第10講帶電粒子的臨界和多解問題（復習篇）

一?模塊導航?——

曲考點聚焦：復習要點+知識網(wǎng)絡，有的放矢

B重點專攻：知識點和關(guān)鍵點梳理，查漏補缺

難點強化：難點內(nèi)容標注與講解，能力提升

提升專練：真題感知+提升專練，全面突破

?》考點聚焦--------------------------------------------------

3重點專攻--------------------------------------------------

知識點1：帶電粒子在有界磁場中的臨界問題

帶電粒子在有邊界的磁場中運動時，由于邊界的限制往往會出現(xiàn)臨界問題.解決帶電粒子在磁場中運

動的臨界問題的關(guān)鍵，通常以題目中的“恰好”“最大”“至少”等為突破口，尋找臨界點，確定臨界狀

態(tài)，根據(jù)磁場邊界和題設條件畫好軌跡，建立幾何關(guān)系求解.

臨界點常用的結(jié)論：

（1）剛好穿出磁場邊界的條件是帶電粒子在磁場中運動的軌跡與邊界相切.

（2）當速度丁?定時，弧長（或弦長）越長，對應留心角越大，則帶電粒子在有界磁場中運動的時間越長.

（3）當速度》，變化時，圓心角越大，運動時間越長.

知識點2：帶電粒子在磁場中運動的多解問題

帶電粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，由于帶電粒子電性不確定、磁場方向不確定、臨界狀態(tài)

不確定、運動的往復性造成帶電粒子在有界勻強磁場中運動的多解問題.

⑴戊出多解的原因.

（2）畫出粒子的可能軌跡，找出圓心、半徑的可能情況.

難點強化

強化點一放縮圓模型

速度方向一粒子源發(fā)射速度方向一定，大小不同的帶電粒子進入勻強磁場時，這些帶電粒

定，大小不同子在磁場中做勻速圓周運動的軌跡半徑隨速度的變化而變化

適用XXXXXX

如圖所示（圖中只畫出粒子帶正電的情景），速度U越大，xX

條件軌跡圓圓心八土

運動半花也越大?？梢园l(fā)現(xiàn)這些帶電粒子射入磁場后，它::，嬴;埠:

共線

們運動軌跡的圓心在垂直初速度方向的直線尸產(chǎn)'上x'x^^'xU^x.

XX玄哎&X

界定以入射點。為定點，圓心位于PP直線上，將半徑放縮作軌跡圓，從而探索出臨界條件，這種

方法方法稱為“放縮圓”法

【答案】B

【詳解】根據(jù)題意可知，粒子在磁場中做勻速圓周運動，由牛頓第二定律有

又有

設粒子運動軌跡所對的圓心角為。，則運動時間為

由幾何關(guān)系有

解得

聯(lián)立可得

故選Bo

【變式11］（多選）如圖所示，在一等腰直角三角形AC。區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向外的勻強磁場，磁場的磁感

應強度大小為B,一質(zhì)量為〃八電荷量為9的帶正電的粒子（重力不計）從4C邊的中點。垂直于AC邊射

入該勻強磁場區(qū)域，若該三角形的兩直角邊長均為2/,則下列關(guān)于粒子運動的說法中正確的是（）

A

A.若該粒子的入射速度為口=幽，則粒子一定從AD邊射出磁場

m

D.當該粒子以不同的速度入射時，在磁場中運動的最長時間為笠

qB

【答案】BD

【詳解】A.若該粒子的入射速度為丫=型，則由

可得

由幾何關(guān)系可知，粒子將從C。邊的中點射出磁場，故A錯誤：

BC.由

可得

即粒子在磁場中的運動半徑越大，速度就越大；由幾何關(guān)系可得，當粒了?的軌跡與邊相切時，能從C。

邊射出的軌跡半徑最大，此時粒子的軌跡半徑為

所以粒子的最大速率為

故B正確、C錯誤；

D.由

可得粒子在磁場中的運動周期

故D正確。

故選BDo

A.電子不可能打到A點

B.電子在磁場中運動時間越長，其軌跡線越長

C.電子在磁場中運動時間越氏，其軌跡線所對應的圓心角越大

D.在AC邊界上有一半?yún)^(qū)域有電子射出

【答案】CD

【洋解】A.電子帶負電，由左手定則可知，電子垂直射入磁場后沿順時針方向做勻速圓周運動，洛倫茲力

提供向心力，由牛頓第二定律得

解得

由題意可知，發(fā)射速度為

代人可得則電子的軌道半徑

當電子速度

時，軌道半徑

此速度方向與0C夾角為60。入射時，粒子恰好從A點飛出，如圖所示

方向半徑R=瑞的圓上

不同

界定將一半徑為/?=翳的圓以入射點為圓心進行旋轉(zhuǎn)，從而探索粒子的臨界條件，這種方

方法

法稱為“旋轉(zhuǎn)圓”法

【典例2】如圖，虛線所示的圓形區(qū)域內(nèi)存在一垂直于紙面的勻強磁場，尸為磁場邊界上的一點，大展相同

的帶電粒子以相同的速率經(jīng)過P點，在紙面內(nèi)沿不同方向射入磁場。若粒子射入速率為刃，這些粒子在磁

場邊界的出射點分布在六分之一圓周上；若粒子射入速率為電，相應的出射點分布在三分之一圓周上。不

計重力及帶電粒子之間的相互作用。則這兩種情況下帶電粒子從。點射入到距尸點最遠處射出，其在磁場

中所經(jīng)歷的時間比〃即2為（）

A.102B.201C.7301D.1S1

【答案】D

【詳解】由于是相同的粒子，粒子進入磁場時的速度大小相同，由

可知

mv

夫二不

又

即粒子在磁場中做圓周運動的半徑相同。

若粒子運動的速度大小為n/，如圖所示，通過旋轉(zhuǎn)圓可知，當粒子在磁場邊界的出射點M離尸點最遠時,

則

MP=2Ri

同樣，若粒子運動的速度大小為V2,粒子在磁場邊界的出射點N離P點最遠時，則

NP-2R2

由幾何關(guān)系可知

Rz=Rcos30°=—R

2

則

由軌跡圖可知，這兩種情況下帶電粒子的對應的圓心角相等，故帶電粒子從P點射入到距P點最遠處射出，

其在磁場中所經(jīng)歷的時間比〃皿2為1:1,ABC錯誤，D正確。

故選Do

【變式21］（多選）如圖所示，等腰直角三角形的直角邊MO長度為3在MON區(qū)域內(nèi)存在方向垂

直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小為瓦三個相同的帶電粒子從M點沿MO方向分別以速度I，八四、

卬射入磁場，在磁場中運動的時間分別為小及、tj,且。：壯加3：3：2,不考慮粒子的重力及粒子間的

相互作用，下列說法正確的是（）

A.粒子可能帶正電

B.三個粒子速度的大小關(guān)系可能是箕2“/＜中

【答案】BD

【詳解】A.粒子要進入磁場，所以洛倫茲力向右，根據(jù)左手定則，粒子帶負電。A錯誤；

B.粒子從A4N邊射出時，時間相等，從ON邊射出時，偏轉(zhuǎn)角較小，時間較短，所以粒子以速度卬、及射

入時，從MN邊射出，二者速度大小無法確定，粒子以內(nèi)射入，從ON邊射出，半徑最大，根據(jù)

可知，其速度最大。B正確；

C.粒子以速度0、U2射入時，從邊射出，偏轉(zhuǎn)角為90。，則有

解得

C錯誤；

D.根據(jù)時間關(guān)系可知，粒子從ON邊射出時，偏轉(zhuǎn)角為60。，根據(jù)幾何關(guān)系，從ON邊射出的粒子與。點

的距離為

D正確。

故選BD。

【變式22］（多選）如圖所示，在邊長為L的正方形區(qū)域48CQ內(nèi)存在磁感應強度大小為以方向垂直紙

面向外的勻強磁場。質(zhì)量為，小電荷量為。/的帶電粒子（不計重力），分別以相同的速率-從八點沿不同方

向垂直磁場方向射入磁場，當沿4c方向射入時，垂直于BC邊射出磁場。則粒子（)

【答案】BC

【詳解】A.由左手定則可知粒子帶正電，選項A錯誤;

B.根據(jù)粒子的運動軌跡可知

由

可得

選項B正確；

CD.從C點射出的粒子在磁場中運動的時間最長，圓弧所對的圓心角為60。，則最長時間為

選項C正確，D錯誤。

故選BCo

強化點三“平移圓”模型的應用

適速度大小一粒子源發(fā)射速度大小、方向一定，入射點不同，但在

XXXXXXX

用定，方向i定，x石卒、KX同一直線的帶電粒子進入勻強磁場時，它們做勻速圓

**周運動的半徑相同，若入射速度大小為V0,則半徑R

條但入射點在同

件一直線上嘴,如圖所示

軌跡圓圓心共帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的圓心在同一直線上，該直線與入射點的連線平

線行

將半徑為金的圓進行平移，從而探索粒子的臨界條件，這種方法叫“平移圓”

界定方法

法

【典例3】如圖所示，邊長為L的正方形有界勻強磁場A8CQ,帶電粒子從A點沿AB方向射入磁場，恰好

從C點飛出磁場；若帶電粒子以相同的速度從AQ的中點。垂直4。射入磁場，從OC邊的M點飛出磁場（M

點未畫出）。設粒子從A點運動到C點所用的時間為〃，由尸點運動到M點所用時間為/2（帶電粒子重力

不計），則0：f2為（）

_4______________B

；xxXX：

I?

I1

；XXXX：

----?I\?

p\XXXX；

I1

IJ

;XXXX；

D......................\C

【答案】c

【詳解】由帶電粒子從A點沿A8方向射入磁場可知粒子做圓周運動的圓心在AO及其延長線上，又有粒子

恰好從C點飛出磁場，故可得：粒子運動半徑為，粒子從A到C轉(zhuǎn)過的中心角〃=90。；那么，夕點入射的

粒子的半徑，根據(jù)

半徑和從A點射入的相等，所以從。點入射的粒子的圓心在A。延長線上距。點;L處，那么粒子轉(zhuǎn)過的中

心角為

即

夕=60。

運動時間

所以

故選C。

【變式31］（多選）如圖所示，等腰直角三角形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大

小為從d為碇邊的中點，e為從邊上的一點?，F(xiàn)有一帶正電的粒子（不計重力）從。點以大小不同的速

度沿必方向射入磁場，分別從“、c、e點射出磁場，所用時間分別為。、區(qū)5且3=3：2,若在已知，

貝I」（）

A.t2z/j=3：2

B.帶電粒子的比荷為善

出3

【答案】AD

【詳解】A.粒子運動軌跡如圖所示

t2：門=3：2

故A正確；

B.由于〃：酎=3：2,又因為，從"點射出時對應的圓心角為90。，所以，從e點射出時，對應的圓心角為

60°,即

變形得

故B錯誤；

CD.設必“，由幾何關(guān)系得

根據(jù)牛頓第二定律得

由于小〃?、A相同，速度與半徑成正比

故C錯誤、D正確；

故選ADo

【變式32］（多選）紙面內(nèi)有一矩形邊界磁場A8CQ,磁場方向垂宜于紙面（方向未畫出），其中AQ=8C=3

AB=CD=2L,一束外粒子以相同的速度如從B點沿BA方向射入磁場，當磁場為8/時，△粒子從C射出磁場；

當磁場為仍時，“粒子從。射出磁場，則（）

D

A.磁場方向垂直于紙面向外B.磁感應強度之二匕①：B2=5：1

C.速度偏轉(zhuǎn)角之比?！?lt;92=180：37D.運動時間之比"：力=36：53

【答案】BD

【詳解】A.由帶負電的/?粒子（電子）偏轉(zhuǎn)方向可知，粒子在8點所受的洛倫茲力方向水平向右，根據(jù)左手

定則可知，磁場垂直于紙面向里，A錯誤；

又：

解得：

洛倫茲力提供向心力：

解得：

C.偏轉(zhuǎn)角度分別為：

。產(chǎn)180°

仇=53°

D.運動時間：

因此時間之比：

D正確。

故選BDo

強化點四“磁聚焦”和“磁發(fā)散”模型

（1）帶電粒子的會聚

如圖甲所示，大量的同種帶正電的粒子，速度大小相同，平行入射到圓形磁場區(qū)域，如果軌跡圓半徑與磁場圓

半徑相等（/?=r），則所有的帶電粒子將從磁場圓的最低點3點射出.（會聚）

證明：四邊形0478為菱形，必是平行四邊形，對邊平行，08必平行「人O,（即豎直方向），可知從人點發(fā)

出的帶電粒子必然經(jīng)過B點.

（2）帶電粒子的發(fā)散

如圖乙所不，有界圓形磁場的磁感應強度為8,圓心為。，從P點有大審質(zhì)量為〃?、電荷量為9的止粒子，

以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁場，不計粒子的重力，如果正粒子軌跡圓半徑與有界圓形磁場

半徑相等，則所有粒子射出磁場的方向平行.（發(fā)散）

證明：所有粒子運動軌跡的圓心與有界圓圓心0、入射點、出射點的連線為菱形，也是平行四邊形，。洪（。2以

OaC）均平行于PO,即出射速度方向相同（即水平方向）.

【典例4】如圖所示，在直角坐標系my中，x軸衛(wèi)方看勺鹿磁場，磁感應強度而天示％從磁場方向垂直

于紙面向外.許多質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子，以相同的速率K沿紙面內(nèi)，由k軸負方向與y軸正方向

之間各個方向從原點。射入磁場區(qū)域.不計重力及粒子間的相互作用.下列圖中陰影部分表示帶電粒子在

磁場中可能經(jīng)過的區(qū)域，其中R=mWqB,正確的圖是（）

02R02R

。

【答案】D

考點：帶電粒子在勻強磁場中的運動

【名師點睛】本題考查分析和處理粒子在磁場中運動的軌跡問題，難點在于分析運動軌跡的邊界，可以運

用極限分析法分析.

【變式41］如圖，矩形的長4d=0.6m,寬"=0.3m,o、e分別是“d、兒的中點，以。、e為圓心有

兩個半徑均為R=0.3m的四分之一圓弧，區(qū)域。加面內(nèi)有方向垂直紙面向里的勻強磁場（邊界上無磁場），磁

感應強度4=0.25T。一群不計重力、質(zhì)量〃7=3x109kg、電荷量4=2x10-$c的帶正電粒子垂直于4d邊以v

=5xl02m/s的速度射入磁場區(qū)域。下列判斷正確的是（）

ab

---------M-;==-?

IJI

——/X

?/?

_____JzXX

Iz?

1/I

V>xXX

_xx

_x/yx/：

/?

_____><X/?

/

_Jc」“二..

d,c

A.所有粒子射出磁場時的速度方向都平行B.所有粒子在磁場中運動的時間都相等

C.從“邊射入的粒子，出射點都在e點D.從w邊射入的粒子，出射點都在b點

【答案】D

【詳解】C.粒子進入磁場后做勻速圓周運動，根據(jù)洛倫茲力提供向心力：

得：

同理從。”之間射入的其他粒子，到反邊界處速度均豎直向上，因邊界上無磁場，泅之間所有粒子全部通

過6點，C錯誤；

ABD.從〃“邊射入的粒子先做一段時間的直線運動，設某一個粒子在M點進入磁場，其圓心為O,如圖所

示：

故選Do

【變式42］如圖所示，在半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)充滿磁感應強度為8的勻強磁場，MN是一豎直放置的感

光板。從圓形磁場最高點。以速度u垂直磁場射入大量帶正電的粒子，且粒子所帶電荷量為小質(zhì)量為〃

不考慮粒子間的相互作用力及粒子的重力，關(guān)于這些粒子的運動，以下說法正確的是（）

、

、

pM、

、

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、

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N、

A.射出磁場的粒子一定能垂直打在MN上

B.粒子在磁場中通過的弧長越長，運動時間也越長

C.射出磁場的粒子其出射方向的反向延長線不可能過圓心。

【答案】D

【詳解】AC.如圖所示的兩個三角形的三條邊對應相等，這兩個三角形全等，粒子一定沿著半徑方向射出

磁場，其出射方向的反向延長線一定通過圓心。，射出磁場的粒子不一定能垂直打在MN上，AC錯誤；

解得

粒子水平射出，一定垂直打在MN上，D止確;

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*一二

一二

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短,

間越

動時

的運

場中

在磁

越小，

圓心角

越小，

弦切角

越長，

時間也

，運動

長越長

過的弧

場中通

子在磁

B.粒

。

B錯誤

D<,

故選

解

成的多

確定形

性不

子電

電粒

帶

點五

強化

子

負粒

正、

度下，

的初速

在相同

電荷，

能帶負

，也可

正電荷

可能帶

電粒子

定，帶

性不確

子的電

如果粒

—