幻燈片1：封面標(biāo)題：15.3.2含30度角的三角形副標(biāo)題：探索特殊角度三角形的邊角關(guān)系背景圖：左側(cè)展示含30°

角的直角三角尺（標(biāo)注30°、60°、90°），右側(cè)呈現(xiàn)由等邊三角形拆分而成的兩個(gè)含30°

角的直角三角形（標(biāo)注30°

角對邊與斜邊的關(guān)系），直觀關(guān)聯(lián)“等邊三角形”與“含30°

角的直角三角形”?；脽羝?：學(xué)習(xí)目標(biāo)理解含30°

角的直角三角形的特殊性質(zhì)（30°

角所對的直角邊等于斜邊的一半），掌握性質(zhì)的推導(dǎo)過程。能運(yùn)用含30°

角的直角三角形的性質(zhì)解決線段長度計(jì)算、幾何證明及實(shí)際應(yīng)用問題。了解含30°

角的非直角三角形的特點(diǎn)，能結(jié)合三角形內(nèi)角和與等腰三角形性質(zhì)分析其邊角關(guān)系。經(jīng)歷“推導(dǎo)—驗(yàn)證—應(yīng)用”的過程，培養(yǎng)邏輯推理與幾何應(yīng)用能力，體會特殊與一般的數(shù)學(xué)思想?；脽羝?：導(dǎo)入——從等邊三角形拆分引出特殊三角形復(fù)習(xí)回顧：回顧等邊三角形的性質(zhì)（三邊相等、三角均為60°），展示一個(gè)等邊△ABC，提問：若過頂點(diǎn)A作BC邊上的高AD，將等邊三角形分成兩個(gè)直角三角形，這兩個(gè)直角三角形有什么特殊角度？（引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：∠BAD=30°，∠B=60°，∠ADB=90°，即含30°

角的直角三角形）。提出問題：在拆分后的Rt△ABD中，∠BAD=30°，它所對的直角邊BD與斜邊AB有什么數(shù)量關(guān)系？（結(jié)合等邊三角形“AB=BC=2BD”，引導(dǎo)學(xué)生猜想“BD=1/2AB”），引出本節(jié)課核心——含30°

角的直角三角形的性質(zhì)?；脽羝?：含30°

角的直角三角形的性質(zhì)推導(dǎo)推導(dǎo)依據(jù)：利用等邊三角形的性質(zhì)與直角三角形的定義進(jìn)行推導(dǎo)。推導(dǎo)過程：已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°。推導(dǎo)步驟：延長BC至D，使CD=BC，連接AD（構(gòu)造全等三角形）。在△ABC和△ADC中：\(\begin{cases}BC=CD（構(gòu)造）,\\∠ACB=∠ACD=90°（已知）,\\AC=AC（公共邊）,\end{cases}\)∴△ABC≌△ADC（SAS），故AB=AD，∠B=∠D=60°。由∠B=∠D=60°，AB=AD，可知△ABD是等邊三角形（有一個(gè)角是60°

的等腰三角形是等邊三角形），故AB=BD。又∵BD=BC+CD=2BC（CD=BC），∴AB=2BC，即BC=1/2AB。性質(zhì)總結(jié)：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。符號語言：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∠A=30°，∴BC=1/2AB（或AB=2BC）。實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證：用含30°

角的直角三角尺測量（如三角尺斜邊AB=10cm，30°

角對邊BC=5cm），驗(yàn)證“BC=1/2AB”，確保性質(zhì)的準(zhǔn)確性。幻燈片5：含30°

角的直角三角形的性質(zhì)應(yīng)用1——線段長度計(jì)算例題1：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，斜邊AB=8cm，求BC和AC的長度。分析：由性質(zhì)得BC=1/2AB，再用勾股定理求AC。解答：∵∠C=90°，∠A=30°，AB=8cm，∴BC=1/2AB=1/2×8=4cm（含30°

角的直角三角形性質(zhì)）。在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=√(AB2-BC2)=√(82-42)=√48=4√3cm。例題2：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=5cm，求斜邊AB和直角邊BC的長度。分析：∠B=30°，其對邊是AC，故AC=1/2AB，先求AB，再用勾股定理求BC。解答：∵∠C=90°，∠B=30°，AC是∠B的對邊，∴AC=1/2AB（性質(zhì)），故AB=2AC=2×5=10cm。由勾股定理得：BC=√(AB2-AC2)=√(102-52)=√75=5√3cm。幻燈片6：含30°

角的直角三角形的性質(zhì)應(yīng)用2——幾何證明例題3：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，∠A=30°，求證：CD=1/2AB=BC。分析：先由性質(zhì)得BC=1/2AB，再利用“直角三角形斜邊中線等于斜邊一半”得CD=1/2AB，從而證得CD=BC。證明：∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴BC=1/2AB（含30°

角的直角三角形性質(zhì)）?！摺螦CB=90°，CD是斜邊AB的中線，∴CD=1/2AB（直角三角形斜邊中線性質(zhì)）?！郈D=BC（等量代換）。例題4：如圖，在等邊△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若AB=4cm，求BE的長度。分析：先由等邊三角形性質(zhì)得BD=2cm，∠B=60°，再在Rt△BDE中，∠BDE=30°，利用性質(zhì)求BE。解答：∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，∴BD=1/2BC=1/2×4=2cm，∠B=60°?！逥E⊥AB，∴∠BED=90°，在Rt△BDE中，∠BDE=90°-60°=30°。∴BE=1/2BD=1/2×2=1cm（含30°

角的直角三角形性質(zhì)）?；脽羝?：含30°

角的非直角三角形的特點(diǎn)角度與邊的關(guān)系：已知含30°

角的非直角三角形，結(jié)合三角形內(nèi)角和180°，設(shè)∠A=30°，則∠B+∠C=150°，需結(jié)合其他條件（如等腰、邊相等）分析邊的關(guān)系。示例1：在△ABC中，∠A=30°，∠B=30°，則∠C=120°，△ABC是等腰三角形（AB=AC），可通過作高拆分出含30°

角的直角三角形，計(jì)算邊的長度（如AB=AC=2，高AD=1，BC=2√3）。示例2：在△ABC中，∠A=30°，∠B=100°，則∠C=50°，非等腰三角形，需用正弦定理（初中暫不深入）或作高轉(zhuǎn)化為直角三角形分析。解題思路：含30°

角的非直角三角形，可通過“作高”構(gòu)造含30°

角的直角三角形，利用特殊性質(zhì)計(jì)算線段長度，體現(xiàn)“轉(zhuǎn)化”思想?；脽羝?：含30°

角的三角形的實(shí)際應(yīng)用例題5：如圖，某登山隊(duì)在登山過程中，遇到一個(gè)坡度為30°

的斜坡（斜坡與水平面的夾角為30°），若隊(duì)員沿斜坡向上攀登了100米，求隊(duì)員上升的垂直高度（即30°

角對邊的長度）。分析：斜坡、垂直高度與水平面構(gòu)成含30°

角的直角三角形，斜邊為攀登距離，垂直高度為30°

角對邊。解答：設(shè)垂直高度為h米，由含30°

角的直角三角形性質(zhì)得：h=1/2×100=50米，故隊(duì)員上升的垂直高度為50米。例題6：如圖，一個(gè)含30°

角的直角三角形零件，其中∠C=90°，∠A=30°，BC=5cm，現(xiàn)需加工該零件，求斜邊AB的長度及另一直角邊AC的長度（結(jié)果保留根號）。解答：∵∠C=90°，∠A=30°，BC=5cm，∴AB=2BC=10cm（性質(zhì)），AC=√(AB2-BC2)=√(102-52)=5√3cm，故斜邊AB為10cm，直角邊AC為5√3cm?；脽羝?：易錯(cuò)點(diǎn)辨析與注意事項(xiàng)易錯(cuò)點(diǎn)1：混淆“30°

角所對的邊”：示例：在Rt△ABC中，∠A=30°，誤將∠A的鄰邊當(dāng)作“等于斜邊一半”的邊（如認(rèn)為AC=1/2AB，實(shí)際BC=1/2AB）。糾正：明確“30°

角所對的直角邊”——直角邊與30°

角直接相對（無公共頂點(diǎn)），可通過“角與邊的對應(yīng)關(guān)系”判斷（如∠A=30°，對邊是BC；∠B=60°，對邊是AC）。易錯(cuò)點(diǎn)2：忽略“直角三角形”的前提條件：誤區(qū)：在非直角三角形中誤用“30°

角所對的邊等于斜邊一半”（如在含30°

角的鈍角三角形中，認(rèn)為30°

角對邊等于某邊的一半）。強(qiáng)調(diào)：該性質(zhì)僅適用于“直角三角形”，非直角三角形中無此特殊邊角關(guān)系，需通過作高轉(zhuǎn)化為直角三角形后再應(yīng)用。易錯(cuò)點(diǎn)3：計(jì)算時(shí)忘記結(jié)合勾股定理：示例：已知含30°

角的直角三角形斜邊，僅求出30°

角對邊，忽略求另一直角邊（如已知AB=8cm，只算BC=4cm，未算AC=4√3cm）。提醒：若題目要求求所有邊的長度，需結(jié)合“性質(zhì)”和“勾股定理”完整計(jì)算，避免遺漏。幻燈片10：課堂練習(xí)——分層鞏固基礎(chǔ)練習(xí)1：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，斜邊AB=12cm，求∠B所對的直角邊AC的長度（答案：6cm）。基礎(chǔ)練習(xí)2：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=3cm，求AB和AC的長度（答案：AB=6cm，AC=3√3cm）。提升練習(xí)3：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC，交AC于D，若AD=2cm，求CD的長度（提示：∠ABD=∠DBC=30°，故AD=BD=2cm，CD=1/2BD=1cm）。拓展練習(xí)4：如圖，在等邊△ABC中，邊長為6cm，點(diǎn)E、F分別在AB、AC上，且DE⊥BC，DF⊥BC，垂足為D、D（此處修正為DE⊥AB，DF⊥AC），求DE+DF的長度（提示：DE=DF=(3√3)/2cm，和為3√3cm）。幻燈片11：課堂小結(jié)核心知識：含30°

角的直角三角形的特殊性質(zhì)：30°

角所對的直角邊等于斜邊的一半（僅適用于直角三角形）。性質(zhì)推導(dǎo)：由等邊三角形拆分與全等三角形證明得出，可通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。應(yīng)用場景：計(jì)算線段長度（已知斜邊求30°

角對邊，或反之）；幾何證明（結(jié)合直角三角形斜邊中線、等邊三角形性質(zhì)）；實(shí)際問題（斜坡高度、零件尺寸計(jì)算）。解題思路：遇含30°

角的直角三角形，優(yōu)先用“30°

角對邊=1/2斜邊”簡化計(jì)算；遇含30°

角的非直角三角形，通過作高構(gòu)造直角三角形，再應(yīng)用性質(zhì)；計(jì)算時(shí)結(jié)合勾股定理，確保邊的長度求解完整?；脽羝?2：課后作業(yè)如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10cm，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，求CD和BC的長度。已知一個(gè)含30°

角的直角三角形，斜邊長為16cm，求該三角形的面積（結(jié)果保留根號）。如圖，在△ABC中，∠B=30°，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BD=2cm，求BC的長度（提示：∠BAD=∠DAC=30°，故AD=BD=2cm，CD=1cm，BC=3cm）。觀察生活中含30°

角的三角形物體（如屋頂支架、梯子與地面的夾角），測量相關(guān)邊長，驗(yàn)證“含30°

角的直角三角形性質(zhì)”，寫出測量報(bào)告。2024人教版數(shù)學(xué)八年級上冊授課教師：

.班級：

.

時(shí)間：

.

15.3.2含30度角的三角形第十五章

軸對稱aiTujmiaNg1.通過畫圖活動和折紙活動，進(jìn)一步體會等邊三角形的對稱性，訓(xùn)練學(xué)生的直觀想象能力.2.通過學(xué)生自主探究掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì)，會運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算與證明，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力.3.通過學(xué)生猜想和歸納結(jié)論的過程，滲透轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力和邏輯推理能力.重難點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)2.這個(gè)特殊的直角三角形相比一般的直角三角形有什么不同之處，它有什么特殊性質(zhì)？1.等邊三角形是軸對稱圖形，若沿著其中一條對稱軸折疊，能產(chǎn)生什么特殊圖形？想一想:新課導(dǎo)入如下圖，將兩個(gè)相同的含30°角的三角尺擺放在一起，你能借助這個(gè)圖形找到Rt△ABC的直角邊BC與斜邊AB之間的數(shù)量關(guān)系嗎？含30°角的直角三角形的性質(zhì)知識點(diǎn)問題1：分離拼接ACB將一張等邊三角形紙片，沿一邊上的高對折，如圖所示，你有什么發(fā)現(xiàn)？問題2：ABCD如圖，顯然，△ADC與△ABC關(guān)于AC成軸對稱圖形，因此AB=AD,∠BAD=2×30°=60°，從而△ABD是一個(gè)等邊三角形.再由AC⊥BD,可得BC=CD=AB.性質(zhì)：

在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.你還能用其他方法證明嗎？已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.求證：BC=AB．ABC證明：延長BC到D，使BD=AB，連接AD.在△ABC

中，∵∠C=90°，∠A=30°,∴∠B=60°．∴△ABD

是等邊三角形．又∵AC⊥BD,ABCD

證明方法：倍長法∴BC=AB．

∴BC=

BD．

方法一：方法點(diǎn)撥

倍長法就是延長得到的線段是原線段的正整數(shù)倍，即1倍、2倍……倍長法EABC證明：在BA上截取BE=BC，連接EC.

∵∠B=60°，BE=BC.∴△BCE是等邊三角形，∴∠BEC=60°，BE=EC.∵∠A=30°，∴∠ECA=∠BEC–∠A=60°–30°=30°.∴AE=EC，∴AE=BE=BC，∴AB=AE+BE=2BC.∴BC=AB．

證明方法：截半法方法二：方法點(diǎn)撥在證明中，在較長的線段上截取一條線段等于較短的線段就是截半法.截半法含30°角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.∵在Rt△ABC

中，∠C=90°，∠A=30°，歸納總結(jié)應(yīng)用格式：∴

BC=AB．

ABC例1

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜邊AB上的高，AD＝3cm，則AB的長度是(

)A．3cmB．6cmC．9cmD．12cmD利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求線段的值A(chǔ)BCD注意：運(yùn)用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求線段長時(shí)，要分清線段所在的直角三角形．解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜邊AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的長度是12cm.△ABC中，AB=AC，∠C=30°,DA⊥BA于A，BD=9.6cm，則AD=.4.8cmBCDA新課講解如圖∠C=90°，D是CA的延長線上的一點(diǎn)，∠BDC=15°，且AD=AB，則BC=AD.BCDA新課講解例2如圖，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，則PD等于(

)A．3B．2C.1.5D．1C解析：如圖，過點(diǎn)P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.E歸納總結(jié)含30°角的直角三角形與角平分線、垂直平分線的綜合運(yùn)用時(shí)，關(guān)鍵是尋找或作輔助線構(gòu)造含30°角的直角三角形．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=4．則BD=

.1ABCD

新課講解已知:等腰三角形的底角為15°,腰長為20.求腰上的高.解:過點(diǎn)C作CD⊥BA,交BA的延長線于點(diǎn)D.∵∠B=∠ACB=15°

(已知),∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°，ACBD15°15°20))∴CD=AC=×20=10.新課講解例3

如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，過點(diǎn)D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分線．CD與DB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．解：理由如下：∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°.∵DE是∠ADB的平分線，∴∠ADE＝∠BDE.又∵DE＝DE，∴△AED≌△BED(ASA).在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.∵∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.∴CD＝AD＝BD，即CD＝DB.歸納總結(jié)含30°角的直角三角形的性質(zhì)是表示線