1'/"+川口+〃一4|

所以也一也，

解得4=1,所以圓心坐標(biāo)為(1,-1),

又*

所以R=也

所以圓的方程為(x—l)2+(y+l)2=2.

(2)在平面直角坐標(biāo)系中，A(—1,0),B(l,0),C(0,小)，動(dòng)點(diǎn)尸滿足照|=，5|PB].則點(diǎn)尸的軌

跡方程為.△%C的面積的最大值為.

答案(X-3)2+/=82小+2啦

解析設(shè)點(diǎn)P(x,y),由閘=啦|尸3|,得照產(chǎn)=2|尸*即(工+1)2+尸=2[(.1—1)2+為，

化簡(jiǎn)可得(x—3)2+尸=8,

???點(diǎn)尸的軌跡方程為(x—3尸+)，2=8,圓心為(3,0),半徑

AM(1,-1),

.,.?=lW=(3-l)2+[0-(-l)]2=5,

的方程為l)2+(y+1)2=5.

(2)直線/過(guò)定點(diǎn)(1,-2),過(guò)點(diǎn)P(—1,0)作/的垂線,垂足為M,已知點(diǎn)M2J)，則IMM的最

大值為.

答案36

解析設(shè)點(diǎn)41,-2),依題意知

所以點(diǎn)M的軌跡是以4P為直徑的圓，

圓心C的坐標(biāo)為(0,-1),

半徑為及=；-夕|=6，

又M2」)為圓外一點(diǎn)，

所以IMMmax=\NC\+/?=A/(2-0)2+(1+1)2+V2=3Vl

考點(diǎn)三直線、圓的位置關(guān)系

【核心提煉】

1.直線與圓的位置關(guān)系：相交、相切和相離.

其判斷方法為：

⑴點(diǎn)線距離法.

(2)判別式法：設(shè)圓C:(A-?)2+(y-/?)2=r,直線/:附+8)，+。=0(屁+82#0),方程組

Ar+By+C=0,

.(x—a)?+(j--Z>)2=r2,

消去乂得到關(guān)于x的一元二次方程，其根的判別式為4則直線與圓相離。/<0,直線與圓

相切o/=0,直線與圓相交。/>0.

2.圓與圓的位置關(guān)系，即內(nèi)含、內(nèi)切、相交、外切、外離.

考向1直線與圓的位置關(guān)系

例3(1)(2022.南通模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線辦一)，+2=0與圓C：』+產(chǎn)一21—

3=0交于A,B兩點(diǎn),若鈍角△ABC的面積為小，則實(shí)數(shù)〃的值是()

34

--C

--四

A.4B.3eqD.

答案A

解析由圓C：f+y2—2A—3=0,

可得圓心坐標(biāo)為C(l,0),半徑為r=2,

因?yàn)殁g角△ABC的面積為小，

則5^C=5X2X2s\nZACB=y[?>,

解得sinNAC8=坐,

所以NAC8=}~,

可得|A陰=2小，

又由圓的弦長(zhǎng)公式，可得入/二力=2小,

解得4=1,

”21解得〃=一"

根據(jù)點(diǎn)到直線如一)，+2=()的距離公式d=

7a2+1=1,

(2)(2022?全國(guó)甲卷)若雙曲線方一斤=1(〃》0)的漸近線與圓f+V—4)，+3=。相切，貝！,?=

答案坐

解析雙曲線的漸近線方程為壯g=0,

圓x2+)2—4)，+3=0的方程可化為

/+(廠2)2=1,

則圓心坐標(biāo)為(0,2),半徑『=1.

???雙曲線的漸近線與圓相切，

???圓心到漸近線的距離d=喏4=I,得小=乎或〃?=一卓(舍去).

考向2圓與圓的位置關(guān)系

例4(1)(2022?武漢模擬)圓G：。-2)2+()，-4戶=9與圓。2：。-5)2+尸=16的公切線條數(shù)

為()

A.1B.2C.3D.4

答案B

解析依題意得，圓Ci的圓心GQ.4),半徑4=3,圓C2的圓心G(5,0),半徑&=4,IGCN

=、(2—5)2+42=5￡(1,7),故圓G與Q相交，有2條公切線.

(2)已知直線/：x—『+l=(),若P為/上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作。C：。-5)2+)2=9的切線%,

PB,切點(diǎn)為A,B,當(dāng)四邊形布C8的面積最小時(shí)，直線4B的方程為.

答案x~y-2=0

解析0C：(工一5)2+)2=9的圓心。(5,0),半徑r=3,

???四邊形%CB的面積

S=2S,c=l%HACl

=3|%|=33"。2一9,

要使S國(guó)交加PACK最小，則需|八6］最小,

當(dāng)PC與直線/垂直時(shí)，|尸C|最小，

此時(shí)直線PC的方程為y=-x+5,

y=x+1,

聯(lián)立,解得尸(2,3),

則以PC為直徑的圓的方程為

9

y2--

-2

則兩圓方程相減可得直線AB的方程為x-y-2=0.

規(guī)律方法直線與圓相切問(wèn)題的解題策略

直線與圓相切時(shí)，利用“切線與過(guò)切點(diǎn)的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立關(guān)于

切線斜率的等式，所以求切線方程時(shí)主要選擇點(diǎn)斜式.迂圓外一點(diǎn)求解切線段長(zhǎng)的問(wèn)題，可

先求出圓心到圓外一點(diǎn)的距離，再結(jié)合半徑利用勾股定理計(jì)算.

跟蹤演練3(1)(2022.湖北七市(州)聯(lián)考)已知直線/：h—y—攵+1=0,圓C：。-2)2+。+2產(chǎn)

=16,則下列選項(xiàng)中不正確的是()

A.直線/與圓C一定相交

B.當(dāng)左=0時(shí)，直線/與圓C交于M,N兩點(diǎn)，點(diǎn)E是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，則△MNE面積的最

大值為7s

C.當(dāng)直線/與圓有兩個(gè)交點(diǎn)M,N時(shí)，|MN|的最小值為2#

D.若圓C與坐標(biāo)軸分別交于人B,C,。四個(gè)點(diǎn)，則四邊形A8C。的面積為48

答案D

解析直線/：丘一y-hH=O過(guò)定點(diǎn)夕(1,1),因?yàn)?1-2)2+(1+2)2<16,所以點(diǎn)。在圓內(nèi)，

因此直線/一定與圓C相交，A正確；

當(dāng)左=0時(shí)，直線為y=l,代入圓的方程得。一2尸+9=16,解得工=24，因此|MM=2市,

因?yàn)閳A心。(2,-2),半徑一=4,圓心到直線/的距離d=3,因此點(diǎn)E到直線/的距離的最

大值/?=4+3=7,

所以△MNE面積的最大值S=：X7X2巾=7巾，B正確；

當(dāng)直線./與圓有兩個(gè)交點(diǎn)M.N時(shí),若IMNI最小.

則PCJJ,|PC|=1(1—2產(chǎn)+(1+2>=遮,

因此IMMmin=2義、42—(回)2=2加,C正確；

在圓C：。-2)2+0+2)2=16中，分別令工=0和y=0,求得圓C與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為A(2

一2小，())，。(2+2小，0),8(0,—2+2小)，。(()，-2-2^3),則|ACj=4小，|8。|=4小,

所以四邊形的面積5'=1x473X4^3=24,D錯(cuò)誤.

(2)(2022.新高考仝國(guó)I)寫出弓圓F+y=i和(、-3)2+“-4)2=16都相切的一條直線的方程

答案x=-1或7x—24y—25=0或3x+4y—5=0(答案不唯一，只需寫出上述三個(gè)方程中的

一個(gè)即可)

解析如圖，因?yàn)閳A/+『=1的圓心為。(0,0),半徑門=1,圓(x—3)2+()，-4/=16的圓心

為A(3,4),半徑〃=4,

所以|。4|=5,外+/2=5,所以|0川="+/2,所以兩圓外切，公切線有三種情況：

①易知公切線/1的方程為工=一1.

②另一條公切線/2與公切線/,關(guān)于過(guò)兩圓圓心的直線/時(shí)稱.

易知過(guò)兩圓圓心的直線/的方程為y=%4,

J

由

4得<4

--

y-y

$-3

^

由對(duì)稱性可知公切線/2過(guò)點(diǎn)(一1，7

^

4

設(shè)公切線/2的方程為y+,=?x+1),

則點(diǎn)0(0,0)到，2的距離為1,

%」

37

所以1=4標(biāo)+J解得左=

所以公切線A的方程為y+T==(x+l)，

即7x-24y-25=0.

4

-?垂直

③還有一條公切線，3與直線/：設(shè)公切線八的方程為)，=-/+1,

35

+-

所以公切線/3的方程為-4

4A

即3x+4y—5=0.

綜上，所求直線方程為x=-1或7x—24y—25=0或3x—4y—5=0.

專題強(qiáng)化練

一、選擇題

1.直線/經(jīng)過(guò)兩條直線X—y+l=O和2x+3)，+2=0的交點(diǎn)，且平行于直線x—2)，+4=0,

則直線/的方程為()

A.X—2v-1=0B.x—2y+1=0

C.2x-)，+2=OD.2,v+y-2=0

答案B

[x—y+1=0,1

解析由L「f八得兩直線交點(diǎn)為(-1,0)，直線/的斜率與x—2y+4=°相同，為5,

[2x+3)，+2=02

則直線/的方程為y—0=*+1),

即x-2y+l=0.

2.(2022?福州質(zhì)檢)已知4一小,0),B電,0),C(0.3),則△A8C外接圓的方程為()

A.(X-1)2+>>2=2

B.(X-1)2+/=4

C.f+6,-1)2=2

D.W+G，-1)2=4

答案D

解析設(shè)△ABC外接圓的方程為

(xer)2I(yb)2=i2

212

(—yf3—a)+(0—b)=if

(小一a)2+(0f

{(0—4)2+(3—份2=/，

4=0,

解得<b=l,

/=2.

則△A8C外接圓的方程為1>=4.

3.(2022.新高考全國(guó)II)圖1是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，AV,BB‘，CC',DD'是

桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖，其

中。。，CCi，BBi,A4是舉，OD1,DCi，CBi，84是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別

為黑=0-5,罷=左，需=依，符=依.已知自，及2,七成公差為°」的等差數(shù)列，且直線

UU\L2C|CDID/\\

0人的斜率為0.725,則依等于()

A.0.75B.0.8

C.0.85D.0.9

答案D

解析設(shè)OO]=OG=C%=B4i=l,

則CG=h,BBi=k”A4產(chǎn)心，

依題意，有心一0.2=h,A3—0.1=^2?

DD1±CC1±BB1±AAL

OOi+DG+CBi+小廠'

”,0.5+323-0.3

所以-----------=0.725,

故依=。9

2

4.過(guò)圓C：(x-l)+/=1外一點(diǎn)P作圓C的兩條切線PAtPB,切點(diǎn)分別為A,B,若PALPB,

則點(diǎn)P到直線/：工+廠5=0的距離的最小值為()

A.1B.eqC.2^2D,3^2

答案B

解析因?yàn)檫^(guò)圓C：。一1尸+爐=1外一點(diǎn)。向圓C引兩條切線布,PB,切點(diǎn)分別為A,B,

由以可知，四邊形C4PB是邊長(zhǎng)為1的正方形，所以|C尸|=也，

所以P點(diǎn)的軌跡是以C(l,0)為圓心，也為半徑的圓，則U心C(l,0)到直線/：x+)，-5=0的

|1+0-5|4/

距離"一A/2-巾-2"

所以點(diǎn)P到直線/：x+y—5=0的最短距離為d—r=2巾一巾=小.

5.(2022.湖南長(zhǎng)郡中學(xué)模擬)已知圓M的半徑叫,且圓切與圓(、一1)2+y=1和)軸都

相切，則這樣的圓例有()

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

答案C

解析圓C：(X—1)2+>-2=1和下軸相切于原點(diǎn)，

兩圓內(nèi)切時(shí)，圓例只能在圓C內(nèi)部，有1個(gè)；兩圓外切對(duì)，圓M位于y軸右側(cè)在工軸上方、

下方各1個(gè)，位于1y軸左側(cè)切于原點(diǎn)的1個(gè)，故滿足題意的圓M有4個(gè).

6.已知點(diǎn)尸(-2,一1)和直線/：(l+2；)x+(l-3A)y+A-2=0,則點(diǎn)P到直線/的距離的取

值范圍是()

A.(0,恒]B.[0,y[\3)

C.(0,2^13]D.[0,2仃)

答案A

解析/：(1+22)x+(l—31)y+2—2=0可化為x+y—2+(2Y—3y+1)2=0,

x+v-2=0,

設(shè)直線/過(guò)定點(diǎn)A,點(diǎn)P到直線/的距離為乩則令..一八

2A—3＞'+1=0,

可得直線/過(guò)定點(diǎn)4(1.1),

則有|膽|=^32+22=713,此時(shí)|以|為點(diǎn)。到直線/的最大距離，

若P(—2,—1)在直線/上，則有一2—1-2+(—4+3+1)2=0,即一5=0,

可得P(—2,—1)不可能在直線/上，則有?。?,

綜上可得

7.已知圓C過(guò)圓G：.^+產(chǎn)+公一2y—10=0與圓J：i：x+3)2+(y—3)2=6的公共點(diǎn).若圓

G，C2的公共弦恰好是圓C的直徑，則圓。的面積為()

A.eqB.eqC.eqD.eq

答案B

解析由題意可知，圓G,Q的公共弦所在直線方程為『+尸+4》-2｝，-10=0和(“+3)2+

°-3)2=6的兩式相減，化簡(jiǎn)可得x—2y+ll=0,又。2(—3,3)到直線x—2y+U=0的距離d

弋冷騾%＞故公共弦的長(zhǎng)為2X^6一電=2陪,則圓C的半徑為喏，

故圓C的面積為弩.

8.在平面直角坐標(biāo)系中，圓C的方程為『+)2一?=0若在直線)，=氏。+1)上存在一點(diǎn)P,

使過(guò)點(diǎn)P所作的圓的兩條切線相互垂直，則實(shí)數(shù)k不可能為()

A.1B.cqC.2&D.4

答案D

解析由1+)2—標(biāo)=0,得(x—2)2+9=4,

則圓心為C(2,0),半徑r=2,過(guò)點(diǎn)P所作的圓的兩條切線相互垂直，設(shè)兩切點(diǎn)分別為A,B,

連接AC,8C(圖略)，則四邊形力C3為正方形，即PC=g=2?圓心到直線的距離d=

I2D+M-

而不＜2叵r

即一2?

故人不可能為4.

9.已知圓G：。+6)2+6—5)2=4,圓C2：(“-2)2+。-1)2=1,M,9分別為圓G和C2

上的動(dòng)點(diǎn)，P為X軸上的動(dòng)點(diǎn)，則IPM+IPM的取值范圍是()

A.[6,+°0)B.[7,+8)

C.[10,+8)D.[15,+8)

答案B

解析G(—6,5),C2(2,l),G關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為G(—6,-5),

故WGI+IPC2121c2c3|=464書6=10,

又兩圓的半徑分別為21，

則|PM|+|PNleIO-2-l=7,

故仍M+IPNJ的取值范圍是17,4--）.

9

10.已知圓。：/+V=不圓M：（x—a）2+G，-l）2=l,若圓M上存在點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)尸作圓。

的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，8,使得NAP8=9,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.［一仃，仃］

B.［一小,?。?/p>

C.［小，仃］

D.［一行,一小15小，加

答案D

3

解析由題可知圓。的半徑為全圓M上存在點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)尸作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別

TTTT

為人，B,使得則NAP0=不

在Rt△外。中，|PO|=3,

???點(diǎn)尸在圓/十尸=9上，

由于點(diǎn)尸也在圓M上，故兩圓有公共點(diǎn).

又圓M的半徑等于1,圓心坐標(biāo)M（41）,

???3-1WIOMW3+1,

???2WApTlW4,

?"可一仃，一小］“小，V15］.

11.（2022?南通模擬）已知P是圓。：/+），2=4上的動(dòng)點(diǎn)，直線6xcos9+ysin。=4與自

xsin。一.ycos。=1交于點(diǎn)。則下列說(shuō)法正確的是（）

A./）與h不垂直

B,直線人與圓。相切

C.直線/2與圓。橄得弦長(zhǎng)為2小

D.|PQ|的最大值為4萬(wàn)+2

答案D

解析圓。的半徑為2,

因?yàn)閏os"sin9+sin8（—cos69=0,

所以6_L/2,A錯(cuò)誤；

4

圓心。到直線人的距離為4=4>2,直線八與圓O相離，B錯(cuò)誤;

'cosW+sin?。

圓心O到直線6的距離為

.sin%+（—cos

所以弦長(zhǎng)為2X422—12=25,C錯(cuò)誤;

Lvcos0+）$in0=4,

由《

xsinO—ycos0=1,

x=4cos9+sin9,

得

y=4sin，-cos0,

即Q(4cos夕+sin6,4sin6—cos0),

所以|OQ=d(4cos0+sinJ)「+(4sin〃一cos=y/~n,

所以|PQ|的最大值為萬(wàn)+2,D正確.

12.(2022?荷澤質(zhì)檢)瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位

于同一-直線上.這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.在平面直角坐標(biāo)系中作△ABC,

|A8|=|AQ,點(diǎn)B(—1,1),點(diǎn)C(3,5),過(guò)其“歐拉線”上一點(diǎn)P作圓O：f+V=4的兩條切線,

切點(diǎn)分別為M,N,則|M用的最小值為()

A.eqB.2y[2

C.eqD.2小

答案B

解析由題次知3C的中點(diǎn)為(I,3),

“歐拉線”斜率為k=—J=—1,

kBC

所以“歐拉線”方程為)，-3=一(工一1),

即x+y—4=0,

又。到x+y-4=0的距準(zhǔn)為4=言2,即“歐拉線”與圓O相離，

要使IMN]最小，則在RtZXPM。與Rt△尸NO中，/M0P=NN0P最小,即NMPN最大，

而僅當(dāng)0PL“歐拉線”時(shí)，NMPN最大，

所以1=|。。|=2祀，

則|MN=2iin/N0P,

且圓。半徑r=2,cos/NOP=彳=埠,

所以sinNNOP=與，即|M/VUin=2吸.

二、填空題

13.與直線2A-.V+1=0關(guān)于x軸對(duì)稱的直線的方程為.

答案2丫+>+1=0

解析直線Zv—y+1=0的斜率為4=2,與x軸交于點(diǎn)八(一口,0),

直線2x-y+l=0關(guān)于x軸對(duì)稱的直線的斜率為一&=一2,并且過(guò)點(diǎn)人，

由直線的點(diǎn)斜式方程得)，-0=-2(%+§,

即2x+y+l=0,

所以所求直線的方程為2t+y+l=0.

14.(2022?全國(guó)乙卷)過(guò)四點(diǎn)(0,0),(4,0),(—1/)，(4,2)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為

答案(x-2)2+G，-3)2=13或。-2)2+。-1)2+8-1)

,169

~^25

解析依題意設(shè)圓的方程為『+產(chǎn)+。匯+怎，+尸=0,其中4+廣—4尸>0.

若過(guò)(0,0),(4,0),(-1,1),

F=0,

則《16+4。+/=(),

1+1—。+七+/=(),

F=0,

解得，。=-4,滿足D2+E2-4F>0,

E=-6,

所以圓的方程為x24-y2—4.v—6y=0,

即。-2)2+()，-3)2=13；

若過(guò)(0,0),(4,0),(4,2),

F=0,

則(16+40+/=(),

/6+4+4。+2七+尸=0,

〃=0,

解得.。=一4,滿足/724-E2-4F>0,

￡=-2,

所以圓的方程為x2+y2-4.r—2y=0,

即2)2+()，—1)2=5；

若過(guò)(0,0),(4,2),(-1,1),

F=0,

則-1+1—。+