§8.5橢圓

【課標(biāo)要求】1.理解橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程2掌握橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（范圍、點(diǎn)稱性、頂點(diǎn)、

離心率）.3.掌握橢圓的簡(jiǎn)單應(yīng)用.

1.橢圓的定義

把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)a,F2的距離的和等于賞教（大于尸產(chǎn)出的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓

的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的蠅.

注意：（1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M滿足|MB|+|MF2|=常數(shù)＞尸1川時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為橢圓；

⑵當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M滿足|MR|+|MBI=常數(shù)=|RBI時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為以Q,B為兩端點(diǎn)的線段；

（3）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M滿足|MR|+|MBI=常數(shù)＜IRBI時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡不存在.

2.橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在X軸上焦點(diǎn)在y軸上

B2

圖形L

By

益+且-142+^2=1

標(biāo)準(zhǔn)方程ab

(a>b>0)(a>b>0)

一—bWxWb

范圍

且一4一且一

A，一a,0),4(0,一a。

0),4(0，a)，

頂點(diǎn)

8(0,i),—0),

」(0,b)&S，0)

軸長(zhǎng)短軸長(zhǎng)為額,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為區(qū)

凡（一「,①，一Q?

焦點(diǎn)

&—，（））&(0，c)

焦距

|F|F2|=2C

對(duì)稱性對(duì)稱軸：x軸和y軸,對(duì)稱中心：JO

離心率e=.CYeVl)

a,b,c的關(guān)系『=力2+一

1.判斷下列結(jié)論是否正確.（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“4”或“X”）

（1）到兩定點(diǎn)的距離之和為定值的點(diǎn)的軌跡是橢圓.（X）

（2）橢圓是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形.（7）

（3珞表示焦點(diǎn)在.V軸上的橢圓.（X）

（4）橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓.（X）

2.己知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)居（一2,0）,B（2,0）的距離之和為8,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（）

AH+日=1B.日+乃=]

1641612

cY9Y5=iDY20+16J

答案B

解析因?yàn)槠矫鎯?nèi)一動(dòng)點(diǎn)尸到兩定點(diǎn)F|（-2,0）,4（2,0）的距離之和為8,且8>|FIF2|=4,

所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為焦點(diǎn)位于x軸的橢圓，

2a=8,

a2=16,

2c=4,解得

"=12,

小=爐+。2,

故動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡方程■隹=L1

3.（2024.黔東南模擬）橢圓注+注=1（心0）的離心率為（）

A.邈

5

若

答案A

解析由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得,b2=3m,所以離心率e=：=J1-J

=5_v而

5

4.若橢圓C[+：=1，則該橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為（）

43

A.3B.2+V3

C.2D.V3+1

答案A

解析由題意知。=2"=百，所以c=l,則橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為a+c=3.

橢圓中常見結(jié)論：

P為橢圓上任意一點(diǎn)，B，B分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，設(shè)NF/F2=。，如圖所示.

(1)當(dāng)戶為短軸端點(diǎn)時(shí)，0最大，SARPF2最大；當(dāng)點(diǎn)P為長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，。最小為0.

(2)|Pr||max=〃+c，lPFllmin=a—C.

(3)|PFi\-\PF2\w局1)2=/

22

(4)4，=|PF11+\PF2\-21PAi儼/21cos0.

(5)焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為2(a+c).

題型一橢圓的定義及其應(yīng)用

例1(1)已知?jiǎng)訄A仞和圓Ci：。+1)2+)，2=36內(nèi)切，并和圓Cz：(x—1)2+)2=4外切，則動(dòng)圓圓心M

的軌跡是()

A.直線

B.圓

C.焦點(diǎn)在x軸上的橢圓

D.焦點(diǎn)在)，軸上的橢圓

答案C

解析設(shè)動(dòng)圓的圓心M的坐標(biāo)為",)，)，半徑為r,

因?yàn)閯?dòng)圓M與圓G：(x+1尸+)2=36內(nèi)切，且與圓Ci：(x—1)：+)2=4外切，

可得|WG|=6一—,|MC2|=r+2,

所以|MG|+|MC2|=8>|GC2|=2,

根據(jù)橢圓的定義知，動(dòng)點(diǎn)"的軌跡是以G,C?為焦點(diǎn)的橢圓，且2a=8,2c=2,

可得。=4,c=l,則h=y/a2-c2=V15,

所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為5+I,

所以其軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓.

設(shè)|PFi|=m(〃>0),\PF2\=n(n>0),

則w4-/z=4,①

且"產(chǎn)+/=(2巡)2,②

由①2一②得2mn=4,即mn=2,

所以|PRMPB|=2.

(2)已知外，尸2分別為橢圓C：《+\=1(4>/>0)的左，右焦點(diǎn)，A為橢圓。的上頂點(diǎn)，且△Af?尸2為等

邊三角形；過為且垂直于的直線與橢圓C交于。，E兩點(diǎn)、,則AAOE的周長(zhǎng)為.

答案16

解析由C:1+^=l(4>b>0),得a=4,

16

因?yàn)椤鰽HF2為等邊三角形，

過R且垂直于4尸2的直線與橢圓C交于D,E兩點(diǎn)，

所以直線QE為線段AB的垂直平分線，

得|AD|=|￡>產(chǎn)2|,|AE|=|EF2|,

則△AOE的周長(zhǎng)為|AQ|+HE|+|D￡|=|DF2|+|EF2|+|Qai+|EKI=2a+2a=4〃=4X4=16.

題型二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

例2(1)過點(diǎn)(一3,2)且與=十?=1有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()

94

A.W+Z1=IBX+^=I

2251001510

C.2±+且=iD.乃+立=1

2251001510

答案B

解析由題意得橢圓三十￡=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(遙,0),(-V5,0),

94

因?yàn)樗髾E圓與橢圓E+t=l有相同的焦點(diǎn)，

94

22—

設(shè)所求橢圓的方程為三+《三二耳心愿)，

Q/az-5

由于該橢圓經(jīng)過點(diǎn)(-3,2),則將點(diǎn)代入方程得，

2+3=1

Q2丁a2_5'

解得/=15(4=3舍去)，

故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+4=1-

1510

(2)已知橢圓C的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過A(-V3,-2)和僅一26，1)兩點(diǎn)，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程

為.

答案

解析設(shè)所求橢圓的方程為〃/+町2=1(〃>0,心0,〃?￡〃)，將A和8的坐標(biāo)代入方程得

產(chǎn)一碗=1,解得卜=口

I12m+n=l,In=

則所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+1=1.

JLO3

思維升華根據(jù)條件求橢圓方程的主要方法

(1)定義法：根據(jù)題目所給條件確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足橢圓的定義.

(2)待定系數(shù)法：根據(jù)題目所給的條件確定橢圓中的〃，A當(dāng)不知焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)，一般可設(shè)所求

橢圓的方程為〃tr2+〃y2=1(心0,心0,〃法〃);與橢圓石+卷=共焦點(diǎn)的槽圓方程可設(shè)為一一+

￡=](〃汕>0,m>-b2)；與橢圓捺+《=1(公心>0)有相同離心率的橢圓方程可設(shè)為捺或2+2

=X[a>b>0,；>0).

跟蹤訓(xùn)練2⑴(2024?九江模擬)已知橢圓C：1+旨=1(。>/?0)的左、右焦點(diǎn)分別為R,B，過Q且

a，b，

傾斜角為2的直線交。于第一象限內(nèi)一點(diǎn)A.若線段AR的中點(diǎn)在y軸上，的面積為2V5,貝I」橢

6

圓。的方程為()

Y2Y2V2

A.—+r=iB—+y=i

cX4-^=1DY+^=1

9396

答案D

解析如圖，為線段FiFz的中點(diǎn)，8為線段AFi的中點(diǎn)，

：.OB//AF2,又08_Lx軸,???AF2>Lx軸.

在RdARB中，ZAFF=7,

I26

設(shè)|AFV),

則HFil=2f,|F,F2|=V3r.

???△4尸尸2的面積為2遙，

A|xV3rX/=2V3,1=2.

：.2a=\AFi\+\AF2\=3t=6,a=3,

22

2c=|FiF2|=V3r=2V3,c=V3,Z?=a-?=6,

則橢圓C的方程為

(2)已知橢圓的中心在原點(diǎn)且過點(diǎn)P(3,2),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的3倍，則該橢圓的方程

為.

答案圻AI噱+普=1

解析若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)該橢圓的方程為

g+g=l(^>0),

2Q=3x2b,a2=45,

則由題意得9,4解得

獲+京―Lb2=5,

，該橢圓的方程為小《=」；

若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)該橢圓的方程為

§+g=l(o>h>0),

-(2a=3x2b,(a2=85,

則由題意得4?9解得；85

|我+9=1，|〃=$,

???該橢圓的方程為、+叁=1.

85—

題型三橢圓的幾何性質(zhì)

命題點(diǎn)1離心率

例3（2024.大慶模擬）已知橢圓C：5+《=1（49>0）的左、右焦點(diǎn)分別為Fi,尸2,B（0,b）,若經(jīng)過

R的弦A8滿足|4陰=忸4|，則橢圓C的離心率是（）

A.3B.遺

34

C.在D.在

34

答案A

解析由題可知|3片|=|用司=。，

|AFI|十|AF2|=2Q,

所以

\AF1\+a=\AF2\,

1伍|=與,

解得

1仍|=第

由COSNAF]F2+COS/BF|F2=0,

得償y+3戶管)2?a2+(2c)2—a2―

2-2C2a-2c

整理得〃=3c2,

所以0=;=T

思維升華求橢圓離心率或其范圍的方法

（1）直接求出a,c,利用離心率公式e=￡求解.

a

（2）由。與人的關(guān)系，利用變形公式e=J-捺求解.

⑶構(gòu)造a,c的方程.可以不求出a,c的具體值，而是得出a與c的關(guān)系，從而求得e.

命題點(diǎn)2與橢圓有關(guān)的范圍（最值）

例4（多選）已知橢圓三十。=1,Fi，歹2為左、右焦點(diǎn)，8為上頂點(diǎn)，P為橢圓上任一點(diǎn)，則（）

164

A.S^F通的最大值為4百

B.|PFi|的取值范圍是［4-2g，4+2百］

C.不存在點(diǎn)。使PF」P尸2

D"圳的最大值為2通

答案AB

解析對(duì)于A,依題意知。=4,力=2,c—2^3,當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，(5“戶］尸2)1皿=3乂20義/＞=4^^,故A

正確；

對(duì)于B,由橢圓的性質(zhì)知|PR|的取值范圍是［〃一。，a+c］,即［4一2次，4+2百］,故B正確；

對(duì)于C,sinZF5O=-=v＞所以，所以/尸歸尸2=*，即NRP尸2的最大值為空,最小值為0,

2a2333

所以存在點(diǎn)P使,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,設(shè)p(xo,Vo),

所以IPB尸J詔+(y°-2)2,

又4+q=1,所以以=16—4%,

所以儼用=J16-4%+(yo-2產(chǎn)

=1-3指-4y°+2O=J_3(yo+y+《,

又一2W)，oW2,故當(dāng)泗二一|時(shí)，|P/ax=Jf=卓，故D錯(cuò)誤.

思維升華與橢圓有關(guān)的最值或范圍問題的求解方法

(1)利用數(shù)形結(jié)合、幾何意義，尤其是橢圓的性質(zhì).

(2)利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù).

(3)利用不等式，尤其是基本不等式.

跟蹤訓(xùn)練3(1)(多選)已知橢圓［+［=1(0＜辰3)的左、右焦點(diǎn)分別為R,產(chǎn)2，過點(diǎn)P的直線/交橢圓

于人，“兩點(diǎn)，若|A網(wǎng)的最小值為4,貝4()

A.橢圓的短軸長(zhǎng)為歷

B.IABI+I8BI的最大值為8

C.離心率為千

D.橢圓上不存在點(diǎn)P,使得

答案BD

解析易知當(dāng)軸時(shí)，即線段A8為通徑時(shí)，|A8|最短，???依3|=字=4,解得〃=6，，橢圓方程為1

+—=1

6

對(duì)于A,橢圓的短軸長(zhǎng)為2/7=276，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,???△ABE的周長(zhǎng)為IA陰+|ABl+|BBI=|An|+|AF2|+由B|+|8B|=4〃=]2,且|4例疝=4,：.QAF2\

+|BF2|）max=12一依用min=8，故B正確；

對(duì)于C,*/c=Va2-b2=V3,a=3，，離心率e=-=竺，故C錯(cuò)誤；

a3

對(duì)于D,易知當(dāng)點(diǎn)P位于短軸端點(diǎn)時(shí)，N尸iPB最大,此時(shí)|Pai=|PBI=a=3,|FIF2|=2C=2V3,AcosZ

QFF2=Q",[2C）2=9O,又/尸產(chǎn)22為三角形內(nèi)角，???/尸/巳￡（0，日），

???橢圓上不存在點(diǎn)P,使得故D正確.

⑵已知橢圓C：W+誓=1（。>°）的左、右焦點(diǎn)分別為R，尸2,A為。上一動(dòng)點(diǎn)，則翳的取值范圍

Q/3Q/Mr2|

是.

答案分3]

解析設(shè)橢圓C的半焦距為c（c>0）,

貝ljC=J/_J02二），

1研|=2。-|伍1=2a_i

\AF2\~\AF2\—\AF2\'

因?yàn)閨八尸2|￡[。-c,a+c],

即|4同啡Q,溝，所以潦L需，3]，

即指的取值范圍是L，4

課時(shí)精練

【分值:90分]

IE知識(shí)過關(guān)

一、單項(xiàng)選擇題（每小題5分，共30分）

1.若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上且經(jīng)過點(diǎn)（-4,0）,焦距為6,則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.立+日=1BX+^=1

168167

/乃=1DY+乃=1

816716

答案B

解析由題意得。=4,2c=6，則c=3,h2=cr-c2=l,所以該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1+《=1.

167

2.若柄圓捺+?=1（〃>0）的離心率為手則該橢圓的半焦距為（）

A.1B.V3

C.3或百D.3或日

答案D

解析若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，則離心率e=W="，得/=12,此時(shí)半焦距；

a2

若橢圓的焦點(diǎn)在），軸上，則離心率6=*=內(nèi)，此時(shí)半焦距c=g.

所以該桶圓的半焦距為3或|.

3.設(shè)橢圓馬+馬=1（〃?>0,〃>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為Q（0,2）與尸2（0，—2）.若此橢圓上存在點(diǎn)P使得APaB

為正三角形，貝lJ〃P+〃2等于（）

A.4+2V3B.2V7

C.28D.36

答案C

解析由已知可得橢圓的焦點(diǎn)位于y軸上且|尸印=伊外|=|&&|=4,所以點(diǎn)P位于短軸的端點(diǎn)，且|PQ|+

|PB|=2〃=8,解得〃=4.又橢圓的半焦距c=2,所以加2=〃2—d=%,所以陰2+〃2=28.

4.（2024瀘州模擬）已知點(diǎn)P在橢圓C9+1一1上，。的左焦點(diǎn)為廣，若線段的中點(diǎn)在以原點(diǎn)O為圓

98

心，|。月為半徑的圓上，則|PF|的值為（）

A.2B.3

C.4D.8

答案C

解析因?yàn)闄E圓C:會(huì)+看=1,

所以"=3,/?=2^2,則c=1,

設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F/連接PQ,記線段的中點(diǎn)為Q,連接0Q,因?yàn)閨OF|=c=l,所以|OQ|=1,

因?yàn)?,。分別為尸K和/^的中點(diǎn)，

所以0Q〃為P,所以|尸網(wǎng)|=2。0=2,

又|PF]+|PFi|=2a=6,

所以|PF|=6一|PQ|=4.

5.已知夕為橢圓C：1+4=1（。>/>0）上一點(diǎn)，R,B分別為左、右焦點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，|P0|=4，且

|PF1|.|PF2|=V,則。的離心率為（）

4

A?B.i

44

C.—D.-

22

答案C

2

解析令F1（—c,0）,F2（C,0）,顯然點(diǎn)P不在X軸上，麗="所+職）,則4PO=PFf+pp2+

2|而||厄Icos/BPB,由余弦定理得IBF2|2=|Pa|2+|PF2|2-2|Pai|PB|cos/HPF2,因此41Pol2+|BB/=

2

2（|PF|+|PF2|）-4|PF,||PF2|,而儼公|+|PB|=2a,

于是BcJ+d/uZGa）?—34,整理得2<?=/,

則/=標(biāo)=：，又。<?<1,所以。的離心率e=孝.

6.已知橢圓C?+?=1的右焦點(diǎn)為RP為橢圓C上任意一點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（一|,則|H4|十|PF|

的最大值為（）

A.—B.5

O

oo

答案B

解析如圖，

設(shè)橢圓。的左焦點(diǎn)為F,（-l,0）,

因m，

所以點(diǎn)A在橢圓內(nèi)部.

由橢圓定義可得|PF|二4一|PQ|,

所以|PA|+|尸F(xiàn)|=4+|PA|-|PFi|W4+|Aa|

=4+\［（一*（T）f+（丁=4+1=5.

二、多項(xiàng)選擇題（每小題6分，共12分）

7.已知橢圓C；為+弓=1,且兩個(gè)焦點(diǎn)分別為B，心，，是橢圓C上任意一點(diǎn)，以下結(jié)論正確的是（）

1612

A.橢圓C的離心率為苧

B.ZXPFiB的周長(zhǎng)為12

C.|PQ|的最小值為3

DJPFiHPFd的最大值為16

答案BD

解析橢圓C：1十4=1,則a=4,b=26,c=Va2-b2=l.

1612

對(duì)于A,e=-=；，故A錯(cuò)誤；

a2

對(duì)于B,△PQB的周長(zhǎng)為|尸川+上川+/正2|=2〃+2c=12，故B正確；

對(duì)于C,|PQ|的最小值為〃-c=2，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,|P尸小|P尸2區(qū)更恥瞥2=。2=16,當(dāng)且僅當(dāng)|PA|=|PR|=4時(shí)等號(hào)成立，故D正確.

8.已知圓O：f+產(chǎn)3經(jīng)過橢圓C5+總=1（〃泌＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)R，B，且P為圓O與橢圓C在第一象

限內(nèi)的公共點(diǎn)，且的面積為1,則下列結(jié)論正確的是（）

A.橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2

B.橢圓C的短軸長(zhǎng)為2

C.橢圓C的離心率為

D.點(diǎn)P的坐標(biāo)為停，苧）

答案BD

解析因?yàn)閳A0：f+），=3經(jīng)過橢圓C：3+冒=1（公功＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)Fi,F：,所以c=6，又P為圓O

與橢圓。在第一象限內(nèi)的公共點(diǎn)，貝瓦「/2=：/同*="2怎*=1,故o=今，代入圓的方程可得;+

必=3,所以％=手，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為伴，手），故D正確；

將點(diǎn)P的坐標(biāo)俘，手）代入橢圓方程可得盤++=1,又〃2=〃2+c2f2+3,解得。=2,〃=1,故橢圓

C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,短軸長(zhǎng)為2,故A不正確，B正確；

則橢圓C的離心率6=￡=4，故C不正確.

a2

三、填空題（每小題5分，共10分）

9.已知橢圓C的焦點(diǎn)外都在x軸上，P為橢圓C上一點(diǎn)，的周長(zhǎng)為6,且|PB|，IBBI，|P6|

成等差數(shù)列，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

答案?+?=1

解析設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為。，半焦距為c,

依題意得產(chǎn)什明+正局=6

1|PFI|+|P6|=2|FIF2|,

（2a+2c=6,曰（a=2,

即，解得

（2a—4c,{c—1,

則橢圓的短半軸長(zhǎng)b=后二亞=再，

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為。+。=1.

43

10.設(shè)Q，6分別是橢圓氏9+捺=1（公＞/?0）的左、右焦點(diǎn)，過B的直線交橢圓E于P，。兩點(diǎn)，且

■LP。，|PBI=2|QBI，則橢圓E的離心率為.

答宰當(dāng)

解析設(shè)|QF2|=〃K〃》0）,

則甲同=2m,\PQ\=3m,

根據(jù)橢圓定義,\PFi\=2a-2m,\QF\\=2a-m,

又因?yàn)镻F」PQ,

所以在RtZiPQ。中,|PFI|2+|PQ2=|QF/2,

即（2。-2M2+（3m）2=（2〃一用）2,解得,〃=）

貝也刊引=|〃，伊川=》,

則在Rt△尸產(chǎn)國(guó)中,|PF2『十|PFI|2=|FIF21,

即(|a)2+(?2=(2。)2,

所以/=底=:-6=當(dāng)

四、解答題（共28分）

11.（13分）如圖所示，已知橢圓芍+]=1（4＞。＞0）,R,尸2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A為柄圓的上頂點(diǎn),

直線4F2交橢圓于另?點(diǎn)及

（1）若/BAB=90。,求橢圓的離心率：（6分）

（2）若橢圓的焦距為2,且麗=2用，求橢圓的方程.（7分）

解⑴若/~"=90。，則△A0B為等腰直角三角形，所以有|0川=|0月|,即b=c.

所以u(píng)=y/2c,故e=-=—.

a2

（2）由題意知4（0,b），尸2（1,0）,設(shè)3（x,y）,

,—，—?㈤（2。-1）=1,皿4[=|，

^AF=2FB，得I）解得《2

22hy=-b.[y=-^

代入式+z!=i得+工=1

、人Q2十/1,付4a2十41'

解得/=3.所以b2=a2—c2=3—\=2,

所以橢圓方程為蘭+乃=1.

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12.（15分）已知橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4,離心率是條

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（6分）

（2）若點(diǎn)尸在該橢圓上，F(xiàn),,尸2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，且NPMF2=120。，求△PFIB的面積.（9分）

2a=4,(a=2,

：=解得卜=V5,

)a2=b2^c2,(c=l,

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是?+?=1.

⑵由⑴知

|居Bl=2c=2,

在△戶QB中，由余弦定理得

12=IPFj|221200,

\PF2+|FIF2|-2|PFI|.|FIF2|-COS

即儼項(xiàng)2=儼臼F+4+2|P/R.