江蘇省徐州市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期末抽測(cè)數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知iz=3+i,貝上的虛部為（）

A.-3B.-1C.1D.3

—rr

2.已知「二（5,-1）,b-（3,1）,pii]a-b=（）

A.2B.2亞C.4D.8

3.用分層抽樣的方法從某校學(xué)生中抽取1個(gè)容量為45的樣本，其中高一年級(jí)抽20人，高

三年級(jí)抽10人.已知該校高二年級(jí)共有學(xué)生600人，則該校學(xué)生總數(shù)為（）

A.1400人B.1600人C.1800AD.2000人

4.從分別寫(xiě)有1,2,3,4的4張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)

字之和是奇數(shù)的概率為（）

1212

A.-B.-C.~D.一

2s92

5.設(shè)a,。為兩個(gè)不同的平面，刖，〃為兩條不同的直線，則下列命題正確的是（：■

A.若〃？//n,a,則〃？IIa

B.若m_LP，nHp,則〃?_L〃

c.若a_L。，mUa,〃_L。，貝如_L〃

D.若mUa,nHp,〃？〃”，則。〃S

6.在梯形48CQ中，ABWCD,AD=\,/1B=2,1_BAD=60o,若7一e在上的投影向

量為耳力8則萬(wàn)=(

A.—AB+ADB.

2n/

C.-D.ABH—AD

44

7.已知一個(gè)古典概型的樣本空間。和事件力，B,滿足〃（C）=8,〃Q）=3,“（8）=4.

n（A+B）=5,則（）

A.A,8相互獨(dú)立B.A,B互斥

C.P（/B）=；

D.小)q

試卷第I頁(yè)，共4頁(yè)

兀n二也

8.已知cosa—+cosa+-則cosla--)

3J6丁6)

AOBO157

C.——D，獲

16X16

二、多選題

9.有兩組樣本數(shù)據(jù)：2,6,4,2,1和4,8,6,4,3,則這兩組樣本數(shù)據(jù)的（）

A.樣本平均數(shù)不相同B.樣本中位數(shù)相同

C.樣本標(biāo)準(zhǔn)差不相同D.樣本極差相同

10.在銳角V/18C中，sin(J+B)=1,sin(4-8)二?：則(

?/?2

A.sinJCOSD=-B.tan/I=2tanB

s

4

C.tan(JiB)=JD.tan/=2+%

11.如圖①，在長(zhǎng)方形/18C。中，AB=6AD=3tM,N為力。的三等分點(diǎn)，P,PQ為

8C的三等分點(diǎn)，連接8必，PN、QD,分別交力。于點(diǎn)K,G,。.如圖②，將沿力。

翻折至△43,形成三棱錐廠?48C,則（）

B.當(dāng)NG_L8K時(shí)，直線A/G與O0所成的角方

C.當(dāng)二面角歹?1C-4為生時(shí)，BN=—

D.直線O/上的點(diǎn)到直線尸G的最短距離為正

2

三、填空題

12.已知圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為4的正三角形，則該圓錐的側(cè)面積為

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

5

13.已知數(shù)據(jù)1,2,4,刀的方差為Z，則〃？二

14.記V/l8c的內(nèi)角/,E,。的對(duì)邊分別為a,b,c,若

Ji(Qsin/+bsin8—csinC)=asinBsinC,c=4,則v44c的面積的最大值為

四、解答題

15.近日，江蘇省城市足球聯(lián)賽(簡(jiǎn)稱“蘇超”)登上熱搜，為了解各年齡層對(duì)“蘇超”的關(guān)注

程度，隨機(jī)選取了200名年齡在［15,55］內(nèi)的市民進(jìn)行了調(diào)查，并將結(jié)果繪制成如圖所示的

頻率分布直方圖.

(1)求選取的市民年齡在［25,45)內(nèi)的人數(shù);

(2)利用頻率分布直方圖的組中值對(duì)這200名市民的年齡的平均數(shù)進(jìn)行估計(jì):

(3)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這200名市民的年齡數(shù)據(jù)1勺70%分位數(shù).

16.已知復(fù)數(shù)二?=cosx+i,=2=1+(1-Gsinx)i,1小,亭.

I3；

(1)當(dāng)x=1時(shí)，求zR和卜-2句|：

(2)設(shè)4，Z?在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為兒B,。為原點(diǎn)，若斡力,談分，打

17.如圖，在V/8C中，內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且2cosc(acosA+6cos4)=c.

試卷第3頁(yè)，共4頁(yè)

《江蘇省徐州市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期末抽測(cè)數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號(hào)12345678910

答案ABCDBCCDADABD

題號(hào)11

答案ACD

1.A

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法法則化簡(jiǎn)即可

【詳解】由題意得，二=出="11=］一3i：故z的虛部為-3.

ii2

故選：A

2.B

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)表示和向量的模進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)槿f(wàn)二（5,-1）石=（3,1）,

所以萬(wàn)一；=（2,-2）.

所以忖一同=（4+4=.

故選:B.

3.C

【分析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)先求出抽樣比，進(jìn)而求解即可

【詳解】因?yàn)橛梅謱映闃拥姆椒◤哪承W(xué)生中抽取一個(gè)容量為45的樣本，其中高一年級(jí)抽

20人,

高三年級(jí)抽10人，所以高二年級(jí)要抽取45?20-10=15人，

因?yàn)樵撔８叨昙?jí)共有學(xué)生600人，所以每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是與=上,

60040

45

所以該校學(xué)生總數(shù)是丁=180°,

40

即該校學(xué)生總數(shù)為1800人.

故選：C.

4.D

【分析】求出從4張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2張所有可能的組合的可能數(shù)，求出和為奇數(shù)

的條件的組合數(shù)即可求解.

【詳解】從4張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2張，

答案第I頁(yè)，共13頁(yè)

所有可能的組合有:(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6種等可能的結(jié)果,

和為奇數(shù)的條件是一奇一偶，

符合條件的組合為：(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),

所以抽到的2張卡片上的數(shù)字之和是奇數(shù)的概率為:二二

故選：D.

5.B

【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系，逐項(xiàng)檢驗(yàn)，可得答案.

【詳解】對(duì)于A,由〃則mHa或a,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由〃口氏則3/-。，使得/〃〃，由〃zJLS，則〃?即機(jī)〃，故B正確;

對(duì)于C,由題意可得，〃與6的位置關(guān)系可能為相交、平夕亍或在面內(nèi)，

當(dāng)機(jī)與6相交時(shí)，〃與加的位置關(guān)系可能是相交或異面不垂直，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,當(dāng)an。:/且〃?]]“II/時(shí)，m//n,mHa,n/3,故D錯(cuò)誤.

故選：B.

6.C

【分析】設(shè)￡?=力則7W=疝萬(wàn)一+7萬(wàn)，利用投影向量可得胃之耨=2,利用向量的數(shù)

量積的定義及運(yùn)算律可求解.

【詳解】依題意，設(shè)。0=M8,則力「二力方+。e=A48+1萬(wàn)，

__]一記前

因?yàn)?在7”上的投影向量為548所以羽2-AB=-AB

2'又AB=2,

所以X.方=4x：=2,所以卜方+而)?前=2：即“荔2+荔茄=2：

1—.1——

因力。=1,AB=2,上410=60。，則4/+2xlxcos60。=2,解得Z=一，所以4C=—+/￡.

44

故選：C.

7.C

【分析】根據(jù)占典概型的概率計(jì)算，由互斥事件、獨(dú)立事件以及對(duì)立事件的概率公式，可得

答案.

答案第2頁(yè)，共13頁(yè)

【詳解】由題意可得尸（z小、忌n（A\費(fèi)3，P/M、忌n（B\丁4于1尸（"8、）=n（A+B）5

由P（4）+尸（8）=：+：=］則P（/出）=［P（4）+P（8）］-P（4+8）=；故C正確，B錯(cuò)誤:

X2o4

由PW）P（8）=%；='工戶（力8）則事件48不是相互獨(dú)立的，故A錯(cuò)誤：

由產(chǎn)（4）=1-2（力）=丁則D錯(cuò)誤.

故選：C.

8.D

【分析】利用兩角和的余弦公式和輔助角公式將題設(shè)等式化簡(jiǎn)，得到COSa-二”利

I12；

用二倍角余弦公式即可求得.

71n

【詳解】因?yàn)閏osa-g+COS"E=cos——a+cosa+

I6)U)\6,

.71V2

=sina+—+cosa+—=\5siin：a+

6J6)4

所以sinfa+如］=cosfa-nE、I

I12；Ir12J4

所以cosla--,=-

\6.-r

故選：D

9.AD

【分析】利用平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差的意義逐項(xiàng)分析判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,兩組數(shù)1的平均數(shù)分別為2+6+：+2+1=為4+8+；+4+3=5故人正

確：

對(duì)于B,數(shù)據(jù)1,2,2,4,6的中位數(shù)是2,數(shù)據(jù)3,4,4,6,8的中位數(shù)是4,故B錯(cuò)誤；

對(duì)干C,兩組豹據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差都為+3?+1+（-1）2+（2）2=32,故。錯(cuò)誤：

對(duì)于D,兩組數(shù)據(jù)的極差分別為6-1=5,8-3=5,故D正確.

故選：AD

10.ABD

【分析】對(duì)于選項(xiàng)A,將兩個(gè)等式利用和差的正弦公式展開(kāi)，即可求得sin/cosA的值；對(duì)

于選項(xiàng)B,根據(jù)條件求出sin/lcos8,cos/lsin8的值，進(jìn)而可得到tan力,tan8的關(guān)系；對(duì)于選

答案第3頁(yè)，共13頁(yè)

項(xiàng)C,根據(jù)sin(力+8)先求出其余弦值，進(jìn)而得到正切值；對(duì)于選項(xiàng)D,首先將

tan)+tan￡展開(kāi)然后根據(jù)tan4=2tan8求出tan力.

1-tan/ItanR4

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：

因玲皿(4+8)=《,5吊(/_8)=:，

J聽(tīng)以sin力cos8+cos/sinB=±①

sin力cos8-cosAsin8=:②

31

+

所以?/D552所以A正確；

sinAcosB=-——=-

75

對(duì)于選項(xiàng)B：

3+13_I

因?yàn)閟inAcosB=---=-，cosJsinB=~~~

7S9s

所以sin/c°sg=2,HPtanA=2tan5,所以B正確：

cosJsinB

對(duì)于選項(xiàng)C：

因如in(/1+8)=(,力+8>1，所以cos(/+B)=Jl-sin?(/+B)=Jl一|二一］.

3/4、3

所以tan(/l+B)=w+--=—1：所以C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：

,c\3tan4+tan83

因?yàn)閍n(-8)二-『「Kn/一"屋

-tanA與，與

23tanAA3

又tanJ=2tan5,所以一;------=T——f-=-T>

l-ltan2J2-lanA4

9

化簡(jiǎn)得tan?4-4tan4-2=0,所以解得tanA—士^~八+8—2±芯

y

又A是銳角，所以tanA>0,所以tan4=2+〃，D正確.

故選：ABD.

11.ACD

【分析】在矩形45CQ中可證8WJ_/1C、PN工AC、QD.LAC,故可證力。_L平面尸GN,

從而可判斷A的正誤，對(duì)于B,連接"GIG,上MG8或其補(bǔ)角為異面直線MG,。。所成的

答案第4頁(yè)，共13頁(yè)

角，結(jié)合余弦定理計(jì)算后可判斷其正誤，對(duì)于C,在平面NG尸中，過(guò)N作Nr_LPG,垂足

為7,連接37,結(jié)合余弦定理及垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化計(jì)算后可判斷其正誤，對(duì)于D,由公垂線可

知直線。尸上的點(diǎn)到直線PG的最短距離即為。G=立，故可判斷其正誤，

2

【詳解】對(duì)于A,在矩形48C。中，因?yàn)闉?O的三等分點(diǎn)，故=LAD,

q

同理而MN//BP,故四邊形8P/VM為平行四邊形，故BMHPN,

同理PM/O0.

在直角三角形/8M中，AB=;故tan上4V78=J5

而上4W8為銳角，故上41四=60°,同理上D4C=30。，故上JKA/=90°,

故3M_L/C,故PN_L/fC,同理QO_1_NC,

故在三棱錐b-力8c中，有PG4C,NG工4C,

而NGCiPG=6,可6,尸6「平面汽6尸，故4CJ_平面NGP,故A正確:

對(duì)于B,連接MG,8G,AA的分析可得,MK//NG,

故上MG8或其補(bǔ)角為異面直線MG,OQ所成的角，且MK_LBK,

而MK=；/M=Jx；x3=；,BK7ABi+AM?-MK=g,

故在圖②中，=J-+-=—，

\442

而8G=JBK-KG2=J-+

"+改2卜G

同理MG=dMK'KGJ12=1

.,_53

由余弦定理可得c°s上=2

2xlxV32G4

故直線MG與0。所成的角不是T，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,當(dāng)二面角產(chǎn)?/C?4為甘時(shí)，在平而NGP中，過(guò)N作NT」.PG,

垂足為丁，連接57，

由A的分析可得/VG_L/1C,PG_L4C,故上PGN為二面角/-4C-8的平面角,

故上PGN=M，故上TGN=［故nV=GNX迫」4Vx正二更：

?399?7

TG=GNx-=-ANx-=-t其中8G=A8=VLAG=-AC=43.

7???7

答案第5頁(yè)，共13頁(yè)

故上4G4=600,故上5G9二300,所以上8G7=1500,

故3尸=8G2+G刀一23G.GTCOS上8G7=3+」+2xlx.限立—,

4774

因?yàn)榱_L平面PNG,而/ICu平面力4。，故平面力8。_1_平面PNG,

而平平面PNG=PT,PT廠平面PNG,故NTJL平面力4C,

因?yàn)?7「平面48。，故拉T工BT,=BT2+TN2=—+,

449

故8V二'以，故C正確：

7

對(duì)于D,由A的分析可得OGJLPG,OG.LOF,

故OG為PG與OF的公垂線，

故直線。尸上的點(diǎn)到直線尸G的最短距離為即為OG=1/1。=①故D正確:

49

故選：ACD.

12.8JI

【分析】由題意可得母線長(zhǎng)與底而半徑，利用側(cè)面展開(kāi)圖是扇形可求側(cè)面積.

【詳解】由題意可得圓錐的母線長(zhǎng)/=4,底面半徑為r=2,

所以圓錐的側(cè)面積為，x2;ix2x4=8兀.

2

故答案為；87c.

13.9或3

【分析】根據(jù)方差公式計(jì)算即可.

【詳解】數(shù)據(jù)1,2,4,冽的平均數(shù)為上^,

4

+人+**I(7+m丫(1+mY(7+mY(7+wYf

4I4)I4}I4)I4)乙

答案第6頁(yè)，共13頁(yè)

化簡(jiǎn)可得(3+m)'+(m-1)*+(m-9)~+(7—3/〃1=80,

5

即3〃尸—14m+15=0,解得力=-或〃？=3.

故答案為：!或3

14.4丁2

【分析】由題意得cosC=lsinC=2五結(jié)合余弦定理、基本不等式有“6的最大值為12,

結(jié)合三角形面積公式即可得解.

【詳解】由題意.、i2(J+b:—r)=absinC,所以

si?6儂+1)=26上工26。￡：

ab2ci)

而C￡(0,n),sin~C+cos2C=I,解得cosC=；,sinC=

224

由余弦定理有c°=16=/-2/cos。=4?+〃一孑力22t/力一個(gè)6二-^ib,

所以HW12,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)Q=/,=26，

所以打的最大值為12,所以V43C的面積的最大值為L(zhǎng)l2x2包=4揚(yáng).

7?

故答案為：4J2.

15.(1)140人

(2)37歲

(3)42.5

【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖求出市民年齡在［25,45)內(nèi)的頻率，進(jìn)而可求出頻數(shù).

(2)根據(jù)頻率分布直方圖求平均數(shù).

(3)根據(jù)百分位數(shù)的定義和公式進(jìn)行求解計(jì)熨.

【詳解】(1)由頻率分布直方圖可得市民年齡在［25,45)內(nèi)的頻率為0.03x10+0.04x10=0.7,

由題得，隨機(jī)選取了200名市民，所以市民年齡在［25,45)內(nèi)的人數(shù)為0.7x200=140.

所以選取的市民年齡在［25,45)內(nèi)的人數(shù)為140人.

(2)由頻率分布直方圖，可估計(jì)200名市民的年齡的平均數(shù)為

(0.01x20+0.03x3()+0.04x40+0.02x50)xl0=37.

答案第7頁(yè)，共13頁(yè)

所以這200名市民的年齡的平均數(shù)為37歲.

(3)由頻率分布直方圖，可知市民年齡在口5,35)內(nèi)的頻率之和為0.01x10+0.03X1()=0.4,

市民年齡在［15,45)內(nèi)的頻率之和為O.Olx10+0.03x10+0.04x10=0.8,

所以70百分位數(shù)應(yīng)在［35,45)中，設(shè)為x,

可得0.4十(x-35)x0.04-0.7,解得x=42.5.

所以這200名市民的年齡數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)為42.5.

35

16.(l)l+-i,-

⑵1

【分析】(1)根據(jù)三角函數(shù)求復(fù)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)式，由復(fù)數(shù)的乘法以及加減，結(jié)合模長(zhǎng)公式，可得答

案：

(2)由復(fù)數(shù)的兒何意義寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)計(jì)算以及三角函數(shù)的輔助角公式，

可得答案.

【詳解】(1：當(dāng)x=；時(shí)，二［=：+"二2=1-；，

所以二2二'-!-2-2=-|+2i

貝華宿二=?

(2)由已知得4(cosx,l),JJsinx)：

因?yàn)榈禞_r)Q,所以0彳=cosxx1+lx(1-6sinx卜0,

所以走sinx-」8sx=L即sin》一外二：，

777k6；2

因?yàn)閷?xiě)］,所以x—所以、一四=四，即x=g.

V3J6V627664

%⑴［

喉

【分析】(1)由余弦定理對(duì)等式進(jìn)行角化邊并整理化簡(jiǎn)，從而解得所求角的余弦值，可得答

案：

答案第8頁(yè)，共13頁(yè)

(2)由正弦定理與余弦定理求得三角形的邊與角，根據(jù)中垂線以及中點(diǎn)的性質(zhì)，利用余弦

定理，可得答案.

22_.2?22_2

[詳解】(1)在VABC中，由余弦定理可得acosB+bcosA=a----------1-b-----------=c

lac2bc

所以2cosc{acosB+〃cos4)=c即2ccosC'二c,所以COS。=—,

又因?yàn)镃W(0,7T),所以。=g.

(2)因?yàn)閍=2,Z>=3,由余弦定理袱2=。2+/一2。685。=4+9—2'2>3、1=7,即0=行,

9

4+7-919+7-4_2

所以cos8二-----尸=-7=,COSJ=

2x2力2V72x377-V7

連接。DF,則C￡'=DE,設(shè)為x,CF=DF,設(shè)為六

在V8Q￡中，由余弦定理得/=(2-療+N-2x(2-勾x以解得x=3,

v7422V714

由余弦定理得V=(3-獷+^-2x(3->)x(x-^r,19

在△力。尸中,解得

IO

所以_L+_L=W+幺型

CECF191919

18.(1)(0,I)

(2)]

(3)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)按題目所給定義帶入相應(yīng)值求解:

(2)根據(jù)兩共線向量的坐標(biāo)關(guān)系列出等式，再利用同角三角函數(shù)商的關(guān)系、二倍角的正切

公式進(jìn)行計(jì)算即可.

<3)按題目所給定義將不等式化簡(jiǎn)為證明cos(〃-1)x2cos(〃-1)(,當(dāng)/=:時(shí)，不等式對(duì)

答案第9頁(yè)，共13頁(yè)

6WN.成立，當(dāng)XWo,1U1,兀時(shí)方法一與方法二均為取特值說(shuō)明不等式不恒成立.

I4八4，

HCfx/3。(cos理snf6n

【詳解】(1：因?yàn)??！岸?/p>

cos—,sin—=—?,I66J=---

66乂22)2'2

X/

uiiruuir

所以4+4=T*2+-T'2=(0，1).

5

'6\/\7

(2)因?yàn)椤?、二(cosx,sinx)與。=(1,2)共線，所以2cosI一sinx=0,

因?yàn)閄￡(O,TT),所以sinx40,cosxH0,所以tanx=‘皿”=2cosx=1,

ccqrccqr

g、i.2tanx2x24

所以tan2x=------=——=——.

1-tarTx1-43

13；因?yàn)閍,7一4J二yj(cosnx-cosx)2+(sinnr-sinxj二^2-2cos(〃-l)x

一心，只要證

方法I:①當(dāng)X=四時(shí)，COS——見(jiàn)2cos(〃-1)2對(duì)V"￡N*成立,

4

②當(dāng)xw0,—|U—,n時(shí).取〃=2,cosx>cos—解得0<x<3,

I4八4)44

取〃=9,cos8a->COS2TC=I?所以8x=4n,6n,即x=：,—,

24

兀3〃八兀八九,.兀1

又因?yàn)?，7e°，7:所以不存在°。UI，兀便原不等式成立.

綜上所述,當(dāng)且僅當(dāng)/二:時(shí)，卜二-無(wú)卜a,,1-4;.

方法2：令&二〃一1,k￡7,則Cosb2cos如，

4

①當(dāng)x二'時(shí)，cosA?2cos以成立，

444

②當(dāng)0cx<=時(shí)，取k=8,0<h<2幾，一I<coskx<1,而cos蛆=cos2?r=1,

44

所以coskx<cos—.

4

③當(dāng)時(shí)，取A=2,—<kx<n,coskx<0,而x)s—=cos—=0.

47947

答案第10頁(yè)，共13頁(yè)

所以coskx<cos——.

4

④當(dāng)乙<X<7I時(shí)，取k=1,三<b〈冗，cosh<0.Wcos—=cos-=—?J^^os^x<cos^-.

?94424

綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)好;時(shí)，取

19.(1)證明見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

⑶？

【分析】(1)由題意可得/1D78C,由線面平行的判定定理可得結(jié)論；

(2)取力8中點(diǎn)E,連接PE,DE,DE_L平面P4B,可求得DA=DB=DC=DP,從而

可得結(jié)論；

(3)設(shè)尸在底面44CO上的射影為點(diǎn)G,“6_|_平面匐。。，則上『CG就是，C與平面力"?。

所成的角.當(dāng)點(diǎn)G在CE上，則上PCE就是PC與平面48CO所成的角，求解可得范圍，當(dāng)

點(diǎn)G不在CE上，連接CG,EG,設(shè)上PEG=6上GEC=dae0,y,9e(0,n),可

求得GE=cosC(,PG=sinCT,進(jìn)而得

sin上PCG=J1一^^3,求解即可.

V8-2V7costz

【詳解】(1)因?yàn)榈酌?BCO為菱形，所以力Q//8C,

又因?yàn)?)丈平面P