專題3.8函數(shù)與方程

新課程考試要求理解函數(shù)零點(diǎn)的概念.

培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象(例1)、數(shù)學(xué)運(yùn)算(例3.4.5等)、邏輯推理(例5.6)、數(shù)據(jù)分析

核心素養(yǎng)

(例3.4)、直觀想象(例2.7—11)等核心數(shù)學(xué)素養(yǎng).

1.分段函數(shù)與函數(shù)方程結(jié)合；

2.二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與方程結(jié)合.

考向預(yù)測(cè)

3.常常以基本初等函數(shù)為載體，結(jié)合函數(shù)的弱象，判斷方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)，或

利用函數(shù)零點(diǎn)確定參數(shù)的取值范圍等.也可?與導(dǎo)數(shù)結(jié)合考查.題目的難度起伏較大.

【知識(shí)清單】

1.函數(shù)的零點(diǎn)

(1)函數(shù)零點(diǎn)的概念

對(duì)于函數(shù)y=f(x),把使r(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f{x)的零點(diǎn).

(2)函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

方程/(%)=0有實(shí)數(shù)根=函數(shù)尸f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)<=>函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn).

2.零點(diǎn)存在性定理

如果函數(shù)y=/U)滿足：①在區(qū)間口，句上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線；②/(a)：/S)<();則函數(shù)y=/(x)在3,

力上存在零點(diǎn)，即存在c￡(mb),使得Hc)=0,這個(gè)c?也就是方程"r)=0的根.

特別提醒兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)；

(1)函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn),是方程f6:)=0的實(shí)根.

(2)函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理只能判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的變號(hào)零點(diǎn)，而不能判斷函數(shù)的不變號(hào)零點(diǎn),而且連

續(xù)函數(shù)在一個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)處函數(shù)值異號(hào)是這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上存在零點(diǎn)的充分不必要條件.

【考點(diǎn)分類剖析】

考點(diǎn)一：求函數(shù)的零點(diǎn)

l,x>()

【典例1】(2021?全國(guó)高三其他模擬)設(shè)xwR,定義符號(hào)函數(shù)sgnx=<0,x=0,則方程/$g[]]=2x一1

-l,x<0

的解是()

A.1B.-1-72

C.1或一[一&D.1或一1+夜或一1一夜

【答案】c

【解析】

根據(jù)符號(hào)函數(shù)的定義，分三種情況討論化簡(jiǎn)方程，然后解方程即可.

【詳解】

解：當(dāng)x〉0時(shí)，方程dsgnx=2x-l可化為犬二2工一1,

化簡(jiǎn)得(無(wú)一1『=(),解得x=l；

當(dāng)x=0時(shí)，方程/sgnx=2工一1可化為0=—1,無(wú)解；

當(dāng)工<0時(shí)，方程fsgnx=2x-l可化為一f=2v-i,

化簡(jiǎn)得f2+2x—1=0，解得x=-l+J^(舍去)或_r=—1—

綜上，方程不飛811工=2X-1的解是1或一1一夜.

故選：C.

【典例21(2020?上海高三三模)函數(shù)/*)=舊個(gè)，，如果方程/(%)=〃有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解芭、

[(x-2),x>l

冗2、與、Z，則％+々+工3+工4=.

【答案】4

【解析】

作出函數(shù)?二，■的圖象，

(x-2)_,x>1

方程/3)=匕有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，

等價(jià)為y=/(x)和y=b的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，

不妨設(shè)它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$、與、與、匕，

且，

由工I、/關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，工3、%關(guān)于(2,美對(duì)稱,

可得玉+工2=0，/+14=4,

則x}+x2+x3+x4=4.

故答案為：4.

【總結(jié)提升】

1.正確理解函數(shù)的零點(diǎn)：

⑴函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)，當(dāng)自變量取該值時(shí)，其函數(shù)值等于零.

(2)根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)定義可知，函數(shù)負(fù)x)的零點(diǎn)就是a0=0的根，因此判斷一個(gè)函數(shù)是否有零點(diǎn)，有幾個(gè)零點(diǎn)，

就是判斷方程7U)=0是否有實(shí)根，有幾個(gè)實(shí)根.即函數(shù))，=/*)的零點(diǎn)0方程yu)=o的實(shí)根o函數(shù))，=")

的圖象與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

2.函數(shù)零點(diǎn)的求法：

(1)代數(shù)法：求方程貝x)=0的實(shí)數(shù)根.

(2)幾何法：與函數(shù))，=火幻的圖象段系起來(lái)，圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)的零點(diǎn).，

【變式探究】

1.(2019?四川高考模擬(理))已知函數(shù)/'(%)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)xNO時(shí)，/(X)=x(x-4),則

方程/(%)=f(2-%)的所有解的和為()

A.4+V3B.1C.3D.5

【答案】C

【解析】

V/小)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)％NO時(shí)，f(x)=x(x-4)

???當(dāng)x<0時(shí),-x>0

則/(-x)=-x(-X-=-f(x)

即/(x)=—xG+4x<0

則外吟=儼1)，NN。

人J八町tr(x+4),x<0

作出/(x)的圖象如圖：

【典例3】(2021?北京清華附中高三其他模擬)函數(shù)/(x)=ln/+R-6的零點(diǎn)一定位于區(qū)間()

A.(2,3)B,(3,4)C.(4,5)D.(5,6)

【答案】C

【解析】

根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，若在區(qū)間(凡3有零點(diǎn)，則/(辦/(〃)<0,逐?檢驗(yàn)選項(xiàng)，即可得答案.

【詳解】

由題意得/(x)=lnx+x-6為連續(xù)函數(shù)，且在(0,+◎單調(diào)遞增，

/(2)=in2-4<0,/(3)=In3-3<0,/(4)=ln4-2<ln^2-2=0,/(5)=ln5-l>lne-1=0,

根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，/(4)-/(5)<0,

所以零點(diǎn)一定位于區(qū)間(4,5).

故迄C

【典例4】(2020?海豐縣彭湃中學(xué)高一期末)函數(shù)/(幻=［？-；x+1()的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間為()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)

【答案】I)

【解析】

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=—d—gx+10在"上單調(diào)遞減，

八2)=1>0,/⑶<0,

所以零點(diǎn)所在的大致區(qū)間為(2,3)

故選:D

【規(guī)律方法】

判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間有三種方法：

①解方程，直接求出零點(diǎn)；②利用零點(diǎn)存在定理，判斷零點(diǎn)所在區(qū)間；③圖象法，觀察交點(diǎn)所在區(qū)間.

特別提醒：在判斷一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上不存在零點(diǎn)時(shí)，不能完全依賴函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理，要綜合函

數(shù)性質(zhì)進(jìn)行分析判斷.

【特別提醒】

二分法只能求出連續(xù)函數(shù)變號(hào)零點(diǎn)，另外應(yīng)注意初始區(qū)間的選擇，依據(jù)給出的精確度，計(jì)算時(shí)及時(shí)檢驗(yàn).

【變式探究】

1.(2021.寧夏高三其他模擬(文))函數(shù)/&)=/十/一9的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】B

【解析】

根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，由/(x)=F+/—9為增函數(shù)，帶入相關(guān)數(shù)值判斷即可得解.

【詳解】

由F為增函數(shù)，/為增函數(shù)，

故/(制="+丁—9為增函數(shù)，

由，(l)=e-8v0,

/(2)=(?2-1>0,

根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可得3x0e(1,2)使得/(%)=0,

故選:B.

2.(2020?鄲城縣實(shí)驗(yàn)高中高一月考)如圖是函數(shù)Ax)的圖象，它與*軸有4個(gè)不同的公共點(diǎn).給出的下列

C.[1.9,2.3]D.[5,6.1]

【答案】C

【解析】

結(jié)合圖象可得：ABD選項(xiàng)每個(gè)區(qū)叵的兩個(gè)端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)，可以用二分法求出零點(diǎn),

C選項(xiàng)區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)函數(shù)值同號(hào)，不能用二分法求零點(diǎn).

故選:c

考點(diǎn)三：判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

2—IxI2

【典例5］(天津高考真題)已知函數(shù)/(X)=''"'，函數(shù)字、,二3?/(27),則函數(shù)

(x-2),x>2

v=/(A)-g(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【解析】

當(dāng)x<0時(shí)2-x>2,所以/(%)=2—|x|=2+x,f(2-x)=x2,此時(shí)函數(shù)/(%)—g(x)=f(x)+f(2-x)-

3=%2+%-1的小于零的零點(diǎn)為x=-竽;當(dāng)0WxW2時(shí)/Xx)=2-|x|=2-x,/(2-x)=2-|2-

x\=x,函數(shù)f(%)-g(x)=2-x+x-3=-1無(wú)零點(diǎn);當(dāng)x>2時(shí),/(x)=(%-2)2,/(2-x)=2-|2-

x|=4-x,函數(shù)f(x)-g(x)=(X-2)2+4-X-3=X2-5X+5大于2的零點(diǎn)為％=苧,綜上可得函數(shù)

y=f(x)-g。)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2.故選A.

【典例6】(2020?山東省高三二模)已知圖象連續(xù)不斷的函數(shù)/(工)的定義域?yàn)镽/(x)是周期為2的奇

函數(shù)，>=|/(力］在區(qū)間卜山上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則“X)在區(qū)間［0,2020］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.5050B.4041C.4040D.2020

【答案】B

【解析】

由函數(shù)/(力的定義域?yàn)椤ㄉ系钠婧瘮?shù)，可得/(0)=0,

又由》=|/(刈在區(qū)間［T，1］上恰有5個(gè)零點(diǎn)，

可得函數(shù)/(X)在區(qū)間［TO)和。1］內(nèi)各有2個(gè)零點(diǎn)，

因?yàn)槭侵芷跒?,所以區(qū)間(L2］內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，且/⑵=0,

即函數(shù))(X)在區(qū)間(0,2］內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn),

2()2()

所以“X)在區(qū)間［0,2020］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為f-x4+1=4041個(gè)零點(diǎn).

故選:B.

【規(guī)律方法】

判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法：

1.直接法：即直接求零點(diǎn)，令人幻=0,如果能求出解?，則有幾個(gè)不同的解就有幾個(gè)零點(diǎn)；

2.定理法：利用零點(diǎn)存在性定理，不僅要求函數(shù)的圖象在區(qū)間僅，村上是連續(xù)不斷的曲線，且

還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)

3.圖象法：即利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，畫出函數(shù)人幻的圖象，函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)凡I)

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；將函數(shù)yu)拆成兩個(gè)函數(shù)〃a)和g。)的差，根據(jù)yu)=o0力a)=g。)，則函數(shù)人工)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就

是函數(shù)y=〃(x)和y=g(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

4.性質(zhì)法：即利用函數(shù)性質(zhì)，若能確定函數(shù)的單調(diào)性，則其零點(diǎn)個(gè)數(shù)不難得到：若所考查的函數(shù)是周期函數(shù)，

則只需解決在一個(gè)周期內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【變式探究】

1.(2020.開(kāi)原市第二高級(jí)中學(xué)高三月考)函數(shù)=X￡(0,+co)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是().

x

A.0B.IC.2D.3

【答案】A

【解析】

根據(jù)函數(shù)定義域，結(jié)合零點(diǎn)定義，即可容易判斷和求解.

【詳解】

由于爐>0，—>0,

x

因此不存在xe(0,-8)使得f(x)=x2+-=0,

X

因此函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn).

故選：A.

2.(2020?江蘇省高三其他)設(shè)用表示不超過(guò)實(shí)數(shù)，的最大整數(shù)(如[—1.3]=—2,[2.6]=2),則函數(shù)

/(A)=|2x-l|-[x]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_____.

【答案】2

【解析】

函數(shù)f(x)=|2.r-l|-[.v]的零點(diǎn)即方程|2x-1|=[x]的根,

?.?函數(shù)/(力的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即方程|21-1|=3的根的個(gè)數(shù).

,/|2x-1|>0,/.[x]>0,x>0.

當(dāng)OWxv1時(shí)，[x]=0,「.|2x-1|=O,.，.x=：.

當(dāng)工=1時(shí)，[旬=1,，|2_1-1|=1,，2工一1二1或2工一1=—1,//=1或元=0（舍）.

當(dāng)」>1時(shí),|2%-1卜24-1>行國(guó)，.?.方程|2公1|=國(guó)無(wú)解.

綜上，方程|217=卜]的根為1.

所以方程|2"1|=印有2個(gè)根,即函數(shù)八#=口一】卜國(guó)有2個(gè)零點(diǎn).

故答案為：2.

考點(diǎn)四：函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用

【典例7】（2020?雞澤縣第一中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)/（戈）二/一產(chǎn)+2,'""，若"X）恰好有

-x+3,x>m

2個(gè)零點(diǎn)，則機(jī)的取值范圍是（）

A.（2,3]B.[2,3）

C.[1,2）U[3,田）D.（1,2]」3,y）

【答案】C

【解析】

2

令弘=x-3x+2,y2=-x+3,因?yàn)榉匠蘤一3工+2=0的兩根為X=Lx2=2,

所以在同一直角坐標(biāo)系卜作出函數(shù)凹=f-3x+2,必=一工+3的圖象如圖所示：

由圖可知，當(dāng)lK〃z<2時(shí)，函數(shù)/（X）恰有兩個(gè)零點(diǎn)，圖象如圖所示:

綜上可知，所求實(shí)數(shù)加的取值范圍為[L2)[3,-8).

故選：C

【典例8](2021.河南新鄉(xiāng)市.高三三模(文))已知函數(shù)/(0=k2+3%+1.若關(guān)于，的方程/(尢)一小=。

恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，則。的取值范圍是()

A.(1,5)B.[1,5]C.(1,5)50}D.[l,5]u{0}

【答案】C

【解析】

首先討論x=0,在xwO時(shí)，利月分離參數(shù)的思想，畫出y=x+'+3的圖像，利用數(shù)形結(jié)合判斷出答案.

X

【詳解】

當(dāng)七=0時(shí)，/⑼=1中0,故x=0不是方程/(X)-4X=0的根，

當(dāng)工工0時(shí),由，(x)—。|目=。得,Ci=X+-+3,

X

方程/（另一。國(guó)=°恰有兩個(gè)不同的實(shí)根等價(jià)于直線產(chǎn)〃與函數(shù)/=X+-+3的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn),

.X

作出函數(shù)y=/（x）的大致圖像如圖所示，

【典例9】（2021.全國(guó)高三其他模擬）若函數(shù)/"）二|爛4（'-1）''>1存在2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)用的取值范

[-3-myx<\

圍為（）

A.[-3,0）B,[-1,0）C.[0,1）D.[-3,+00）

【答案】A

【解析】

分段函數(shù)/U）在（1,+8）上單調(diào)遞增，且有一個(gè)零點(diǎn)，在（-8,1]上用數(shù)形結(jié)合法探討有i個(gè)零點(diǎn)即可得解..

【詳解】

因函數(shù)）x）在（1,+8）上單調(diào)遞增,且x2）=0,即?r）在（1,+8）上有一個(gè)零點(diǎn)，

困數(shù)/（力=?0^。一"：”存在2個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)於）在卜8，I]有一個(gè)零點(diǎn)，

-3-m,x<\

爛1時(shí)，/（x）=0o〃z=-3、，即函數(shù)y=-3"在（@,1]上的圖象與直線廣〃?有一個(gè)公共點(diǎn)，

在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線產(chǎn)小和函數(shù)），=-3、（1工1）的圖象，如圖:

而）,二一3、在G8,1]上單調(diào)遞減，且有一34一3'<:0,則直線尸〃和函數(shù)y=-3（E?l）的圖象有一個(gè)公共

點(diǎn)，-3<0.

故選：A

【典例10】（2021?奉新縣第一中學(xué)高三三模（文））已知函數(shù)〃尤）=<?,\:八若方程

72X2-12X+19,X>2,

/（力―。=0的實(shí)根之和為6,則。的取值范圍為（）

A.（1,3]B.[1,3]C.（1,4]D.（3,4）

【答案】A

【解析】

作出了（幻圖象，求方程/（“一。=0的實(shí)根之和為6,即求丁=/（外與）'=〃圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為6,

分別討論el、lvav2、〃=2、2<。<3、3<。<4和方4時(shí)），=〃圖象與y=/（x）圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)及性

質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，即可得答案.

【詳解】

作出/3）圖象，如圖所示

求方程/（“一。=。的實(shí)根之和為6,即求丁=f（x）與y=[圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為6,

當(dāng)后1時(shí)，y=a圖象與y=/a）圖象只有一個(gè)交點(diǎn)（3,1）,不滿足題意：

當(dāng)lv〃v2時(shí)，圖象與y=f（x）圖象有2個(gè)交點(diǎn)，且從左至右設(shè)為公修，

由圖象可得N，/關(guān)于戶3對(duì)稱，所以上玉=3,即％+9=6,滿足題意；

乙

當(dāng)4=2時(shí)，y=a圖象與y=圖象有3個(gè)交點(diǎn)，且（0,2）為最左側(cè)交點(diǎn)，

設(shè)y=。與y=f（x）圖象另外兩個(gè)交點(diǎn)為牛馬，由圖象可得X用夫于戶3對(duì)稱，

所以五產(chǎn)=3,即王+%=6,滿足題意；

當(dāng)2<。<3時(shí)，丁=。圖象與），=/1）圖象有4個(gè)交點(diǎn)，從左至右設(shè)為司,馬，不，匕，由圖象可得入，W關(guān)

于D對(duì)稱，所以再+/二。，

毛，^關(guān)于入=3對(duì)稱，所以“=3,即毛+々=6,滿足題意；

當(dāng)3<〃<4時(shí)，y="圖象與y=f（x）圖象有3個(gè)交點(diǎn)，由圖象可得不滿足題意；

當(dāng)心4時(shí)，y=。圖象與y=/（/）圖象有2個(gè)交點(diǎn)，由圖象可得不滿足題意；

綜上：。的取值范圍為Iva?3.

故選：A

【典例11】【多選題】（2021?江蘇泰州市?高三其他模擬）已知c>a,若函數(shù)/（x）=Y-2x+〃有兩個(gè)零

點(diǎn)、c,d,g（x）=|lnx|-d有兩個(gè)零點(diǎn)a,。，則下列選項(xiàng)正確的有（）

A.d<b<\B.a+b>2cd

C.ad>beD.log^olog,,J

【答案】AB

【解析】

由已知分析得選項(xiàng)A正確，利用基本不等式證明選項(xiàng)B正確；利用不等式性質(zhì)得到選項(xiàng)C錯(cuò)誤，利用作差

法得到選出D錯(cuò)誤.

【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)/（戈）=/一2%+力有兩個(gè)零點(diǎn)孰4,

所以△=4-4/?>0,bv1,所以c+d=2,cd=bv1,

令g(x)InxI=0,所|Inx\=d有兩個(gè)零點(diǎn):a,b,

因?yàn)閏>a,「.c>1,所以O(shè)vdvL

因?yàn)閐=2<〃，所以選項(xiàng)A正確；

c

因?yàn)橐籌n〃=J,Ina=d,Ina+In/?=0,/.\n(ab)=0,「.ab=1,

所以a+〃〉2y[ab=2,因?yàn)閏d=b<1,/.2cd<2,

所以a+〃>2cd,所以選項(xiàng)BiE確；

[i|；^c>6/>0,Z?>d>O,.-.Z?c>cicl,所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤：

log,c-logfcd=log--log?d=log/-log“-=log.cd=logt//?<(),

；d

所以log.c<log,d,所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選:AB

【規(guī)律方法】

已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路：

(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.

【變式探究】

log[(x+l),xN0,

1.12021?廣東茂名市?高三二模)已知函數(shù)3若函數(shù)g(x)=/a)T-〃有且只

f(x+\),x<0,

有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值可以是()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【解析】

作出函數(shù)“X)的圖象如下圖所示，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)“力的圖象與直線y=x+a有兩個(gè)不同的交點(diǎn),

根據(jù)圖示可得實(shí)數(shù)4的取值范圍.

【詳解】

作出函數(shù)/(x)的圖象如下圖所示，令g(x)=/(x)—x-a=O,即/(x)=x+a,

所以要使函數(shù)g(x)=/(x)—x—a有且只有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則需函數(shù)/(x)的圖象與直線)二工+。有兩

個(gè)不同的交點(diǎn)，

根據(jù)圖示可得'丈數(shù)。的取值范圍為(一1，0］，

2.(2021?黑龍江大慶市?鐵人中學(xué)高三其他模擬(理))已知函數(shù)f(大)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí),

y_1

f(x)=—,給出下列命題：

e

①當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=(x+l)e\

②函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn)：

③/(x)<0的解集為(-A-1］J(0,1］；

x?eR,都有|/(x)-/(w)歸2.

其中正確的命題是()

A.①④B.②③C.?@D.@?

【答案】A

【解析】

對(duì)于①，利用奇偶性求XV。時(shí)的解析式即可判斷；對(duì)于②，直接求出零點(diǎn)即可判斷；對(duì)于③，直接解不等

式，得到解集即可判斷；對(duì)于④，用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，結(jié)合圖象求出/(X)的值域即可判斷.

【詳解】

y_1

解：函數(shù)/(x)定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，=—,下面逐一判斷：

對(duì)千①，當(dāng)x<0時(shí)，則一x>0,所以—/(X)=/(-1)=三二，

e

整理得/(x)=(x+l)/，故①正確;

對(duì)于②，當(dāng)x>0時(shí)，由/(x)===0可得x=l,即41)=0,故/(-1)=一/⑴=0,又函數(shù)/(X)

e

在上=0處有定義，故〃0)=0,故函數(shù)“X)有3個(gè)零點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，當(dāng)x>0時(shí)，則/(司=二，。的解集為當(dāng)工<0時(shí)，f(x)-(x+l)/KO的解集為

e

當(dāng)x=0時(shí)，/(0)=040成立.

故的解集為故③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，當(dāng)x<0時(shí)，//(x)=ex(x+2),

所以x<—2時(shí)，有廣(力〈0,—2<x<0時(shí)，有/'(x)>0，

所以函數(shù)/(力在(-8,-2)上單調(diào)遞減，在(-2,0)上單調(diào)遞增，

所以X=_2時(shí)/(X)取得最小值一"2,且4<-2時(shí)，，f(x)<0,

一2cx<0時(shí)，所以/(一2)</(耳</(0)=1,即——2</(可<1,

可作大致圖象如下，再根據(jù)對(duì)稱性作久>0時(shí)的大致圖象，

綜上/<0時(shí)，/(x)值域?yàn)閇一11)，當(dāng)了>0時(shí)，〃力值域?yàn)?―I,1],而"0)=0

所以f(x)的值域?yàn)?T1).

故X,w￡R，都有一1</（%）<1,-1<-/（%）<1,即一2</（王）一/仇）<2,|/（百）一/（七）|<2,

故|/（百）一〃再）歸2,即④正確.

故選：A.

3.【多選題】（2021?湖南雅禮中學(xué)高三二模）關(guān)于函數(shù)/（“）=1111/—"II,下列描述正確的有（）

A.函數(shù)/（X）在區(qū)間（1,2）上單調(diào)遞增

B.函數(shù)y=/（x）的圖象關(guān)于直線1=2對(duì)稱

C.若用工9，但/（xj=/（w），則內(nèi)+工2=4

D.函數(shù)/（另有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)

【答案】ABD

【解析】

畫出函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像分析判斷即可

【詳解】

函數(shù)/（x）=|ln|2-x||的圖像如圖所示：

由圖可得：函數(shù)/（x）在區(qū)間（1,2）上單調(diào)遞增，故A正確；

函數(shù)）'=/（x）的圖像關(guān)于直線x=