專題06圓周運(yùn)動

目錄

專題06圓周運(yùn)動...........................................................................1

考向一水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動..............................................................I

考向二豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動..........................................................5

【題型演練】............................................................................7

考向一水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動

1.解決圓周運(yùn)動問題的“四步驟”

2.水平面內(nèi)圓周運(yùn)動的臨界問題

(1)水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動的物體其向心力可能由彈力、摩擦力等力提供，常涉及繩的張緊與松弛、接觸

面分離等臨界狀態(tài).

(2)常見臨界條件：①繩的臨界：張力FT=0；②接觸面滑動的臨界：F=j\③接觸面分離的臨界：FN

=0.

【典例1】如圖所示，足夠大的水平圓臺中央固定一光滑豎直細(xì)桿，原長為L的輕質(zhì)彈簧套在豎直桿上，質(zhì)

量均為機(jī)的光滑小球A、B用長為L的輕桿及光滑較鏈相連，小球A穿過豎直桿置于彈簧上。讓小球B以

不同的角速度QJ繞豎直桿勻速轉(zhuǎn)動，當(dāng)轉(zhuǎn)動的角速度為①o時，小球B剛好離開臺面。彈簧始終在彈性限度

內(nèi)，勁度系數(shù)為左，重力加速度為g,則下列判斷正確的是()

A.小球均靜止時，彈簧的長度為L竿

K

B.角速度co=coo時，小球A對彈簧的壓力為mg

D.角速度從函繼續(xù)增大的過程中，彈簧的形變量增大

【答案】AC

【解析】

則彈簧對A球的彈力為2/咫，由之頓第三定律可知A球?qū)椈傻膲毫?〃吆，故B錯誤，C正確；

則彈簧對A球的彈力是2/咫，由2頓第三定律可知A球?qū)椈傻膲毫σ廊粸?〃吆，彈簧的形變量不變，故

D錯誤。

故選ACo

【典例2】天花板下懸掛的輕質(zhì)光滑小圓環(huán)P可繞過懸掛點的豎直軸無摩擦地旋轉(zhuǎn).一根輕繩穿過P,兩端

分別連接質(zhì)量為如和〃?2的小球人、設(shè)兩球同時做如圖6所示的圓錐擺運(yùn)動，且在任意時刻兩球

均在同一水平面內(nèi)，則（）

A.兩球運(yùn)動的周期相等

B.兩球的向心加速度大小相等

C.球A、B到P的距離之比等于mim\

D.球A、8到來的距離之比等于加?：小2

【答案】AC

【解析】對其中一個小球受力分析，其受到重力和繩的拉力臼，繩的拉力在豎直方向的分力與重力平衡,

設(shè)輕繩與豎直方向的夾角為優(yōu)則有pTCOS0=/”g,拉力在水平方向上的分力提供向心力，設(shè)該小球到P的

/1亓2//cos0[7t

距離為/,則有Frsin8=mglan產(chǎn)sin0,解得周期為7=2%丁=2飛,因為任意時刻兩球均在

同一水平面內(nèi)，故兩球運(yùn)動的周期相等，選項A正確；連接兩球的繩的張力FT相等，由于向心力為吊=

FjsinO=nico2lsin0,故in與I成反比，即又小球的向心加速度a=co2htan夕=（爺//?tan0,故向心加

速度大小不相等，選項C正確，B、D錯誤.

【典例3］如圖所示，半徑為R的半球形容器固定在水平轉(zhuǎn)臺上，轉(zhuǎn)臺繞過容器球心。的豎直軸線以角速

度〃，勻速轉(zhuǎn)動.質(zhì)量不同的小物塊人、A隨容器轉(zhuǎn)動且相對器壁靜h4、0和球心。點連線與豎直方向的夾

角分別為a和6a>fi,貝U()

A.A的質(zhì)量一定小于B的質(zhì)量

B.A、B受到的摩擦力可能同時為零

C.若4不受摩擦力，則B受沿容器壁向上的摩擦力

D.若④增大，A、4受到的摩擦力可能都增大

【答案】D

【解析】當(dāng)8受到的摩擦力恰為零時，受力分析如圖；根據(jù)牛頓第二定律得：〃?an4=〃w/RSinH，解得：

①舄,同理可得：必川懸U物塊轉(zhuǎn)動角速度與物塊的質(zhì)量無關(guān)，所以無法判斷物塊質(zhì)量的

大小，故A錯誤；由于公共，所以8QQ)B，即4、B受到的摩擦力不可能同時為零，故B錯誤；若A不受

摩擦力，此時轉(zhuǎn)臺的角速度為則8物塊有向上的運(yùn)動趨勢，所以此時B受沿容器壁向下的摩

擦力，故C錯誤；如果轉(zhuǎn)臺的角速度切>必，A和3受沿容器壁向下的摩擦力，如果④增大，A、4受到的

摩擦力都增大，故D正確.

【典例4】在修筑鐵路時，彎道史的外軌會略高丁內(nèi)軌。如圖所示，當(dāng)火車以規(guī)定的行駛速度轉(zhuǎn)彎時，內(nèi)、

外軌均不會受到輪緣的擠壓，設(shè)此時的速度大小為丫，重力加速度為g,兩軌所在面的傾角為仇則()

A.該彎道的半徑一品

B.當(dāng)火車質(zhì)量改變時?，規(guī)定的行駛速度大小不變

C.當(dāng)火車速率大于-時，內(nèi)軌將受到輪緣的擠壓

B.細(xì)繩和金屬圓環(huán)對小球的作用力大小可能相等

C.細(xì)繩對小球拉力與小球的重力大小不可能相等

【答案】CD

【解析】

A、如果細(xì)繩對小球的拉力為零，則小球受到的重力與支持力的合力不可能提供向心力，故A錯誤；

B、細(xì)繩和金屬圓環(huán)對小球的作用力大小如果相等.二者在水平方向的合力為零，則向心力為零，故B錯誤:

考向二豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動

【核心考點梳理】豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動?？嫉膬煞N臨界模型

最高點無支撐最高點有支撐

下二B0

圖示

重力〃!g，彈力尸舛向下、向上或等

最高點受力重力〃吆，彈力尸井向下或等于零

于零

mg±F*=m^

向心力來源mg十卜?邦=〃萬

2

產(chǎn)彈=0,v=y[gR,即在mg=F辨,箕=0,即在最高點速度可

恰好過最高點

為零

最高點速度不能為零

【典例7】如圖所示，在豎直面內(nèi)，一半徑為R的光滑半圓軌道和水平軌道在B點相切，心為圓弧軌道的

直徑。一小滑塊從A點沿水平軌道向右運(yùn)動經(jīng)B點沿圓弧軌道恰好通過P點，最后落在A點。小滑塊與水

平軌道間的動摩擦因數(shù)為0.5,重力加速度為g,不計空氣阻力。則小滑塊從A點運(yùn)動時的初速度為（）

【答案】C

【解析】

【典例8】如圖甲所示，用一輕質(zhì)繩拴著一質(zhì)量為，〃的小球，在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動（不計一切阻力），小

球運(yùn)動到最高點時繩對小球的拉力為Fr，小球在最高點的速度大小為V，其圖象如圖乙所示，則（）

A.輕質(zhì)繩長為吟B.當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹?

C.當(dāng)B=c時，輕質(zhì)繩最高點拉力大小為會+〃D.若/=〃，小球運(yùn)動到最低點時繩的拉力為6。

【答案】ABD

【解析】在最高點，根據(jù)牛頓第二定律得Fr~hng=后,解得Fr=nrr-^,可知縱軸截距的絕對值為a

=/咐解得當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹閳D線的斜率仁介戶，解得繩手的長度：L=呼,故A、B止確；

tfl<zCl

當(dāng)B=c時，輕質(zhì)繩的拉力大小為FT=哈_mg=%_a,故C錯誤；當(dāng)v2=b時拉力FT為零,到最低點時

LI）

根據(jù)動能定理得：2〃磔=%泗一,加，根據(jù)牛頓第二定律得h'—"吆="阜聯(lián)立.以上可得拉力為尸T'=6〃?g

=6〃，故D正確.

3

【典例9】如圖所示，當(dāng)汽車通過拱橋頂點的速度為10m/s時，車對橋的壓力為車重的々取10m/s2,拱

橋的半徑為（）

A.6mB.17mC.25mD.40m

【答案】C

【解析】

【題型演練】

1、如圖所示，半徑為R的半球形容器固定在水平轉(zhuǎn)臺上，轉(zhuǎn)臺繞過容器球心。的豎直軸線以角速度“勻

速轉(zhuǎn)動.質(zhì)量不同的小物塊A、8隨容器轉(zhuǎn)動且相對器壁靜止，A、8和球心0點連線與豎直方向的夾角分

別為〃和彼，公力.則（）

A.A的質(zhì)量一定小于B的質(zhì)量

B.4、8受到的摩擦力可能同時為零

C.若A不受摩擦力，則8受沿容器壁向上的摩擦力

D.若①增大，A、8受到的摩擦力可能都增大

【答案】D

【解析】：當(dāng)8受到的摩擦力恰為零時，受力分析如圖，根據(jù)牛頓第二定律得/〃gtan夕=/〃加,RsinA

解得38='廉同樣，當(dāng)A不受摩擦力時，同理可得必=、笈三，物塊的質(zhì)量與物塊轉(zhuǎn)動角速

度無關(guān)，所以無法判斷質(zhì)量的大小；由于公力，所以與題意中人、B隨容器都以角速度切轉(zhuǎn)動相矛

盾，即4、4受到的摩擦力不可能同時為零；若A不受摩擦力，此時轉(zhuǎn)臺的角速度為所以B物塊

的角速度大于摩擦力為零時的角速度，所以此時8受沿容器壁向下的摩擦力；如果轉(zhuǎn)臺角速度從A不受摩

擦力開始增大，4、4的向心力都增大，所受的摩擦力增大.故迷D.

2、如圖所示，4、8兩小球用一根輕繩連接，輕繩跨過圓錐筒頂點處的光滑小定滑輪，圓錐筒的側(cè)面光滑。

當(dāng)圓錐筒繞豎直對稱軸勻速轉(zhuǎn)動時，兩球都位于筒側(cè)面上，且與筒保持相對靜止，小球A到頂點。的

距離大于小球B到頂點0的距離：則下列判斷正確的是（）

A.人球的質(zhì)量大B.4球的質(zhì)量大

C.A球?qū)A錐筒側(cè)面的壓力大D.B球?qū)A錐筒側(cè)面的壓力大

【答案】BD

【解析】本題考查圓錐面內(nèi)的圓周運(yùn)動問題。繩對A、8兩球的拉力大小相等，設(shè)繩子對小球的拉力大小為

T,側(cè)面對小球的支持力大小為R則豎直方向有兀osO+用inO="@水平方向有7sinO-Fcos9=〃?Q，/sin

11

0,可得T=mgcos，+〃W2/sin2〃，可知質(zhì)量加越大，/就越小，則4球的質(zhì)量大，又丁=，可知

’叫二程vz'

〃，越大，尸就越大，則4球受圓錐筒側(cè)面的支持力大，結(jié)合牛頓第三定律可知選項B、D正確，A、C錯誤。

3、如圖所示，轉(zhuǎn)動軸垂直于光滑水平面，交點。的上方h（A點）處固定細(xì)繩的一端，細(xì)繩的另一端拴接一

質(zhì)量為機(jī)的小球8,繩長/大于/?,轉(zhuǎn)動軸帶動小球在光滑水平面上做圓周運(yùn)動。當(dāng)轉(zhuǎn)動的角速度”逐漸增

大時，下列說法正確的是（）

tz'/i

A.小球始終受三個力的作用

B.細(xì)繩上的拉力始終保持不變

c.要使球不離開水平面，角速度的最大值為情

D.若小球飛離了水平面，則角速度可能為、卜

【答案】C

【解析】小球可以在水平面上轉(zhuǎn)動，也可以飛離水平面，飛離水平面后只受重力和細(xì)繩的拉力兩個力作用，

故選項A錯誤：小球飛離水平面后，隨著角速度增大，細(xì)繩與豎直方向的夾角變大，設(shè)為從由牛頓第二

定律得7sin￡=/〃①2/sin￡可知，隨角速度變化，細(xì)繩的拉力7會發(fā)生變化，故選項B錯誤；當(dāng)小球?qū)λ?/p>

面的壓力為零時，有Teos<9=〃長，TsinO=mlco2s\n0,解得臨界角速度為//若小球飛離

了水平面，則先速度大于而\展\￡故選項C正確，D錯誤。

4、（多選）質(zhì)屋為機(jī)的小球由輕繩。和力分別系于一輕質(zhì)細(xì)桿的4點和8點，如圖所示，繩“與水平方向成

夕角，繩。在水平方向目.長為/，當(dāng)輕桿繞軸A8以角速度①勻速轉(zhuǎn)動時，小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，

則下列說法正確的是（）

3

mb4：

A.。繩的張力不可能為零

B.。繩的張力隨角速度的增大而增大

C.當(dāng)角速度①八時,〃繩將出現(xiàn)彈力

D.若。繩突然被剪斷，則。繩的彈力一定發(fā)生變化

【答案】AC

【解析】對小球受力分析，可得〃繩的彈力在豎直方向的分力平衡了小球的重力，解得兀=篇,為定值.

A正確，B錯誤。當(dāng)Tqsi"I,即^時，。繩的彈力為零，若角速度大于該值，則b繩將出

現(xiàn)彈力，C正確。由于繩b可能沒有彈力，故繩〃突然被剪斷，則〃繩的彈力可能不變，D錯誤。

5、如圖所示，內(nèi)壁光滑的豎直圓桶，繞中心軸做勻速圓周運(yùn)動，一物塊用細(xì)繩系著，繩的另一端系于圓桶

上表面圓心，且物塊貼著圓桶內(nèi)表面隨圓桶?起轉(zhuǎn)動，則（）

A.繩的張力可能為零

B.桶對物塊的彈力不可能為零

C.隨著轉(zhuǎn)動的角速度增大，繩的張力保持不變

D.隨著轉(zhuǎn)動的角速度增大，繩的張力一定增大

【答案】C

【解析】當(dāng)物塊隨圓桶做圓周運(yùn)動時，繩的拉力的豎直分力與物塊的重力保持平衡，因此繩的張力為一

定值，且不可能為零，故A、D錯誤，C正確；當(dāng)繩的水平分力矣供向心力的時候，桶對物塊的彈力恰好為

零，故B錯誤.

6、如圖所示，兩段長均為L的輕繩共同系住一質(zhì)量為〃?的小球，另一端固定在等高的兩點。、02,兩點

的距離也為心在最低點給小球一個水平向里的初速度卬，小球恰能在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動，重力加速度為

g，則（）

【答案】AD

7、固定在豎直平面內(nèi)的光滑圓弧軌道A8CO,其A點與圓心等高，。點為軌道的最高點，為豎直線，

AC為水平線，AE為水平面，如圖所示，今使小球自A點正上方某處由靜止釋放，且從A點進(jìn)入I員I弧軌道

運(yùn)動，只要適當(dāng)調(diào)節(jié)釋放點的高度，總能使球通過最高點。，則小球通過。點后（）

A.可能做圓周運(yùn)動B.一定做平拋運(yùn)動

C.一定會落到水平面人石上D.可能會再次落到圓弧軌道上

【答案】BC

【解析】設(shè)小球恰好能通過最高點。，根據(jù)〃吆=席，得切=和，知在最高點的最小速度為我.小球

經(jīng)過。點后做平拋運(yùn)動，根據(jù)寵=上產(chǎn)得，，=、欄，則平拋運(yùn)動的水平位移為：*=母\^=PR,知

小球一定落在水平面A￡上，故B、C正確，A、D錯誤.

8、如圖所示，足夠長的光滑水平軌道與豎直固定的光滑半圓形機(jī)道相切于〃點，一質(zhì)量為，〃的物塊（可視

為質(zhì)點），以大小為】，的速度水平向右運(yùn)動，重力加速度為后，不計空氣阻力.當(dāng)半圓形軌道半徑取適當(dāng)值R

時，物塊從半圓形軌道最高點力飛出后，在水平軌道的落點與。點間距離最大，最大距離為”則（）

B?F

D.d個

【答案】AC

【解析】：由題意知小球經(jīng)過。點的速度為叫小球沿著光滑的軌道從。到〃的過程只有重力做功，由機(jī)械

能守恒定律得：一〃喏ZRuJ/wvi—而小球從b點做平拋運(yùn)動，2R=Jg產(chǎn)，d=Vbh聯(lián)立各式可得：d=

q幽亍幽，可知根號下的表達(dá)式為R作自變量的二次函數(shù)，則當(dāng)R=若，水平距離有最大值小的=6.

故選AC.

9、如圖所示，可視為質(zhì)點的、質(zhì)量為，〃的小球，在半徑為R的豎直放置的光滑圓形管道內(nèi)做圓周運(yùn)動，下

列有關(guān)說法中正確的是（）

A.小球能夠到達(dá)最高點時的最小速度為0

B.小球能夠通過最高點時的最小速度為我

C.如果小球在最低點時的速度大小為小還，則小球通過最低點時對管道的外壁的作用力為6mg

D.如果小球在最高點時的速度大小為2而，則此時小球?qū)艿赖膬?nèi)壁的作用力為3gg

【答案】AC

【解析】圓形管道內(nèi)壁能支撐小球，小球能夠通過最高點時的最小速度為0,故A正確，B借誤；重力和

支持力的合力提供向心力，在最低點，根據(jù)牛頓第二定律，有.：入一機(jī)g=腎，解得：心=/喈+誓=〃?g

+甯=6/〃g,根據(jù)牛頓第三定律，球?qū)艿赖耐獗诘淖饔昧?〃?g,故C正確；在最高點，假設(shè)管道對

小球的彈力大小為F,方向豎直向下，由牛頓第二定律得〃?g+F=先，解得尸=3"?>0,假設(shè)成立，方向

豎直向下，根據(jù)牛頓第三定律得知：小球?qū)艿赖膹椓Ψ较蜇Q直向上，即小球?qū)艿赖耐獗谟凶饔昧?，故D

錯誤.

10、（多選）如圖所示，置于豎直面內(nèi)的光滑金屬圓環(huán)半徑為心質(zhì)量為〃?的帶孔小球穿于環(huán)上，同時有一長

為r的細(xì)繩一端系于圓環(huán)最高點，另一端系小球，當(dāng)圓環(huán)以角速度G（“M）繞豎直直徑轉(zhuǎn)動時（）

A.細(xì)繩對小球的拉力可能為零

B.細(xì)繩和金屬圓環(huán)對小球的作用力大小可能相等

C.細(xì)繩對小球拉力與小球的重力大小不可能相等

D.當(dāng)。='用時，金屬圓環(huán)對小球的作用力為零

【答案】CD

【解析】圓環(huán)光滑，小球受到重力、環(huán)對球的彈力和繩子的拉力，根據(jù)幾何關(guān)系可知，此時細(xì)繩與豎直

方向的夾角為60。，當(dāng)圓環(huán)旋轉(zhuǎn)時，小球繞豎直軸做圓周運(yùn)動，

貝U有Frcos60°+FNCOS60°=mg,「Tsin600—Rsin600=〃?ft?rsin60°,解得FTF^=mg—^mco2r,

當(dāng)g=、號時,金屬圓環(huán)對小球的作用力入=0,故C、D正確，A、B錯誤.

11、如圖所示，豎直放置的半圓形軌道與水平軌道平滑連接，不計一切摩擦。圓心。點正下方放置為2,〃

的小球A，質(zhì)量為機(jī)的小球8以初速度用向左運(yùn)動，與小球4