§5.5復(fù)數(shù)

【考試要求】1.通過方程的解，認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)2理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個(gè)復(fù)數(shù)

相等的含義.3.掌握里數(shù)的四則運(yùn)算，了解亞數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義.

■落實(shí)主干知識(shí)

【知識(shí)梳理】

1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

(1)復(fù)數(shù)的定義：形如b￡R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中且是復(fù)數(shù)z的實(shí)部，2是復(fù)數(shù)z的

虛部，i為虛數(shù)單位.

(2)復(fù)數(shù)的分類：

復(fù)數(shù)z=a+bi(a,

實(shí)數(shù)S三0)，

虛數(shù)3三0)(當(dāng)〃=0時(shí)為純虛數(shù)).

(3)復(fù)數(shù)相等：

a+bi=c+di<=>a=c且b=d(a,b,c,d￡R).

(4)共枕復(fù)數(shù)：

與c+Ji互為共視復(fù)數(shù)0a=c,b=d(a,b,c,d￡R).

⑸復(fù)數(shù)的模：

向量員的模叫做復(fù)數(shù)Z=G十歷的?；蚪^對(duì)伯,，記作|。十歷|或|刁,即憶|=以十歷|=N標(biāo)+分2”,

R).

2.復(fù)數(shù)的幾何意義

(1)復(fù)數(shù)z=a+Ai(〃，bWR)一復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(〃，b).

——jhrRu-?

(2)復(fù)數(shù)z=〃+bi3,/?GR)平面向量OZ.

3.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

(1)亞數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則:

設(shè)zi=a+/?i,Z2=c+di(a,b,c,1￡R),則

①加法：zi+z2=(“+〃i)+(c+Ji)=(a+c)+S+")i；

②減法：Z]—Z2=(a+)—(c+Ji)=(a—c)+(〃-d)i；

③乘法：Z|-Z2=(a+4i)=(ac,—Z?4)+(ad+bc)i；

z\a+bi(a+bi)(c-di)ac-\-bdbe-ad

④除法:W=Ei=(c+/)(c_d)=KZ+KZKc十小工())

(2)幾何意義；復(fù)數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形法則或二角形法則進(jìn)行.

如圖給出的平行四邊形0ZIZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義，即宓=厲+

OZ2,ZiZz=OZ2—0Z\.

【常用結(jié)論】

1.(1±i)——2i；..-i；.>.——i.

1—1I+1

2.—b+ai=i(a+》i)(a,b^R).

3產(chǎn)=],產(chǎn)〃+1=「*+2=_],i4〃+3=-i(〃￡N).

4.i4,:+i4w+,+i4tt+2+i4rt+3=0(〃GN).

5.復(fù)數(shù)z的方程在復(fù)平面上表示的圖形

(l)〃W|z|WA表示以原點(diǎn)。為圓心，以a和b為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)；

(2)|z—(“+歷)|=可=>0)表示以(a,b)為圓心,r為半徑的圓.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

(1)復(fù)數(shù)z=a一與3,〃仁R；中，虛部為4(X)

(2)復(fù)數(shù)可以比較大小.(X)

(3)已知z=i+歷3,b￡R),當(dāng)。=0時(shí)，復(fù)數(shù)z為純虛藪.(X)

(4)復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也就是復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量的

模.(J)

【教材改編題】

1.已知復(fù)數(shù)z滿足z(l+i)=2+3i,則在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案A

解析因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足z(l+i)=2+3i,

在N2+3i(2+3i)(l—i)5+i5」1.

所以Z~~~(l+i)(l-i)

所以在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的總位于第一象限.

2.若z=(〃?2+〃?-6)+(〃?-2)i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)，〃的值為.

答案一3

3.已知復(fù)數(shù)z滿足(3+4i).z=5(l—i),則z的虛部是.

答案-5

解析因?yàn)?3+4i>z=5(l—i),

缶I45(1—i)5(1—i)(3—4i)5(3—7i+4i?)5(—1—7i)」7.

所以z_TRf_(3+4i)(3_4i)_32-(4i)2-25

所以z的虛部為一:

J

■探究核心題型

題型一復(fù)數(shù)的概念

例I（1）（多選）（2023?濰坊模擬）已知復(fù)數(shù)z滿足團(tuán)=憶一1|=1,且復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限,

則下列結(jié)論正確的是（）

A.復(fù)數(shù)z的虛部為坐

」_在

Br，O1

C.?=z+l

D.復(fù)數(shù)z的共挽復(fù)數(shù)為一；+坐i

答案AB

解析設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi（ajWR）.

因?yàn)閳F(tuán)=憶一”=1,且復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，

小十〃=i,L=j,

所以，（〃—1）2+瓜=1,解得彳

〃>0,/?>0,卜=2，

對(duì)于A,復(fù)數(shù)z的虛部為號(hào)，故A正確;

。故B正確;

對(duì)于C,因?yàn)閅+哪=—；+坐iWz+1,故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,復(fù)數(shù)z的共舸復(fù)數(shù)為義一乎i,故D錯(cuò)誤.

⑵（2022?北京）若復(fù)數(shù)z滿足i-z=3-4i,則團(tuán)等于（）

A.-2B.-1C.1D.2

答案D

解析因?yàn)閕(l—z)=l,所以z=l—;=l+i,所以z=l—i,所以z+z=(l+i)+(l—i)=

2.故選D.

題型二復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

例2(1)(2022.全國(guó)甲卷)若z=—l+，5i,則一：;等于()

A.一1+小iB.-1-^31

C.」上an」_恒

3'3'—33'

答案C

z_—l+5i_一1+小L_14亞

解析

77—1(—1+V3i)(—I—小i)—1333

(2)(多選)(2022?福州模擬)設(shè)復(fù)數(shù)zi，Z2,Z3滿足Z3#0,且同|=國(guó)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.zi=±Z2B.z?=z2

C.Zi-23=22-23D.|Z「Z3|=|Z2.Z3|

答案ABC

解析取Z1=1—i,Z2=l+i,顯然滿足憶1|=比|=啦，但Z1WZ2,zi#—Z2,故A錯(cuò)誤；因?yàn)?/p>

z?=-2i,z?=2i,故B錯(cuò)誤；再取Z3=l,顯然C錯(cuò)誤.

思維升華(1)復(fù)數(shù)的乘法：復(fù)數(shù)乘法類似于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算.(2)復(fù)數(shù)的除法：除法的關(guān)鍵

是分子分母同乘以分母的共艇復(fù)數(shù).

跟蹤訓(xùn)練2(1)(2022?新高考全國(guó)ll)(2+2i)(l-2i)等于()

A.-2+4iB.-2-4i

C.6+2iD.6-2i

答案D

解析(2+2i)(l—2i)=2—4i+2i+4=6—2i,故選D.

(2)(2023?濟(jì)寧模擬)已知狂數(shù)z滿足zi3=l-2i,則T的虛部為()

A.1B.-1C.2D.-2

答案B

解析Vzi3=l-2i,

/.-zi=l-2i,

2=丁l-2i4(l-^2i)=i2書,

???z=2—i,

z的虛部為-1.

題型三復(fù)數(shù)的幾何意義

例3(1)(2023?文昌模擬)棣莫弗公式(cosx+isinx)n=cosztv+isin其中i為虛數(shù)單位)是由

法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗(1667—1754年)發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復(fù)數(shù)(cos襲+isin§7在復(fù)

平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案c

加

兀

兀

解析由已知得｝os|+isin看-+S776T-COS-一

6in66

—2-2b

???復(fù)數(shù)(cos看+isin*)7在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(一坐，一斗，位于第三象限.

(2)在復(fù)平面內(nèi)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，復(fù)數(shù)zi=i(—4+3i),Z2=7—i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為Zi,Z2,則NZiOZ?

的大小為()

，兀c2兀-3兀-5兀

A-3BTCTDV

答案c

解析Vzi-i(-4+3i)--3-4i,z2-7+i,

OZi=(—3,—4),OZ2=(7,1),

，瓦祝=一21—4=一25,

OZrOZi_~25

:.cosZZiOZz—

\OZi\\OZ2\5X5明

又NZ]0Z2￡[(),兀],AZZiOZ2=y.

(3)設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z,原點(diǎn)為O,i為虛數(shù)單位，則下列說法正確的是()

A.若|z|=l,則2=±1或r=±i

B.若|z+l|=l,則點(diǎn)Z的集合為以(1,0)為圓心,1為半徑的圓

C.若lW|z|Wp,則點(diǎn)Z的集合所構(gòu)成的圖形的面枳為兀

D.若|z-l|=|z+i|,則點(diǎn)Z的集合中有且只有兩個(gè)元素

答案C

解析若0=1,則點(diǎn)Z的集合為以原點(diǎn)為圓心，1為邛徑的圓，有無數(shù)個(gè)圓上的點(diǎn)與復(fù)數(shù)

對(duì)應(yīng)，故A錯(cuò)誤；

若|z+l|=l,則點(diǎn)Z的集合為以(一1,0)為圓心，1為半徑的圓，故B錯(cuò)誤；

若則點(diǎn)Z的集合為以原點(diǎn)為圓心，分別以I和啦為半徑的兩圓所夾的圓抓，所

2

以點(diǎn)Z的集合所構(gòu)成的圖形的面積為7cX(V2)-nX12=兀，故C正確；

若|z-l|=|z+i|,則點(diǎn)Z的集合是以點(diǎn)(1,0),(0,一1)為端點(diǎn)的線段的垂直平分線，集合中有

無數(shù)個(gè)元素，故D錯(cuò)誤.

思維升華由于且數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此可把金數(shù)、向量與解析幾

何聯(lián)系在一起，解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀.

跟蹤訓(xùn)練3(1)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(l—i)z=2i,則z在復(fù)平面為對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案B

解析由Z=^=(]**，=_]+i,故Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為

所以Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的原位于第二象限.

(2)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足憶一1|=2,z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為丁)，則()

A.(x-l)2+r=4B.(A+I)2+/=4

C.f+G，-1)2=4D.W+G，+1戶=4

答案A

解析z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x,y),則復(fù)數(shù)z=x+yi。，y￡R)，則|z—l|=|(x-l)+y|=2,

由復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可得Q—1尸十丁=4.

(3)已知復(fù)數(shù)z滿足|z+i|=|z—i|,則|z+1+2i|的最小值為()

A.IB.2C.小D.小

答案B

解析設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z,

因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足|z+i|=|z-i|,所以由復(fù)數(shù)的幾何意義可知，點(diǎn)Z到點(diǎn)(0,-1)和(0,1)的距離

相等，

所以在復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z的軌跡為入軸，

又|z+l+2i|表示點(diǎn)Z到點(diǎn)(一1,一2)的距離，

所以問題轉(zhuǎn)化為x軸上的動(dòng)點(diǎn)Z到定點(diǎn)(一1,一2)距離的最小值，

所以|z+l+2i|的最小值為2.

課時(shí)精練

B基礎(chǔ)保分練

1.（2022?浙江）已知小bWR,a+3i=（b+i）i（i為虛數(shù)單位）,則（）

A.a=\,b=-3B.a=—1,b=3

C.a=—\,b=-3D.fl=l,b=3

答案B

解析S+i）i=-l+/?i,則由〃+3i=-l+/?i,得。=一1,b=3,故選B.

2.（2022?濟(jì)南模擬）復(fù)數(shù)2=仔］（為虛數(shù)單位）的虛部是（）

A.-IB.IC.-iD.i

答案A

露赤田為22（1—i）2（1—i）?

解析因?yàn)閺S2Tf

所以復(fù)數(shù)z的虛部為一1.

3.（2023?煙臺(tái)模擬）若復(fù)數(shù)z滿足（l+2i）z=4+3i,則三等于（）

A.-2+iB.-2-i

C.2+iD.2-i

答案C

解析由（1+2i）z=4+3i=z=^^=,t：&；二;：；=2—i,所以》=2+i.

4.（2023?焦作模擬）復(fù)數(shù)z=k；-i5在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案C

解析因?yàn)?=彳_|5=（2+以27）-=^^_1=_5_1，

所以z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的總為（一/一位于第三象限.

5.（2022?西安模擬）已知復(fù)數(shù)z滿足（l-i）2z=2-4i,其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)3的虛部為

（）

A.1B.-1C.iD.-i

答案B

2-4i2-4i2i+4

解析由題意，化簡(jiǎn)得z==2+i,則z=2-i,

(1-i)2--2i-2

所以復(fù)數(shù)z的虛部為一1.

6.（2022.臨沂模擬）已知復(fù)數(shù)2=曰，i為虛數(shù)單位，則|z|等于（）

A.2^/2B.2小C.2小D.2#

答案C

(2+6i)(l+i)(2+6i)(l+i)

解析=(l+3i)(l+i)=-2+4i,||=^4+16=2^5.

22

7.（2023?蚌埠模擬）非零復(fù)數(shù)z滿足z=一力，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.實(shí)軸B.虛軸

C.第一或第三象限D(zhuǎn).第二或第四象限

答案C

解析由題意.設(shè)z=〃+歷（a.b￡R）.

故z=-zi<=>。一切=—(。+歷)i=—ai+b,

即復(fù)數(shù)z=a+〃i,在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一或第三象限的角平分線上.

I）?

8.（2022.文昌模擬）已知復(fù)數(shù)z=—（a￡R，i是虛數(shù)單位）的虛部是一3,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面

內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限D(zhuǎn).第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案D

a+2i?i+2i2

解析由題意，—2—ai的虛部是一

2i23,

所以z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為Q,—3）,在第四象限.

9.i是虛數(shù)單位，設(shè)（1+i>v=1+yi,其中x,y是實(shí)數(shù)，則盯=，卜+刈=

答案I也

x=l,

解析因?yàn)?l+i)x=1+yi,所以x+xi=l+yi,即所以工=y=l,

所以xy=1,|x+yi|=11+i|=W+1=啦.

10.(2022?濰坊模擬)若復(fù)數(shù)z滿足z-i=2—i,則|z|=

答案事

解析由Z-i=2—i,得7=『一心9

-i2=-l-2i,

???|Z|=、(_])2+(_2)2=#.

0綜合提升練

11.歐拉公式*=cos8+isin上其中e=2.718…,i為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)

立，該公式建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，在復(fù)變函數(shù)論中占有非常重要的地位，被譽(yù)

為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)歐拉公式，下列結(jié)論中正確的是（）

A.*的實(shí)部為0

B.e?在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第?象限

C.|ei0|=l

D.泗的共規(guī)復(fù)數(shù)為1

答案C

解析對(duì)于A,e~=cos兀+isin兀=—1,則實(shí)部為-1,A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,e2i=cos2+isin2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（cos2,sin2）,

Vcos2<0,sin2>0.

???e2i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,|eifl|=|cos。+isin切=^cos26>+sin2^=1,C正確：

對(duì)于D,ein=cosn+isinn,則其共扼復(fù)數(shù)為cos兀一isin笈=-1,D錯(cuò)誤.

12.（多選）（2022?濟(jì)寧模擬）己知復(fù)數(shù)zi=-2+i（i為虛數(shù)單位）,復(fù)數(shù)z2滿足防一1+2"=2,z2

在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M（x,），），則下列說法正確的是（）

A.復(fù)數(shù)均在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限

C.(X+1)2+(>'-2)2=4

D.D-Zi|的最大值為34+2

答案ABD

解析對(duì)于A,復(fù)數(shù)均在受平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(一2,1),該點(diǎn)位于第二象限，故A正確;

I1t2~~i*?|

對(duì)于丁=-—江聲―故正確：

B,z\—2+1(―24-i)(—92——~iT)=—57—57i,B

對(duì)于CZ2—1+2i=(x—l：i+(y+2)i,

V|z2-l+2i|=2,

???(%—1)2+()，+2)2=4,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,zi—l+2i=-3+3i,

則同一14-2i|=V(-3)2+32=3V2.

Iz2-zil=l(z2-l+2i)-(zi-l+2i)|W|z2—1+2i|+?—1+2i|=2+3&,故D正確.

13.若復(fù)數(shù)（x—3）+），i（x,j，￡R）的模為2,則+的最大值為（）

A邛B半潛D.j

答案A

解析因?yàn)閺?fù)數(shù)。-3）+）”（工，『WR）的模為2,

所以（工一3）2+）2=4,

表示以（3,0）為圓心，2為半徑的圓，如圖所示,

《表示過原點(diǎn)和圓上的點(diǎn)（x,y）的直線的斜率，由圖可知，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，!取得最值,

設(shè)切線方程為尸人則得7=2,解得「

所以9的最大值為羋.

ab

凡