§6.3等比數(shù)列

【考試要求】1.理解等比數(shù)列的概念.2.掌握等比數(shù)列的通項公式與前〃項和公式.3.了解等比數(shù)

列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.

■落實主干知識

【知識梳理】

I.等比數(shù)列有關(guān)的概念

(1)定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù),那么這個

數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母g(qWO)表示.

(2)等比中項：如果在〃與h中間插入一個數(shù)G,使小G,〃成等比數(shù)列,那么G叫做“與人

的等比中項，此時,G2=ab.

2.等比數(shù)列的通項公式及前〃項和公式

(1)若等比數(shù)列｛斯｝的首項為0，公比是“，則其通項公式為?！?3^2.

(2)等比數(shù)列通項公式的推廣：如=?〃叱

(3)等比數(shù)列的前幾項和公式:當“=1時，S〃=〃ai;當時，S產(chǎn)"'(二？若詈

3.等比數(shù)列性質(zhì)

(1)若機+〃=〃+g,則4史電=&&，其中〃?，〃，p,特別地，若2秒=機+〃，則旬@1=

扇，其中〃?，n,如WN".

(2)勰，四+2”，…仍是等比數(shù)列，公比為?匕

⑶若數(shù)列｛m｝，｛兒｝是兩個項數(shù)相同的等比數(shù)列，則數(shù)列｛斯也｝，｛〃而被〃｝和｛優(yōu)｝也是等比

數(shù)列S，〃，夕#0).

(4)等比數(shù)列｛曲｝的前〃項和為S”，則S“，Sinf,應二齷仍成等比數(shù)列，其公比為/.(〃為

偶數(shù)且9=-1除外)

0乂)，a\<0,

⑸若,或0<然］則等比數(shù)列｛仇｝遞遒.

67|>0,41<0,

若或《則等比數(shù)列9〃｝遞減.

()<4<1夕>1?

【常用結(jié)論】

1.等比數(shù)列｛?。耐椆娇梢詫懗尚??〃，這里cWO,q#O.

2.等比數(shù)列｛m｝的前〃項和S“可以寫成S“=A/-A(AWO,qWl,O).

3.數(shù)列｛〃〃｝是等比數(shù)列，S〃是其前〃項和.

⑴若0.他?…“=T"，則7”，孕，要，…成等比數(shù)列.

⑵若數(shù)列｛的｝的項數(shù)為2〃，則券=%若項數(shù)為2〃+1,則與&="，或丁%—=%

3奇3愕3南一?！?/p>

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

⑴三個數(shù)出b,c成等比數(shù)列的充要條件是82=ac.(X)

(2)當公比戶1時，等比數(shù)列｛.〃｝為遞增數(shù)列.(X)

(3)等比數(shù)列中所有偶數(shù)項的符號相同.(V)

(4)數(shù)列｛?。秊榈缺葦?shù)列，則S4,58-54,S12-S8成等比救列.(X)

【教材改編題】

1.設a,b,c,d是非零實數(shù)，則7以=反”是％,b,c,d成等比數(shù)列”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案B

解析若a,b,c,d成等比數(shù)列，則4=反，

數(shù)列-1,—1,1,1.滿足一IX1=-1X1,但數(shù)列-1,一1,1」不是等比數(shù)列，

即“ad=bc”是“小仇c,d成等比數(shù)列”的必要不充分條件.

2.設等比數(shù)列｛如｝的前〃項和為S”.若S2=3,S4=15,則S6等于()

A.31B.32C.63D.64

答案C

解析根據(jù)題意知，等比數(shù)列｛如｝的公比不是一1.由等比數(shù)列的性質(zhì)，得(S4—S2)2=SMS6一

S4),即122=3X(S6T5),解得S6=63.

3.已知三個數(shù)成等比數(shù)列，若它們的和等于13,積等于27,則這三個數(shù)為.

答案1,3,9或9,3,1

解析設這三個數(shù)為小“，uch

夕=13,4=3,

解得（1

則或'

=

吟的=27,^3

???這三個數(shù)為1,3,9或9,3,1.

-探究核心題型

題型一等比數(shù)列基本量的運算

例1⑴（2022?全國乙卷）已知等比數(shù)列｛〃”｝的前3項和為168,s—的=42,則俏等于（）

A.14B.12C.6D.3

答案D

解析方法一設等比數(shù)列｛6｝的公比為小易知

。1+。2+。3=168,

由題意可得

。2一45=42,

0=96,

叩卜|（1+4+/）=168,解得（1

"Lq（l一寸）=42,

q=5.

所以46=3爐=3,故選D.

方法二設等比數(shù)列｛m｝的公比為夕,

53=168,

易知qWl.由題意可得:

〃2-〃5=42,

0（]一1）…[?1=96,

即Ji—q解得J

001—q3）=42,lq=y

所以〃6=。同5=3,故選D.

（2）（2023?桂林模擬）朱載埴（1536?1611）是中國明代一位杰出的音樂家、數(shù)學家和天文歷算家,

他的著作《律學新說》中闡述了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把

一組音（八度）分成十二個半音音程的律制，各相鄰兩律之間的頻率之比完全相等，亦稱“十

二等程律”.即一個八度13個音，相鄰兩個音之間的頻率之比相等，且最后一個音的頻率是

最初那個音的2倍.設第二個音的頻率為力，第八個音的頻率為力.貝哈等于（）

A.y/2B.y/2C.SD.4s

答案A

解析設第一個音的頻率為。，相鄰兩個音之間的頻率之比為夕，那么%=，"口,

1

根據(jù)最后一個音的頻率是最初那個音的2倍，得03=2〃=四巴即q=2日，

所以，=詈=46=也.

./I?2v

思維升華等比數(shù)列基本量的運算的解題第略

⑴等比數(shù)列中有五個量a,n,q,斯，S?,一般可以“知三求二”，通過列方程（組）可迎刃

而解.

⑵解方程組時常常利用“作商”消元法.

（3）運用等比數(shù)列的前八項和公式時，一定要討論公比4=1的情形，否則會漏解或增解.

跟蹤訓練1（1）設正項等比數(shù)列｛斯｝的前〃項和為工，若S2=3,54=15,則公比4等于（）

A.2B.3C.4D.5

答案A

解析*.*S2=3,5'4=15,二夕刊,

m（l-〃與

=3,①

l-q

由題意，得，

s（l-右）

=15,②

T—q

②C

①得/=4,又q>0,:?q=2.

⑵在1和2之間插入11個數(shù)使包含1和2的這13個數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列，記插入的II個

數(shù)之和為M,插入11個數(shù)后這13個數(shù)之和為M則依此規(guī)則，下列說法錯誤的是（）

A.插入的第8個數(shù)為的

B.插入的第5個數(shù)是插入的第1個數(shù)的隼倍

C.M>3

D.N<1

答案D

解析設該等比數(shù)列為他”｝,公比為夕，

則0=1,03=2,

插入的第8個數(shù)為的，故A正確；

插入的第5個數(shù)為（16=請,插入的第1個數(shù)為敢=。必所以詈=*="=率，故B正確;

s（i—，/"）皿—W）.1

M=;==-1-----r,

r一尊i-2^

要證M>3,即證一1——!—j->3,

1-2*2

即證一—>4,

2,2-1

s—

即證市>2整，

即證⑨2>2,

而?12>e)6>2成立,故c正確;

N=M+3.

6

因為

5|2>(1.4)6>(1.9)3>2,

所以1>2巴

所以一p!—>5,

2'2-1

所以一1一一二>4,即必>4,

1-211

所以N=M+3>7,故D錯誤.

題型二等比數(shù)列的判定與證明

例2已知數(shù)列1為｝的各項均為正數(shù)，記5'〃為他“｝的前”項和，從下面①②③中選取兩個作

為條件，證明另外一個成立.

①數(shù)列｛斯｝是等比數(shù)列：②數(shù)列｛S〃+s｝是等比數(shù)列：③&=2而

注：如果選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

解選①②作為條件證明③：

1=1

設Sn+ai=A/'(AWO),fl]SnAcf'—a\,

當〃=1時，a\=S\=A—a\y所以A=2m；

't

當時，an=Sn-Sn-\=Ac]

因為｛為｝是等比數(shù)列，所以智力=去解得4=2,所以公=2。1.

選①③作為條件證明②：

因為。2=20,｛〃”｝是等比數(shù)列，所以公比q=2,

所以S〃=與三/=0(2"-1),即S“+s=m2",

因為哈詈=2,所以｛S“+m｝是等比數(shù)列.

選②③作為條件證明①：

設S〃+ai=A/T(AWO),則S〃=A/r—m,

當〃=1時，a\=S\=A—a\,所以A=2m；

當〃22時，an=S?-Sn-x=Acf~\q-\^

因為。2=2。］,所以A(g—1)=A,解得鄉(xiāng)=2,

所以當〃22時，%=5“一5,1=4/-2(4一］)=42廠2=4-2”，

又因為:一=2(〃22),且42=2.1,

所以｛斯｝為等比數(shù)列.

思維升華等比數(shù)列的三種常用判定方法

⑴定義法:若等=q(g為非零常數(shù),〃WN*)或W=g(q為非零常數(shù)且八22,(WN*),則｛?。?/p>

ClnCln-\

是等比數(shù)列.

(2)等比中項法：若數(shù)列｛&,｝中，且足+|=0f〃”+2(〃￡N*),則｛〃“｝是等比數(shù)列.

(3)前〃項和公式法：若數(shù)列｛斯｝的前〃項和5”="/一女(上為常數(shù)且�,9#0,1),則｛〃”)是

等比數(shù)列.

跟蹤訓練2在數(shù)列｛〃“｝中,屆+i+2a〃+i=aG+2+an+ar+2，且見=2,a2=5.

(1)證明：數(shù)列｛斯+1)是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛詼｝的前〃項和S”.

(1)證明因為足+［+2為+|=。,小+2+。”+4"+2，

所以(4?+1+1)2=(d+1)(%+2+1),

了產(chǎn)"+|+1斯+2+1

“"”+1期+|+「

因為3=2,42=5,所以“1+1=3,s+l=6,

所以鋁=2,

41+I

所以數(shù)列｛為+1｝是以3為首項，2為公比的等比數(shù)列.

(2)解由⑴知,仇+1=32廠|,所以小=32E一1,

3(1—2")

所以y=

1-2

題型三等比數(shù)列的性質(zhì)

例3(1)(2023?黃山模擬)在等比數(shù)列｛〃〃｝中，m，03是方程f—13x+9=0的兩根，則絲詈的

值為()

A/B.3C.ABD.±3

答案B

解析Vai,。13是方程『一13工+9=0的兩根，...ai+ai3=13,aM3=9,

/.6Zl>0,?|3>0,4「4|3=。2,412=4彳=9,

又數(shù)列｛〃,｝為等比數(shù)列.竽比數(shù)列奇數(shù)項符號相同,可得,7=3.

(2)已知正項等比數(shù)列｛a〃｝的前〃項和為S”且58—254=6,則49+00+01+02的最小值為

答案24

解析由題意可得§8—2Sq=6,可得Sg—$4=54+6,

由等比數(shù)列的性質(zhì)可得S4,S8—S4,$2-58成等比數(shù)列，

2

則S4(S12-58)=(S8-54),

綜上可得49+00+01+〃i2=Si2—§8=(、4s6)=S4+竽+12224,

當且僅當S4=6時等號成立.綜上可得，的+00+01+02的最小值為24.

思維升華(I)等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：一是通項公式的變形，二是等比中項的變形，

三是前〃項和公式的變形，根據(jù)題目條件，認真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問

題的突破口.

(2)巧用性質(zhì)，減少運算量,在解題中非常重要.

跟蹤訓練3(1)(2023?六安模擬)在等比數(shù)列｛斯｝中,若田+俏=16,的+內(nèi)=24,則內(nèi)+。8

等于()

A.40B.36C.54D.81

答案C

解析在等比數(shù)列｛〃”｝中，。1+。2,的+防力+俏，。7+。8成等比數(shù)列,

〃1+=16.(IT,+"4=24,〃7+M=(,3+24X(而)2=54.

(2)等比數(shù)列m”｝共有奇數(shù)個項，所有奇數(shù)項和S奇=255,所有偶數(shù)項和5代=一126,末項是

192,則首項勿等于()

A.1B.2C.3D.4

答案C

解析??&=192,

.__126_~126_

??kSL%=255-192=63=-2,

一a\—a?q

又5=-；-------￡=5<+5?,

一q

^671-192X(-2)

即—-(_；)=255+(—126)，

解得0=3.

(3)在等比數(shù)列｛〃”｝中，4”>。，OI+S+GH----1~48=4,a\U2。8=16,則----的值

為（)

A.2B.4C.8D.16

答案A

解析'."is…a8=16,

41。8=。247—二44。5=2,

?日+9…+幺躡+3+0+占+d+2+質(zhì)+3

〃+。8)+|(。2+S)+*的+%)+；(。4+45)

2T---卜〃8)=2.

課時精練

4基礎保分練

1.（2023?岳陽模擬）已知等比數(shù)列｛斯｝滿足45-43=8,46-01=24,則43等于（）

A.1B.-1C.3D.-3

答案A

解析設4"=41/'I'.,比-43=8,—44=24,

aq—aq"=8,

?彳

44一“1爐=24,

0=3,

*43=。4=肛32=1.

解得1

忤=3,

2.數(shù)列｛知｝中，。|=2,an^n=amanf若m+w2T---卜公+10=2匕一2‘，則二等于（）

A.2B.3C.4D.5

答案C

解析令/〃=1,則由即+川=?！ㄍ?，得〃〃+1=〃］。”，即二一0=2,所以數(shù)列｛“〃｝是首項為2,

公比為2的等比數(shù)列,所以m=2",所以像+i+a*+2T---卜a?+io=2"3i+a2T----卜。向=

x2X12*

^|l^^=2A+lX(210-l)=2l5-25=*25X(2l0-l),解得女=4.

3.若等比數(shù)列｛為｝中的的，42019是方程『-4八—+3=0的兩個根，則嗓3。1+晚3俏+唯3。3

+…+logM2023等于（)

2(P49023

-B.1011C.^-^D.1012

答案c

解析由題意得〃5〃2019=3,

根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)知，

042023=4242022=，，，=?101l?l013=?1012al012=3，

于是41012=3"

則l0g3〃I+10g3?2+10g343H---F10g3〃2023

=10g3（ai42的…42023）

=晦（3.孑）=等.

4.（2022?日照模擬）河南洛陽的龍門石窟是中國石刻藝術(shù)寶庫之一，現(xiàn)為世界文化遺產(chǎn)，龍門

石窟與莫高窟、云岡石窟、麥積山石窟并稱中國四大石窟.現(xiàn)有一石窟的某處“浮雕像”共

7層，每上層的數(shù)量是下層的2倍，總共有1016個“浮雕像”，這些“浮雕像”構(gòu)成一幅優(yōu)

美的圖案，若從最下層往上“浮雕像”的數(shù)量構(gòu)成一個數(shù)列｛?。?則10g2（〃33）的值為（）

A.16B.12C.10D.8

答案B

解析由題意，得他〃｝是以2為公比的等比數(shù)列，

A57=-?~?-=1OI6,127m=l016,解得山=8,

1—2

24

/.log2（673-fl5）=log2（8X2X8X2）=12.

5.（多選）已知｛冊｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前〃項和為S”，且｛￡｝是等差數(shù)列，則下

列結(jié)論止確的是（）

A.｛a”+S〃｝是等差數(shù)列

B.｛小5｝是等比數(shù)列

C.｛屆｝是等差數(shù)列

D.榭是等比數(shù)列

答案ACD

解析由｛S”｝是等差數(shù)列，可得2（。］I。2）=口1卜卜a21a3,

???｛%｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，..“2=024,可得4=1.，%=0>0,

???小+*=（〃+1）勿，，數(shù)列｛為+SJ是等差數(shù)列，因此A正確；

屆=屆，??.｛屆｝是常數(shù)列，為等差數(shù)列，因此C正確；

岬=0>0,???榔是等比數(shù)列，因此D正確；

4s尸〃而，不是等比數(shù)列，因此B不正確.

6.已知數(shù)列｛⑶｝是等比數(shù)列，若俏=1，〃5=W，則“im+a2a3~1----FaM"+i（〃￡N"）的最小值

為（）

O

AqB.1C.2D.3

答案C

解析由已知得數(shù)列他”）的公比滿足萬案4

解得9君??必=2,故數(shù)列｛斯斯+i｝是首項為2,公比為器=9的等比數(shù)列，

[1-?]

??0。2+。2。3+…+。”?！?1=j

1-T

哥-朗寺,故選C.

7.已知S”是等比數(shù)列｛“〃｝的前n項和，且6＞（）,Si+ai=2,Sy+a3=22,則公比q=,

S5+的=.

答案3202

7

解析由題意得2m=2,.?.0=1.由4]+4q+24iq2=22,得9=3或^二一不〈a”〉。，

71X（1—3§）

=一]不符合題意，故q=3,：.S5+的=—旨7廣+1義34=202.

8.已知數(shù)列伍〃｝為等比數(shù)列，若數(shù)歹|｛3"一小｝也是等比數(shù)列，則數(shù)列｛〃”）的通項公式可以為

.（寫出一個即可）

答案如=3"」（答案不唯一）

232

解析設等比數(shù)列（〃〃｝的公比為小令析=3"一%,則析=3—m,bi=3—a\qtb3=3-a\q,

是等比數(shù)列，，虎=5兒，即（3?一。闖）2=（3—41）（3；—〃爐），可化為/一6夕+9=0,解

得4=3,取幻=1,則詼=3"一1.（注:4的值可取任意非零實數(shù)）.

9.等比數(shù)列｛m｝中，“1=1,〃5=4〃3.

⑴求數(shù)列｛〃”｝的通項公式；

（2）記S為｛〃“｝的前〃項和,若S〃=63,求利

解（1）設數(shù)列｛6｝的公比為4，由題設得知=4"」

由已知得44=4/，解得9=0（舍去），學=-2或4=2.

故如=（一2尸或a〃=2"r（〃￡N）.

⑵若如=（一2）門，則S“=—『■?

由Sm=63得（-2產(chǎn)=-188,此方程沒有正整數(shù)解.

若廝=2"-1則S“=2-L

由S〃i=63得2m=64,解得加=6.綜上，〃?=6.

10.S”為等比數(shù)列｛3｝的前〃項和，已知出=9〃2,53=13,且公比q>0.

⑴求知及S”；

（2）是否存在常數(shù)九使得數(shù)列｛S〃+2｝是等比數(shù)列？若存在，求出入的值；若不存在，請說明

理由.

「夕3=9々⑶，

1小(1一/)“初俎_二

解（1）由題意可得]_q—13,解得0=1,q=3,

、4>0,

1—3“3”—1

所以斯=3,-3==丁?

（2）假設存在常數(shù),使得數(shù)列｛S”+2｝是等比數(shù)列.

因為$+4=2+1,S2+/l=A+4,S3+/l=/l+13,

S“+i+]

所以(7+4)2=(為+1)(2+13),解得此時Sn+J=：X3",則-----『二3.

&+5

故存在常數(shù)使得數(shù)列,+3是等比數(shù)列.

過綜合提升練

11.（多選）在數(shù)列｛〃“｝中，若也匚"=忒攵為常數(shù)），則稱｛〃”｝為“等差比數(shù)列”，

an+\~an

下列關(guān)于“等差比數(shù)列”的判斷正確的是（）

A.2不可能為0

B.等差數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”

C.等比數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”

D.”等差比數(shù)列”中可以有無數(shù)項為0

答案AD

解析對于A,4不可能為0,正確；

對于B,當?！?1時，｛?。秊榈炔顢?shù)列，但不是“等差比數(shù)列“，錯誤：

對于C,當?shù)缺葦?shù)列的公比4=1時，%+］一%=0,分式無意義，所以｛斯｝不是“等差比數(shù)列”

錯誤；

對于D,數(shù)列0,1,0,1,01，…，0,1是“等差比數(shù)列”，且有無數(shù)項為0,正確.

12.記S”為等比數(shù)列｛m｝的前〃項和，已知ai=8,內(nèi)=-1,則數(shù)列｛S〃｝（）

A.有最人項，有最小項

B.有最大項，無最小項

C.無最大項，有最小項

D.無最大項，無最小項

答案A

解析根據(jù)題意，等比數(shù)列｛?。?，0=8,t?4=—1,則爐=邸=一/，則4=一^，

部-⑶

若〃為奇數(shù)，則5=竽(1+/)，此時有Si>S3>…>S〃>竽：

若〃為偶數(shù)，則s尸竽(1一出，此時有S2<sgy〃<芋，

故與最大，52最小.

13.設｛廝｝是公比為0的等比數(shù)列,M>L令-=斯+1(〃=1,2,…),若數(shù)列｛仇｝有連續(xù)四項

在集合(-53,-23,19,37,82｝中，則6g=.

答案一9

解析｛A｝有連續(xù)四項在｛-53,一23,19,37,82｝中,劣=詼+1,則%=仇一1,｛斯｝有連續(xù)四

項在｛-54,-24,18,36,811中.又｛詼｝是等比數(shù)列,等比數(shù)列中有負數(shù)項則好0,且負數(shù)項為

相隔兩項，

等比數(shù)列各項的絕對值遞增或遞減，按絕對值由小到大的順序排列上述數(shù)值：18,-24,36,

一54.81.

363-3813

—244-54--

--6--

相鄰兩項相除不-=一?-3-2

242,2J54

很明顯，-24,36,-54,81是｛斯｝中連續(xù)的四項,

3

-或

24，此種情況應舍),

3

--

q-2

14.記S”為數(shù)列｛〃“｝的前n項和,S“=l—〃“，記北=”|田+。345+…+"2n1。2“7，貝4斯

，Tn=

答案T41一備)

S尸1~a,

解析由題意得0=1—“I,故.當〃22時，由_n得〃〃=—則

aM-i,

=1,故數(shù)列｛為｝是以《為首項，3為公比的等比數(shù)列，故數(shù)列｛為｝的通項公式