第二章有理數(shù)的運算一新定義型及規(guī)律探究題型總結(jié)練

20251026學年上學期初中數(shù)學人教版(2024)七年級上冊

一、有理數(shù)運算中的程序問題

1.按如圖所示的程序計算，若開始輸入的數(shù)為0,則最后輸出的結(jié)果為

2.如圖所示的是一個簡單的數(shù)值運算程序.當輸入x的值為4時，輸出的值為一.

I輸(-96)|~^[7(-0.25)1義*輸出/

3.按照如圖所示的一個數(shù)值轉(zhuǎn)換程序，若輸入機的值是-2,則輸出的結(jié)果是.

輸入一?nf-5+3—?X(-2)—?輸出

4.小明同學編寫了一個加密數(shù)據(jù)的代碼，如圖是這個加密代碼的運算程序，按照這個運算程序，

當原始數(shù)據(jù)x=X時.加密后的數(shù)據(jù)是253：當原始數(shù)據(jù)x=4。時.加密后的數(shù)據(jù)是235.如果輸入的

原始數(shù)據(jù)x是正整數(shù)，加密后的數(shù)據(jù)是217,那么原始數(shù)據(jù)/的值可以是.

二、古代中的有理數(shù)運算問題

5.如圖是中國古代“洛書”的一部分，洛書中用實心點或空心點的個數(shù)表示數(shù)字，縱、橫、斜三

條線上的三個數(shù)字，其和皆相等，則右下角代表的數(shù)是—.

洛書

6.我國古代《易經(jīng)》一書中記載，遠古時期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)繩記數(shù)如

圖，一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿七進一，用來記錄孩子自出生后的天數(shù)，如圖1,

孩子出生后的天數(shù)=3X72+1X7\6=147+7+6=160(天)，請根據(jù)圖2,計算孩子自出生后的天數(shù)

圖1圖2

7.第十四屆國際數(shù)學教育大會(ICME-14)會徽的土題圖案有著豐富的數(shù)學元素，展現(xiàn)了我國

古代數(shù)學的文化魅力，其右下方的“卦”是用我國古代的計數(shù)符號寫出的八進制數(shù)3745.八進制是以8

作為進位基數(shù)的數(shù)字系統(tǒng)，有。?7共8個基本數(shù)字.八進制數(shù)3745換算成十進制數(shù)是

3X8?+7X82+4X8,+5X8()=2021,表示ICME-14的舉辦年份.則十進制數(shù)2025換算成人進制數(shù)

是.(注：8°=1)

虧

8.我國古代《易經(jīng)》一書中記載，遠古時期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)繩記數(shù)”.一

位書生堅持每天五更起床讀書，為了勉勵自己，他用“結(jié)繩記數(shù)''的方法來記錄自己讀書的天數(shù)，如圖

1是他從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿六進一，表示的天數(shù)為51天(1x6+2x6+3=51),按同

樣的方法.圖2表示的天數(shù)是.

"Tn■-onn

圖1圖2

三、有理數(shù)運算中的新定義型問題

9.對于有理數(shù)。，/?,定義運算：a^b=-a2+ab,如2⑼=—22+2x1=-2.

⑴計算(-5)23的值；

(2)計算口8(-3)]?(-2)的值.

10.定義一種新運算“△”：a/^b=b2-ab,例如：￡(-2)=(—27—1x(—2)=4+2=6.計算：

(1)(-3)4-5)；

11.對于任意有理數(shù)小從我們定義一種新運算“※”,規(guī)定：c^b=a2-ab+b2,如:

(-2)^3=(-2)2-(-2)X3+32=19.

⑴求(-8)※(-5)的值；

(2)求(一求※(3X2)的值.

12.定義新運算：〃*〃=■!■-2，〃③力=4(右邊的運算為平常的加、減、乘、除).

abab

例如：3*7=

37213x721

若則稱有理數(shù)4,匕為“隔一數(shù)對

例如：2*3號小22齒3=七4203=2*3,所以2,3就是一對“隔一數(shù)對，，.

(1)下列各組數(shù)是“隔一數(shù)對”的是(請?zhí)钚蛱?.

4,1

①a=——,b=——

33

②。=-1,b=\.

⑵計算：(-3)*4-(-3慮4

(3)已知兩個連續(xù)的非零整數(shù)都是“隔一數(shù)對”.

計算：1③2+2③3+3③4+4③5+3+2023③2024.

四、有理數(shù)運算中的規(guī)律探究問題

II1111

13.觀察下列等式：

2x3233x434

11

把以上三個等式兩邊分別相加得:---+----+++

1x22x33x4~22~33~4~~4~4

這種求和的方法稱為裂項求和法:裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項分解，然后重新組合，使之能

消去一些項，最終達到求和的目的.規(guī)律應用:

111

計算:---+----+---+???+能的值?

1x22x33x4

14.【觀察思考】觀察下列等式

1,1I11111111

=1~~"",

1^222x3233x434

將以上三個等式兩邊分別相加得:

-L+-L+」L-=3

1x22x33x42233444

【探索規(guī)律】

]

(1)猜想并寫出:

?(/?+1)

(2)直接寫出下列各式的計算結(jié)果:

11

+-L+」+

1x22x33x4+...2023x2024

【遷移運用】

…2222

(3)--+-~--I---+???

1x33x55x72023x2025

15.在有些情況卜，不需要計算出結(jié)果也能把絕對值符號去掉.

例如：|6+7|=6+7,|6-7|=7-6,|7-6|=7-6||-6-71=6+7.

A.-4B.8C.4D.-8

3.樂樂在數(shù)學學習中遇到了神奇的“數(shù)值轉(zhuǎn)換機“，按如圖所示的程序運算，如果輸入1,則輸

出的結(jié)果是（）

4.1B.-5D.13

4.定義一種對正整數(shù)〃的，,尸'運算：①當〃為奇數(shù)時，尸（〃）=3〃+1；②當〃為偶數(shù)時，廣（〃）=M

（其中A是使*〃）為奇數(shù)的正整數(shù)），兩種運算交替進行，例如，取〃=12,則有

按此規(guī)律繼續(xù)計算,則第2025次"””運算的結(jié)果是

()

A.1B.3C.4D.5

5.如圖1,八卦圖是中國古代傳下來的圖形，八卦各有三爻（y4。），“乾、坤、鹿、我、坎、

離、艮、兌“分立八方，分別代表“天、地、雷、風、水、火、山、澤”八種性質(zhì)與自然現(xiàn)象，世間萬

物皆可分類歸至八卦之中，它亦是二進制與電子計算機的古老始祖.易經(jīng)八卦中陰爻用中斷線表

示或數(shù)字“0”表示，陽爻用連線“一”表示或數(shù)字“1”表示.十進制的有理數(shù)“3”可以用圖2中八卦符號表

示的是（）

答案

一、有理數(shù)運算中的程序問題

I.解：開始輸入的數(shù)為()，

解：Ox22-(-5)=O+5=5<8返回繼續(xù)運算；

5*22-(-5)=20+5=25>8輸出結(jié)果；

故答案為：25

2.解：當x=4時.

4X(-96)X(-0.25)X±-(-1)

=4x(—96)x(力京+1

=4x96x—x—+1

448

=2+1

=3,

故答案為：3.

3.解:[(-2)2-5+3]X(-2)

=(4-5+3)x(-2)

=2x(-2)=T,

故答案為：-4.

4.解：如果輸入的原始數(shù)據(jù)”是正整數(shù)，加密后的數(shù)據(jù)是217,

則(217+5)+6=37；

(37+5)-6=7;

(7+5)+6=2；

故答案為：2或7或37.

5.解：最左邊的一列三個數(shù)字和為4+3+8=15,

???山最下面一行數(shù)字可得右下角代表的數(shù)是1581=6,

故答案為：6.

6.解：由題意得，圖2,計算孩子自出生后的天數(shù)=2x72+3x71+4=98+21+4=⑵,

故答案為：123.

7.解：3X83+7X82+5x8'+1x8°=2025，

???十進制數(shù)2025換算成八進制數(shù)是3751.

故答案為:3751.

8.解：圖2表示的天數(shù)是：1x63+2x62+3x6+2=308

故答案為：308.

三、有理數(shù)運算中的新定義型問題

9.(1)解：依題意得：

(-5)@3=-(-5)2+(-5)X3

=-25-15

=-40；

(2)解：[l?(-3)]0(-2)

=[-12+1X(-3)]?(-2)

=(-1-3)@(-2)

=5(-2)

=-(Y)2+(T)X(—2)

=-16+8

=—8.

10.(1)解：(-3)A(-5)

=(-5)2-(-3)X(-5)

=25-15

=10；

(2)解：f-^A4

(jAli

42-4x——△-

I2)3

=18A-

3

心)-184

53

=----

9.

11.⑴解:(一8)※(一5)=(—8)、(—8)X(—5)+(—5)2

=64-40+25

=49.

所以(-8)※(-5)的值為49.

(2)解：3X2=3?-3x2+2?

=9-6+4

=7；

(-5)^7=(-5)2-(-5)X7+72

=25+35+49

=109.

所以(-5法(3派2)的值為109.

41

12.(1)@Va--—,b-

3939

/.?*/?=——+3=—,??Z?=——x(-3)=—

4444

/.a?b=a&b,

①是“隔一數(shù)對”

?,?a=-l,b=\

：.a*h=-\—\=-2,6/0/?=—1x1=—1

a?b^a*b

???②不是“隔一數(shù)對''

故答案為：①

⑵原H-31X4

111

-3-4+12

2

(3)原式=——+——+——+…+----------

1x22x33x42023x2024

ZZ]--1--——

2233420232024

=1—

2024

2023

-2024

四、有理數(shù)運算中的規(guī)律探究問題

1111

13.-----H--------+------+???+------------

1x22x33x499x100

1I

+------------

99100

100

99

100

111I1

14.(1)解:一=1——,——

1x222x3

111

-----------=------------

/?(/1+1)nn+\

故答案為：:一生?

⑵解「,++白+￡+

+2023x2024

一1+1---1-+1--1---

2233420232024

1

2024

2023

2024

2222

⑶解:一十一+…

1x33x55x72023x2025

I

3355720232025

2025

2024

2025

15.解：(1)①|(zhì)7—21|=21—7；

1441

②—+?

2552,

③看777

而一萬18

41

故答案為：21-7；---

J4n~~\s

(2)①解：原式：15()1

557-2

1_

5

故答案為：-g;

②解：原式二L'LL'」+…---L+J___L

2334452022202320232024

__1

-2-2024

1011

=2024

16.(1)十〃=卜+4,

/.?3?(-4)=|3+(-4)|=1；@(-4)?3=|(-4)+3|=l；

17

12

由以上運算可得，“絕佳”運算滿足交換律；

1717

故答案為：①1,②1,③立，④五；滿足;

(2)①:a十8=|。+可，

3十%=|3+4=7,

二3+x=7或3+工=-7,

x=4或工=-10；

②Va?b=\a+t\,

(-3)?x=|-3+;t|,x十彳=0+H=國,

(-3饞X=不十工=卜3+彳=|2凡,

:.一3+x=2x或一3十人=一2人,

解得犬=-3或x=l；

故答案為：①4或TO；②1或-3：

(3)十人=卜+可，

???6十(-7)=|6+(-7)|=1,I十(-8)=|1+(-8)|=7,

???[6?(-7)]0(-8)=7；

V(-7)e(-8)=|-7+(-8)1=15,6e15=|6+15|=21

???6十[(一7)十(—8)]=21

???等式[6十(-7)]十(-8)=6十](-7)創(chuàng)-8)]不成立，

???“絕佳”運算不滿足結(jié)合律.

拓展練

1.解：:a※)=ab-ab,

，-隰2024

=(-1)2024-(-1)x2024

=1+2024

=2025,

故選：D.

2.解：㈠陷=(T)x2+2:=-8+4=T,

故選：A.

3.解:若輸入1，則

[1x3-(-2)](-1)3

=(3+2)+(-1)

=-5<-4,

即輸出的結(jié)果是-5.

故選：B

4.解：若〃=12,

第I次結(jié)果為：3,

第2次結(jié)果是