第一章集合與常用邏輯用語

清單01集合的含義與表示

1、元素

把研究的對(duì)象統(tǒng)稱為元素.（用小寫字母表示：a、b、?！?/p>

2、集合

把一些元素組成的總體叫做集合.（用大寫字母表示：48、C…）

3、元素的特征

確定性、互異性、無序性.

求集合或元素時(shí)，一定要檢驗(yàn)集合中元素的互異性.

4、元素與集合的關(guān)系

①屬于：CIGA；②不屬于：a^A.

5、常用數(shù)集

①自然數(shù)集N（包含0和正整數(shù)）②正整數(shù)集N*或N+

③整數(shù)集Z④有理數(shù)集Q⑤實(shí)數(shù)集R

6、集合的分類

①有限集：②無限集；③空集.

7、集合的表示方法

①列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來，并用｛｝括起來.

例如｛1,3,5,7｝、｛2,4,6,8,…｝

②描述法：把集合4中所有具有共同特征P（x）的元素工所組成的集合表示為｛戈EA|P（X）｝.

例如｛X￡Z|1（）<X<20｝、｛x\x=2k+\,keZ｝

③圖示法（Veen圖）：用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合.

8、常見集合的表示方法

①方程的解集：｛x|2x+3=0）

②不等式的解集：｛x|2x+3>0｝

③函數(shù)自變量構(gòu)成的集合：｛H），=2X+3｝

④函數(shù)因變量構(gòu)成的集合：｛y[y=2x+3｝

⑤函數(shù)圖象上的點(diǎn)構(gòu)成的集合：｛（X,）兒，=2x+3｝

⑥方程組的解?：?（-）或｛（11）｝

⑦奇數(shù)集：{x|x=2〃+l,〃￡Z}

⑧偶數(shù)集：{X|X=2〃,〃￡Z}

注：做題時(shí)，要認(rèn)清集合中元素的屬性（點(diǎn)集、數(shù)集、自變量、因變量…），以及元素的范圍（JVWN、N\

Z、R）.

清單02集合間的基本關(guān)系

1、子集

集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素.

記作：AqB或82A讀作：A包含于3或8包含A

①任何一個(gè)集合是它本身的子集.

②若A=且81則AuC.

2、集合相等

若A^B，且BqA,則A=3.

①若A=8,且8=。，則4=C.

②欲證A=8,只需證A=且BqA.

3、真子集

如果集合4是集合B的子集，并3B中至少有一個(gè)元素不屬于A.

記作：A08或5VA讀作：A真包含于8或8真包含A

①若A（jB,且BUC,則AUC.

②若AqB,且AwB,則AUD.

③q和。用于集合和集合之間，w和史用于元素和集合之間.

4、空集

不含任何元素的集合.符號(hào)：0

①空集是任何集合的子集.

②空集是任何非空集合的真子集.

③解決有關(guān)4口3=0、A=3等問題時(shí)，一定要先考慮0的情況，以防漏解.

5、子集個(gè)數(shù)與元素個(gè)數(shù)的關(guān)系

可以判斷真假的陳述句叫做命題.判斷為真的語句是真命題；判斷為假的語句是假命題.

表示：“若〃，則9"、“如果〃，那么久二其中〃為命題的條件U為命題的結(jié)論.

2、充分條件與必要條件

①“若〃，則夕”是真命題，即〃,則〃是q的充分條件，g是〃的必要條件；

②“若P，則4”是假命題，即〃K心則〃不是q的充分條件，夕不是〃的必要條件.

判斷充分條件、必要條件的三種方法：

①定義法:直接判斷“若〃，則q”以及“若q,則〃”

的真假；

②集合法：利用集合的包含關(guān)系判斷；

③傳遞法：充分條件、必要條件、充要條件都具有傳遞性，若乩=〃2，P2np3，則

3、充要條件

如果“若p,則夕”和,?若q,則,都是真命題,即既有p=q,又有夕=〃，則可記作「。夕,這時(shí)稱〃

是q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱充要條件.

充分條件、必要條件的判斷:

①p=q旦qNp〃是67的充分不必要條件

②pRq且q=p〃是°的必要不充分條件

③poq〃是q的充要條件

④pKq且qKpp是q的既不充分也不必要條件

4、全稱量詞

短語“所有的'"任意一個(gè)”通常叫做全稱量詞.符號(hào)：V

含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題.

“對(duì)M中任意一個(gè)x,p(x)成立”用符號(hào)記為：VXGM,p(x)

5、存在量詞

短語“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)“通常叫做存在量詞.符號(hào)：3

含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題.

“存在M中元素的x,p(x)成立”用符號(hào)記為：BXEM，P(X)

6、全稱量詞命題和存在量詞命題的否定

①全稱量詞命題VxeM,p(x)的否定為：BxeM,-1P(x).

②存在量詞命題的否定為：VxwM,「p(x).

①命題的否定的書寫：既要轉(zhuǎn)換量詞，又要否定結(jié)論.

②全稱量詞命題的否定是存在量詞命題；

存在量詞命題的否定是全稱量詞命題.

③一個(gè)命題和它的否定，只能是一真一假.

易錯(cuò)總結(jié)

易錯(cuò)01:忽略互異性

易錯(cuò)06:混淆條件關(guān)系

易錯(cuò)02:元素的屬性不明

易錯(cuò)07:充分必要條件中

集合與常用忽視端點(diǎn)值的取舍

易錯(cuò)03:忽視空集

邏輯用語

易錯(cuò)08:命題的否定理解不清

易錯(cuò)04:集合中忽略端點(diǎn)值的取舍

易錯(cuò)09:忘記考慮最高項(xiàng)系數(shù)為0

易錯(cuò)05:新定義背景理解有誤

【說明】試題或者解析中區(qū)間的概念說明:設(shè)小人是兩個(gè)實(shí)數(shù)，而且。＜匕，我彳門規(guī)定:

定義名稱符號(hào)

|x|i7<x<Z>)閉區(qū)間［則

{也<X</?)開區(qū)間

{x[a<>x<b\半閉半開區(qū)間

|x|r7<x<Z?)半開半閉區(qū)間(叫

【易錯(cuò)01：忽略互異性】

集合元素具有確定性、無序性和互異性.在求有關(guān)集合問題時(shí)，尤其要注意元素的互異性

【典例】（24-25高一上?江蘇揚(yáng)州?期中）集合中的x不能取的值是（）

A.0B.1C.2D.3

【針對(duì)訓(xùn)練】

1.（24-25高一上?陜西渭南?階段練習(xí)）若3,/},〃的值為.

2.（24-25高一上?湖北?期中）己知集合4={1,2,3},8={1,也〃?+2},若2-〃?eA,則實(shí)數(shù)〃?=

【易錯(cuò)02：元素的屬性不明】

研究集合問題，一定要理解集合的意義一抓住集合的代表元素.如：{/卜=?}—函數(shù)的定義域;

{小=?}—函數(shù)的值域；［（內(nèi)）卜=五}—函數(shù)圖象上的點(diǎn)集.

【典例】下列各組集合中表不同一集合的是（）

A.A={2,1},B={1,2}

B.A={（3,-2）},B={（_2,3）}

C.4={2,-3},B={（2,-3）}

D.4={（x,y）|x-y=l},fi={v|x-y=l}

【針對(duì)訓(xùn)練】

1.(24-25高一上?北京?期中)已知A={(x,y)lx+y=3},8={(x,y)|x-y=1},則AcB等于()

A.{2,1}B.{(1,2)}C.{(2,1))D.(2,1)

2.(24-25高一上?全國(guó)?課后作業(yè))將集合M={(x,)，)|y=r2+8/cN,)，￡N}用列舉法表示，正確的是(

A.{0,1,2}

B.{4,7,8}

C.(0,8),(1,7),(2,4)

D.{(0,8),(1,7),(2,4)}

【易錯(cuò)03:：忽視空集】

遇到AC|B=0時(shí)，你是否注意至IJ“極端”情況：A=0或4=0：同樣當(dāng)時(shí)，你是否忘記A=0的

情形？要注意到0是任何集合的了集，是任何非空集合的真子集.

【典例】(24-25高一上?上海?階段練習(xí))已知集合

A={工|一1vxv5},8={x[a<xv2a_1},C={x|Y-5ca+6c/=0|.

(1)若A求實(shí)數(shù)“的取值范圍；

(2)若AfiC=0,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【針對(duì)訓(xùn)練】

1.(24-25高一上?河南信陽?期中)已知集合A={x|-3W7},^={A-|/+1<x<2r-2}.

(1)在①疫4口RB,②AUB=A,③從口8=8三個(gè)條件中任選一個(gè)，作為下面問題的條件，并解答.問題：

當(dāng)集合48滿足________時(shí)，求實(shí)數(shù)f的取值范圍.

(2)若4口8=0,求實(shí)數(shù)f的取值范圍.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答給分.

【易錯(cuò)0%集合中忽略端點(diǎn)值的取舍】

對(duì)干與不等式有關(guān)集合問題，通常借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法，將各個(gè)集合在數(shù)軸上表示出來，以形定

數(shù)，還要注意驗(yàn)證端點(diǎn)值，做到準(zhǔn)確無誤，一般含“="用實(shí)心點(diǎn)表示，不含用空心圓圈表示.利用集合

之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍的時(shí)候，要注意端點(diǎn)值的取舍問題.

【典例】(23-24高一上.廣東惠州.階段練習(xí))已知集合4={#-3vxv4}，B={x\4a<x<a+3},

(1)若a=-l,求4=(48);

(2)若集合4是集合A的真子集，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【針對(duì)訓(xùn)練】

1.(25-26高一上?全國(guó)?課后作業(yè))己知全集。=1<,集合A="||x-2|22},8={;davx—l<2〃-2}.

⑴若(物4"求實(shí)數(shù)〃的取值范圍；

(2)若集合B不是Q4的子集，求實(shí)數(shù)，的取值范圍.

【易錯(cuò)05：背景理解有誤】

以集合知識(shí)為背景的創(chuàng)新型試題，因?qū)λo題目背景的理解不全面、不深刻造成解題失誤或思路受阻.

【典例】（24-25高一上?重慶?階段練習(xí)）含有有限個(gè)元素的數(shù)集，定義其“交替和”如下：把集合中的數(shù)按從

小到大的順序排列，然后從最大的數(shù)開始交替地加減各數(shù)，例如仙6,9｝的“交替和，，是9-6+4=7；而｛5｝的

交替和是5,則集合M=｛xeZ|-5Kx<4｝的所有非空子集的“交替和”的總和為（）

A.2048B.2024C.1024D.512

【針對(duì)訓(xùn)練】

1.（24-25高一上?河北邯鄲?期中）定義非空數(shù)集M的“和睦數(shù)，”如下：將M中的元素按照遞減的次序排列，

然后將第一個(gè)元素交替地加上、減去后繼的數(shù)所得的結(jié)果.例如，集合｛123,4,5｝的“和睦數(shù)”是

5+4-3+2-1=7,｛2,4｝的“和性數(shù)”是4+2=6,｛1｝的“和睦數(shù)”是1.對(duì)于集合A=?eN,〃eN、其

所有非空子集的“和睦數(shù)”的總和為（）

A.82B.74C.12D.70

2.（24-25高一上?四川眉山?期中）已知集合A是實(shí)數(shù)集R的非空子集，若-則

稱集合A為閉集合.

（1）若集合八,B均是閉集合.求證：Ac8是閉集合；

⑵若集合AB均是閉集合.集合AU4一定是閉集合嗎？如果是請(qǐng)證明，如果不是請(qǐng)舉出反例；

⑶若48均是閉集合，且A8都是R的真子集.求證：存在常數(shù)ceR,但CWADB.

【易錯(cuò)06：混淆條件關(guān)系】

關(guān)鍵是分清條件和結(jié)論，由條件可推出結(jié)論，條件是結(jié)論成立的充分條件:由結(jié)論可推出條件，則條件是結(jié)

論戌立的必要條件

【典例】（24-25高一上?貴州?期中）設(shè)“乃wR,則“。+8<6”是“。<3且?！?”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既非充分又非必要條件

【針對(duì)訓(xùn)練】

1.（24-25高一上?河南新鄉(xiāng)?階段練習(xí)）“帆=1”是"〃"?+1=〃?+〃”的（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.（24-25高一上?江蘇泰州?期中）已知P：-2GW5,-2-2膽"42+〃?（〃>0）,若〃的充分不必要條

件是4,則實(shí)數(shù)，〃的取值范圍為（）

A.m<3B.0<m<3

C.D.0</?/<2

【易錯(cuò)07：充分必要條件中忽視端點(diǎn)值的取舍】

在充分、必要條件求參問題上經(jīng)常會(huì)轉(zhuǎn)化成集合的包含關(guān)系，同樣要注意端點(diǎn)值的取舍問題.

【典例】（24-25高一上?浙江?階段練習(xí)）已知命題〃：關(guān)于%的方程F-2ax?+/+〃-1=0有實(shí)數(shù)根，命題心

m-\<a<m+\.

（1）若命題〃是真命題，求實(shí)數(shù)”的取值范圍；

⑵若〃是4的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)〃，的取值范圍.

【針對(duì)訓(xùn)練】

1.（24-25高一上?全國(guó)?課后作業(yè)）已知集合A={x|x<〃或x>〃+2},B={x\x>3}.

（1）若“xcA”是“xcB”成立的必要條件，求。的取值范圍；

（2）若“xeA”是“xwA”成立的必要不充分條件，求。的取值范圍；

⑶若心€?內(nèi)是"xc/r成立的充分條件，求〃的取值范圍；

（4）若“x￡?A”是“x68”成立的充分不必要條件，求。的取值范圍.

【易錯(cuò)08：命題的否定理解不清】

【典例】（24-25高一上?山東.階段練習(xí)）“丞/?R,/。）=/+加為偶函數(shù)，，的否定是（）

A.Vrz€R,+加為奇函數(shù)B.DaeR,J'（x）=f+加不是偶函數(shù)

C.3?eR,=/+為奇函數(shù)口.3aeR,/3)=/+奴?不是偶函數(shù)

【針對(duì)訓(xùn)練】

1.（24-25高一上?安徽?階段練習(xí)）已知命題p：于eN,V^eN，則它的否定為（）

A.3zeN,Vr+lB.4史N,J>+1-N

C.爐KND.

2.（24-25高一上?河北滄州?階段練習(xí)）命題“Vx>R,最eN*,使得〃之犬”的否定形式是（）

A.VxeRJ〃eN",使得〃B.V^eR,V/?eN",使得〃

x

C.3xeR,3//€N,使得〃D.3x0GR,V/zGN*,使得〃

【易錯(cuò)09：忘汜考慮最高項(xiàng)系數(shù)為0】

易錯(cuò)分析：最高項(xiàng)的系數(shù)直接影響方程的求解方式，故要分類討論

【典例】（24-25高一下?湖北黃石?階段練習(xí)）已知集合人=何加一10%一5=0｝中至多有一個(gè)元素，則。的

取值范圍是.

【針對(duì)訓(xùn)練】

1.（25-26高一上?全國(guó)?課后作業(yè)）已知集合人=卜如2_]卜2+（4+以+]=0｝中只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)"的

所有可能值的乘積為（）

A.—B.-1C.1D.二

33

易錯(cuò)訓(xùn)練

一、單選題

1.（24-25高一上?重慶?期中）已知命題P：Vx>l,犬+21_3>0，則IP為（）

A.Bx>1,x2+2x-3<0B.3x<1,x2+2.v-3<0

C.Vx>1,x2+2x-3<0D.3x>l,x2+2x-3>0

2.（24-25高一上?遼寧?階段練習(xí)）已知命題P'xwR,-^->0,則"為（）

x-i

A.VxeR?A<0B.3XGR,'<0

x-\x-\

YX

C.VxeR,——40或x-l=OD.HXGR,——40或x-l=0

x-\x-\

3.（24-25高一上?上海?期中）已知x/為非零實(shí)數(shù)，代數(shù)式六+舌+⑷的值所組成的集合是M,則下列

\x\3歲

判斷正確的是（）

A.0GMB.—1￡MC.2e;WD.1eM

4.（24-25高三下?云南昭通?開學(xué)考試）已知集合4={（%#|x,），￡N”,xNy},8={（x,），）|x+y=6},則4cB

中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

5.（24-25高一上?四川自貢?階段練習(xí)）己知集合片=卜k=3，+1]￡2},8={xk=3-2,/eZ}則“xeA”是

“工三8”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.（24-25高一上.吉林長(zhǎng)春.期末）已知〃:丁―41+3=0?:-m，若P是4的充分條件，則實(shí)數(shù)小

的取值范圍為（）

A.〃？>[B.m>-C.m>-2D.m>-2

22

7.（24-25高一上?江西階段練習(xí)〕對(duì)于實(shí)數(shù)x,規(guī)定田表示不大于x的最大整數(shù)，如[兀]=3,[-2.1]=-3,

那么方程[幻2-[幻=0成立的一個(gè)充分不必要條件是（）

A.XG[0,2]B.XG[-1.1]C.XG（-1,1）D.XG（0,2）

8.（24-25高一上?北京?期中）用Card（A）表示非空集合A中的元素的個(gè)數(shù)，定義A*8=|Card（A）-Card（8）|,

若4={-1/},八卜弧2+3現(xiàn)八公+2）=。},若A*8=l,設(shè)實(shí)數(shù)〃的所有可能取值構(gòu)成集合S.則

Card（5）=（）

A.6B.5C.4D.3

二、解答題

9.（24-25高一?上海?課堂例題）含有三個(gè)實(shí)數(shù)的集合可表示為卜，*1卜也可表示為忖.〃+40},求〃的+/產(chǎn)6

的值.

10.（24-25高一上?北京?期中）設(shè)全集U=R,集合4=32""},集合8={巾〃。。一2}.

（1）若對(duì)任意xwB,都有求實(shí)數(shù)〃的取值范圍；

⑵若“xwA”是“xw的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

11.（24-25高一上?全國(guó)?課后作業(yè)）已知集合A是由關(guān)于x的方程ad+2x+l=0（〃eR）的實(shí)數(shù)根組成的集

合.

⑴節(jié)4中有兩個(gè)元素時(shí)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍：

⑵當(dāng)4中沒有元素時(shí)，求實(shí)數(shù)all勺取值范圍；

（3）當(dāng)A中有且僅有一個(gè)元素時(shí)，求實(shí)數(shù)。的值，并求出此元素.

12.（24-25高一上,全國(guó)?課后作業(yè)）已知集合4="|〃7c<2〃"，4=5或x>4}.

⑴當(dāng)〃?=3時(shí)，求

⑵在①4之備8；②AD8=0；③AD（48）=A這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并求解.若

,求實(shí)數(shù)〃，的取值范圍.

13.（25-26高一上?全國(guó)?課后作業(yè)）（1）已知集合4={川-2"45},B={x\fn+\<x<2m-\],若BA,

求實(shí)數(shù)，〃的取值范圍.

（2）若（1）中條件"=5|-2，g5}"改為“4=3-2<%<5}“，其他條件不變，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

14.（24-25高一上?四川?期中）對(duì)給定的非空集合力=卜2…,〃}（〃eN?），定義集合

A+=kk=a+〃1a￡A,〃'wN*},/T={x|x=a-〃',awA/'wN1，當(dāng)A+C/TH0時(shí)，稱A具有姊妹性質(zhì).

（1）當(dāng)〃=1,〃，=]時(shí)，判斷集合A是否具有姊妹性質(zhì)，并說明理由；

⑵探討集合A具有姊妹性質(zhì)時(shí)〃與〃，之間的關(guān)系；

（3）探究A+cA-、A+UA-的子集的個(gè)數(shù).

第一章集合與常用邏輯用語

清單01集合的含義與表示

1、元素

把研究的對(duì)象統(tǒng)稱為元素.（用小寫字母表示：a、b、?！?/p>

2、集合

把一些元素組成的總體叫做集合.（用大寫字母表示：48、C…）

3、元素的特征

確定性、互異性、無序性.

求集合或元素時(shí)，一定要檢驗(yàn)集合中元素的互異性.

4、元素與集合的關(guān)系

①屬于：CIGA；②不屬于：a^A.

5、常用數(shù)集

①自然數(shù)集N（包含0和正整數(shù)）②正整數(shù)集N*或N+

③整數(shù)集Z④有理數(shù)集Q⑤實(shí)數(shù)集R

6、集合的分類

①有限集：②無限集；③空集.

7、集合的表示方法

①列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來，并用｛｝括起來.

例如｛1,3,5,7｝、｛2,4,6,8,…｝

②描述法：把集合4中所有具有共同特征P（x）的元素工所組成的集合表示為｛戈EA|P（X）｝.

例如｛X￡Z|1（）<X<20｝、｛x\x=2k+\,keZ｝

③圖示法（Veen圖）：用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合.

8、常見集合的表示方法

①方程的解集：｛x|2x+3=0）

②不等式的解集：｛x|2x+3>0｝

③函數(shù)自變量構(gòu)成的集合：｛H），=2X+3｝

④函數(shù)因變量構(gòu)成的集合：｛y[y=2x+3｝

⑤函數(shù)圖象上的點(diǎn)構(gòu)成的集合：｛（X,）兒，=2x+3｝

⑥方程組的解?：?（-）或｛（11）｝

⑦奇數(shù)集：{x|x=2〃+l,〃￡Z}

⑧偶數(shù)集：{X|X=2〃,〃￡Z}

注：做題時(shí)，要認(rèn)清集合中元素的屬性（點(diǎn)集、數(shù)集、自變量、因變量…），以及元素的范圍（JVWN、N\

Z、R）.

清單02集合間的基本關(guān)系

1、子集

集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素.

記作：AqB或82A讀作：A包含于3或8包含A

①任何一個(gè)集合是它本身的子集.

②若A=且81則AuC.

2、集合相等

若A^B，且BqA,則A=3.

①若A=8,且8=。，則4=C.

②欲證A=8,只需證A=且BqA.

3、真子集

如果集合4是集合B的子集，并3B中至少有一個(gè)元素不屬于A.

記作：A08或5VA讀作：A真包含于8或8真包含A

①若A（jB,且BUC,則AUC.

②若AqB,且AwB,則AUD.

③q和。用于集合和集合之間，w和史用于元素和集合之間.

4、空集

不含任何元素的集合.符號(hào)：0

①空集是任何集合的子集.

②空集是任何非空集合的真子集.

③解決有關(guān)4口3=0、A=3等問題時(shí)，一定要先考慮0的情況，以防漏解.

5、子集個(gè)數(shù)與元素個(gè)數(shù)的關(guān)系

設(shè)有限集合A有〃5wN*)個(gè)元素，則其子集個(gè)數(shù)是2”,真子集個(gè)數(shù)是2"-1,非空子集個(gè)數(shù)是2"-1,非

空真子集個(gè)數(shù)是2〃-2.

清單03集合的基本運(yùn)算

1、交集

屬于集合A且屬于集合8.(A和B的公共部分)

記作：8讀作：A交B

含義：=AMXG

①,4c8=8口4；②AnA=A；③Ap|0=0riA=0；

④(4口或=4；⑤(人口或=6；⑥人73=4門8=4.

2、并集

屬于集合A或?qū)儆诩?.(包含A和8的所有元素)

記作：A\JB讀作：A并B

含義：AU8={x|x￡A,加￡8}

①Alj3=8UA；②AljA=A；③A|J0=0UA=A：

④AQ(AU8)；⑤8q(A|J8)；@B<^>A\JB=B.

3、全集

研究問題中涉及的所有元素.符號(hào)：U

4、補(bǔ)集

由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合.符號(hào)：務(wù)人

含義：A=[x\xGt/,BJCA}

①樂AqU；②”,U=0；③q,0=U；④1uA)=A；

⑤4U@4)=U；⑥An&A)=0；

清單05充分條件與必要條件

1、命題

可以判斷真假的陳述句叫做命題.判斷為真的語句是真命題；判斷為假的語句是假命題.

表示：“若〃，則9"、“如果〃，那么久二其中〃為命題的條件U為命題的結(jié)論.

2、充分條件與必要條件

①“若〃，則夕”是真命題，即〃,則〃是q的充分條件，g是〃的必要條件；

②“若P，則4”是假命題，即〃K心則〃不是q的充分條件，夕不是〃的必要條件.

判斷充分條件、必要條件的三種方法：

①定義法:直接判斷“若〃，則q”以及“若q,則〃”

的真假；

②集合法：利用集合的包含關(guān)系判斷；

③傳遞法：充分條件、必要條件、充要條件都具有傳遞性，若乩=〃2，P2np3，則

3、充要條件

如果“若p,則夕”和,?若q,則,都是真命題,即既有p=q,又有夕=〃，則可記作「。夕,這時(shí)稱〃

是q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱充要條件.

充分條件、必要條件的判斷:

①p=q旦qNp〃是67的充分不必要條件

②pRq且q=p〃是°的必要不充分條件

③poq〃是q的充要條件

④pKq且qKpp是q的既不充分也不必要條件

4、全稱量詞

短語“所有的'"任意一個(gè)”通常叫做全稱量詞.符號(hào)：V

含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題.

“對(duì)M中任意一個(gè)x,p(x)成立”用符號(hào)記為：VXGM,p(x)

5、存在量詞

短語“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)“通常叫做存在量詞.符號(hào)：3

含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題.

“存在M中元素的x,p(x)成立”用符號(hào)記為：BXEM，P(X)

6、全稱量詞命題和存在量詞命題的否定

①全稱量詞命題VxeM,p(x)的否定為：BxeM,-1P(x).

②存在量詞命題的否定為：VxwM,「p(x).

①命題的否定的書寫：既要轉(zhuǎn)換量詞，又要否定結(jié)論.

②全稱量詞命題的否定是存在量詞命題；

存在量詞命題的否定是全稱量詞命題.

③一個(gè)命題和它的否定，只能是一真一假.

易錯(cuò)總結(jié)

易錯(cuò)01:忽略互異性

易錯(cuò)06:混淆條件關(guān)系

易錯(cuò)02:元素的屬性不明

易錯(cuò)07:充分必要條件中

集合與常用忽視端點(diǎn)值的取舍

易錯(cuò)03:忽視空集

邏輯用語

易錯(cuò)08:命題的否定理解不清

易錯(cuò)04:集合中忽略端點(diǎn)值的取舍

易錯(cuò)09:忘記考慮最高項(xiàng)系數(shù)為0

易錯(cuò)05:新定義背景理解有誤

【說明】試題或者解析中區(qū)間的概念說明:設(shè)小人是兩個(gè)實(shí)數(shù)，而且。＜匕，我彳門規(guī)定:

定義名稱符號(hào)

|x|i7<x<Z>)閉區(qū)間［則

{也<X</?)開區(qū)間

{x[a<>x<b\半閉半開區(qū)間

|x|r7<x<Z?)半開半閉區(qū)間(叫

【易錯(cuò)01：忽略互異性】

集合元素具有確定性、無序性和互異性.在求有關(guān)集合問題時(shí)，尤其要注意元素的互異性

【典例】（24-25高一上?江蘇揚(yáng)州?期中）集合中的x不能取的值是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析1根據(jù)集合的互異性，即可求解.

【詳解】由集合的互異性可知，大工寸一1，或彳。2,或f_1工2,

得中生叵，或工工2,或…5

2

故選:C

【針對(duì)訓(xùn)練】

1.（24-25高一上?陜西渭南?階段練習(xí)）若〃+2e（l,3,的，。的值為.

【答案】2

【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系得出方程求解，結(jié)合集合中元素的互異性檢驗(yàn)即可.

【詳解】因?yàn)閍+2e{l,3,/},

所以〃+2=1或3或/,

當(dāng)0+2=1時(shí)，a=-i,此時(shí)集合中元素有1,3,1,不滿足集合中元素的互異性，舍去；

當(dāng)。+2=3時(shí)，a=\,此時(shí)集合中元素為1,3,1,不滿足集合中元素的互異性，舍去；

當(dāng)a12=1時(shí)，解得々=2或。=-1（舍去），此時(shí)集合中元素為1,3/,符合題意.

故答案為：2

2.（24-25高一上?湖北?期中）已知集合4={1,2,3},3={1,〃?,m+2},若2-〃則實(shí)數(shù)〃?

【答案】0

【分析】由己知集合A的元素，分類討論求參數(shù)，〃值，再根據(jù)集合的性質(zhì)確定，〃的值.

【詳解】若2-6=1,則m=1,此時(shí)集合5違背互異性，不符合要求；

若2-加=2,則加=0,此時(shí)8={1。2},符合要求；

若2-機(jī)=3,則e=-1,此時(shí)集合4違背互異性，不符合要求；

綜上所述，/〃=0.

故答案為：0.

【易錯(cuò)02：元素的屬性不明】

研究集合問題，一定要理解集合的意義——抓住集合的代表元素.如：11卜二五}一函數(shù)的定義域;

[y\y=?}—函數(shù)的值域；{(%))y=——函數(shù)圖象上的點(diǎn)集.

【典例】下列各組集合中表示同一集合的是()

A.A={2,1},B={1,2}

B.A={(3「2)},A={(_2,3)}

C.4={2,-3),B={(2,-3)}

D.A={Gt,y)\x-y=\},B={v|x-y=1}

【答案】A

【分析】根據(jù)集合的表示方法，以及集合相等的概念，逐項(xiàng)分析判定，即可求解.

【詳解】對(duì)于A中，集合A={2,1}與集合4={1,2}中的元素完全相同，所以A=8,所以A正確；

對(duì)于B中，集合A={(3,-2)}表示由點(diǎn)(3,-2)作為元素，構(gòu)成的單元素集合，

集合8={(-2,3)}表示由點(diǎn)(-2,3)作為元素，構(gòu)成的單元素集合，

所以集合A與集合3不相等，所以B不符合題意；

對(duì)于C中，集合A={2,-3}表示由兩個(gè)元素構(gòu)成的數(shù)集；

集合6={(2,-3)}表示由點(diǎn)(2,-3)作為元素，構(gòu)成的單元素?cái)?shù)集，

所以集合A與集合3不相等，所以B不符合題意；

對(duì)于D中,集合A={(x,y)|x-)，=1}表示直線x-)，=l的點(diǎn)作為兀素構(gòu)成的無限點(diǎn)集，

集合3={)，|x-)，=l}我小直線x-y=l的點(diǎn)的縱坐標(biāo)作為元素構(gòu)成的無限數(shù)集，

所以集合A與集合B不相等，所以B不符合題意；

故選：A.

【針對(duì)訓(xùn)練】

1.(24-25高一上?北京?期中)已知A={(x,y)lx+y=3},8={(x,y)|x-y=1},則Ac8等于()

A.{2,1}B.{(1,2)}C.{(2,1)}D.(2J)

【答案】C

【分析】根據(jù)集合中的元素為點(diǎn)集，所以利用方程組來求點(diǎn)集即可.

x+y=3(x=2

【詳解】由-」解得,

因?yàn)锳={(x,y)|x+y=3},8={(x,y)|x-y=l},

所以Ac8={(2,l)},

故選：C.

2.(24-25高一上.全國(guó)?課后作業(yè))將集合M={(x,y),=r2+8/￡N,ywN}用列舉法表示，正確的是()

A.{0,1,2)

B.{4,7,8}

C.(0,8),(1,7),(2,4)

D.{(。,8卜(1.7),(2,4)}

【答案】D

【分析】計(jì)算出當(dāng)x=0」,2時(shí)，》的值，判斷是否滿足xwN,yeN即可判斷.

［詳解］:M={(x,y)\y=-x2+8,xeN,JGN},

當(dāng)x=0時(shí)，y=8,則(O,8)tM；

當(dāng)x=l時(shí)，＞'=7,則(l,7)wM；

當(dāng)x=2時(shí),y=4,則(2,4)eM；

當(dāng)工=3時(shí)，＞=-1,則(3,一l)wM：

L.9

.?.M={(O.8).(1.7).(2.4)},

故選：D.

【易錯(cuò)03:：忽視空集】

遇到4仆8=0時(shí)，你是否注意到“極端”情況：A=0或8=0；同樣當(dāng)時(shí)，你是否忘記4=0的

情形？要注意到0是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

【典例】(24-25高一上?上海?階段練習(xí))已知集合

4={x|-l<x<5},={x|A<x<-1},C=x2-5ax+6a2=0|.

(1)若求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

⑵若4口。=0，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)。43

-5TI

(2)a>-I^a<——

22

【分析】(I)需要分3為空集和非空集兩種情況，根據(jù)子集的定義來確定實(shí)數(shù)〃的取值范圍;

(2)先求解集合C,再根據(jù)AcC=0來確定實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】(1)

A={x|-1<x<5；,B=[x\a<x<2a-\]

4uA,若8=0=aN勿—1=。41

2a-\>a

若a>-\nae(l,3]

2a-[<5

綜上：〃K3;

(2)

A={x|-1<x<5},C={x|(x-24f)(x-3tz)=0]

AflC=0,

若a>0,則2a

2

若a<0,則2a<-\=>a<--

2

若a=0,不符

綜上：或〃

22

【針對(duì)訓(xùn)練】

1.(24-25高一上?河南信陽?期中)已知集合從=卜|一3一<7},B={x|/+l<x<2r-2}.

(1)在①疫4=RB，②AU8=A，③AC|8=8三個(gè)條件中任選一個(gè)，作為下面問題的條件，并解答.問題:

當(dāng)集合滿足時(shí)，求實(shí)數(shù)/的取值范圍.

(2)若4口8=0,求實(shí)數(shù)，的取值范圍.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答給分.

【答案】(1)(-85

(2)y,3)=(6,”)

【分析】(1)選擇①都有B=A,分類討論集合8是否為空集，限定出不等式范圍即可得實(shí)數(shù)f的取

值范圍；

(2)分類討論集合B是否為空集，得出不等關(guān)系即可得實(shí)數(shù)f的取值范圍：

【詳解】(1)選擇①，由贊展可得BqA,

當(dāng)B=0時(shí)，r+l>2/-2,解得f<3

r+l>-3

當(dāng)Bw0時(shí)，j2/-2<7,解得SWT,.

r+l<2r-2

(9

綜上，實(shí)數(shù)/的取值范圍為-8弓.

選擇②，由AU8=A可得

當(dāng)B=0時(shí)，r+l>2/-2,解得f<3

7+12-3

9

當(dāng)時(shí)，j2r-2<7,解得3WY5.

f+142f-2

(9

綜上，實(shí)數(shù)/的取值范圍為-8,5.

選擇③，由人。3=8可得

當(dāng)B=0時(shí)，t+\>2t-2,解得f<3；

/+1>-3

9

當(dāng)R*0H寸，-12r-2<7,解得34"彳，

/+1<2/-2

(9'

綜匕實(shí)數(shù)/的取值范圍為卜心5.

(2)當(dāng)6=0時(shí)，由/+1>為一2：解得/<3,符合題意

2/-2<-37+1>7

當(dāng)BW0時(shí),或《解得f>6；

r+l<2r-2r+l<2r-2

綜上，實(shí)數(shù)/的取值范圍為(-8,3)u(6,y).

【易錯(cuò)04：集合中忽略端點(diǎn)值的取舍】

對(duì)于與不等式有關(guān)集合問題，通常借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法，將各個(gè)集合在數(shù)軸上表示出來，以形定

數(shù)，還要注意驗(yàn)證端點(diǎn)值，做到準(zhǔn)確無誤，一般含“=”用實(shí)心點(diǎn)表示，不含“=''用空心圓圈表示.利用集合

之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍的時(shí)候，要注意端點(diǎn)值的取舍問題.

【典例】(23-24高一上?廣東惠州?階段練習(xí))已知集合A={x|-3<x<4}，B={x\4a<x<a+3},

(1)若〃=一1,求Ac/S,Au(aB);

(2)若集合8是集合A的真子集，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

【答案】⑴ACB=(-3,2),45刷=(9,孫(-3,問?

Q)卜：，+8).

【分析】(1)求出集合3,然后結(jié)合集合運(yùn)算可得；

(2)根據(jù)包含關(guān)系，分集合8是否為空集討論即可得解

【詳解】(1)若a=-l,4=(-4,2),=

所以4c8=(-3,2),A“Q8)=(e,Y]u(-3,-HX>).

(2)因?yàn)閰^(qū)是集合A的真子集，

①當(dāng)3=0時(shí)，此時(shí)4aNa+3,即aNl；

②當(dāng)4/0時(shí)，此時(shí)4ava+3,卻。<1,

|—344。3

則且兩個(gè)不等式不能同時(shí)取等，解得-白〃<1,

|?+3<44

綜上，實(shí)數(shù)。的取值范圍為一[，?0).

【針對(duì)訓(xùn)練】

1.(25-26高一上?全國(guó)?課后作業(yè))已知全集。=^^A={x||x-2|>2),B={^|a<x-\<2a-2}.

⑴若(物4"求實(shí)數(shù)〃的取值范圍；

(2)若集合B不是Q4的子集，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】（1）{。1。42或。23}.

■?

（2）cia>-

?乙一

【分析】（1）理解補(bǔ)集的定義，并找到補(bǔ)集，推出BqA,注意分析B時(shí)分類討論，（2）找到B=%A的取值范

圍，然后取補(bǔ)集.

【詳解】（1）由題意，得集合A={HxWO或xN4},B={M〃+l<x<2a-l}.

因?yàn)椋ǚ┕ぃㄆ鳎?所以B=A.

當(dāng)B=0,即也即aW2時(shí)，符合題意；

當(dāng)BH0,即〃>2時(shí)，由BqA,得a+124或2a-lW0,解得

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是{。1。42或。23}.

（2）由（1）知》A={10vxv4},若B/%A,

當(dāng)B=0,即。W2時(shí)，符合題意;

a+l>0,

當(dāng)BW0時(shí)，需滿足2。-144,解得

c2

a>2,

所以Bq?jA時(shí)，?<-.

2

所以當(dāng)集合B不是4A的子集時(shí)，?>|,即實(shí)數(shù)〃的取值范圍歪

【易錯(cuò)05：背景理解有誤】

以集合知識(shí)為背景的創(chuàng)新型試題，因?qū)λo題目背景的理解不全面、不深刻造成解題失誤或思路受阻.

【典例】（24-25高一上?重慶?階段練習(xí)）含有有限個(gè)元素的數(shù)集，定義其“交替和''如下：把集合中的數(shù)按從

小到大的順序排列，然后從最大的數(shù)開始交替地加減各數(shù)，例如{4,6,9}的“交替和”是9-6+4=7：而{5}的

交替和是5,則集合M={xeZ-5KXK4}的所有非空子集的“交替和”的總和為（）

A.2048B.2024C.1024D.512

【答案】A

【分析】將集合加的子集兩兩配對(duì)（AB）：使4wA,4cB且8。{4}=人，從而有集合A與集合8的交替和

之和為4,再利用符合條件的集合對(duì)有2。個(gè)，即可求解.

【詳解】由題知M={-5,-4,-3,TT（U2,3,4},

將集合M的子集兩兩配對(duì)（A8）：使4￡4,4任4且月。{4}=4則符合條件的集合對(duì)有2。個(gè),

又由題設(shè)定義有集合A與集合"的交替和之和為4,

所以交替和的總和為4x29=2"=2048.

故選:A.

【針對(duì)訓(xùn)練】

1.（24-25高一上?河北邯單B?期中）定義非空數(shù)集M的“和睦數(shù)””如下：將M中的元素按照遞減的次序排列，

然后將笫一個(gè)元素交替地加上、減去后繼的數(shù)所得的結(jié)果.例如，集合{123,4,5}的“和睦數(shù)”是

5+4-3+27=7,{2,4}的“和度數(shù)”是4+2=6,{1}的“和度數(shù)”是1.對(duì)于集合4=，〃字WN,〃WN},其

所有非空子集的“和陛數(shù)''的總和為（）

A.82B.74C.12D.70

【答案】A

【分析】分別列舉子集M,根據(jù)“和睦數(shù)”的定義,即可求解每種情況的“和睦數(shù)”,相加即可求解.

【詳解】A={〃WeN,〃cN?={l,2,3,6},非空子集有2-1=15個(gè).

當(dāng)子集團(tuán)為單元素集{1},{2},⑶，{6}時(shí)，“和睡數(shù)”分別為1,2,3,6,和為12；

當(dāng)子集M為雙元素集{1,2},{1,3},{1,6},{2,3},{2,6},{3,6}時(shí)，

“和睦數(shù)”分別為3,4,7,5,8,9,和為36；

當(dāng)子集M為三元素集{123}.{1.2.6},{1.3.6},{2.3.6}時(shí).

“和睦數(shù)”分別為4,7,8,7,和為26；

當(dāng)子集M為四元素集{123,6}時(shí),“和睦數(shù)”為6+3-2+1=8.

故“和睦數(shù)”的總和為12+36+26+8=82.

故選:A

2.（24-25高一上?四川眉山?期中）己知集合A是實(shí)數(shù)集R的非空子集，若Vx,yeA,x+ywA,x-yeA,則

稱集合A為閉集合.

⑴若集合48均是閉集合.求證：Ac/3是閉集合；

⑵若集合A8均是閉集合.集合AU3一定是閉集合嗎？如果是請(qǐng)證明，如果不是請(qǐng)舉出反例；

⑶若A4均是閉集合，且A3都是R的真子集.求證：存在常數(shù)cwR,但cwAub.

【答案】（1）證明見解析

⑵不一定，舉例見解析

（3）證明見解析

【分析】（1）根據(jù)閉集合定義及集合交集運(yùn)算即可證明；

（2）根據(jù)閉集合定義及集合并集運(yùn)算即可判斷；

（3）根據(jù)閉集合定義、真子集及集合并集運(yùn)算即可證明.

【詳解】（1）X,）*AC8且AI為閉集知：.",'八成立，

x-yeA[x-yeB

x+yGAc3

故而{AD，從而命題成立.

x-yeAoB

（2）取4={Xx=2A,AwZ},8=x=3A,AwZ},

2+3=5￡ADB知AUB不一定是閉集合.

（3）若Aq5或BqA,且AB均是R的真子集，命題顯然成立，

故不妨設(shè)存在xwR滿足’〃，且存在滿足，D,

x^B[yeB

取c=x+y知c=x+y任AuB,否則y=x+y—xeA

或者x=而得出矛盾，故命題成立.

【易錯(cuò)06：混淆條件關(guān)系】

關(guān)鍵是分清條件和結(jié)論，由條件可推出結(jié)論，條件是結(jié)論成立的充分條件:由結(jié)論可推出條件，則條件是結(jié)

論成立的必要條件

【典例】（24-25高一上?貴州?期中）設(shè)a/sR,則"a+"<6”是“〃<3且〃〈3”的（）