專題04一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

能力提升檢測(cè)卷

時(shí)間:90分鐘分值：1()0分

一、選擇題(每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)，共7*5分)

I.已知曲線)，=訛，與y=lnx-Ina的兩條公切線所成角的正切值為￡則/=()

4

228

A.2B.-C.D.—

eee

【答案】c

【詳解】因?yàn)閥=與y=lnx-lna互為反函數(shù)，故圖像關(guān)于＞=人對(duì)稱，

設(shè)一條切線與兩個(gè)函數(shù)圖像分別切J：M，N兩點(diǎn)，且兩條切線交點(diǎn)為Q,

\+-

故=tan(6+45)=-^-=2,易求得曲線y=e*的斜率為2的切線方程為y=2x-21n2+2,

1--

3

故曲線)，=*=ev+,nfl的斜率為2的切線方程為y=2(x+Ina)-2：n2+2,

y=lnx的斜率為2的切線方程為y=2x-ln2-1,故曲線y=Ini-Ina的斜率為2的切線方程為

y=2x-\n2-\-\na,

2

所―n-2笆則總』通3,則"中故A,B.D錯(cuò)誤.

故選：C.

2.已知。=弊，b=昱,c=則()

32%96

A.a>b>cB.c>a>bC.a>c>bD.c>h>a

【答案】B

n2-73I73x/3

【詳解】Vb=罩這,—,

aa-A2?6969366

e>a,c>bt

…：、sinx屋乃),(\xcosx-sinx

(對(duì)于函數(shù)/(x)=^—，xre。，5，/(%)=-----------------

(°，5)'則g'(x)=cosx—xsinx—cosx=—xsinx<°,

令g(x)=xcosx-sinx,xe

???g(x)在卜上單調(diào)遞減，

/X

??.g(x)vg(o)=o,即r(x)<0,/(x)在04上單調(diào)遞減,

\乙)

.71

sin—

.“(1)〉/仁,即sin1>-----—

71

3

sinl73

a=----->b=—

32%

*.c>a>b.

故選:B.

3.已知函數(shù)“力及其導(dǎo)函數(shù)/'(X)的定義域都為R,且/(1-2.1)為偶函數(shù)，/(x+2)為奇函數(shù)，則()

A./(1)=0B.,f(2)=0

C.r(2022)+/(2021)=0D.”2022)+/(2021)=0

【答案】D

【詳解】解:由/(1一2力為偶函數(shù)知，/(1-2力=/(l+2x),Bl/(l-x)=/(l+x),

即函數(shù)/(1)關(guān)于x=1對(duì)稱，則f(x)=/(2-x),

由f(x+2)是奇函數(shù)知，/(x+2)=—/(—x+2),即函數(shù)關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱，

則/"(x)=-/(4—x),且f(2)=0,

所以f（2r）=-〃4r）,即〃r）=f（x+4）,即函數(shù)f（力的周期是4,

則f(2022)=/(2+505x4)=/(2)=0；

又“1-2力=/(1+2力=[/(1-2班=[/(1+2”]’

所以一2廣(1-2x)=2廣(1+2x),則一廠(1-2x)=/'(1+2x),即一「(1-x)=廣(1+x)

所以r(x)=—r(2—力，即導(dǎo)函數(shù)/,a)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，且/'⑴=o.

由“力=/（工+4）=/'（工）=/（工+4）,即導(dǎo)函數(shù)廣（X）的周期是4,

貝ijr(2021)=r(l+505x4)=r(l)=。；

所以r（202I）+/（2022）=0.

故選：D.

4.曲線），=則出在工=冗處的切線的斜率為（）

X

2「2

A.——B.—

n7t

C.-D.-

加“n

【答案】B

2xcos(2x)-sin(Zt)

【詳解】因?yàn)椋?則也所以），'=

X'

,,2^cos（2n）-sin（2n）2

）'二=------->------=-，

nn

所以曲線），=則勿在X=兀處的切線的斜率為2.故A,C,D錯(cuò)誤.

xn

故選：B.

5.已知曲線了=。/在點(diǎn)（-1M）處的切線方程為8x-），+6=0,劃（）

A.a=2,/?=4B.〃=—2,〃=4

C.a=-2,b=\D.a=8,b=—\

【答案】B

【詳解】將（一1M）代入8x—），+6=0,得。=一2,

易知直線8工-），+6=0的斜率為8.

8.設(shè)曲線f(x)=x"〃wN,〃之1)在點(diǎn)(11)處的切線與4軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x”,則耳?與壁人…一^2021=

【答案】擊

【詳解】解：由/(外=/“(〃€電，叱1)得/(公'=(〃+1)/，所以切線的斜率為〃+1,

所以在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y-i=(〃+I)(A-I),

令y=0,解得一，即丫后

12320211

所以X.冬多34.?…％021=—X—X—Xx----=-----

23420222022

1

故答案為:

2022

9.曲線y=V+3F+6x+4的所有切線中，斜率最小的切線的方程是

【答案】3x-y+3=0

【詳解】解：由題意)，'=3/+6工+6=3(工+1)2+3,

所以x=-l時(shí)，，y'min=3,又工=一1時(shí)，y=o,

所以所求切線的方程為y-o=33+1),即次-y+3=0.

故答案為：3x-y+3=0.

10.己知函數(shù)/3=/十(,〃-1A十1為偶函數(shù)，則函數(shù)g(八)="入Tn(〃認(rèn))-2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

【答案】2

【詳解】由/(x)為偶函數(shù)，得〃f)=/(x),即喘一(加一1)X+1=丁+(加-1)%+1,

所以〃?-1=0,即/〃=1,所以g(x)=x-lnx-2,則=

易知g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減：在(l,y)上單調(diào)遞增，

所以g(x)的極小值,也是最小值,為g⑴=-1<0.

又因?yàn)間(e2)=e2-4>0,且g(￡|的圖象在(1,y)上連續(xù)不斷，所以g(x)在(1,包)上有唯一零點(diǎn);

IAI

又因?yàn)間-=—>0.且g("的圖象在(0,1)上連續(xù)不斷，所以g(4)在(0,1)上有唯一零點(diǎn).

lee

綜上所述,g(“有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

故答案為：2.

三、主觀題(共5小題，共50分)

11.設(shè)函數(shù)/*)=丁+(。+3)/+?，若/(幻為奇函數(shù)，求:

⑴曲線,，=/。)在點(diǎn)(。，。)處的切線方程；

(2)函數(shù)/⑴的極大值點(diǎn).

【答案】(l)，=-3x

⑵-1

【解析】(1)

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=xi+(a+3)x2+or為奇函數(shù)，所以f(-x)=-f(x),

從而得至|Ja+3=O，即a=-3,所以j(x)=x3-3x.

因?yàn)閞a)=3/-3,所以廣(。)=一3,

所以曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=-3x.

(2)

/(X)=3X2-3<0,

由rax。，得由ra)>。，得x<—i或x>i,

所以函數(shù)在上是嚴(yán)格減函數(shù)，在)上是嚴(yán)格增函數(shù)，

所以函數(shù)的極大值點(diǎn)是-1.

1rir

12.已知函數(shù)/。)二1卞.若f(x)在(0,1)上的極值點(diǎn)為求證：/(用)<一2.

(V-1)

【答案】證明見解析

l_21nx--

【詳解】證明：由“V),得尸小二,工.

因?yàn)?(X)在(0,1)上的極值點(diǎn)為%,

，…1

1-21nM------

所以1一六=°'

得21nxo=l」(0vxo〈l),

xo

從而/(七)+2=盧，+2=券號(hào)+2

(")2(七-1)

=—J+2=1+2=J"，<0,

2(%-1)-2(x0-l)x02(x0-l)x0

所以/(毛)<-2.

13.已知函數(shù)"x)=eX+；x2-ax+lSeR),其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

⑴設(shè)/*)的極小值為〃(。)，求"(a)的最大值；

⑵若存在、,天(內(nèi)工工2)使得/(xj=/(w)，且％+&=1，求4的取值范圍.

【答案】(1)2；

⑵仁+胞+8).

【解答】

(1)

因?yàn)?(x)=e，-依+](awR),

所以r(x)=e，+x-a，r(x)在R上單調(diào)遞增，

又“cR,所以存在唯一使/'(、0)=。"+/一。=0,即。

當(dāng)xe(Yo，Nj時(shí)，/'(力<(),當(dāng)上?知4<o)時(shí)，/'(x)>0,

所以〃力在區(qū)間(-co,與)上單調(diào)遞減，在(%,內(nèi))上單調(diào)遞增，

所以/(x)的極小值為/(Ab)=e"+3片一做+1=d。+；￥-(?"+而卜0+1

=(1-Ao)ev°_gx；+l,

所以人(〃)=(1-工0)鏟一3片+1,

令g(x)=(l_x)e'_(/+],則g[x)=(1_x_l)e"_x=_x(e'+l),

所以xw(e,0),g〈x)>0,g(x)單調(diào)遞增，xe(0,+a?),g，(x)v0,g(%)上單調(diào)遞減,

???8(”2=鼠。)=2，

即力⑷的最大值為2；

(2)

不妨設(shè)X=2-八々=不+?，>。)，

所以關(guān)于f的方程/(卜

有正實(shí)數(shù)解,

即科-e丁+(1-2〃)，=0有正實(shí)數(shù)解，

IL

設(shè)尸(。=e丁-e丁+(l-2a)z,a>0)?

lL1,J.j

則G(f)二產(chǎn)'(，)=”+/'+ef+]_2t7，G'(1)=e于-er>0?

所以F(。在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以Ff(t)>尸'(0)=2—+1—2〃，

①當(dāng)〃工：+人時(shí)，r(0>o,所以產(chǎn)。單調(diào)遞增，

所以尸(。>尸(0)=0,不合題意；

②當(dāng)〃>《+正時(shí)，存在4>0,使得尸?)二°，

當(dāng)時(shí),F(/)<0,當(dāng)時(shí)，F(xiàn)(r)>0,

所以尸⑺在(01J上單調(diào)遞減，在?,內(nèi))上單調(diào)遞增，

所以F(fJ〈產(chǎn)(0)=0,

所以存在4>咽使得/化)=。，符合題意；

綜上，。的取值范圍為(；+6,+0.

2

14.已知函數(shù)/(x)=-+41ox,4eR.

*X

⑴若曲線y=/(幻在點(diǎn)/1J⑴)處的切線垂直于直線y=X+2,求。的值；

(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(0.C]上的最小值.

【答案】(1)1

⑵當(dāng)4,|時(shí)，函數(shù)/(“在區(qū)間(0目上的最小值為。+|；當(dāng)〃>|時(shí)，函數(shù)/&)在區(qū)間(0,目上的最小值為

⑷a

【解答】

(1)

解：?.?曲線y=〃x）在點(diǎn)尸處的切線垂直于直線y=x+2,

又直線y=x+2的斜率為1,函數(shù)/（"的導(dǎo)數(shù)為:（力二-/+二

\a-1

（2）

，

解：Vf（X）=~+-=^^>XE（^+OO）

x~Xx~

_2

①當(dāng)4=0時(shí),在區(qū)間（o,e］上r（x）=二r<0,此時(shí)函數(shù)外力在區(qū)間（0,可上單調(diào)遞減,

X

則函數(shù)/（力在區(qū)間（0,日上的最小值為，（e）=2.

e

②當(dāng)彳〈。即〃<0時(shí)，在區(qū)間（0國(guó)上，（x）〈0,此時(shí)函數(shù)/（同主區(qū)間（0,e］上單調(diào)遞減,

則函數(shù)/（X）在區(qū)間（o，c］上的最小值為〃e）=4+a.

e

22

③當(dāng)0v-<e,即a>±時(shí)，

ae

在區(qū)間（05）上/此時(shí)函數(shù)”X）在區(qū)間，力上單調(diào)遞減，

在區(qū)間信e上/（力>0,此時(shí)函數(shù)〃x）在區(qū)間伶e上單調(diào)遞增，

（2、2

則函數(shù)/（力在區(qū)間（。,e］上的最小值為/'仁J=a+a\n-.

2?

④當(dāng)一..e,即0<凡±時(shí)，

ae

在區(qū)間（o,e］上/'（x）W0,此時(shí)函數(shù)/（x）在區(qū)間（0,e］上單調(diào)遞減,

*+2

則函數(shù)/（6在區(qū)間（0,c］上的最小值為了

9e

709

綜上所述，當(dāng)4,：時(shí)，出數(shù)/（1）在區(qū)間（0,e］上的最小值為）當(dāng)〃時(shí)，出數(shù)/（x）在區(qū)間（0,e］上的

最小值為/張…m2

15.已知函數(shù)/（1）=寸+2〃忙;

⑴當(dāng)〃?=1時(shí)，求曲線y=〃x）在（0J（0））處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;

⑵若關(guān)于x的方程//（力=（1+2機(jī)修,恰有四個(gè)不同的解，求”的取值范圍.

【答案】(1)1;

⑵1a卜9

【解答】

(1)

當(dāng)〃?=