2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——多元統(tǒng)計(jì)分析在市場(chǎng)研究中的應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共15分。請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）1.在市場(chǎng)研究中，若需要對(duì)多個(gè)顧客滿意度指標(biāo)進(jìn)行降維，以減少變量數(shù)量并保留主要信息，最適合使用的多元統(tǒng)計(jì)方法是（）。A.聚類分析B.判別分析C.主成分分析D.因子分析2.已知某市場(chǎng)研究通過因子分析提取了兩個(gè)主要因子，因子載荷矩陣如下（部分）：F1=（0.8，0.3，0.1）；F2=（0.1，0.7，0.9）。這表明變量X3主要受哪個(gè)因子的影響？（）A.因子1B.因子2C.兩個(gè)因子均顯著影響D.兩個(gè)因子均顯著影響較小3.進(jìn)行市場(chǎng)細(xì)分時(shí)，若希望將顧客根據(jù)多種特征（如年齡、收入、消費(fèi)習(xí)慣等）劃分為不同的群體，以發(fā)現(xiàn)不同顧客群的需求差異，應(yīng)優(yōu)先考慮使用（）。A.因子分析B.主成分分析C.聚類分析D.對(duì)應(yīng)分析4.在對(duì)消費(fèi)者的品牌偏好（分類變量）與其對(duì)廣告不同媒介的接觸頻率（分類變量）進(jìn)行分析時(shí)，最適合采用的多元統(tǒng)計(jì)方法是（）。A.多元回歸分析B.聚類分析C.對(duì)應(yīng)分析D.判別分析5.費(fèi)歇爾判別分析的主要目標(biāo)是（）。A.降低數(shù)據(jù)維度B.發(fā)現(xiàn)潛在因子結(jié)構(gòu)C.將不同總體的樣本盡可能分開D.描述變量之間的相關(guān)性二、填空題（每小題4分，共20分。請(qǐng)將答案填在題后的橫線上）6.多元統(tǒng)計(jì)分析中，衡量數(shù)據(jù)離散程度的常用指標(biāo)除了協(xié)方差矩陣外，還有________。7.主成分分析是通過線性變換將原始變量組合成少數(shù)幾個(gè)綜合變量（主成分），這些主成分能夠________。8.因子分析的主要目標(biāo)是揭示原始變量背后的潛在結(jié)構(gòu)，即假設(shè)原始變量是少數(shù)幾個(gè)不可觀測(cè)的________的線性組合。9.聚類分析中，常用的距離度量方法包括歐氏距離、曼哈頓距離和________。10.判別分析的核心思想是構(gòu)造一個(gè)或多個(gè)判別函數(shù)，使得不同類別的樣本在函數(shù)值上的差異________，而同類樣本之間的差異________。三、簡(jiǎn)答題（每小題8分，共32分）11.簡(jiǎn)述在市場(chǎng)研究中應(yīng)用主成分分析的步驟及其主要目的。12.解釋因子分析中“因子載荷”的含義，并說明如何根據(jù)因子載荷矩陣初步判斷因子含義。13.簡(jiǎn)述市場(chǎng)研究中進(jìn)行聚類分析的典型流程，并說明如何評(píng)估聚類結(jié)果的合理性。14.比較因子分析與聚類分析在市場(chǎng)研究應(yīng)用中的主要區(qū)別。四、計(jì)算題（共20分）15.某市場(chǎng)研究收集了三個(gè)變量（X1,X2,X3）的數(shù)據(jù)，經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化處理后得到的相關(guān)系數(shù)矩陣為R。假設(shè)對(duì)該矩陣進(jìn)行了特征值分解，得到特征值λ1=2.8,λ2=1.1,λ3=0.1（已排序），總方差為3。請(qǐng)計(jì)算第一主成分的方差貢獻(xiàn)率和累計(jì)方差貢獻(xiàn)率，并說明保留第一主成分大約能保留原始信息量的多少。五、應(yīng)用題（共33分）16.某公司為了解其核心產(chǎn)品的顧客滿意度，對(duì)隨機(jī)抽取的100名顧客進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查內(nèi)容包括產(chǎn)品質(zhì)量（X1）、價(jià)格合理性（X2）、售后服務(wù)（X3）三個(gè)維度，評(píng)分范圍為1-5分。研究者希望運(yùn)用因子分析方法探究顧客滿意度的潛在結(jié)構(gòu)，并構(gòu)建一個(gè)綜合滿意度指數(shù)。假設(shè)經(jīng)過數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化和KMO檢驗(yàn)、巴特利特球形度檢驗(yàn)后，進(jìn)行了因子分析，得到如下因子載荷矩陣（部分）：F1=（0.82，0.75，0.60）F2=（0.15，-0.30，0.55）（注：實(shí)際分析中可能存在更多因子或載荷，此處為簡(jiǎn)化示例）請(qǐng)根據(jù)上述因子載荷矩陣信息：(1)初步解釋每個(gè)因子可能代表的含義。(2)如果研究者決定只提取兩個(gè)因子，并采用最大方差旋轉(zhuǎn)法，請(qǐng)說明旋轉(zhuǎn)后因子載荷矩陣可能發(fā)生的變化趨勢(shì)。(3)基于提取的因子，闡述如何構(gòu)建一個(gè)包含這兩個(gè)因子權(quán)重的綜合滿意度指數(shù)。試卷答案一、選擇題1.C2.B3.C4.C5.C二、填空題6.協(xié)方差矩陣7.最大程度8.公共因子9.馬氏距離10.最大；最小三、簡(jiǎn)答題11.步驟：①對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理；②計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)矩陣；③對(duì)相關(guān)系數(shù)矩陣進(jìn)行特征值分解，得到特征值和特征向量；④根據(jù)特征值的大小，選取前k個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，構(gòu)造主成分；⑤計(jì)算主成分得分。目的：降維，減少變量個(gè)數(shù)，同時(shí)保留原始數(shù)據(jù)的大部分信息；提取數(shù)據(jù)的主要變異方向；簡(jiǎn)化后續(xù)分析。12.因子載荷表示第i個(gè)原始變量與第j個(gè)因子之間的相關(guān)程度（或影響程度）。載荷的絕對(duì)值越大，說明該變量與對(duì)應(yīng)因子的關(guān)系越密切，該因子對(duì)解釋該變量的變異貢獻(xiàn)越大。初步判斷因子含義時(shí)，可以看每個(gè)變量在不同因子上的載荷大小，載荷大的表明該變量是解釋該因子含義的主要指標(biāo)。13.流程：①確定聚類目標(biāo)（如細(xì)分市場(chǎng)）和樣本；②選擇聚類變量并進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化；③選擇聚類方法（如K-means）；④確定聚類數(shù)目K（如根據(jù)輪廓系數(shù)）；⑤進(jìn)行聚類分析得到各樣本的類別歸屬；⑥分析各聚類群的特征（如計(jì)算群內(nèi)均值）；⑦評(píng)估聚類結(jié)果的合理性（如內(nèi)部指標(biāo)如輪廓系數(shù)，外部指標(biāo)如與已知分類比較，業(yè)務(wù)合理性判斷）。評(píng)估合理性需結(jié)合市場(chǎng)知識(shí)和業(yè)務(wù)目標(biāo)，看聚類結(jié)果是否能解釋實(shí)際的市場(chǎng)差異。14.區(qū)別：①目的不同：因子分析旨在發(fā)現(xiàn)潛在因子結(jié)構(gòu)，解釋變量間的共變關(guān)系；聚類分析旨在將樣本根據(jù)相似性分組，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中的自然分類。②結(jié)果不同：因子分析輸出因子載荷和因子得分；聚類分析輸出樣本的類別歸屬。③基礎(chǔ)不同：因子分析基于變量相關(guān)系數(shù)矩陣；聚類分析基于樣本間距離或相似度。四、計(jì)算題15.第一主成分的方差貢獻(xiàn)率=λ1/(λ1+λ2+λ3)=2.8/(2.8+1.1+0.1)=2.8/4.0=0.7。累計(jì)方差貢獻(xiàn)率=λ1/(λ1+λ2+λ3)=0.7。保留第一主成分大約能保留原始信息量的70%。五、應(yīng)用題16.(1)F1因子：X1（產(chǎn)品質(zhì)量）、X2（價(jià)格合理性）、X3（售后服務(wù)）的載荷都較大且為正，說明F1可能代表一個(gè)綜合的“顧客滿意度”因子，這三個(gè)維度都對(duì)它有重要貢獻(xiàn)。F2因子：X2（價(jià)格合理性）載荷為負(fù)，X3（售后服務(wù)）載荷為正，X1（產(chǎn)品質(zhì)量）載荷很小，說明F2可能代表一個(gè)側(cè)重于“價(jià)格與服務(wù)平衡”或“非價(jià)格因素偏好”的因子，顧客可能更看重價(jià)格或售后服務(wù)中的某一個(gè)方面。(2)旋轉(zhuǎn)后，同個(gè)變量在不同因子上的載荷會(huì)發(fā)生變化，載荷向0和±1的方向移動(dòng)。載荷較大的方向（絕對(duì)值接近1）更能代表該變量所屬的因子含義。例如，X2的載荷可能會(huì)變得更加負(fù)向，更清晰地分離出價(jià)格敏感性的維度。(3)構(gòu)建綜合滿意度指數(shù)：首先確定兩個(gè)因子的方差貢獻(xiàn)率（如題目已給出，分別為0.7和0.275）。如果決定只使用這兩個(gè)因子，則綜合指數(shù)應(yīng)包含這兩個(gè)因子?？梢院?jiǎn)單地將